资源简介

微突破(八)　并项求和、错位相减法求和
例1　解:(1)证明:因为Sn=2an-2①,所以当n≥2时,Sn-1=2an-1-2②,①-②得an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2),即an=2an-1(n≥2).
当n=1时,a1=S1=2a1-2,解得a1=2.所以数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列.
(2)由(1)知an=2n,则bn=2log22n=2n,cn=2n+(-1)nbn.
当n为偶数时,(-1)n-1bn-1+(-1)nbn=-bn-1+bn=-2(n-1)+2n=2,则Tn=(2+22+23+…+2n)+[(-b1+b2)+(-b3+b4)+…+(-bn-1+bn)]=+·2=2n+1+n-2.
当n为奇数且n≥3时,Tn=(2+22+23+…+2n)+[(-b1+b2)+(-b3+b4)+…+(-bn-2+bn-1)-bn]=+·2-2n=2n+1-n-3,且T1=c1=0满足上式.所以Tn=
变式　解:(1)设数列{an}的公差为d,
由S5=5a3=25,得a3=a1+2d=5,
又a5=9=a1+4d,所以d=2,a1=1,所以an=2n-1,Sn==n2.
(2)结合(1)知bn=(-1)nn2,
当n为偶数时,Tn=(b1+b2)+(b3+b4)+(b5+b6)+…+(bn-1+bn)=(-12+22)+(-32+42)+(-52+62)+…+[-(n-1)2+n2]=(2-1)×(2+1)+(4-3)×(4+3)+(6-5)×(6+5)+…+[n-(n-1)][n+(n-1)]=1+2+3+…+n=.
当n为奇数且n≥3时,n-1为偶数,Tn=Tn-1+(-1)n·n2=-n2=-,且T1=b1=-1满足上式.
综上可知,Tn=.
例2　解:(1)设等差数列{an}的公差为d,因为a1=2,S4=26,
所以4×2+d=26,解得d=3,
所以an=2+3(n-1)=3n-1.
设等比数列{bn}的公比为q(q>0),因为b1=2,b2+b3=12,
所以2(q+q2)=12,所以q2+q-6=0,
解得q=2或q=-3(舍去),
所以bn=2×2n-1=2n.
(2)由(1)知anbn=(3n-1)2n,
所以Tn=2×21+5×22+8×23+…+(3n-4)2n-1+(3n-1)2n,
所以2Tn=2×22+5×23+8×24+…+(3n-4)2n+(3n-1)2n+1,
两式相减得-Tn=2×21+3×22+3×23+3×24+…+3×2n-(3n-1)2n+1=2×21+-(3n-1)2n+1=-8+(4-3n)2n+1,
所以Tn=(3n-4)2n+1+8.
变式　解:(1)∵2Sn=nan,∴当n=1时,2S1=a1,解得a1=0,
当n≥2时,2Sn-1=(n-1)an-1,
∴2an=nan-(n-1)an-1(n≥2),
∴(n-1)an-1=(n-2)an(n≥2),
当n≥3时,可得=,
∴an=×××…××a2=n-1(n≥3),
又a1=0,a2=1都适合上式,
∴{an}的通项公式为an=n-1.
(2)由(1)可得=,∴Tn=+++…+,∴Tn=+++…++,
∴Tn=+++…+-=-=1--,∴Tn=2-.微突破(八)　并项求和、错位相减法求和
1.解:(1)由题知a2+a4=2a1+4d=10①,
因为a1,a2,a5成等比数列,
所以=a1·a5,
所以(a1+d)2=a1(a1+4d)②,
由①②可得
所以an=a1+(n-1)d=2n-1.
(2)因为bn=(-1)nan,
所以b1+b2+b3+…+b20=-a1+a2-a3+a4-…-a19+a20=(a2-a1)+(a4-a3)+…+(a20-a19)=2×10=20.
2.解:(1)当n=1时,2S1=3a1+m,
又S1=a1,所以2a1=3a1+m,所以m=-a1=-1.
当n≥2时,2an=2Sn-2Sn-1=3an-1-(3an-1-1),
整理得an=3an-1(n≥2),
因此数列{an}是以1为首项,3为公比的等比数列,
所以数列{an}的通项公式为an=3n-1.
(2)由(1)知,bn=an·log3an+1=3n-1·log33n=n·3n-1,
则Tn=1×30+2×31+3×32+…+(n-1)·3n-2+n·3n-1,
于是3Tn=1×31+2×32+3×33+…+(n-1)·3n-1+n·3n,
两式相减得-2Tn=30+31+32+…+3n-2+3n-1-n·3n=-n·3n=-+,
所以Tn=+.
3.解:(1)方法一:因为a1=1,=,
所以当n≥2时,··…·=××…×,
则=n(n≥2),则an=n(n≥2),
因为a1=1也满足上式,所以an=n.
方法二:由=得==a1,又a1=1,所以an=n.
(2)由(1)知b2n=2an-24=2n-24,b2n-1=2an-22=2n-22,则b2n+b2n-1=4n-46,
则S20=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b19+b20)=(4×1-46)+(4×2-46)+…+(4×10-46)=4×-46×10=-240.
4.解:(1)证明:-=,
∵an+1=4-,
∴an+1an-4an+4=0,∴-==,
又=,∴是首项、公差均为的等差数列.
(2)由(1)知=+(n-1)=,则an=2+,
又anbn=2(n+1),∴bn==n,
则bn·=n·2n,
∴Sn=21+2×22+3×23+…+n·2n,2Sn=22+2×23+3×24+…+(n-1)·2n+n·2n+1,
则-Sn=21+22+23+…+2n-n·2n+1=-n·2n+1=(1-n)2n+1-2,
∴Sn=(n-1)2n+1+2.微突破(八)　并项求和、错位相减法求和
方法一　并项求和
一个数列的前n项中,可两两结合求和,这种求前n项和的方法称之为并项求和.形如an=(-1)nf(n)的数列求和,可采用两项合并求解.
例如,Sn=1002-992+982-972+…+22-12=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5050.
例1 已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2an-2(n∈N*),bn=2log2an.
(1)求证:数列{an}是等比数列;
(2)令cn=an+(-1)nbn,求数列{cn}的前n项和Tn.
变式 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a5=9,S5=25.
(1)求数列{an}的通项公式及Sn;
(2)设bn=(-1)nSn,求数列{bn}的前n项和Tn.
方法二　错位相减法
1.如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和可用错位相减法来求.等比数列的前n项和公式就是用此方法推导的.
2.错位相减法求和的具体步骤
例2 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,S4=26,{bn}是各项都为正数的等比数列,且b1=2,b2+b3=12.
(1)求{an}与{bn}的通项公式;
(2)求数列{anbn}的前n项和Tn.
变式 已知数列{an},a2=1,设Sn为数列{an}的前n项和,2Sn=nan.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列的前n项和Tn.微突破(八)　并项求和、错位相减法求和
1.(13分)已知公差d≠0的等差数列{an}满足a2+a4=10,a1,a2,a5成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=(-1)nan,求b1+b2+b3+…+b20.
2.(13分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,2Sn=3an+m.
(1)求实数m的值和数列{an}的通项公式;
(2)若bn=an·log3an+1,求数列{bn}的前n项和Tn.
3.(15分)已知数列{an}满足a1=1,=.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若{bn}满足b2n=2an-24,b2n-1=2an-22,设Sn为数列{bn}的前n项和,求S20.
4.(15分)已知数列{an}满足a1=4,an+1=4-(n∈N*).
(1)求证:是等差数列;
(2)若anbn=2(n+1),求数列{bn·}的前n项和Sn.(共25张PPT)
微突破（八） 并项求和、错位相减法求和
方法一 并项求和
方法二 错位相减法
◆
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
方法一 并项求和
一个数列的前项中，可两两结合求和，这种求前 项和的方法称之
为并项求和.形如 的数列求和，可采用两项合并求解.
例如， .
例1 已知数列的前项和为,且满足 ,
.
（1）求证：数列 是等比数列；
证明：因为，所以当 时，
，
得,即 .
当时，，解得.所以数列 是首项为2，
公比为2的等比数列.
（2）令，求数列的前项和 .
解:由（1）知，则， .
当 为偶数时，
，则 .
，且满足上式.所以
变式 已知等差数列的前项和为，， .
（1）求数列的通项公式及 ；
解:设数列的公差为 ，
由，得 ，
又，所以，，所以 ，
.
（2）设，求数列的前项和 .
解:结合（1）知 ，
当 为偶数时，
.
当为奇数且时， 为偶数，
，且 满
足上式.
综上可知， .
方法二 错位相减法
1.如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之
积构成的,那么这个数列的前 项和可用错位相减法来求.等比数列的
前 项和公式就是用此方法推导的.
2.错位相减法求和的具体步骤
例2 已知等差数列的前项和为，，， 是各
项都为正数的等比数列，且， ．
（1）求与 的通项公式；
解：设等差数列的公差为,因为, ,
所以,解得 ,所以 .
设等比数列的公比为,因为, ,
所以,所以 ,
解得或 （舍去），所以 .
（2）求数列的前项和 ．
解：由（1）知 ,
所以 ,
所以 ,
两式相减得
,
所以 .
变式 已知数列，，设为数列的前项和， .
（1）求 的通项公式；
解:， 当时，，解得 ，
当时， ，
，
，
当时，可得 ，
，
又， 都适合上式，
的通项公式为 .
（2）求数列的前项和 .
解:由（1）可得， ，
，
， .
变式 已知数列，，设为数列的前项和， .
练习册
1.（13分）已知公差的等差数列满足， ，
， 成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
解：由题知 ，
因为，， 成等比数列，
所以 ，
所以 ，
由①②可得
所以 .
（2）设，求 .
解：因为 ，
所以 .
1.（13分）已知公差的等差数列满足， ，
， 成等比数列.
2.（13分）已知数列的前项和为，且， .
（1）求实数的值和数列 的通项公式；
解：当时， ，
又，所以，所以 .
当时， ，
整理得 ，
因此数列 是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以数列的通项公式为 .
（2）若，求数列的前项和 .
解：由（1）知， ，
则 ，
于是 ，
两式相减得
，
所以 .
3.（15分）已知数列满足， .
（1）求数列 的通项公式；
解：方法一：因为， ，
所以当时， ，
则，则 ，
因为也满足上式，所以 .
方法二：由得,又，所以 .
（2）若满足，，设 为数列
的前项和，求 .
解：由（1）知 ，
，
则 ，
则 .
3.（15分）已知数列满足， .
4.（15分）已知数列满足， .
（1）求证： 是等差数列；
证明： ，
，
， ，
又，是首项、公差均为 的等差数列.
（2）若，求数列的前项和 .
解：由（1）知，则 ，
又， ，
则 ，
，
，
则 ，
.
快速核答案（导学案）
例1 （1）略（2）
变式 （1），（2）
例2 （1），（2）
变式 （1）（2）
快速核答案（练习册）
1.（1）（2）
2.（1）,（2）
3.（1）（2）
4.（1）略（2）

展开更多......

收起↑