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滚动习题(六)
1.B　[解析] 设等比数列{an}的公比为q,因为a2=-2,a6=-8,所以-8=-2q4,所以q2=2,所以a4=a2×q2=(-2)×2=-4.故选B.
2.B　[解析] 由a3=4,得S3=++a3=++4=7,则3q2-4q-4=0,解得q=2或q=-.故选B.
3.D　[解析] 设插入的3个数依次为x,y,z,则2,x,y,z,8成等比数列,故y是2,8的等比中项,且y>0,则y=4,又xz=y2=16,所以xyz=64,故选D.
4.D　[解析] 设自2025年起每年到5月1日存款本息合计为a1,a2,a3,a4,则a1=a+ap=a(1+p),a2=a(1+p)(1+p)+a(1+p)=a(1+p)2+a(1+p),a3=a2(1+p)+a(1+p)=a(1+p)3+a(1+p)2+a(1+p),a4=a3(1+p)+a(1+p)=a[(1+p)4+(1+p)3+(1+p)2+(1+p)]=a·=[(1+p)5-(1+p)].故选D.
5.C　[解析] 因为在等比数列{an}中,a4·a10=2a8=a6a8,所以a6=2.根据等比数列的性质得a1a11=a2a10=a3a9=a4a8=a5a7==22,所以a1a2…a10a11=(a1a11)(a2a10)(a3a9)(a4a8)(a5a7)a6=(22)5×2=211,所以log2(a1a2…a10a11)=log2211=11.故选C.
6.C　[解析] 由an-1+2an=0(n≥2)得an=-an-1(n≥2),因为a1=1,所以数列{an}是等比数列,于是Sn==.当n为奇数时,Sn=,可得7.AC　[解析] 因为{an}是递减的等比数列,所以an+10时,qnqn-1,即qn-1(q-1)>0对任意n∈N*恒成立,可得q>1,故C正确;对于D,由A,B选项的分析可知,当a1>0时,01,故D错误.故选AC.
8.BCD　[解析] 由题意知3·=,且=3,故是首项、公比都为3的等比数列,所以=3n,则an=n·3n,故{nan}不是等比数列,A错误,B,C正确.由Sn=1×31+2×32+…+n·3n,得3Sn=1×32+2×33+…+(n-1)·3n+n·3n+1,两式相减得-2Sn=31+32+…+3n-n·3n+1=-n·3n+1=,所以Sn=,D正确.故选BCD.
9.12　[解析] 因为{an}是等比数列,所以=a6a14=8×18=144,所以a10=12或a10=-12,又在等比数列中,偶数项的符号相同,所以a10=12.
10.　[解析] 方法一:设等比数列{an}的公比为q,若q=1,则==2,与已知矛盾,故q≠1.由题意得==3,则1+q2=3,所以q2=2,所以====.
方法二:因为等比数列{an}的前n项和为Sn,所以S2,S4-S2,S6-S4成等比数列.由=3,得S4=3S2,所以S4-S2=2S2,所以S6-S4=4S2,所以S6=7S2,所以==.
11.64　126　[解析] 依题意得,第一次报数后向前一步的原编号为2n1,n1∈N*,n1≤50,n1为第二次报数时的新编号;第二次报数后向前一步的原编号为2n2,n2∈N*,n2≤25,n2为第三次报数时的新编号;第三次报数后向前一步的原编号为2n3,n3∈N*,n3≤12,n3为第四次报数时的新编号;第四次报数后向前一步的原编号为2n4,n4∈N*,n4≤6,n4为第五次报数时的新编号;第五次报数后向前一步的原编号为2n5,n5∈N*,n5≤3,n5为第六次报数时的新编号;显然第六次报数时向前一步的编号为2.因此走到最前面的同学各次编号按报数由后向前排列为2,22,23,24,25,26,所以走到最前面的同学第一次的序号是64,这位同学的所有序号之和为=126.
12.解:(1)设递增的等比数列{an}的公比为q,q>1,
由a3是5a2与3a1的等差中项,可得2a3=5a2+3a1,
因为a1=3,所以6q2=15q+9,解得q=3或q=-(舍去),则an=3n.
(2)bn=+n=+n,
则Sn=+(1+2+…+n)=+n(1+n)=+.
13.解:(1)由(2n-1)an+1=(4n+2)an,得=,
又因为=2≠0,
所以是以2为首项,2为公比的等比数列,
则=2n,所以an=(2n-1)·2n.
(2)由(1)可知,Sn=1×21+3×22+5×23+…+(2n-1)·2n①,
则2Sn=1×22+3×23+5×24+…+(2n-1)·2n+1②,
①-②得-Sn=21+2×(22+23+…+2n)-(2n-1)·2n+1,
即-Sn=2+2×-(2n-1)·2n+1=-6-(2n-3)·2n+1,
则Sn=(2n-3)·2n+1+6.
14.解:(1)证明:因为Sn=2an-n+1,
所以当n=1时,得S1=a1=2a1-1+1,解得a1=0.
由Sn=2an-n+1①,得Sn+1=2an+1-(n+1)+1②,
②-①得an+1=2an+1-2an-1,
即an+1=2an+1,
所以an+1+1=2(an+1),
即=2,
又a1+1=1,所以{an+1}是首项为1,公比为2的等比数列.
(2)由(1)知an+1=2n-1,则an=2n-1-1, 则b1=a2=22-1-1=1.
因为bn+1=所以bn+1=
又因为当n为偶数时,bn+1=2n-1-1-bn,即bn+1+bn=2n-1-1,
所以b1+b2+…+b2n=b1+(b2+b3)+(b4+b5)+…+(b2n-2+b2n-1)+b2n=1+(21-1)+(23-1)+…+(22n-3-1)+22n-2-1=1+-(n-1)+22n-2-1=.滚动习题(六)
(时间:45分钟　分值:100分)
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.在等比数列{an}中,a2=-2,a6=-8,则a4=(　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.4 B.-4
C.-6 D.±4
2.[2025·江苏泰州中学高二月考] 已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a3=4,S3=7,则公比q等于 (　 )
A.2 B.2或-
C.- D.-2或
3.[2025·山东济宁一中高二质检] 在2与8之间插入3个数,使这5个数成等比数列,则插入的3个数之积为 (　 )
A.8 B.16 C.32 D.64
4.[2025·湖南株洲中学高二调研] 从2024年起,某人每年的5月1日到银行存入a元的定期储蓄,若年利率为p且保持不变,并约定每年到期,存款的本息均自动转为新的一年的定期,到2028年的5月1日将所有存款及利息全部取出,则可取出钱(单位:元)的总数为 (　 )
A.a(1+p)4
B.a(1+p)5
C.[(1+p)4-(1+p)]
D.[(1+p)5-(1+p)]
5.[2025·河北衡水中学高二月考] 设各项均为正数的等比数列{an}满足a4·a10=2a8,则log2(a1a2…a10a11)等于 (　 )
A.210 B.211
C.11 D.10
6.[2025·浙江温州中学高二调研] 在无穷数列{an}中,a1=1,an-1+2an=0(n≥2),数列{an}的前n项和为Sn,则Sn的最大值与最小值的差为 (　 )
A. B. C. D.无法确定
二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
7.关于递减等比数列{an},下列说法正确的是(　 )
A.当a1>0时,0B.当a1>0时,q<0
C.当a1<0时,q>1
D.<1
8.[2025·江苏金陵中学高二调研] 已知数列{an}的前n项和为Sn,满足a1=3,且3(n+1)an-nan+1=0(n∈N*),则下列结论中正确的是(　 )
A.{nan}为等比数列
B.为等比数列
C.an=n·3n
D.Sn=·3n+1+
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
9.在等比数列{an}中,a6=8,a14=18,则a10=　　　　.
10.[2025·江苏如东中学高二月考] 已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且=3,则=　　　　.
11.[2025·湖南长郡中学高二质检] 某校100名学生军训时进行队列训练,规则如下:从左到右按照序号1至100排列,进行1至2报数,报到2的同学向前一步;把向前走一步的50位同学从左到右按照序号1至50排列,进行1至2报数,报到2的同学向前一步;把向前走一步的25位同学从左到右按照序号1至25排列,进行1至2报数,报到2的同学向前一步;依次类推,直到剩下一位同学为止.则走到最前面的同学第一次的序号是　　　　;如果这位同学把每次的序号都记住,则这位同学的所有序号之和是　　　　.
四、解答题(本大题共3小题,共43分)
12.(13分)已知递增的等比数列{an}满足a1=3,a3是5a2与3a1的等差中项.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若bn=+n(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Sn.
13.(15分)[2025·河北保定高二调研] 已知数列{an}满足a1=2,(2n-1)an+1=(4n+2)an.
(1)证明数列为等比数列,并求{an}的通项公式;
(2)求{an}的前n项和Sn.
14.(15分)[2025·湖北黄冈中学高二质检] 设数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn=2an-n+1.
(1)证明:数列{an+1}是等比数列;
(2)若数列{bn}满足b1=a2,bn+1=求数列{bn}的前2n项的和.(共25张PPT)
滚动习题（六）
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1.在等比数列中，,，则 ( )
A.4 B. C. D.
[解析] 设等比数列的公比为，因为, ，
所以，所以，所以 .
故选B.
√
2.［2025·江苏泰州中学高二月考］已知等比数列的前项和为 ，
且,，则公比 等于( )
A.2 B.2或 C. D.或
[解析] 由，得 ，
则，解得或 .故选B.
√
3.［2025·山东济宁一中高二质检］在2与8之间插入3个数，使这5个
数成等比数列，则插入的3个数之积为( )
A.8 B.16 C.32 D.64
[解析] 设插入的3个数依次为,,,则2,,,,8成等比数列，
故 是2，8的等比中项，且，则，
又，所以 ，故选D.
√
4.［2025·湖南株洲中学高二调研］从2024年起，某人每年的5月1日
到银行存入元的定期储蓄，若年利率为 且保持不变，并约定每年
到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到2028年的5月1日
将所有存款及利息全部取出，则可取出钱（单位：元）的总数为
( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设自2025年起每年到5月1日存款本息合计为，，， ，
则 ，
，
， .故选D.
5.［2025·河北衡水中学高二月考］设各项均为正数的等比数列
满足，则 等于( )
A. B. C.11 D.10
[解析] 因为在等比数列中，，所以 .
根据等比数列的性质得
，所以，所以 .故选C.
√
6.［2025·浙江温州中学高二调研］在无穷数列中， ，
，数列的前项和为，则 的最大值与
最小值的差为( )
A. B. C. D.无法确定
√
[解析] 由得 ，因为
，所以数列 是等比数列,于是.
当为奇数时， ，可得；
当为偶数时， ，可得.
因此的最大值与最小值分别为1,,所以 的最大值与最小值的差为 .
故选C.
二、多项选择题（本大题共2小题,每小题6分,共12分）
7.关于递减等比数列 ，下列说法正确的是( )
A.当时， B.当时，
C.当时， D.
√
√
[解析] 因为是递减的等比数列，所以对任意 恒
成立，则对任意恒成立.
对于A，B，当 时，,即对任意
恒成立，可得,故A正确，B错误；
对于C，当时， ,即对任意恒
成立，可得 ,故C正确；
对于D，由A，B选项的分析可知，当时，,
此时 ,故D错误.
故选 .
8.［2025·江苏金陵中学高二调研］已知数列的前项和为 ，满
足，且 ，则下列结论中正确
的是( )
A.为等比数列 B. 为等比数列
C. D.
√
√
√
[解析] 由题意知，且，故 是首项、公比都为3
的等比数列，所以，则，故 不是等比数列，
A错误，B，C正确.
，两式相减得 ，
所以，D正确.
故选 .
三、填空题（本大题共3小题,每小题5分,共15分）
9.在等比数列中，,，则 ____．
12
[解析] 因为是等比数列，所以 ，
所以或 ，
又在等比数列中，偶数项的符号相同，所以 .
10.［2025·江苏如东中学高二月考］已知等比数列的前 项和为
，且，则 __．
[解析] 方法一：设等比数列的公比为，若 ，则
，与已知矛盾，故．
由题意得 ，则，所以，
所以 ．
方法二:因为等比数列的前项和为,所以, ,成等
比数列.
由，得，所以 ，
所以，所以，所以 .
11.［2025·湖南长郡中学高二质检］某校100名学生军训时进行队列
训练，规则如下：从左到右按照序号1至100排列，进行1至2报数，
报到2的同学向前一步；把向前走一步的50位同学从左到右按照序号
1至50排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；把向前走一步
的25位同学从左到右按照序号1至25排列，进行1至2报数，报到2的
同学向前一步；依次类推，直到剩下一位同学为止．则走到最前面
的同学第一次的序号是____；如果这位同学把每次的序号都记住，
则这位同学的所有序号之和是_____．
64
126
[解析] 依题意得，第一次报数后向前一步的原编号为, ,
， 为第二次报数时的新编号；
第二次报数后向前一步的原编号为,,， 为第三次
报数时的新编号；
第三次报数后向前一步的原编号为,,， 为第四次
报数时的新编号；
第四次报数后向前一步的原编号为, , ， 为第五次
报数时的新编号；
第五次报数后向前一步的原编号为,,， 为第六次
报数时的新编号；
显然第六次报数时向前一步的编号为2.
因此走到最前面的同学各次编号按报数由后向前排列为2,,,,, ，
所以走到最前面的同学第一次的序号是64，这位同学的所有序号之和
为 .
四、解答题（本大题共3小题,共43分）
12.（13分）已知递增的等比数列满足，是与 的
等差中项．
（1）求 的通项公式；
解：设递增的等比数列的公比为, ，
由是与的等差中项，可得 ，
因为，所以,解得或 （舍去），则
.
（2）若,求数列的前项和 .
解： ,
则 .
12.（13分）已知递增的等比数列满足，是与 的
等差中项．
13.（15分）［2025·河北保定高二调研］ 已知数列 满足
， .
（1）证明数列为等比数列，并求 的通项公式；
解：由，得 ，
又因为 ，
所以 是以2为首项，2为公比的等比数列，
则，所以 .
（2）求的前项和 .
解：由（1）可知，
，
则 ，
得 ，
即 ，
则 .
13.（15分）［2025·河北保定高二调研］ 已知数列 满足
， .
14.（15分）［2025·湖北黄冈中学高二质检］ 设数列的前 项和
为，已知 .
（1）证明：数列 是等比数列；
证明：因为 ，
所以当时，得，解得 .
由，得 ②，
得 ，
即 ，所以 ，即 ，
又，所以 是首项为1，公比为2的等比数列．
（2）若数列满足，求数列
的前 项的和．
解：由（1）知，则 ，则
.
因为所以
又因为当为偶数时， ，即
，
所以 .
快速核答案
1.B 2.B 3.D 4.D 5.C 6.C
7.AC 8.BCD
9.12 10. 11.64 126
12.（1）（2
13.（1）（2）
14.（1）略（2）

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