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(共53张PPT)
5.2 导数的运算
5.2.2 函数的和、差、积、商的导数
探究点一 利用导数的加减运算法则求导数
探究点二 利用导数的乘除运算法则求导数
探究点三 导数公式及导数的运算法则的应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
掌握导数的四则运算法则,能灵活运用基本初等函数的导数公式
和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
知识点 导数的运算法则
已知, 为可导函数.
（1） _____________.
（2）_____________________,特别地,
________为常数 .
（3）________________ .
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）已知,则 .( )
√
（2）已知,则 ( )
×
（3）已知,则 .( )
×
（4）若函数的导函数为,则 .( )
×
2.你能用导数的定义推导出导数运算的加法法则与减法法则吗？
解：设 ,
则, ,
,即
.同理可证,
.
探究点一 利用导数的加减运算法则求导数
例1 求下列函数的导函数.
（1） ；
解：由，得 .
（2） ；
解：由，得 .
（3）, ；
解：由, ，得, .
（4） .
解：由，得 .
例1 求下列函数的导函数.
［素养小结］
两个函数和（或差）的导数,等于这两个函数的导数的和（或差）.
探究点二 利用导数的乘除运算法则求导数
例2 求下列函数的导数.
（1） ;
解：方法一: .
方法二: ,
.
（2） ;
解： .
（3） .
解： .
例2 求下列函数的导数.
变式 求下列函数的导数.
（1） ;
（2） ;
解： .
解：方法一: .
方法二:因为 ,所以

.
（3） ;
解：因为 ,
所以 .
（4） .
解： .
变式 求下列函数的导数.
［素养小结］
一般情况下,应用导数的运算法则和基本初等函数的导数公式求导数
时,要尽量少用积、商的求导法则.在求导之前,可先对函数解析式进行
化简,再求导,这样可减少运算量,提高运算速度,避免出错.
探究点三 导数公式及导数的运算法则的应用
例3（1）（多选题）［2025·江苏南通中学高二月考］ 已知直线
是函数图象的一条切线，则实数 的值可以为
( )
A.0 B.1 C. D.
[解析] 设是函数 图象上的一点，由题意知
,则，所以 的图象在点
处的切线方程为 .
√
√
√
过原点，则在方程①中令 ，得
，则 ,即
，所以或,.
.当,时，，.
综上所述，的可能取值为0,.故选 .
（2）［2025·山东莱芜一中高二质检］若函数， 满足
，且，则 ___.
3
[解析] 因为函数，满足 ，
且，所以，则 .
对 两边同时求导，
可得，所以 ，
因此 .
变式1 已知函数的导函数为 ，且满足
，则 ( )
A.0 B. C. D.
[解析] 由，得，
令 ，得，解得，
所以 ，则 .故选D.
√
变式2 曲线在点 处的切线为
，在点处的切线为，则曲线 的
方程为_ _____________________．
[解析] 由已知得点与点均在曲线上， ①,
.
令 ，则，
， ，
由题意得③,.
由①②③④解得, , ,．
故曲线的方程为 ．
［素养小结］
利用导数运算法则的策略
（1）分析待求函数解析式,确定求导法则,基本公式.
（2）如果待求解析式比较复杂,那么需要对解析式先变形再求导,常
用的变形有乘积式展开变为和式,商式变乘积式,三角函数恒等变换等.
1.导数的加法与减法运算法则
（1）两个函数和（或差）的导数等于两个函数的导数的和（或差）,
可推广到多个函数的和（或差）,即
.
（2）两个函数和（或差）的导数还可推广为
（, 为常数）.
2.导数运算乘法法则的推导
.
1.一般情况下,应用和、差、积、商的求导法则和基本初等函数的导
数公式求导数时,积、商的求导法则运算量较大,要尽量少用积、商的
求导法则,应先对函数式进行化简,然后求导,这样可减少运算量.
例1 求下列函数的导数:
（1） ;
解：因为 ,
所以 .
（2） .
解：方法一: .
方法二:因为 ,
所以 .
例1 求下列函数的导数:
2.高考注重考查导数的几何意义,往往通过求切线方程来考查导数的
运算.
例2（1）［2024·黑龙江牡丹江一中高二期末］已知函数
,则的图象在点 处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] ,
,,
又,的图象在点 处的切线方程为,
即 .故选D.
√
（2）［2024·江苏连云港高二期末］已知曲线 存在过坐标原
点的切线,则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] ,,设切点坐标为,则 ,切
线的斜率, 切线方程为 ,
又切线过坐标原点,,整理得
存在过坐标原点的切线,,解得或,
实数的取值范围是 .故选B.
练习册
1.［2025·北京朝阳区高二期末］函数 的导数等于( )
A. B.
C. D.
[解析] , ．故选D.
√
2.已知函数，则 ( )
A.1 B.0 C. D.2
[解析] 由，得 ，
所以 .故选A.
√
3.［2025·江苏常州中学高二月考］曲线 在点
处的切线斜率为8，则实数 的值为( )
A. B.6 C.12 D.
[解析] 由，得 ，
则曲线在点处的切线斜率为 ，
可得 .故选A.
√
4.下列4个图象中，有一个是函数
，且 的导函数的图象，则
( )
A. B.
C. D.或
√
[解析] 由题意知 ，则导函数的图象开
口向上．又， 不是偶函数，其图象不关于 轴对称，
其图象必为③.
由图知，且的图象的对称轴 ，
，则, ．
故选B.
5.［2025·江苏宿迁中学高二月考］已知函数
，则 ( )
A.2 B.1 C.0 D.
[解析] 因为 ，
所以，所以，
则 ，所以，
所以 .故选D.
√
6.（多选题）［2025·湖南湘潭一中高二月考］ 下列函数的图象在
处有切线的是( )
A. B.
C. D.
[解析] ，，则的图象在 处有切
线，A满足题意.
，，则 的图象在处有切线，
B满足题意.
在 处无意义，则其图象在处没有切线，
C不满足题意.
, ,则的图象在处有切线,D满足题意.
故选 .
√
√
√
7.［2025·江苏无锡一中高二质检］函数 的图象在点
处的切线的斜率为2，则点 的坐标为______.
[解析] 由可得，由题意得 ，
解得，所以点的坐标为 .
8.日常生活中的饮用水通常都是经过净化的，随着水纯净度的提高，
所需净化费用不断增加．已知1吨水净化到纯净度为 时所需费用
（单位：元）为 ．那么1吨水净化到纯
净度为 时所需净化费用的瞬时变化率是____元．
40
[解析] 净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数，
因为，所以 ，
所以，所以1吨水净化到纯净度为 时所需净
化费用的瞬时变化率是40元.
9.（13分）求下列函数的导数:
（1） ;
解: .
（2） ;
解: .
（3） .
解: .
10.（13分）记，分别为函数， 的导函数，把同时
满足，的叫作与的“ 点”.
（1）若，，求与的“ 点”；
解：, ，
设为函数与的一个“ 点”，
由且得解得，
所以函数与的“ 点”是2.
（2）若与存在“点”，求实数 的值.
解：, ，
设为函数与的一个“ 点”，
由且得
由②得，代入①得，所以 ，
所以 .
11.［2025·江苏盐城中学高二调研］已知函数 ，则“
”是“曲线存在垂直于直线 的切线”的
( )
A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
√
[解析] 由题意得切线的斜率为2，所以令 ,则
,所以，
因为,
所以“ ” 是“曲线存在垂直于直线 的切线”的
必要且不充分条件.
故选B.
12.（多选题）［2025·安徽安庆一中高二调研］ 已知双曲函数是一
类与三角函数性质类似的函数．双曲余弦函数为 ，双曲
正弦函数为 ．则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D. 是奇函数
√
√
[解析] 对于A， ，所以A正确；
对于B，因为
，所以B错误；
对于C，因为 ，
，所以 ，所以C正确；
对于D,因为,所以是偶函数,所以D错误.
故选 .
13.［2025·山东师大附中高二月考］若曲线过点
的切线有且仅有两条，则实数 的取值范围是____________________.
[解析] ，设切点为 ，则切线的斜率
，故切线方程为 ，将
代入，得，
因为 ，所以 有两个不等实根，
故,解得或 ，
即的取值范围为 .
14.［2025·福建厦门一中高二调研］在等比数列中， ，
，函数 ，若
的导函数为，则 _____.
256
[解析] 设 ，则
，所以，所以 .
15.我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型,比如:当
时,即为 型.两个无穷小之比的极限可能存在,也可能不存在.早在
1696年洛必达在他的著作中创造了在一定条件下通过对分子、分母
分别求导再求极限来确定 型极限值的方法（洛必达法则）,用以寻找
满足一定条件的两函数之商的极限.如:
.据此可知, ___.
2
[解析] 由题可得 .
16.（15分）已知函数，将满足 的
所有正数按照从小到大的顺序排成数列，证明：数列 为
等比数列．
证明: ，
因为，所以 ，
又为正数，所以 ， 为正整数，
从而 ,,2,3, ,
所以 ，
，
则 ,
所以数列是首项，公比 的等比数列．
快速核答案（导学案）
课前预习（1） （2）
（3）
【诊断分析】 1.（1）√ （2）× （3）× （4）× 2.略
课中探究 例1 （1） （2）
（3）, （4）
例2 （1）（2）
（3）
变式 （1）（2）
（3） （4）
例3 （1）ABD （2）3 变式1 D 变式2
快速核答案（练习册）
1.D 2.A 3.A 4.B 5.D 6.ABD 7. 8.40
9.（1） （2）
（3）
10.（1）2（2）
11.B 12.AC 13. 14.256 15.2
16.略5.2.2　函数的和、差、积、商的导数
【课前预习】
知识点
(1)f'(x)±g'(x)
(2)f'(x)g(x)+f(x)g'(x)　Cf'(x)
(3)
诊断分析
1.(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2.解:设y=f(x)+g(x),
则Δy=f(x+Δx)+g(x+Δx)-[f(x)+g(x)]=[f(x+Δx)-f(x)]+[g(x+Δx)-g(x)],∴=+,
∴=+,即y'=[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x).同理可证,[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x).
【课中探究】
探究点一
例1　解:(1)由f(x)=-2x3+4x2,得f'(x)=-6x2+8x.
(2)由f(x)=x3-x2+ax+1,得f'(x)=x2-2x+a.
(3)由f(x)=x+cos x,x∈(0,1) ,得f'(x)=1-sin x,x∈(0,1).
(4)由f(x)=-x2+3x-ln x,得f'(x)=-2x+3-.
探究点二
例2　解:(1)方法一:y'=(2x2+3)'(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)'=4x(3x-2)+(2x2+3)×3=18x2-8x+9.
方法二:∵y=(2x2+3)(3x-2)=6x3-4x2+9x-6,∴y'=18x2-8x+9.
(2)y'=(2xcos x-3xln x)'=(2x)'cos x+2x(cos x)'-3[x'ln x+x(ln x)']=2xln 2×cos x-2xsin x-3=2xln 2×cos x-2xsin x-3ln x-3.
(3)y'==
=.
变式　解:(1)方法一:y'=(2x2-1)'(3x+1)+(2x2-1)(3x+1)'=4x(3x+1)+3(2x2-1)=12x2+4x+6x2-3=18x2+4x-3.
方法二:因为y=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1,所以y'=(6x3+2x2-3x-1)'=(6x3)'+(2x2)'-(3x)'-(1)'=18x2+4x-3.
(2)y'=(cos x)'·ln x+cos x·(ln x)'=-sin x·ln x+.
(3)因为y=x2+,所以y'=(x2)'+'=2x+=2x+.
(4)y'==
=.
探究点三
例3　(1)ABD　(2)3　[解析] (1)设(t,tsin t)是函数f(x)=xsin x图象上的一点,由题意知f'(x)=sin x+xcos x,则f'(t)=sin t+tcos t,所以f(x)的图象在点(t,tsin t)处的切线方程为y-tsin t=(sin t+tcos t)(x-t)①.直线y=kx过原点,则在方程①中令x=y=0,得-tsin t=(sin t+tcos t)·(-t),则tsin t=tsin t+t2cos t,即t2cos t=0,所以t=0或t=nπ+,n∈Z.当t=0时,k=f'(0)=0.当t=nπ+,n∈Z时,k=f'=sin+·cos=sin=±1,n∈Z.综上所述,k的可能取值为0,±1.故选ABD.
(2)因为函数f(x),g(x)满足f(x)+xg(x)=x2-1,且f(1)=1,所以f(1)+g(1)=12-1=0,则g(1)=-1.对f(x)+xg(x)=x2-1两边同时求导,可得f'(x)+g(x)+xg'(x)=2x,所以f'(1)+g(1)+g'(1)=2,因此f'(1)+g'(1)=3.
变式1　D　[解析] 由f(x)=2f'(1)ln x+2x,得f'(x)=+2,令x=1,得f'(1)=+2,解得f'(1)=-2,所以f(x)=-4ln x+2x,则f(e)=-4+2e.故选D.
变式2　y=-x3+x2+x+1
[解析] 由已知得点(0,1)与点(3,4)均在曲线C上,∴d=1①,27a+9b+3c+d=4②.令f(x)=ax3+bx2+cx+d,则f'(x)=3ax2+2bx+c,∴f'(0)=c,f'(3)=27a+6b+c,由题意得c=1③,27a+6b+c=-2④.由①②③④解得d=1,c=1,a=-,b=1.故曲线C的方程为y=-x3+x2+x+1.5.2.2　函数的和、差、积、商的导数
1.D　[解析] ∵y=exsin x,∴y'=(ex)'sin x+ex·(sin x)'=exsin x+excos x=ex(sin x+cos x).故选D.
2.A　[解析] 由f(x)=x2+2x-xex,得f'(x)=2x+2-(ex+xex),所以f'(0)=2-1=1.故选A.
3.A　[解析] 由y=x4+ax2+1,得y'=4x3+2ax,则曲线y=x4+ax2+1在点(-1,a+2)处的切线斜率为-4-2a=8,可得a=-6.故选A.
4.B　[解析] 由题意知f'(x)=x2+2ax+(a2-1),则导函数f'(x)的图象开口向上.又∵a≠0,∴f'(x)不是偶函数,其图象不关于y轴对称,其图象必为③.由图知f'(0)=0,且f'(x)的图象的对称轴x=-a>0,∴a=-1,则f(x)=x3-x2+1,∴f(-1)=--1+1=-.故选B.
5.D　[解析] 因为f(x)=ln x-3x+x2f'(1),所以f'(x)=-3+2xf'(1),所以f'(1)=1-3+2f'(1),则f'(1)=2,所以f(x)=ln x-3x+2x2,所以f(1)=ln 1-3+2=-1.故选D.
6.ABD　[解析] f'(x)=6x-sin x,f'(0)=0,则f(x)的图象在x=0处有切线,A满足题意.g'(x)=sin x+xcos x,g'(0)=0,则g(x)的图象在x=0处有切线,B满足题意.h(x)=+2x在x=0处无意义,则其图象在x=0处没有切线,C不满足题意.w'(x)=,w'(0)=0,则w(x)的图象在x=0处有切线,D满足题意.故选ABD.
7.(e,e)　[解析] 由g(x)=xln x可得g'(x)=ln x+1,由题意得ln x0+1=2,解得x0=e,所以点P的坐标为(e,e).
8.40　[解析] 净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数,因为c(x)=(809.解:(1)f'(x)=(ln x)'+'=-=.
(2)f'(x)=(1+sin x)'(1-4x)+(1+sin x)(1-4x)'=(1-4x)cos x-4(1+sin x)=cos x-4xcos x-4-4sin x.
(3)f'(x)=-2xln 2=-2xln 2=-2xln 2.
10.解:(1)f'(x)=2,g'(x)=2x-2,
设x0为函数f(x)与g(x)的一个“Q点”,
由f(x0)=g(x0)且f'(x0)=g'(x0)得解得x0=2,
所以函数f(x)与g(x)的“Q点”是2.
(2)f'(x)=2ax,g'(x)=,
设x0为函数f(x)与g(x)的一个“Q点”,
由f(x0)=g(x0)且f'(x0)=g'(x0)得
由②得a=,代入①得ln x0=1,所以x0=e,
所以a==.
11.B　[解析] 由题意得切线的斜率为2,所以令f'(x)=1+aex=2,则aex=1,所以a=>0,因为{a|a>-1} {a|a>0},所以“a>-1”是“曲线y=f(x)存在垂直于直线x+2y=0的切线”的必要且不充分条件.故选B.
12.AC　[解析] 对于A,(ch x)'='==sh x,所以A正确;对于B,因为(sh x)2+(ch x)2=+==≠1,所以B错误;对于C,因为sh 2x=,2sh x·ch x=2··=,所以sh 2x=2sh x·ch x ,所以C正确;对于D,因为ch(- x)==ch x,所以ch x是偶函数,所以D错误.故选AC.
13.(-∞,-5)∪(-1,+∞)
[解析] y'=(x+2)ex,设切点为(t,(t+1)et),则切线的斜率k=(t+2)et,故切线方程为y=(t+2)etx+(-t2-t+1)et,将(a,0)代入,得[a(t+2)+(-t2-t+1)]et=0,因为et≠0,所以-t2+(a-1)t+2a+1=0有两个不等实根,故Δ=(a-1)2+4(2a+1)=a2+6a+5>0,解得a>-1或a<-5,即a的取值范围为(-∞,-5)∪(-1,+∞).
14.256　[解析] 设g(x)=(x-a1)(x-a2)(x-a3)…(x-a8),则f(x)=xg(x),所以f'(x)=g(x)+xg'(x),所以f'(0)=g(0)+0×g'(0)=g(0)=(-a1)(-a2)(-a3)…(-a8)=(a1a8)4=44=256.
15.2　[解析] 由题可得=====2.
16.证明:f'(x)=[ex(cos x-sin x)]'=ex(cos x-sin x)+ex(-sin x-cos x)=-2exsin x,
因为f'(x)=0,所以-2exsin x=0,
又x为正数,所以x=nπ,n为正整数,
从而xn=nπ,n=1,2,3,…,
所以f(xn)=enπ(cos nπ-sin nπ)=(-1)nenπ,
f(xn+1)=(-1)n+1e(n+1)π,
则==-eπ,
所以数列{f(xn)}是首项f(x1)=-eπ,公比q=-eπ的等比数列.5.2.2　函数的和、差、积、商的导数
【学习目标】
　　掌握导数的四则运算法则,能灵活运用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
◆ 知识点　导数的运算法则
已知f(x),g(x)为可导函数.
(1)[f(x)±g(x)]'=　　　　　　　.
(2)[f(x)g(x)]'=　　　　　　　　　　,特别地,[Cf(x)]'=　　　　(C为常数).
(3)'=　　　　　　　　　(g(x)≠0).
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)已知f(x)=ex+cos,则f'(x)=ex. (　 )
(2)已知f(x)=xcos x,则f'(x)=cos x+xsin x. (　 )
(3)已知f(x)=,则f'(x)=. (　 )
(4)若函数f(x)的导函数为f'(x)= x,则f(x)=x2. (　 )
2.你能用导数的定义推导出导数运算的加法法则与减法法则吗
◆ 探究点一　利用导数的加减运算法则求导数
例1 求下列函数的导函数.
(1)f(x)=-2x3+4x2;
(2)f(x)=x3-x2+ax+1;
(3)f(x)=x+cos x,x∈(0,1);
(4)f(x)=-x2+3x-ln x.
[素养小结]
两个函数和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差).
◆ 探究点二　利用导数的乘除运算法则求导数
例2 求下列函数的导数.
(1)y=(2x2+3)(3x-2);
(2)y=2xcos x-3xln x;
(3)y=.
变式 求下列函数的导数.
(1)y=(2x2-1)(3x+1);
(2)y=cos x·ln x;
(3)y=x2+tan x;
(4)y=.
[素养小结]
一般情况下,应用导数的运算法则和基本初等函数的导数公式求导数时,要尽量少用积、商的求导法则.在求导之前,可先对函数解析式进行化简,再求导,这样可减少运算量,提高运算速度,避免出错.
◆ 探究点三　导数公式及导数的运算法则的应用
例3 (1)(多选题)[2025·江苏南通中学高二月考] 已知直线y=kx是函数f(x)=xsin x图象的一条切线,则实数k的值可以为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.0 B.1 C. D.-1
(2)[2025·山东莱芜一中高二质检] 若函数f(x),g(x)满足f(x)+xg(x)=x2-1,且f(1)=1,则f'(1)+g'(1)=　　　　.
变式1 已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)=2f'(1)ln x+2x,则f(e)= (　 )
A.0 B.-1
C.-2 D.-4+2e
变式2 曲线C:y=ax3+bx2+cx+d在点(0,1)处的切线为l1:y=x+1,在点(3,4)处的切线为l2:y=-2x+10,则曲线C的方程为　　　　　　.
[素养小结]
利用导数运算法则的策略
(1)分析待求函数解析式,确定求导法则,基本公式.
(2)如果待求解析式比较复杂,那么需要对解析式先变形再求导,常用的变形有乘积式展开变为和式,商式变乘积式,三角函数恒等变换等.5.2.2　函数的和、差、积、商的导数
1.[2025·北京朝阳区高二期末] 函数y=exsin x的导数等于 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.excos x B.exsin x
C.-excos x D.ex(sin x+cos x)
2.已知函数f(x)=x2+2x-xex,则f'(0)=(　 )
A.1 B.0
C.-1 D.2
3.[2025·江苏常州中学高二月考] 曲线y=x4+ax2+1在点(-1,a+2)处的切线斜率为8,则实数a的值为 (　 )
A.-6 B.6
C.12 D.-12
4.下列4个图象中,有一个是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,且a≠0)的导函数的图象,则f(-1)= (　 )
A. B.-
C. D.-或
5.[2025·江苏宿迁中学高二月考] 已知函数f(x)=ln x-3x+x2f'(1),则f(1)= (　 )
A.2 B.1 C.0 D.-1
6.(多选题)[2025·湖南湘潭一中高二月考] 下列函数的图象在x=0处有切线的是 (　 )
A.f(x)=3x2+cos x B.g(x)=x·sin x
C.h(x)=+2x D.w(x)=
7.[2025·江苏无锡一中高二质检] 函数g(x)=xln x的图象在点P(x0,g(x0))处的切线的斜率为2,则点P的坐标为　　　　.
8.日常生活中的饮用水通常都是经过净化的,随着水纯净度的提高,所需净化费用不断增加.已知1吨水净化到纯净度为x%时所需费用(单位:元)为c(x)=(809.(13分)求下列函数的导数:
(1)f(x)=ln x+;
(2)f(x)=(1+sin x)(1-4x);
(3)f(x)=-2x.
10.(13分)记f'(x),g'(x)分别为函数f(x),g(x)的导函数,把同时满足f(x0)=g(x0),f'(x0)=g'(x0)的x0叫作f(x)与g(x)的“Q点”.
(1)若f(x)=2x,g(x)=x2-2x+4,求f(x)与g(x)的“Q点”;
(2)若f(x)=ax2+与g(x)=ln x存在“Q点”,求实数a的值.
11.[2025·江苏盐城中学高二调研] 已知函数f(x)=x+aex,则“a>-1”是“曲线y=f(x)存在垂直于直线x+2y=0的切线”的 (　 )
A.充分且不必要条件
B.必要且不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
12.(多选题)[2025·安徽安庆一中高二调研] 已知双曲函数是一类与三角函数性质类似的函数.双曲余弦函数为ch x=,双曲正弦函数为sh x=.则下列结论中正确的是 (　 )
A.(ch x)'=sh x
B.(sh x)2+(ch x)2=1
C.sh 2x=2sh x·ch x
D.ch x是奇函数
13.[2025·山东师大附中高二月考] 若曲线y=(x+1)ex过点P(a,0)的切线有且仅有两条,则实数a的取值范围是　　　　　　　　.
14.[2025·福建厦门一中高二调研] 在等比数列{an}中,a1=1,a8=4,函数f(x)=x(x-a1)·(x-a2)(x-a3)…(x-a8),若f(x)的导函数为f'(x),则f'(0)=　　　　.
15.我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型,比如:当x→0时,即为型.两个无穷小之比的极限可能存在,也可能不存在.早在1696年洛必达在他的著作中创造了在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定型极限值的方法(洛必达法则),用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限.如:===1.据此可知,=　　　　.
16.(15分)已知函数f(x)=ex(cos x-sin x),将满足f'(x)=0的所有正数x按照从小到大的顺序排成数列{xn},证明:数列{f(xn)}为等比数列.

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