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微突破(七)　倒序相加法、裂项相消法求和
例1　(1)C　(2)76　[解析] (1)令f(ln a1)+f(ln a2)+…+f(ln a2025)=S①,则f(ln a2025)+f(ln a2024)+…+f(ln a2)+f(ln a1)=S②.由数列{an}为等比数列,得a1a2025=a2a2024=…==e2,所以ln a1+ln a2025=ln a2+ln a2024=…=2ln a1003=2ln e=2,又f(x)+f(2-x)=(x-1)3+2+(1-x)3+2=4,所以f(ln a2025)+f(ln a1)=f(ln a2024)+f(ln a2)=…=f(ln a1003)+f(ln a1003)=4,故由①②两式相加得2S=2025×4,所以S=4050.故选C.
(2)∵f(x)+f(1-x)=1,∴f+f=1.∵an=f(0)+f+f+…+f+f(1)①,∴an=f(1)+f+f+…+f+f(0)②,①+②得2an=n+1,∴an=,∴数列{an}的前16项和为=76.
变式　　[解析] 因为f(x)=,所以f(x)+f(-x)=+=1.因为数列{an}是等比数列,所以a1a99=a2a98=…=a49a51==1,则ln a1+ln a99=ln a2+ln a98=…=ln a49+ln a51=0.设S99=f(ln a1)+f(ln a2)+f(ln a3)+…+f(ln a99) ①,则S99=f(ln a99)+f(ln a98)+f(ln a97)+…+f(ln a1) ②,由①+②得2S99=99,所以S99=.
例2　解:(1)由an+1=3an+2,得an+1+1=3(an+1).
又a1+1=2,所以数列{an+1}是首项为2,公比为3的等比数列,所以an+1=2·3n-1,则an=2·3n-1-1.
(2)由(1)得bn==,
所以Sn==
=.
变式　解:(1)由Sn=2an-1,可得当n=1时,a1=2a1-1,解得a1=1.
当n≥2时,Sn-1=2an-1-1,
又Sn=2an-1,所以两式相减可得an=Sn-Sn-1=2an-1-2an-1+1,则an=2an-1.
所以数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列,所以an=2n-1.
设等差数列{bn}的公差为d,
因为b1=a1=1,b6=a5=16,所以d==3,所以bn=1+3(n-1)=3n-2.
(2)证明:cn===,
所以Tn==<,则3Tn<1.微突破(七)　倒序相加法、裂项相消法求和
1.C　[解析] 因为an==-,所以{an}的前n项和Sn=(-1)+(-)+…+(-)=-1,所以S99=10-1=9,故选C.
2.　[解析] 因为函数f(x)=+lg,所以f(x)+f(1-x)=+lg++lg=1+lg+lg=1,设f+f+…+f=S①,则f+f+…+f=S②,由①+②得2S=1×9=9,所以S=.
3.　[解析] 因为数列{an}是各项都为正数的等比数列,所以ana2026-n==1(n∈N*,n≤2025),则f(an)+f(a2026-n)=+==
=1,所以f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2024)+f(a2025)=.
4.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,则解得a1=d=2,
故an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n.
(2)因为bn===,
所以Tn===.
5.解:(1)将2anSn+1-2an+1Sn=anan+1两边同时除以2anan+1,
得-=,
所以是公差为的等差数列.
因为=1,所以=1+(n-1)×=,则2Sn=(n+1)an①,
当n≥2时,2Sn-1=nan-1②,
①-②,得2an=(n+1)an-nan-1(n≥2),整理得=(n≥2),
则an=a1···…·=1×××…×=n(n≥2),
又a1=1也符合上式,所以an=n.
(2)证明:由(1)得bn===-,
所以Tn=-+-+…+-=-,因为>0,所以Tn=-<.微突破(七)　倒序相加法、裂项相消法求和
方法一　倒序相加法
如果一个数列满足与首末两项等“距离”的两项之和等于首末两项之和,那么这个数列的前n项和可用倒序相加法来求.等差数列的前n项和公式就是用此方法推导的.　　　　　　　　　　　　　　　
例1 (1) 已知函数f(x)=(x-1)3+2,数列{an}为等比数列,an>0,且a1013=e,则f(ln a1)+
f(ln a2)+…+f(ln a2025)= (　 )
A. B.2025
C.4050 D.8100
(2)已知函数f(x)满足对任意的x∈R,都有f(x)+f(1-x)=1,若数列{an}满足an=f(0)+f+f+…+f+f(1),则数列{an}的前16项和为　　　　.
变式 已知函数f(x)=(x∈R),各项都为正数的等比数列{an}满足a50=1,则f(ln a1)+f(ln a2)+…+f(ln a99)等于　　　　.
方法二　裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律),从而求得前n项和.
常见的拆项类型
①分式型:=,=,=等;
②指数型:=-,=-等;
③根式型:=(-)等;
④对数型:logm=logman+1-logman,an>0,m>0且m≠1.
例2 已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Sn.
变式 已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an-1,数列{bn}是等差数列,且b1=a1,b6=a5.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)若cn=,记数列{cn}的前n项和为Tn,证明:3Tn<1.微突破(七)　倒序相加法、裂项相消法求和
1.已知数列{an}的通项公式为an=,则该数列的前99项之和等于 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.7 B.8
C.9 D.10
2.设函数f(x)=+lg,则f+f+…+f=　　　　.
3.已知函数f(x)=(x+1)-1,数列{an}是各项都为正数的等比数列,且a1013=1,则f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2024)+f(a2025)=　　　　.
4.(13分)已知数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,且a2=4,S4=20.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)数列{bn}满足bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
5.(15分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an>0,且2anSn+1-2an+1Sn=anan+1.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,证明:Tn<.(共25张PPT)
微突破（七） 倒序相加法、裂项相消法求和
方法一 倒序相加法
方法二 裂项相消法
◆
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
方法一 倒序相加法
如果一个数列满足与首末两项等“距离”的两项之和等于首末两项之
和,那么这个数列的前项和可用倒序相加法来求.等差数列的前 项和
公式就是用此方法推导的.
例1（1）已知函数,数列为等比数列, ,
且,则 ( )
A. B.2025 C.4050 D.8100
√
[解析] 令 ,则
.
由数列为等比数列,得 ,
所以 ,
又,所以,
故由①②两式相加得,所以 .故选C.
（2）已知函数满足对任意的,都有 ,若
数列满足 ,则数列
的前16项和为____.
76
[解析] ,
①,,
得,,
数列的前16项和为 .
变式 已知函数，各项都为正数的等比数列
满足，则 等于___.
[解析] 因为，所以 .
因为数列是等比数列,所以 ，
则 .
设 ，则
，由
得，所以 .
方法二 裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消
（注意消项规律），从而求得前 项和.
常见的拆项类型
①分式型：， ，
等；
②指数型： ，
等；
③根式型： 等；
④对数型：，， 且
.
例2 已知数列满足， .
（1）求数列 的通项公式；
解：由，得 .
又，所以数列 是首项为2，公比为3的等比数列，
所以，则 .
（2）设，求数列的前项和 .
解：由（1）得 ，
所以 .
例2 已知数列满足， .
变式 已知数列的前项和为，，数列 是等差
数列，且， .
（1）求数列和 的通项公式；
解：由，可得当时，，解得 .
当时， ，
又 ，所以两式相减可得
，则 .
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以 .
设等差数列的公差为 ，
因为，，所以 ，
所以 .
（2）若，记数列的前项和为，证明： .
证明： ，
所以
，则 .
变式 已知数列的前项和为，，数列 是等差
数列，且， .
练习册
1.已知数列的通项公式为 ,则该数列的前99项之和等
于( )
A.7 B.8 C.9 D.10
[解析] 因为,所以的前 项和
,所以
,故选C.
√
2.设函数,则 __.
[解析] 因为函数 ,所以
,
设 ,则
，由得 ，所以
.
3.已知函数，数列 是各项都为正数的等比数列，
且，则
_ ____.
[解析] 因为数列 是各项都为正数的等比数列,所以
,
则 ,所以
.
4.（13分）已知数列为等差数列，其前项和为，且 ，
.
（1）求数列 的通项公式；
解：设等差数列的公差为，则 解得
，
故 .
（2）数列满足，求数列的前项和 .
解：因为 ，
所以 .
4.（13分）已知数列为等差数列，其前项和为，且 ，
.
5.（15分）已知数列的前项和为，， ，且
.
（1）求 的通项公式；
解：将两边同时除以 ，
得 ，
所以是公差为 的等差数列.
因为，所以，则 ，
当时， ，
，得 ，整理得
，
则 ，
又也符合上式，所以 .
（2）若，数列的前项和为 ，证明：
.
证明：由（1）得
，
所以 ，
因为，所以 .
快速核答案（导学案）
例1 （1）C （2）76 变式
例2 （1）（2）
变式 （1），（2）略
快速核答案（练习册）
1.C 2. 3.
4.（1）（2）
5.（1）（2）略

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