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滚动习题(五)
1.B　[解析] 由题意可知,数列的通项公式为an=,令=9,得n=41,所以9是该数列的第41项.故选B.
2.A　[解析] 设{an}的公差为d,由解得则an=1+2(n-1)=2n-1,所以a50=2×50-1=99.故选A.
3.B　[解析] 由题可得a3+a9=2a6=12,所以a6=6,又a5=4,所以S10==5(a5+a6)=50,故选B.
4.A　[解析] 由已知可得a1===,a2=11,a2= a3=-,a3= a4=-,a4= a5=,…,所以数列{an}是以4为周期的周期数列,所以a985=a4×246+1=a1=,故选A.
5.B　[解析] 根据题意知,A点处里程碑上刻着数字34,B点处里程碑上刻着数字92,从A点到B点的里程碑上刻的数字依次成等差数列,其公差为2,因此从A点到B点的所有里程碑个数为n=+1=30,从A点到B点的所有里程碑上所刻数字之和为30×34+×2=1890,故选B.
6.B　[解析] ∵Sn=,∴由S15>0,S16<0,得a1+a15=2a8>0,a1+a16=a8+a9<0,∴a8>0,a9<0,{an}的公差d<0,故{an}为递减数列.当n≤8时,an>0;当n>8时,an<0.∴Sn的最大值是S8,则当n≤8时,>0且随n的增大而增大,当87.BCD　[解析] 由数列{an}为等差数列,设其公差为d,可得an+1-an=d.对于A,取an=n-2,则|a1|=1,|a2|=0,|a3|=1,|a4|=2,此时数列{|an|}不是等差数列;对于B,an+1-an=d,所以数列{an+1-an}为常数列,所以数列{an+1-an}一定是等差数列;对于C,(pan+1+q)-(pan+q)=p(an+1-an)=pd(常数),所以数列{pan+q}一定是等差数列;对于D,(2an+1+n+1)-(2an+n)=2(an+1-an)+1=2d+1,所以数列{2an+n}一定是等差数列.故选BCD.
8.BCD　[解析] 由题意可设{an}的公差为d,则S5=5a1+d=5a1+10d,S4=4a1+d=4a1+6d,a6=a1+5d,由4S5-5S4=20,a6=1得 故A错误;S9=9a1+d=9×(-9)+36×2=-9,故B正确;Sn=na1+d=-9n+×2=(n-5)2-25,由二次函数的性质可知,当n=5时,Sn取得最小值,故C正确;对于D,因为an=-9+(n-1)×2=2n-11,所以bn=a2n=2×2n-11=4n-11 bn+1-bn=4(n+1)-11-(4n-11)=4,所以{bn}为等差数列,其公差为4,首项为b1=4×1-11=-7,所以{bn}的前n项和为-7n+×4=2n2-9n,故D正确.故选BCD.
9.an=2n+4　[解析] 设{an}的公差为d,由a5=14,S5=a23,得
解得故{an}的通项公式为an=6+(n-1)×2,即an=2n+4.
10.9　[解析] 由等差数列的公差d<0,|a5|=|a14|知,a5>0,a14<0,a5+a14=0,所以a9+a10=0,a9>0,a10<0,则数列{an}的前n项和取得最大值时n的值为9.
11.　[解析] 因为a1,a2,…,a10是首项为1,公差为1的等差数列,所以a10=1+(10-1)=10,因为a10,a11,…,a20是公差为d的等差数列,所以a20=a10+10d=10+10d,因为a20,a21,…,a30是公差为d2的等差数列,所以a30=a20+10d2=10+≥,当且仅当d=-时取等号,故a30的最小值为.
12.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,
∵a2=-3a3,S3=-9,
∴解得
∴an=-7+4(n-1)=4n-11.
(2)Sn=-7n+×4=2n2-9n=n(2n-9),∴当1≤n≤4时,Sn<0,则|Sn|=-Sn=-2n2+9n=-2+,
∵1≤n≤4且n∈N*,|S1|=7,|S4|=4,∴当n=4时,|Sn|取得最小值4;
当n≥5时,Sn>0,则|Sn|=Sn=2n2-9n=2-,
∵n≥5且n∈N*,|S5|=5,∴当n=5时,|Sn|取得最小值5.
综上,当n=4时,|Sn|取得最小值4.
13.解:(1)因为an=2n2-n+3,
所以Δan=an+1-an=2(n+1)2-(n+1)+3-(2n2-n+3)=4n+1,
令cn=4n+1,则cn+1-cn=4(n+1)+1-(4n+1)=4,
所以{cn},即{Δan}为等差数列,所以{an}为二阶等差数列.
(2)因为{an}为二阶等差数列,且a1=1,a2=2,a3=4,所以Δa1=a2-a1=1,Δa2=a3-a2=2,所以{Δan}的公差为Δa2-Δa1=1,
所以Δan=Δa1+(n-1)×1=1+n-1=n,即an+1-an=n,
所以a2-a1=1,a3-a2=2,
a4-a3=3,…,an-an-1=n-1(n≥2),
将以上(n-1)个式子左、右分别相加,得an-a1=1+2+…+(n-1)=(n≥2),所以an=+1,
又a1=1满足上式,
所以an=+1=.
14.解:(1)若选①,设等差数列{an}的公差为d,对于an+1=2an-(2n-3),令n=1,则a2=2a1+1=3,所以公差d=2,
所以等差数列{an}的通项公式为an=2n-1.
若选②,当n≥2时,2Sn=(n+1)an,2Sn-1=nan-1,
因此2an=(n+1)an-nan-1,
即=.所以为常数列,因此==2,所以an=2n.
若选③,当n=1时,4a1=+2a1-3,即(a1-3)(a1+1)=0.
又因为an>0,所以a1=3.
当n≥2时,4Sn=+2an-3,4Sn-1=+2an-1-3,
所以4an=-+2an-2an-1,即(an+an-1)(an-an-1-2)=0.
又因为an>0,所以an-an-1=2.所以{an}是以2为公差的等差数列,
所以an=3+(n-1)×2=2n+1.
(2)若选①,由(1)可知,T2n=-a1+a2-a3+a4-…-a2n-1+a2n=(a2-a1)+(a4-a3)+…+(a2n-a2n-1)=2n.
若选②,由(1)可知,T2n=-a1+a2-a3+a4-…-a2n-1+a2n=(a2-a1)+(a4-a3)+…+(a2n-a2n-1)=2n.
若选③,由(1)可知,T2n=-a1+a2-a3+a4-…-a2n-1+a2n=(a2-a1)+(a4-a3)+…+(a2n-a2n-1)=2n.滚动习题(五)
(时间:45分钟　分值:100分)
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.已知数列1,,,,3,…,,…,则9是该数列的 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.第42项 B.第41项
C.第9项 D.第8项
2.[2025·江苏盐城中学高二月考] 在等差数列{an}中,a5=9,a10=19,则a50的值为 (　 )
A.99 B.98
C.97 D.96
3.[2025·江苏盐城中学高二期中] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3+a9=12,a5=4,则S10= (　 )
A.60 B.50
C.40 D.30
4.[2025·河南部分名校联考] 已知数列{an}满足a2=11,an=,则a985= (　 )
A. B.-
C.11 D.-
5.[2025·江苏苏州中学高二月考] “苏州码子”发源于苏州,作为一种民间的数字符号曾经流行一时,广泛应用于各种商业场合.“苏州码子”0~9的写法如下: 0、〡1、〢2、〣3、〤4、〥5、〦6、〧7、〨8、攵9.为了防止混淆,有时要将“〡”“〢”“〣”横过来写.已知某铁路的里程碑所刻数字代表距离始发车站的里程,每隔2公里摆放一个里程碑,若在A点处里程碑上刻着“〣〤”,在B点处里程碑上刻着“攵〢”,则从A点到B点的所有里程碑上所刻数字之和为 (　 )
A.1560 B.1890
C.1925 D.1340
6.[2025·河北石家庄一中高二质检] 等差数列{an}的前n项和为Sn,若S15>0,S16<0,则,,…,中的最大值是 (　 )
A. B. C. D.
二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
7.[2025·广东深圳中学高二月考] 若数列{an}是等差数列,则下列数列一定是等差数列的是 (　 )
A.{|an|}
B.{an+1-an}
C.{pan+q}(p,q为常数)
D.{2an+n}
8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且4S5-5S4=20,a6=1,则 (　 )
A.a1=-11
B.S9=-9
C.当n=5时,Sn取得最小值
D.记bn=a2n,则数列{bn}的前n项和为2n2-9n
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
9.记Sn为等差数列{an}的前n项和,且a5=14,S5=a23,则{an}的通项公式为　　　　　　.
10.[2025·山东菏泽一中高二质检] 已知等差数列{an}中,|a5|=|a14|,且公差d<0,则其前n项和取得最大值时n的值为　　　　.
11.[2025·江苏金陵中学高二质检] 已知数列a1,a2,…,a30,其中a1,a2,…,a10是首项为1,公差为1的等差数列,a10,a11,…,a20是公差为d的等差数列,a20,a21,…,a30是公差为d2的等差数列(d≠0),则a30的最小值为　　　　.
四、解答题(本大题共3小题,共43分)
12.(13分)[2025·江苏徐州一中高二质检] 记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a2=-3a3,S3=-9.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求|Sn|的最小值,以及取最小值时n的值.
13.(15分)[2025·浙江诸暨中学高二调研] 在数列{an}中,记Δan=an+1-an,若{Δan}为等差数列,则称{an}为二阶等差数列.
(1)若an=2n2-n+3,判断{an}是否为二阶等差数列,并说明理由;
(2)已知二阶等差数列{an}满足a1=1,a2=2,a3=4,求数列{an}的通项公式.
14.(15分)[2025·山东肥城一中高二质检] 在①数列{an}为等差数列,且a1=1,an+1=2an-(2n-3);②a1=2,2Sn=(n+1)an;③各项均为正数的数列{an}满足4Sn=+2an-3这三个条件中任选一个,补充在下面问题中的横线上,并给出解答.
问题:已知数列{an}的前n项和为Sn,且　　　　.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{(-1)n·an}的前n项和为Tn,求T2n.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.(共27张PPT)
滚动习题（五）
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1.已知数列1，，，，3， ，, ,则9是该数列的
( )
A.第42项 B.第41项 C.第9项 D.第8项
[解析] 由题意可知，数列的通项公式为 ,
令，得 ,所以9是该数列的第41项．故选B.
√
2.［2025·江苏盐城中学高二月考］在等差数列中， ，
，则 的值为( )
A.99 B.98 C.97 D.96
[解析] 设的公差为，由解得
则，所以 .故选A.
√
3.［2025·江苏盐城中学高二期中］已知等差数列的前项和为 ，
且，，则 ( )
A.60 B.50 C.40 D.30
[解析] 由题可得，所以，
又 ，所以 ，故选B.
√
4.［2025·河南部分名校联考］已知数列满足 ，
，则 ( )
A. B. C.11 D.
[解析] 由已知可得， ，
， ，
， ，
所以数列 是以4为周期的周期数列，
所以 ，故选A.
√
5.［2025·江苏苏州中学高二月考］“苏州码子”发源于苏州，作为一
种民间的数字符号曾经流行一时，广泛应用于各种商业场合．“苏州
码子” 的写法如下： ．为了
防止混淆，有时要将“ ”“ ”“ ”横过来写．已知某铁路的里程碑所刻
数字代表距离始发车站的里程，每隔2公里摆放一个里程碑，若在
点处里程碑上刻着“ ”，在点处里程碑上刻着“ ”，则从点到
点的所有里程碑上所刻数字之和为( )
A.1560 B.1890 C.1925 D.1340
√
[解析] 根据题意知，点处里程碑上刻着数字34， 点处里程碑上刻
着数字92，从点到 点的里程碑上刻的数字依次成等差数列，其公
差为2，
因此从点到点的所有里程碑个数为 ，
从点到 点的所有里程碑上所刻数字之和为
，故选B.
6.［2025·河北石家庄一中高二质检］等差数列的前项和为 ，
若，，则，， ， 中的最大值是( )
A. B. C. D.
[解析] ， 由， ，得
,，,, 的
公差，故为递减数列.
当时，；当 时，的最大值是，
则当时，且随 的增大而增大，当时，
所求最大值为 ．故选B.
√
二、多项选择题（本大题共2小题,每小题6分,共12分）
7.［2025·广东深圳中学高二月考］若数列 是等差数列，则下列
数列一定是等差数列的是( )
A. B.
C.,为常数 D.
√
√
√
[解析] 由数列为等差数列，设其公差为，可得 .
对于A，取，则,,, ，此时
数列不是等差数列；
对于B， ，所以数列为常数列，
所以数列 一定是等差数列；
对于C， （常数），
所以数列 一定是等差数列；
对于D， ，
所以数列一定是等差数列.
故选 .
8.已知等差数列的前项和为，且, ，则
( )
A.
B.
C.当时， 取得最小值
D.记，则数列的前项和为
√
√
√
[解析] 由题意可设的公差为 ，则
, ,
,由, 得
故A错误；
,故B正确；
，由二次函
数的性质可知，当时， 取得最小值，故C正确；
对于D，因为 ，所以
所以 为等差数列，其公差为4，首项为，
所以的前 项和为,故D正确.
故选 .
三、填空题（本大题共3小题,每小题5分,共15分）
9.记为等差数列的前项和，且，，则 的
通项公式为____________.
[解析] 设的公差为，由， ，得
解得故的通项公式为 ，即
.
10.［2025·山东菏泽一中高二质检］已知等差数列 中，
，且公差，则其前项和取得最大值时 的值为___.
9
[解析] 由等差数列的公差，知，, ,
，所以，,，则数列 的前
项和取得最大值时 的值为9.
11.［2025·江苏金陵中学高二质检］已知数列，， ， ，其
中，， ，是首项为1，公差为1的等差数列，， ，
，是公差为的等差数列，，， ，是公差为 的
等差数列，则 的最小值为___.
[解析] 因为，， ， 是首项为1，公差为1的等差数列，所
以，因为，， ，是公差为 的
等差数列，所以，
因为，， ，是公差为 的等差数列，
所以，
当且仅当 时取等号，
故的最小值为 .
四、解答题（本大题共3小题,共43分）
12.（13分）［2025·江苏徐州一中高二质检］ 记为等差数列
的前项和，已知, ．
（1）求 的通项公式；
解：设等差数列的公差为 ，
, ，
解得
．
（2）求的最小值，以及取最小值时 的值．
解：， 当
时， ，则
，
且，,, 当时， 取得最小
值4；
当时，，则 ，
且，, 当时， 取得最小值5.
综上，当时， 取得最小值4．
13.（15分）［2025·浙江诸暨中学高二调研］ 在数列 中，记
，若{为等差数列，则称 为二阶等差数列.
（1）若，判断 是否为二阶等差数列，并说明理由；
解：因为 ，
所以 ，
令，则 ，
所以，即{ 为等差数列，
所以 为二阶等差数列.
（2）已知二阶等差数列满足，， ，求数列
的通项公式.
解：因为为二阶等差数列，且，， ，所以
，，所以{ 的公差为
，
所以，即 ，
所以， ，
， ， ，
将以上 个式子左、右分别相加，得
，所以 ，
又 满足上式，
所以 .
14.（15分）［2025·山东肥城一中高二质检］ 在①数列 为等差
数列，且,； ，
；③各项均为正数的数列 满足
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横
线上，并给出解答.
问题：已知数列的前项和为 ，且____.
（1）求数列 的通项公式；
解：若选①，设等差数列的公差为 ，对于
,令，则 ，所以公差
，
所以等差数列的通项公式为 .
若选②，当时，， ，
因此 ，
即.所以为常数列，因此，所以 .
若选③，当时，，即 .
又因为，所以 .
当时，， ，
所以 ，即
.
又因为，所以.所以 是以2为公差的等差数列，
所以 .
（2）若数列的前项和为，求 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
解：若选①，由（1）可知， .
若选②，由（1）可知，
.
若选③，由（1）可知，
.
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1.B 2.A 3.B 4.A 5.B 6.B
7.BCD 8.BCD 9. 10.9 11.
12.（1）
（2）当时，取得最小值4
13.（1）为二阶等差数列（2）
14.（1）若选①，. 若选②，.若选③，.
（2）若选①，. .

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