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模块素养测评卷(二)
1.C　[解析] 直线3x+y+1=0的斜率k=-=-,设其倾斜角为θ,可得tan θ=-,又0°≤θ<180°,故θ=120°.故选C.
2.A　[解析] 由题可知圆心为(a,0),因为直线是圆的对称轴,所以圆心在直线上,即2a+0-1=0,解得a=.故选A.
3.C　[解析] 因为焦距2c=2,所以c=1,又因为e==,所以a=2,则b2=a2-c2=3,所以椭圆的标准方程为+=1.故选C.
4.D　[解析] 设 {an} 的公比为 q,由S4=S2+a4+4a1,得a3=4a1=a1q2,所以q2=4,则a9=a3q6=1×43=64.故选D.
5.B　[解析] f'(x)=,令f'(x)=0,得x=,当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增,而f=2e,函数f(x)=在区间上的最小值为2e,则∈,所以a≥.故选B.
6.D　[解析] 由题意,设所求圆的圆心坐标为,半径为r,其中a>0,因为抛物线x2=2y(x>0)的准线方程为y=-,且圆与抛物线的准线及y轴都相切,所以a=+=r,解得r=a=1,所以该圆的方程为(x-1)2+=1,即x2+y2-2x-y+=0.故选D.
7.C　[解析] 方法一:∵·=0,且P为线段FQ的中点,∴⊥,OF=OQ=c,不妨设点P在渐近线y=x上,则直线FQ的方程为y=-(x-c),与另一条渐近线方程y=-x联立,得Q的坐标为,∴OQ==c,化简可得a4+a2b2=(a2-b2)2,即3a2=b2,故双曲线C的离心率e==2.
方法二:∵P为FQ中点,OP⊥FQ,∴∠POF=∠POQ,又直线OP与直线OQ分别为双曲线C的两条渐近线,∴∠POF=,∴=tan=,故双曲线C的离心率e==2.故选C.
8.B　[解析] 因为 g(x) 为偶函数,所以 g(x)=g(-x),所以g'(x)=-g'(-x),则g'(x)是奇函数,所以g'(0)=0.因为f(x)+g'(x)=5,所以f(0)+g'(0)=5,所以f(0)=5.因为f(x-1)-g'(5-x)=5,所以f(4-x)-g'(x)=5,所以f(4+x)-g'(-x)=5,f(4-x)+f(x)=10,则f(1)+f(3)=10,f(2)=5,f(4)=f(0)=5,f(x)=5-g'(x)=5+g'(-x)=f(x+4),所以f(x)是周期为4的周期函数,所以f(k)=f(1)+f(2)+…+f(15)=3×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)+f(3)=75.
9.ABD　[解析] 设等比数列{an}的公比为q,依题意有a1>0,q>0,an=a1qn-1,n∈N*,bn=log2(a1qn-1)=log2a1+(n-1)log2q,则bn+1-bn=log2q为常数,即数列{bn}是公差为log2q的等差数列,当00,a1≠1,q=1时,bn=log2a1≠0,即数列{bn}是非零常数列,它是等比数列,B中说法不正确;2b2n+1+1-(2b2n-1+1)=2(b2n+1-b2n-1)=4log2q为常数,即{2b2n-1+1}是等差数列,C中说法正确;==是不为0的常数,即数列{}是等比数列,D中说法不正确.故选ABD.
10.AD　[解析] 对于A,由导函数y=f'(x)的图象可知,当x∈(-∞,-2)时,f'(x)<0,当x∈(-2,+∞)时,f'(x)≥0,当且仅当x=1时,f'(x)=0,故函数f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增,所以-2是函数y=f(x)的极小值点,所以A正确;对于B,x=1附近两侧函数y=f(x)的单调性不变,则函数y=f(x)在x=1处不取得最小值,所以B不正确;对于C,由题图可知f'(0)>0,所以函数y=f(x)的图象在x=0处的切线斜率大于零,所以C不正确;对于D,由以上分析可知,函数y=f(x)在(-2,2)上单调递增,所以D正确.故选AD.
11.ACD　[解析] 设P点坐标为(x, y),则曲线C:·=4,易知A正确.B中,若PF1=PF2,则PF1=PF2=2,所以P(0,0),这样的P点只有1个,即为原点,B错误.C中,由·=4,得[(x-2)2+y2]·[(x+2)2+y2]=16,整理得(x2+y2)2=8(x2-y2),所以 x2+y2=≤8,则OP≤2,C正确.D中,由 (x2+y2)2=8(x2-y2) 得曲线C与坐标轴的交点为(0,0),(2,0),(-2,0),且y2=4-(x2+4),则2y·y'x=-2x,令y'x=0,得x=±或x=0(舍去),当x=时,y=±1,则曲线C在点(,1),(,-1)处的切线斜率为0;当x=-时,y=±1,则曲线C在点(-,1),(-,-1)处的切线斜率为0.所以满足条件的点有四个,D正确.故选ACD.
12.4　[解析] 由题意得,圆心C(3,5),圆C的半径r=3,则AC==5,所以AB===4.
13.498　[解析] 设每排停车位的个数构成数列 {an},则 an+1=2an+1,即 an+1+1=2(an+1),所以数列 {an+1} 是以 7+1=8 为首项,2为公比的等比数列,所以an+1=8×2n-1=2n+2,即an=2n+2-1,所以设计的停车位的总个数为23+24+25+…+28-6×1=-6=498.
14.　[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),则=x0,即x1+x2=2x0,又AB=AF+BF=x1+x2+p=2x0+p,所以p=1,则抛物线C的方程为y2=2x.由得x2+2x+4=0,无解,则直线x+y+2=0与抛物线C没有公共点.设与抛物线C相切且与直线x+y+2=0平行的直线方程为x+y+m=0,由得x2+(2m-2)x+m2=0,则(2m-2)2-4m2=0,解得m=,连接PQ,如图,当PQ与直线x+y+=0垂直,且P为该直线与C的切点时,PQ最小,则PQ的最小值为=.
15.解:(1)设{an}的公比为q,由a3=a1a2=,得a1q2=,q=,
解得a1=,q=,所以{an}的通项公式为an=a1qn-1=.
(2)因为 Sn==1-,
所以 Tn=+++…+=n-=n-1+.
16.解:(1)因为圆C:(x-1)2+y2=4,
所以圆心C(1,0),圆C的半径为2,
因为AB=,所以C到AB的距离为,
由点到直线的距离公式可得=, 解得k=±1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
由得(1+k2)x2-2x-3=0,所以Δ=4+12(1+k2)>0,
x1+x2=,x1x2=-.
假设存在点M(m,0)满足题意,
因为kAM+kBM=0,所以kAM+kBM=+=+=0,
因为k≠0,所以x1(x2-m)+x2(x1-m)=2x1x2-m(x1+x2)=0,
所以--=0,解得m=-3,
所以存在点M(-3,0)符合题意.
17.解:(1)因为当BF⊥AF时,AF=BF,
所以c+a==,化简得a=c-a,即C的离心率e==2.
(2)由a=1得c=2,b=,
所以双曲线方程为x2-=1,双曲线的渐近线方程为y=±x,
设 M(m,m),N(n,-n),m>0,n>0,
则由=2 得B,
由B在双曲线C上得-=1,
则mn=,而∠MON=120°,MO=2m,NO=2n,
所以S△MON=MO·NOsin 120°=mn=.
18.解:(1)选择①:
由题意得AB=2,CD=,则椭圆M的半焦距c=,所以C,
所以+=1,
又 a2=b2+c2,所以a2=4,b2=1,
所以椭圆M的方程为+y2=1.
选择②:如图所示,因为SC∥GT,SC=SD=R=4(R为圆S的半径),
所以∠SCD=∠GTD,∠SCD=∠GDT,
所以∠GTD=∠GDT,
所以GT=GD,则GT+GS=R=4>2=TS,
所以点G在以T,S为焦点的椭圆上且不在x轴上.
设椭圆的方程为+=1(a>b>0),
所以椭圆的半焦距c=,a=2,b2=1,
所以M的方程是+y2=1(y≠0).
(2)易知直线斜率存在,设直线与曲线M相交于E(x1,y1),F(x2,y2),
则两式相减得(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0,
因为截得的弦恰以点为中点,
所以直线的斜率k==-·=-1,
所以直线的方程为y-=-(x-1),即4x+4y-5=0.
令y=0,得x=,所以直线4x+4y-5=0不过点(2,0),(-2,0),故不论(1)中选择哪个条件作为已知,可得直线的方程为4x+4y-5=0.
19.解:(1)∵f(x)=x2+aln x,∴f'(x)=2x+,∴f'(1)=2+a,
又曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线2x+3y+1=0垂直,
∴f'(1)·=-1,即2+a=,∴a=-.
(2)f'(x)=2x+=,x>0.
①当a≥0时,f'(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增.
②当a<0时,令f'(x)=0,得x=.
当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
综上,当a≥0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a<0时,f(x)在上单调递减,在上单调递增.
(3)由f(x)≥(a+2)x对任意x∈恒成立,得a(x-ln x)≤x2-2x对任意x∈恒成立.
令g(x)=x-ln x,则g'(x)=1-=(x>0),令g'(x)=0,得x=1,
当x∈(0,1)时,g'(x)<0,当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,
∴g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
∴g(x)≥g(1)=1>0,即x-ln x>0,
则a≤对任意x∈恒成立.
令h(x)=,x∈,
则h'(x)===,
∵x∈,∴ln x≤1,则x+2-2ln x>0,令h'(x)=0,得x=1,
当x∈时,h'(x)<0,当x∈(1,e]时,h'(x)>0,
∴h(x)在上单调递减,在(1,e]上单调递增,
∴h(x)min=h(1)=-1,
∴a≤-1,即a的取值范围是(-∞,-1].模块素养测评卷(二)
(时间:120分钟　分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.直线3x+y+1=0的倾斜角为 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.30° B.60°
C.120° D.150°
2.[2025·江苏丹阳中学高二月考] 若直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴,则a=(　　)
A. B.-
C.1 D.-1
3.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为2,离心率e=,则椭圆C的标准方程为 (　　)
A.+y2=1 B.+y2=1
C.+=1 D.+=1
4.[2025·江苏宿迁中学高二月考] 记等比数列{an}的前n项和为Sn,若S4=S2+a4+4a1,a3=1,则 a9= (　　)
A.-64 B.-32
C.32 D.64
5.[2025·福建厦门一中高二质检] 若函数f(x)=在区间上的最小值为2e,则a的取值范围是 (　　)
A.C.≤a≤1 D.a≥1
6.[2025·广东潮州一中高二调研] 圆心(横坐标大于0)在抛物线x2=2y上,并且与抛物线的准线及y轴都相切的圆的方程是 (　　)
A.x2+y2-x-2y-=0
B.x2+y2+2x-2y+1=0
C.x2+y2-x-2y+1=0
D.x2+y2-2x-y+=0
7.[2025·江苏金陵中学高二月考] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,O为坐标原点,过点F的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于点P,Q.点P为线段FQ的中点,且·=0,则双曲线C的离心率为 (　　)
A. B. C.2 D.3
8.[2025·江苏苏州中学高二调研] 已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,g'(x)是g(x)的导函数,且f(x)+g'(x)=5, f(x-1)-g'(5-x)=5,若g(x)为偶函数,则 (　　)
A.80 B.75 C.70 D.65
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.[2025·山东德州一中高二质检] 已知数列{an}是各项均大于0的等比数列,若bn=log2an,则下列说法中不正确的是 (　　)
A.{bn}一定是递增等差数列
B.{bn}不可能是等比数列
C.{2b2n-1+1}是等差数列
D.{}不是等比数列
10.[2022·江苏江阴高级中学高二月考] 如图是定义域为R的函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象,则以下说法正确的为 (　　)
A.-2是函数y=f(x)的极值点
B.函数y=f(x)在x=1处取得最小值
C.函数y=f(x)的图象在x=0处的切线斜率小于零
D.函数y=f(x)在区间(-2,2)上单调递增
11.[2025·湖南株洲一中高二月考] 双扭线是卡西尼卵形线的一类分支,在数学曲线领域中占有至关重要的地位,同时也具有特殊的艺术美.双扭线的图形轮廓像 “ ∞ ”,是许多艺术家设计作品的主要几何元素.已知在平面直角坐标系中,O(0,0),F1(-2,0),F2(2,0),满足PF1·PF2=4的动点P的轨迹为曲线C,则下列结论正确的是(　　)
A.曲线C既是中心对称图形又是轴对称图形
B.曲线C上满足PF1=PF2的点P有2个
C.OP≤2
D.曲线C上除去与坐标轴的交点外存在四个不同的点,使曲线C在该点处的切线斜率为 0
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.[2025·江苏启东中学高二月考] 过点A(-1,2)作圆C:(x-3)2+(y-5)2=9的切线,切点为B,则AB的长为　　　　.
13.[2025·安徽黄山中学高二月考] 某大型商场计划设计一个停车场,根据地形,设计6排停车位,靠近商场的第1排设计7个停车位,从第2排开始,每排设计的停车位个数是上一排的2倍加1,则设计的停车位的总个数是　　　　.
14.[2025·浙江学军中学高二质检] 已知过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线与C交于A,B两点,线段AB的中点为M(x0,y0),且AB=2x0+1.若点P在抛物线C上,动点Q在直线x+y+2=0上,则PQ的最小值为　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知等比数列 {an} 满足a3=a1a2=,{an}的前n项和为Sn.
(1)求 {an} 的通项公式;
(2)记 Tn=S1+S2+…+Sn,求Tn.
16.(15分)[2025·江苏海门中学高二月考] 已知直线l:y=kx(k≠0)与圆C:x2+y2-2x-3=0相交于A,B两点.
(1)若AB=,求k.
(2)在x轴上是否存在点M,使得当k变化时,总有直线MA,MB的斜率之和为0 若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
17.(15分)[2025·湖北黄冈中学高二月考] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F,动点B在双曲线C上.当BF⊥AF时,AF=BF.
(1)求C的离心率;
(2)已知O为坐标原点,a=1,点M,N在双曲线的渐近线上,且分别位于第一、四象限,若=2, 求 △MON 的面积.
18.(17分)[2025·山东莱芜一中高二调研] 条件①:如图,在平面直角坐标系xOy中,已知长为2,宽为的矩形ABCD,点C在第一象限,AO=BO,以A,B为焦点的椭圆M:+=1(a>b>0)恰好过C,D两点.
条件②:设圆(x+)2+y2=16的圆心为S,直线l过点T(,0)且与x轴不重合,直线l交圆S于C,D两点,过点T作SC的平行线,交SD于G,点G的轨迹是曲线M.
(1)在①②两个条件中任选一个条件作为已知,求M的方程;
(2)根据(1)所得M的方程,若一直线被M截得的弦恰以点为中点,求该直线的方程.
注:若选择两个条件分别解答,按第一个解答计分.
19.(17分)已知函数f(x)=x2+aln x,a∈R.
(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线2x+3y+1=0垂直,求a的值;
(2)讨论f(x)的单调性;
(3)当x∈时,f(x)≥(a+2)x恒成立,求a的取值范围.

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