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模块素养测评卷(一)
1.B　[解析] 由题意可知m×=-1,则m=2.故选B.
2.B　[解析] 椭圆+=1(a>)的离心率e==,则a2=4c2,b2=a2-c2=3,所以a=2,则椭圆的长轴长2a=4.故选B.
3.C　[解析] 因为a4+5=2a6=a4+a8,所以a8=5,所以S15===15a8=75.
4.C　[解析] 设圆的标准方程为(x-a)2+y2=r2(r>0),将A(-2,0),B(0,4)坐标代入得解得故圆的方程为(x-3)2+y2=25,故选C.
5.C　[解析] 在轴截面上以顶点O为坐标原点,直线OF为x轴建立平面直角坐标系,如图,设抛物线方程为y2=2px(p>0),则F,A,由点A在抛物线上,得400=2p,又p>0,所以p=10,则反射面顶点O到防护罩外端CD的距离d=+30=35(cm).故选C.
6.D　[解析] 函数的定义域为{x|x≠1}.由y=·ex,得y'='·ex+·(ex)'=ex+·ex=ex+·ex=ex=ex,当x<0或x>时,y'>0,当07.A　[解析] 由Sn+1·Sn=an+1,得Sn+1·Sn=Sn+1-Sn,两边同除以Sn+1·Sn得-=1,即-=-1,于是数列是公差为-1的等差数列.因为a1=2,所以=-(n-1)=,则Sn=,所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=(n≥2).综上所述,an=故a100=.
8.C　[解析] 因为函数的定义域为(0,+∞),所以f'(x)=-e-x-<0恒成立,所以f(x)=e-x-ln x在定义域(0,+∞)上是减函数.当0f(x2)>f(x3),又因为f(x1)f(x2)f(x3)<0,f(t)=0,所以当f(x1),f(x2),f(x3)都为负值时,x1,x2,x3都大于t,故A,D可能成立;当f(x1)>0,f(x2)>0,f(x3)<0时,x1,x2都小于t,x3大于t,故B可能成立;由以上分析可得,t>x3不可能成立,故C不可能成立.故选C.
9.ABD　[解析] 对于A,因为两个圆相交,所以有两条公切线,故A正确;对于B,将两圆方程作差可得-2x+2y-2=0,即得直线AB的方程为x-y+1=0,故B正确;对于C,圆O1的圆心O1的坐标为(1,0),半径为2,圆心O1到直线y=2x+1的距离为<2,则直线y=2x+1与圆O1 相交,C错误;对于D,圆心O1(1,0)到直线AB:x-y+1=0的距离为=,所以圆O1上的点到直线AB的距离的最大值为2+,D正确.故选ABD.
10.BC　[解析] 对于A,由an=n2+n,得Δan=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,显然Δan有最小值4,无最大值,因此不存在M>0,使得Δan2时,Δ2an0,得数列{bn}是递增数列,则bn有最小值1,无最大值,从而对任意M>0,总存在n∈N*,使得bn>M,C正确.对于D,Δ2bn=(n+3)·2n-(n+2)·2n-1=(n+4)·2n-1,由选项C得=1+,显然数列是递减数列,0<1+≤5,因此当M≥5时,不存在n∈N*,使得>M成立,D错误.故选BC.
11.BCD　[解析] 对于A,抛物线C:y=x2,即x2=4y,所以焦点F(0,1),准线方程为y=-1,故A错误;对于B,由可得x2-4x+4=0,则Δ=(-4)2-4×4=0,所以直线y=x-1与C相切,故B正确;对于C,设点P(x,y),所以PM2=x2+(y-4)2=y2-4y+16=(y-2)2+12≥12,当且仅当y=2时取等号,所以PMmin=2,故C正确;对于D,过点P作准线的垂线,垂足为N,连接MN,因为NP=PF,MF==5,MN=6,所以△PMF的周长为MF+MP+PF=MF+MP+PN≥MF+MN=5+6=11,当且仅当M,P,N三点共线时(如图)取等号,故D正确.故选BCD.
12.y=x　[解析] 因为f(x)=x2-ln x,所以f(1)=12-ln 1=1,f'(x)=2x-,所以f'(1)=2×1-=1,即切点为(1,1),切线的斜率k=1,所以切线方程为y-1=1(x-1),即y=x.
13.　[解析] 由题可设椭圆方程为+=1(a>b>0),半焦距为c,则由椭圆的几何性质知则故该飞船在近地点时离地面的距离为a-c-r=--r=.
14.en=2n　　[解析] 因为e1+2e2+…+2n-1en=(en-2)·2n+2,所以e1+2e2+…+2n-2en-1=(en-1-2)·2n-1+2(n≥2),两式相减可得2n-1en=(en-2)·2n-(en-1-2)·2n-1 (n≥2),所以en-en-1=2(n≥2), 又因为当n=1时,e1=2(e1-2)+2,所以e1=2, 所以{en}是以2为首项,2为公差的等差数列,所以en=2+2(n-1)=2n.由题意得en=,所以an===,所以Sn=a1+a2+…+an===.
15.解:(1)设圆M的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
因为圆M过A(2,1),B(0,5),C(1,-2)三点,
所以解得
所以圆M的一般方程为x2+y2+6x-2y-15=0,
则圆M的标准方程为(x+3)2+(y-1)2=25.
(2)由(1)可知圆M的圆心为M(-3,1),半径r=5,
又l被圆M截得的弦长为6,
所以由垂径定理可得圆心M到直线l的距离d==4.
当直线l的斜率不存在时,因为l过点(1,-5),
所以l的方程为x=1,圆心M到直线l的距离d=4,故x=1满足要求.
当直线l的斜率存在时,设直线l的斜率为k,因为l过点(1,-5),
所以直线l的方程为kx-y-k-5=0,
由点到直线的距离公式可得=4,解得k=-,
所以直线l的方程为5x+12y+55=0.
综上所述,直线l的方程为x=1或5x+12y+55=0.
16.解:(1)因为A(,0),顶点A'与点A关于直线y=x对称,所以A'(0,),
因为双曲线的一个顶点A'(0,)在y轴上,
所以设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),
则a=,双曲线渐近线方程为y=±x,
因为点A(,0)到一条渐近线的距离为1,
所以=1,解得b=a=,
所以双曲线方程为-=1.
(2)由题意得,直线l的方程为y=x-,设B(x,),
则=,解得x=,
此时==2,即B(,2).
17.解:(1)证明:由已知得2bn=an+an+1①,=bnbn+1 ②.
由②可得an+1=③,
将③代入①,得对任意n≥2,n∈N*,恒有2bn=+,
则2=+(n≥2),所以{}是等差数列.
(2)设数列{}的公差为d.
由a1=10,a2=15,得b1=,b2=18,
所以=,=3,
则d=-=,
所以=+(n-1)·d=+(n-1)=(n+4),故bn=.
由已知得,当n≥2时,an==,而a1=10也满足此式,
所以数列{an},{bn}的通项公式分别为an=,bn=.
18.解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-2ax+(1-2a)=,
当a=1时,f'(x)=,显然x+1>0,x>0,
令f'(x)>0,得0.
∴f(x)的增区间是,减区间是.
(2)证明:f'(x)=,x∈(0,+∞),且0令f'(x)>0可得0令f'(x)<0可得x>,
∴f(x)在上单调递增,在上单调递减,
则f(x)的最大值为f,
故f(x)≤f=-ln(2a)-+-1=-ln(2a)+-1.
要证-ln(2a)+-1≤-a-1,
即证ln(2a)+-a≥0.
设h(x)=ln x+-x,x∈(0,1],
则h'(x)=--=≤0,
∴h(x)在(0,1]上单调递减,
则h(x)≥h(1)=0,即ln(2a)+-a≥0,∴f(x)≤-a-1.
19.解:(1)设等比数列{an}的公比为q,若q=1,则S10=10a1=0,解得a1=0,则|ai|=0,与题设矛盾,舍去.
若q≠1,则S10==0,得q=-1,
而|ai|=10|a1|=1,解得a1=或a1=-,
故an=·(-1)n-1(1≤n≤10)或an=·(-1)n(1≤n≤10).
(2)设等差数列a1,a2,a3,…,a2m(m≥1)的公差为d,
因为a1+a2+a3+…+a2m=0,所以=0,
则a1+a2m=am+am+1=0,即am=-am+1,
由am>am+1,得d<0,am>0,am+1<0,
又|ai|=1,所以a1+a2+a3+…+am=,am+1+am+2+am+3+…+a2m=-,
两式相减得m2·d=-1,即d=-,
又a1m+d=,所以a1=,
所以an=a1+(n-1)d=+(n-1)·=(1≤n≤2m,m∈N*).模块素养测评卷(一)
(时间:120分钟　分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2025·江苏通州中学高二月考] 若直线x+2y=0与直线mx-y+5=0垂直,则m= (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.2
C.-1 D.-2
2.[2025·安徽合肥一中高二月考] 已知椭圆+=1(a>)的离心率为,则其长轴长为 (　　)
A.2 B.4
C.8 D.16
3.[2025·江苏盐城中学高二月考] 已知{an}为等差数列,其前n项和为Sn,且a4+5=2a6,则S15= (　　)
A.25 B.50
C.75 D.100
4.[2025·山东临沂一中高二月考] 已知圆C过点A(-2,0),B(0,4),圆心在x轴上,则圆C的方程为 (　　)
A.(x+1)2+(y-2)2=5 B.(x-1)2+y2=9
C.(x-3)2+y2=25 D.x2+y2=16
5.[2025·江苏镇江中学高二月考] 如图①,某家用电暖气是由反射面、热馈源、防护罩及支架组成,为了更好利用热效能,反射面设计成抛物面(抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面),热馈源安装在抛物线的焦点处,圆柱形防护罩的底面直径等于抛物面口径.图②是该电暖气的轴截面,防护罩的高AD等于热馈源F到口径AB的距离,已知口径长为40 cm,防护罩的高为15 cm,则反射面顶点O到防护罩外端CD的距离为 (　　)
① ②
A.25 cm B.30 cm
C.35 cm D.40 cm
6.[2025·广东梅州中学高二月考] 已知函数y=·ex,则 (　　)
A.函数的极大值点为x=1
B.函数的极小值点为x=0
C.函数在(1,+∞)上单调递增
D.函数在上单调递减
7.[2025·江苏泰州中学高二质检] 设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,Sn+1·Sn=an+1,则a100= (　　)
A. B.
C. D.
8.[2025·湖北襄樊一中高二月考] 已知函数f(x)=e-x-ln x,0A.tx2 C.t>x3 D.t二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.[2025·江苏如东中学高二月考] 已知圆O1:x2+y2-2x-3=0和圆O2:x2+y2-2y-1=0的交点为A,B,则下列说法正确的是 (　　)
A.圆O1和圆O2有两条公切线
B.直线AB的方程为x-y+1=0
C.直线y=2x+1与圆O1 相切
D.圆O1上的点到直线AB的距离的最大值为2+
10.[2025·江苏金陵中学高二质检] 给定数列{an},定义差分运算:Δan=an+1-an,Δ2an=Δan+1-Δan,n∈N*.若数列{an}满足an=n2+n,数列{bn}的首项为1,且Δbn=(n+2)·2n-1,n∈N*,则(　 )
A.存在M>0,使得ΔanB.存在M>0,使得Δ2anC.对任意M>0,总存在n∈N*,使得bn>M
D.对任意M>0,总存在n∈N*,使得>M
11.[2025·湖南湘潭一中高二月考] 已知抛物线C:y=x2的焦点为F,P为C上一点,下列说法正确的是 (　　)
A.C的准线方程为y=-
B.直线y=x-1与C相切
C.若M(0,4),则PM的最小值为2
D.若M(3,5),则△PMF的周长的最小值为11
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.[2025·江苏淮阴中学高二月考] 已知函数f(x)=x2-ln x,点P(1,f(1))是函数f(x)图象上一点,则函数f(x)图象在点P处的切线方程为　　　　.
13.[2025·河北正定中学高二月考] 如图,“神舟十三号”载人飞船的运行轨道是以地球的中心(简称“地心”)为一个焦点的椭圆,其轨道的离心率为e.设地球半径为r,该飞船在远地点(椭圆轨道上距地球最远的点)时离地面的距离为R,则该飞船在近地点(椭圆轨道上距地球最近的点)时离地面的距离为　　　　.
14.[2025·江苏南京中华中学高二月考] 已知有一系列双曲线Cn:y2-anx2=1,其中an>0,n∈N*.记双曲线Cn的离心率为en,且满足e1+2e2+…+2n-1en=(en-2)·2n+2,n∈N*,则数列{en}的通项公式为　　　　,数列{an}的前n项和Sn=　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知A(2,1),B(0,5),C(1,-2),圆M是△ABC的外接圆.
(1)求圆M的标准方程;
(2)若直线l过点(1,-5),且被圆M截得的弦长为6,求直线l的方程.
16.(15分)[2025·江苏常州中学高二月考] 如图,已知双曲线C的两条渐近线过坐标原点,且与以点A(,0)为圆心,1为半径的圆相切,双曲线C的一个顶点A'与点A关于直线y=x对称,设直线l过点A且斜率为k.
(1)求双曲线C的方程;
(2)当k=1时,在双曲线C的上支上存在点B,使其到直线l的距离为,求点B的坐标.
17.(15分)[2025·湖北仙桃中学高二月考] 已知数列{an},{bn}的各项均为正数,对任意n∈N*,都有an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列,且a1=10,a2=15.
(1)求证:数列{}是等差数列;
(2)求数列{an},{bn}的通项公式.
18.(17分)[2025·江苏兴化中学高二调研] 已知函数f(x)=ln x-ax2+(1-2a)x(a∈R).
(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)当019.(17分)已知数列{an}的前n项和为Sn,若数列{an}满足:①数列{an}项数有限为N;②SN=0;③则称数列{an}为“N阶可控摇摆数列”.
(1)若等比数列{an}(1≤n≤10)为“10阶可控摇摆数列”,求{an}的通项公式;
(2)若等差数列{an}(1≤n≤2m,m∈N*)为“2m阶可控摇摆数列”,且am>am+1,求数列{an}的通项公式.

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