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(共53张PPT)
5.1 导数的概念
5.1.2 瞬时变化率——导数
第2课时 导数
探究点一 导数定义的理解
探究点二 用导数定义求函数导数
探究点三 求切线的方程
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.理解函数的瞬时变化率——导数的定义.
2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.
知识点一 导数
1.导数
设函数在区间上有定义，，若 _________
____时，比值无限趋近于一个_______，则称
在处______，并称该常数为函数在 处的导数，记
作_______.
无限趋近于0
常数
可导
2.导数的几何意义
导数的几何意义就是曲线 在点____________处的切线
的______.
提醒：（1）函数应在 及其附近有意义，否则导数不
存在.
（2）若极限不存在，则称函数在
处不可导.
斜率
知识点二 导函数
若对于区间内任一点都可导，则 在各点处的导数也随
着自变量的变化而变化，因而也是自变量 的函数，该函数称为
的导函数（简称导数） 的导函数记作__________，即
_ _______________.
提醒：是函数的导函数，是对某一区间内任意 而言的，即
如果函数在开区间 内的每点处都有导数，此时对于每一个
，都对应着一个确定的导数 ，从而构成了一个新的函
数——导函数 .
或
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数在处的导数 是一个常数.( )
√
（2）函数在处的导数值就是曲线在 处的
切线的斜率.( )
√
（3）直线与曲线相切，则直线与曲线只有一个公共点.( )
×
（4）函数 没有导函数.( )
×
2.函数在处的导数与导函数 之间有什么区别与
联系？
解：区别：是函数在 处函数值的改变量与自变量的
改变量之比的极限，是一个常数，不是变量.
联系：函数在处的导数就是导函数在 处
的函数值.这也是求函数在 处的导数的方法之一.
探究点一 导数定义的理解
例1 ［2025·江苏南京一中高二月考］若函数 可导，则
等于( )
A. B. C. D.
[解析] ．故选C.
√
变式 （多选题）若函数在 处存在导数，则
的值( )
A.与有关 B.与有关 C.与无关 D.与 无关
√
√
[解析] 由导数的定义可知，函数在处的导数与有关，
与 无关，故选 .
［素养小结］
1.在理解导数的概念时，应注意自变量的改变量可正，可负，但
不可为0.
2..
探究点二 用导数定义求函数导数
例2 利用导数的定义，求在处的导数 .
解：由题意知
，所以 ，
则
.
变式 求函数 的导函数．
解： ，
，
， 函数的导函数为 .
［素养小结］
用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤：
（1）求函数值的改变量；
（2）求平均变化率；
（3）求极限.
探究点三 求切线的方程
例3 已知曲线方程为 .
（1）求该曲线在点 处的切线方程；
解：设 ,则
，
，故所求切线的斜率为4,
则所求切线的方程为,即 .
（2）求过点 且与该曲线相切的直线方程.
解：点不在曲线上,可设切点坐标为 ,由（1）知
, 切线的斜率为 ,则切线的方程为
.
又 点在切线上,,解得或 ，
切点坐标为, .
故所求切线方程为或 ,
即或 .
例3 已知曲线方程为 .
变式 已知函数，过点作曲线 的切线，则其
切线方程为_____________________．
或
[解析] 设切点为 ，得切线的斜率
，则切线方程为
，即.
因为切线过点 ，所以，解得或，
从而切线方程为 或 .
［素养小结］
1.求曲线在点处的切线方程的一般步骤：
2.求曲线过点 的切线方程，可分以下几步完成：
第一步：设出切点的坐标 ；
第二步：写出曲线在点 处的切线方程,为
；
第三步：将代入切线方程，求出 的值；
第四步：将的值代入可得过点
的切线方程.
极限的含义
“极限”是微积分的基础概念,广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能
到达”.数学中的“极限”是指:某一个函数中的某一个变量,此变量在变
大（或者变小）且永远变化的过程中,逐渐向某一个确定的数值 不
断地逼近而“永远不能够重合到 ”,此变量的变化,被人为规定为“永远
靠近而不停止”,其有一个“不断靠近 的趋势”.极限是一种“变化状态”
的描述.此变量永远趋近的值 叫作“极限值”（当然也可以用其他符
号表示）.
1.对于导数的概念的理解
（1）函数在处的导数即为函数在 处
的瞬时变化率.
（2）当时,若比值的极限存在,则在 处可导;若比
值的极限不存在,则在 处不可导或无导数.
（3）自变量的增量可正，可负,但不为0,函数值的增量 可正，
可负,也可以为0.
（4）的意义:| 可以小于给定的任意小的正数,但始终有
.
（5）函数应在 及其附近有意义,否则导数不存在.若极
限不存在,则称函数在 处不可导.
（6）函数在一点处的导数,就是该点附近的函数值的改变量与自变量
的改变量的比值的极限,它是一个数值.
2.曲线的升降、切线的斜率与导数符号的关系
导数符号 切线的倾斜角
上升 锐角
下降 钝角
不变（平坦）
说明:切线斜率的绝对值的大小反映了曲线在相应点附近上升或下降
的快慢.
1.导数是函数的瞬时变化率,它是从众多实际问题中抽象出来的具有
相同数学表达式的一个重要概念,可以从它的几何意义和物理意义来
认识这一概念的实质.
导数是函数的局部性质.函数在某一点的导数描述了这个函数在这一
点附近的变化率.函数在某一点的导数就是该函数的图象在这一点处
的切线斜率.导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼
近.例如在运动学中,物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度.
2.函数在处的导数的几何意义是曲线 在点
处的切线的斜率,也就是说,曲线 在点
处的切线的斜率是 .相应地,切线方程为
.
3.切点问题的处理方法
（1）借助斜率求切点的横坐标:由条件得到切线的倾斜角或斜率,由
这些信息求出切点的横坐标.
（2）与几何知识相联系:解决这些问题要注意和解析几何的知识联系起
来,如直线的倾斜角和斜率的关系,两直线平行或垂直与斜率的关系等.
4.导数与导函数的区别与联系
（1）导数与导函数概念不同,导数是函数在一点 处的
瞬时变化率，,导函数是在某一区间
内的函数，对任意, ,导函数是以
内任一点为自变量,以 处的导数值为函数值的函数关系.导函
数反映的是一般规律,而 等于某一数值时的导数是此规律中的特殊
性.在不发生混淆时,导函数也简称为导数.
（2）函数在处的导数等于函数的导函数
在处的函数值,这也是求函数在 处的导数的方法之一.
练习册
1.在 处的导数为( )
A. B.2 C. D.1
[解析]
.
故选B.
√
2.已知，且，则 的值为( )
A. B.2 C. D.
[解析] 因为 ，
所以，所以，
解得 .故选D.
√
3.的图象在点处的切线的倾斜角 等于( )
A. B. C. D.
[解析]
，所以 .
又切线的倾斜角 的取值范围为 ，
所以所求倾斜角为 .故选C.
√
4.［2025·山东济宁一中高二月考］已知函数
的图象如图所示，则下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由导数的几何意义判断斜率的大小，
可知 ,故选C.
√
5.已知曲线与在 处的切线的斜率
之积为3，则 的值为( )
A. B.1 C. D.2
[解析] 由题意知， ，
，所以两曲线在 处的切线的斜
率分别为，.
由题意可知， ，所以 .故选B.
√
6.（多选题）以下结论中错误的是( )
A.若直线与曲线有且只有一个公共点，则直线 一定是曲
线 的切线
B.若直线与曲线相切于点，且直线 与曲线
除点外再没有其他的公共点，则在点处，直线 不可能
穿过曲线
C.若不存在，则曲线在点 处就没有切线
D.若曲线在点处有切线，则 可能不存在
√
√
√
[解析] 对于A，直线与曲线 有且只有一个公共点，但直
线 不是该曲线的切线，所以A中结论错误.
对于B，取直线,曲线,则直线与曲线相切于点，
直线 与曲线除点外没有其他公共点，但直线在点处穿过
曲线 ，B中结论错误.
对于C，取,,则 不存在，但曲线在点
处有切线，该切线的方程为 ,C中结论错误.
对于D，由C的分析可知，曲线在点 处有切线,但该切线的
斜率不存在，即不存在，D中结论正确.
故选 .
7.的图象在点 处的切线方程为______________．
[解析] 因为，所以当 时，
，所以，即切线的斜率 ，所以切线方
程为，即 ．
8.［2025·湖南湘潭一中高二质检］设 为可导函数，且满足条件
，则曲线在点 处切线的斜率是
____.
[解析] 由及导数的定义，可得 ，
所以，即曲线在点处的切线的斜率为 .
9.（13分）一条水管中流过的水量（单位：）与时间（单位： ）
之间的函数关系为，求函数在处的导数 ，
并解释它的实际意义．
解：因为 ，
所以 .
的实际意义：水流在时的瞬时流速为 .
10.（13分）函数 的图象在哪一点处的切线满足下列条件？
解：设 是满足条件的点，
则函数的图象在点 处切线的斜率
.
（1）平行于直线 ；
切线与直线 平行，
，则 ，
，即 是满足条件的点．
（2）垂直于直线 ；
解： 切线与直线垂直， ，
得， ，
即 是满足条件的点．
（3）倾斜角为 .
解： 因为切线的倾斜角为 ，所以其斜率为 ，
则，得，，即 是满足条件的点．
11.［2025·江苏金陵中学高二质检］设函数在点 处附近有定义，
且,, 为常数，则( )
A. B. C. D.
[解析] 因为,, 为常数，
所以 ，故选C.
√
12.（多选题）［2025·河南郑州一中高二月考］ 设在 处可导，
则下列式子中与 相等的是( )
A.
B.
C.
D.
√
√
[解析] 对于A，
，A满足题意；
对于B, ，
B不满足题意；
对于C， ，C满足题意；
对于D，
，D不满足题意.
故选 .
13.［2025·江苏宿迁中学高二月考］已知函数
则 ____.
[解析] 设，当 时，
，
，
.
当时， ，则
.
14.［2025·江苏盐城中学高二月考］若当 时，
，则下列结论正确的是______（填序号）.
① ；
② ；
③曲线在点处的切线斜率为 ；
④曲线在点处的切线斜率为 .
①④
[解析] 由时，，得 时，
，即，则曲线在点 处
的切线斜率为 ，③错误，④正确
，当时，上式 ，
①正确，②错误.
故填①④.
15.点在曲线上，其中，且曲线在点 处的切
线与曲线相切，则点 的坐标为_ _________________．
或
[解析] 设，则 ，
，所以曲线在点 处的
切线方程为，即 ，
而此直线与曲线相切， 所以切线与曲线 只
有一个公共点.
由
得，则 ，解得
，则，所以点的坐标为或 .
16.（15分）已知曲线与直线 相切.
（1）求 的值；
解：设切点为 ，则当 时，
，
．
又点在曲线与直线上，
由①②③得 ．
（2）已知点及点，从点观察点 ，若观察的视线不
被曲线挡住，求实数 的取值范围．
解：在曲线上取一点 ，
由（1）知，当时， ．
当以为切点的切线过点时，可得，解得
（增根舍去），
此时，，直线的方程为 ．
若观察的视线不被曲线挡住，则点在直线 的右下方，
，即实数的取值范围是 ．
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.无限趋近于0 常数 可导 2. 斜率
知识点二 或
【诊断分析】 1.（1）√ （2）√ （3）× （4）× 2.略
课中探究 例1 C 变式 AD
例2 变式
例3 （1）
（2）或
变式 或
快速核答案（练习册）
1.B 2.D 3.C 4.C 5.B 6.ABC 7. 8.
9. ,的实际意义：水流在时的瞬时流速为.
10. （1）（2）（3）
11.C 12.AC 13. 14.①④
15.或
16.（1）（2）>第2课时　导数
【课前预习】
知识点一
1.无限趋近于0　常数A　可导　f'(x0)
2.P(x0,f(x0))　斜率
知识点二
f'(x)或y'　
诊断分析
1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2.解:区别:f'(x0)是函数f(x)在x=x0处函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限,是一个常数,不是变量.
联系:函数f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是导函数f'(x)在x=x0处的函数值.这也是求函数f(x)在x=x0处的导数的方法之一.
【课中探究】
探究点一
例1　C　[解析] =-=-f'(1).故选C.
变式　AD　[解析] 由导数的定义可知,函数f(x)在x=x0处的导数与x0有关,与h无关,故选AD.
探究点二
例2　解:由题意知Δy=f(1+Δx)-f(1)=-=-,所以=,
则f'(1)===
=.
变式　解:∵Δy=(x+Δx)--=Δx+,
∴=1+,
∴=1+,∴函数f(x)的导函数为f'(x)=1+.
探究点三
例3　解:(1)设f(x)=x2,则f'(x)== =(2x+Δx)=2x,
∴f'(2)=4,故所求切线的斜率为4,
则所求切线的方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.
(2)点B(3,5)不在曲线y=x2上,可设切点坐标为(x0,),由(1)知f'(x)=2x,∴切线的斜率为2x0,则切线的方程为y-=2x0(x-x0).
又∵点B(3,5)在切线上,∴5-=2x0(3-x0),解得x0=1或x0=5,
∴切点坐标为(1,1),(5,25).
故所求切线方程为y-1=2(x-1)或y-25=10(x-5),
即2x-y-1=0或10x-y-25=0.
变式　y=0或3x-y-2=0　[解析] 设切点为Q(x0,),得切线的斜率k=f'(x0)= =3,则切线方程为y-=3(x-x0),即y=3x-2.因为切线过点P,所以2-2=0,解得x0=0或x0=1,从而切线方程为y=0或3x-y-2=0.第2课时　导数
1.B　[解析] f'(1)==
=(2+Δx)=2.故选B.
2.D　[解析] 因为==,所以f'(m)==-,所以-=-,解得m=±2.故选D.
3.C　[解析] f'(x)==
9=-9=-,所以f'(3)=-1.又切线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°,所以所求倾斜角为135°.故选C.
4.C　[解析] 由导数的几何意义判断斜率的大小,可知f'(3)<5.B　[解析] 由题意知,y'1==,y'2==3x2-2x+2,所以两曲线在x=x0处的切线的斜率分别为,3-2x0+2.由题意可知,=3,所以x0=1.故选B.
6.ABC　[解析] 对于A,直线x=1与曲线y=x2有且只有一个公共点,但直线x=1不是该曲线的切线,所以A中结论错误.对于B,取直线l:y=0,曲线C:y=x3,则直线l与曲线C相切于点(0,0),直线l与曲线C除点(0,0)外没有其他公共点,但直线l在点(0,0)处穿过曲线C,B中结论错误.对于C,取f(x)=,x0=0,则f'(x0)不存在,但曲线y=在点(0,0)处有切线,该切线的方程为x=0,C中结论错误.对于D,由C的分析可知,曲线y=在点(0,0)处有切线,但该切线的斜率不存在,即f'(0)不存在,D中结论正确.故选ABC.
7.2x-y-4=0　[解析] 因为==,所以当Δx→0时,→2,所以f'(1)=2,即切线的斜率k=2,所以切线方程为y+2=2(x-1),即2x-y-4=0.
8.-4　[解析] 由=-2及导数的定义,可得f'(1)=-2,所以f'(1)=-4,即曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为-4.
9.解:因为===3,
所以f'(2)==3.
f'(2)的实际意义:水流在t=2 s时的瞬时流速为3 m3/s.
10.解:设P(x0,y0)是满足条件的点,
则函数f(x)=x2的图象在点P(x0,y0)处切线的斜率k=f'(x0)=
=(2x0+Δx)=2x0.
(1)∵切线与直线y=4x-5平行,
∴2x0=4,则x0=2,
y0=4,即P(2,4)是满足条件的点.
(2)∵切线与直线2x-6y+5=0垂直,∴2x0×=-1,
得x0=-,y0=,
即P是满足条件的点.
(3)因为切线的倾斜角为135°,所以其斜率为-1,
则2x0=-1,得x0=-,y0=,即P是满足条件的点.
11.C　[解析] 因为f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2,a,b为常数,所以f'(x0)==(a+bΔx)=a,故选C.
12.AC　[解析] 对于A,
=
=
f'(x0),A满足题意;对于B,
=
2=
2f'(x0),B不满足题意;对于C,
=f'(x0),C满足题意;对于D,
=
3=
3f'(x0),D不满足题意.故选AC.
13.-　[解析] 设y=f(x),当x=4时,Δy=-+=-= =
,
∴=,
∴f'(4)==
=
=.当x=-1 时,==
=Δx-2,则f'(-1)=(Δx-2)=-2.∴ f'(4)·f'(-1)=×(-2)=-.
14.①④　[解析] 由Δx→0时,→-1,得Δx→0时,→-2,即f'(1)=-2,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为-2,③错误,④正确.=
2×,当Δx→0时,上式→-4,①正确,②错误.故填①④.
15.或
[解析] 设P(x0,y0),则y0=+1,f'(x0)==2x0,所以曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y-y0=2x0(x-x0),即y=2x0x+1-,而此直线与曲线y=-2x2-1相切,所以切线与曲线y=-2x2-1只有一个公共点.由
得2x2+2x0x+2-=0,则Δ=4-8(2-)=0,解得x0=±,则y0=,所以点P的坐标为或.
16.解:(1)设切点为Q(x0,y0),
则当x=x0时,
y'==(2ax0+aΔx)=2ax0,
∴2ax0=1①.
又点Q(x0,y0)在曲线C与直线y=x上,∴
由①②③得a=.
(2)在曲线C:y=x2+1上取一点D(x1>0),
由(1)知y'=x,当x=x1时,y'=x1.
当以D为切点的切线过点A时,可得=x1,解得x1=2(增根舍去),
此时D(2,3),kAD=,直线AD的方程为y=x-1.
若观察的视线不被曲线C挡住,则点B在直线AD的右下方,
∴b<5-1,即实数b的取值范围是(-∞,5-1).第2课时　导数
【学习目标】
　　1.理解函数的瞬时变化率——导数的定义.
　　2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.
◆ 知识点一　导数
1.导数
设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义,x0∈(a,b),若Δx　　　　　　时,比值=无限趋近于一个　　　　,则称f(x)在x=x0处　　　　,并称该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数,记作　　　　.
2.导数的几何意义
导数f'(x0)的几何意义就是曲线y=f(x)在点　　　　　　处的切线的　　　　.
提醒:(1)函数y=f(x)应在x=x0及其附近有意义,否则导数不存在.
(2)若极限不存在,则称函数y=f(x)在x=x0处不可导.
◆ 知识点二　导函数
若f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导,则f(x)在各点处的导数也随着自变量x的变化而变化,因而也是自变量x的函数,该函数称为f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数记作　　　　　　,即f'(x)=y'=　　　　　　　　.
提醒:f'(x)是函数f(x)的导函数,是对某一区间内任意x而言的,即如果函数f(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数,此时对于每一个x∈(a,b),都对应着一个确定的导数f'(x),从而构成了一个新的函数——导函数f'(x).
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数f(x)在x=x0处的导数f'(x0)是一个常数. (　 )
(2)函数f(x)在x=x0处的导数值就是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率. (　 )
(3)直线与曲线相切,则直线与曲线只有一个公共点. (　 )
(4)函数f(x)=0没有导函数. (　 )
2.函数f(x)在x=x0处的导数f'(x0)与导函数f'(x)之间有什么区别与联系
◆ 探究点一　导数定义的理解
例1 [2025·江苏南京一中高二月考] 若函数f(x)可导,则等于 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.-2f'(1) B.f'(1)
C.-f'(1) D.f'
变式 (多选题)若函数f(x)在x=x0处存在导数,则的值 (　 )
A.与x0有关 B.与h有关
C.与x0无关 D.与h无关
[素养小结]
1.在理解导数的概念时,应注意自变量的改变量Δx可正,可负,但不可为0.
2.f'(x0)==(a≠0).
◆ 探究点二　用导数定义求函数导数
例2 利用导数的定义,求f(x)=在x=1处的导数f'(1).
变式 求函数f(x)=x-的导函数.
[素养小结]
用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤:
(1)求函数值的改变量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
(2)求平均变化率=;
(3)求极限.
◆ 探究点三　求切线的方程
例3 已知曲线方程为y=x2.
(1)求该曲线在点A(2,4)处的切线方程;
(2)求过点B(3,5)且与该曲线相切的直线方程.
变式 已知函数f(x)=x3,过点P作曲线y=f(x)的切线,则其切线方程为　　　　　　.
[素养小结]
1.求曲线在点P(x0,y0)处的切线方程的一般步骤:
2.求曲线过点P(x0,y0)的切线方程,可分以下几步完成:
第一步:设出切点P'的坐标(x1,f(x1));
第二步:写出曲线在点P'(x1,f(x1))处的切线方程,为y-f(x1)=f'(x1)(x-x1);
第三步:将(x0,y0)代入切线方程,求出x1的值;
第四步:将x1的值代入y-f(x1)=f'(x1)(x-x1)可得过点P(x0,y0)的切线方程.第2课时　导数
1.f(x)=x2在x=1处的导数为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.2x B.2
C.2+Δx D.1
2.已知f(x)=,且f'(m)=-,则m的值为 (　 )
A.-4 B.2
C.-2 D.±2
3.f(x)=的图象在点(3,3)处的切线的倾斜角α等于 (　 )
A.45° B.60°
C.135° D.120°
4.[2025·山东济宁一中高二月考] 已知函数f(x)的图象如图所示,则下列选项正确的是 (　 )
A.f'(2)B.f'(3)>f(3)-f(2)
C.f'(2)>f(3)-f(2)
D.f'(2)>0
5.已知曲线y1=2-与y2=x3-x2+2x在x=x0处的切线的斜率之积为3,则x0的值为 (　 )
A.-2 B.1 C. D.2
6.(多选题)以下结论中错误的是 (　 )
A.若直线l与曲线C:y=f(x)有且只有一个公共点,则直线l一定是曲线y=f(x)的切线
B.若直线l与曲线C:y=f(x)相切于点P(x0,y0),且直线l与曲线C:y=f(x)除点P外再没有其他的公共点,则在点P处,直线l不可能穿过曲线y=f(x)
C.若f'(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处就没有切线
D.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则f'(x0)可能不存在
7.f(x)=-的图象在点M(1,-2)处的切线方程为　　　　　　.
8.[2025·湖南湘潭一中高二质检] 设f(x)为可导函数,且满足条件=-2,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率是　　　　.
9.(13分)一条水管中流过的水量y(单位:m3)与时间t(单位:s)之间的函数关系为y=f(t)=3t,求函数f(t)在t=2处的导数f'(2),并解释它的实际意义.
10.(13分)函数f(x)=x2的图象在哪一点处的切线满足下列条件
(1)平行于直线y=4x-5;
(2)垂直于直线2x-6y+5=0;
(3)倾斜角为135°.
11.[2025·江苏金陵中学高二质检] 设函数f(x)在点x0处附近有定义,且f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2,a,b为常数,则 (　 )
A.f'(x)=a B.f'(x)=b
C.f'(x0)=a D.f'(x0)=b
12.(多选题)[2025·河南郑州一中高二月考] 设f(x)在x0处可导,则下列式子中与f'(x0)相等的是 (　 )
A.
B.
C.
D.
13.[2025·江苏宿迁中学高二月考] 已知函数f(x)=则f'(4)·f'(-1)=　　　　.
14.[2025·江苏盐城中学高二月考] 若当Δx→0时,→-1,则下列结论正确的是
　　　　(填序号).
①→-4;
②→-2;
③曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为-1;
④曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为-2.
15.点P在曲线y=f(x)上,其中f(x)=x2+1,且曲线在点P处的切线与曲线y=-2x2-1相切,则点P的坐标为　　　　　　　.
16.(15分)已知曲线C:y=ax2+1与直线y=x相切.
(1)求a的值;
(2)已知点A(0,-1)及点B(5,b),从点A观察点B,若观察的视线不被曲线C挡住,求实数b的取值范围.

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