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江苏省南京市2026届高三9月学情调研数学试题
2025.09
注意事项:
1.本试卷考试时间为120分钟,试卷满分150分,考试形式闭卷
2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分
3.答题前,务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知i是虚数单位，则复数 的实部为
A.-1 B. 1 C.-i D. i
2.有一组样本数据1，2，2，2，3，5，去掉1和5后，相较于原数据不变的是
A.平均数 B.极差 C.方差 D.中位数
3. 已知( 若集合 则"a=1'''是“M N"的
A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
的展开式中. 的系数为
A.-20 B.-15 C. 15 D. 20
5.要得到函数 的图象，只需将函数. 的图象
A.向左平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度
C.向上平移 个单位长度 D.向下平移 个单位长度
6.设等比数列 的前n项和为 若 则
A. 8 B. 10 C. 14 D. 18
7.已知点A(-1,1),B(3,3)，线段AB为⊙M 的一条直径.设过点(C(2,-1))且与⊙M 相切的两条直线的斜率分别为/ 则
8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线等.某星形线如图所示，已知该曲线上一点 的坐标可以表示为 若 且 则a=
C. 2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若a＜b＜0,则
C. ln(b-a)＞0
10.已知向量 则下列说法正确的是
A.若m=1, 则 B. 若 则
C. a在c上的投影向量为c |的最小值为
11.已知函数 则
.f(-x)+f(x)=0
. f(x)在((-1,1)上单调递减
在(-1,1)上有且仅有1个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知椭圆 的离心率为 则实数
13.记, 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 则
14.已知球O的半径为3，P，Q是球面上两点，过P，Q的平面与球面的交线为圆且P,Q,O,( 四点不共面.若平面 与平面PQO的夹角为，则平面 体积的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)袋中有8个大小相同的球，其中有3个黄球、5个白球，从中随机地连续抽取2次，每次取1个球.
(1)若每次抽取后都放回，设取到黄球的个数为X，求
(2)若每次抽取后都不放回，设取到黄球的个数为Y，求Y的分布列和数学期望.
16. (15分) 对于数列 记 称数列 为数列 的差分数列.
(1) 已知 证明： 的差分数列为等差数列；
(2) 已知 的差分数列为 求 的通项公式.
17. (15分) 如图, 直三棱柱 中, M,N分别为AB和. 的中点.
(1) 证明:MN∥
(2)若 求 与平面CMN所成角的正弦值.
18.(17分)已知双曲线 C 的左、右焦点分别为 且 过 的直线l与C交于A，B两点.
(1) 求C的方程;
(2)若A，B均在C的右支上，且 的周长为 ，求l的方程；
(3)是否存在x轴上的定点M ，使得 为定值 若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.
19. (17分) 已知函数 其中a≠0.
(1) 当a=1时，若直线y=-x+b是曲线y=f(x)的一条切线，求b的值；
(2) 讨论f(x)的单调性;
(3)若集合 中有且仅有一个元素，求a的取值范围.
南京市2026届高三年级学情调研
数学答案详解 2025.09
注意事项:
1.本试卷考试时间为120分钟,试卷满分150分,考试形式闭卷
2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分
3.答题前,务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知i是虚数单位，则复数 的实部为
A.-1 B. 1 C.-i D. i
【答案】答案B
【答案解析】z=1-i,, 实部为1, 选B.
2.有一组样本数据1，2，2，2，3，5，去掉1和5后，相较于原数据不变的是
A.平均数 B.极差 C.方差 D.中位数
【答案】D
【答案解析】去掉1，5，中位数不变，选D.
3. 已知( 若集合 则"a=1'''是“M N"的
A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
【答案】A
【答案解析】(a=1时， 充分； 时，a=1或-2,，不必要，选A.
的展开式中. 的系数为
A.-20 B.-15 C. 15 D. 20
【答案】C
【答案解析】 展开式第r+1项 的系数15, 选C.
5.要得到函数 的图象，只需将函数. 的图象
A.向左平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度
C.向上平移 个单位长度 D.向下平移 个单位长度
【答案】答案A
【答案解析】 将 向左平移 3个单位，选A.
6.设等比数列 的前n项和为 若 则
A. 8 B. 10 C. 14 D. 18
【答案】A
【答案解析】等比数列 中， 成等比数列
成等比数列， 选A.
7.已知点A(-1,1),B(3,3)，线段AB为⊙M 的一条直径.设过点(C(2,-1))且与⊙M 相切的两条直线的斜率分别为/ 则
【答案】D
【答案解析】 ，即
过C的切线设为：y+1=k(x-2),即
选D.
点评：两点为直径的圆，第一时间求出圆心和半径，然后过一个点作切线，先设出直线斜率，用点到直线距离公式得到关于 k的方程，韦达定理即可求出斜率之和。
8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线等.某星形线如图所示，已知该曲线上一点 的坐标可以表示为 若 且
则a=
C. 2
【答案】D
【答案解析】
取 选D.
点评：创新题，列方程解方程问题，解三角 函数值，难度不大，计算量也不大啊，要第一时间知道正余弦乘积为5分之2 时候，两个值分别为多少。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若a＜b＜0,则
C. ln(b-a)＞0
【答案】BD
【答案解析】 A错.
B对.
b=-1,a=-2时， C错.
即 D对, 选BD.
10.已知向量 则下列说法正确的是
A.若m=1, 则 B. 若 则
C. a在c上的投影向量为c |的最小值为
【答案】ACD
【答案解析】 A对.
则 B错.
即 在 上的投影向量 C对.
D对, 选 ACD.
点评：向量，有坐标的计算量不会太大的，平行垂直加减即求模就是向量常考点。
11.已知函数 则
A.f(-x)+f(x)=0
B. f(x)在((-1,1)上单调递减
在(-1,1)上有且仅有1个零点
【答案】ACD
【答案解析】方法一：
A对.
-1＜x＜1时， 在(-1,1)单调递增，B错.
h(x)关于 对称
时，
h(x)在 单调递增
0＜x＜1时，
h(x)在(0,1)单调递减
时，
C对.
-1＜x＜1时，
时，g''(x)＞0,g'(x)单调递增
g'(x)＞g'(0)=0,g(x)在(0,1)单调递增,g (x)为奇函数, ∴g(x)在((-1,1)单调递增
有且仅有一个零点O，D对，选ACD.
方法二： A正确.
对于 B,当. 时， 为增函数， 为减函数, ∴f(x)为增函数, B错.
对于C,
作出f(x)的大致图象如下：
当x与x+1一个在1左边一个在1右边或两者均) 时，显然 当x与x+1均在[-1,1]之间时，易知f(x)在|[-1,0]]或[0，1]上增速越来越大， C正确.
对于D，首先g(0)=0,，接着先考察g(x)在(0，1)上的零点个数
当 时，
∴g(x)在(0,1)上单调递增, ∴g(x)＞g(0)=0, ∴g(x)在(0,1)上无零点
由g(x)为奇函数,((-1,0)上也无.∴D正确, 选: ACD.
点评：计算量难度都大，但是得分是容易的，AB 选项都容易判断，CD 选项判断起来不是那么的容易，需要一步一步的推导。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知椭圆 的离心率为 则实数
【答案】10
【答案解析】
f(x)在 单调递增， 单调递减，
方法二： 过 作 于点M ,连接OM
设
记
时取“=”)
点评：立体几何无难题，大概想象一下图形，然后画出草图，根据草图找各个量的关系式，最终构造函数，求函数的最值。
13.记, 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 则
【答案】
【锤子数学解析】
14.已知球O的半径为3，P，Q是球面上两点，过P，Q的平面与球面的交线为圆且P,Q,O,( 四点不共面.若平面 与平面PQO的夹角为( ，则平面 体积的最大值为 .
【答案】
【 解析】方法一 ：取PQ中点M ，则平面. 与平面PQO夹角为
令 则
令 或
f(x)在 单调递增， 单调递减，
方法二： 过 作 于点M ,连接OM
设
记
时取“=”)
点评：立体几何无难题，大概想象一下图形，然后画出草图，根据草图找各个量的关系式，最终构造函数，求函数的最值。
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)袋中有8个大小相同的球，其中有3个黄球、5个白球，从中随机地连续抽取2次，每次取1个球.
(1)若每次抽取后都放回，设取到黄球的个数为X，求
(2)若每次抽取后都不放回，设取到黄球的个数为Y，求Y的分布列和数学期望.
【答案解析】
(1)每次取到黄球的概率为
(2) Y的所有可能取值为0,1,2
∴Y的分布列如下：
Y 0 1 2
P
16. (15分) 对于数列 记 称数列 为数列 的差分数列.
(1) 已知 证明： 的差分数列为等差数列；
(2) 已知 的差分数列为 求 的通项公式.
【答案解析】
(
为常数， 为等差数列.
(2)由题意知
时，
而 也满足上式，
17. (15分) 如图, 直三棱柱 中, M,N分别为AB和. 的中点.
(1) 证明:MN∥
(2)若 求 与平面CMN所成角的正弦值.
【解析】
(1) 证明: 取AC中点G, 连接MG,C G, ∵M为AB的中点.
∴四边形 为平行四边形，
(2) 由 (1) 知 且
如图建系，BC=2, ∴A (2 ,0,2), C(0,0,0), M( ,1,0), N(0,1,2)
设平面CMN的一个法向量 与平面CMN所成角为θ
点评：第二问C1G与A1C 垂直可使用相似进行解决，接着建系就好处理了，当然也可以上来就建系，本题难度不大，但有一定计算量，在写坐标和计算上要特别注意.
18.(17分)已知双曲线 C 的左、右焦点分别为 且 过 的直线l与C交于A，B两点.
(1) 求C的方程;
(2)若A，B均在C的右支上，且 的周长为 ，求l的方程；
(3)是否存在x轴上的定点M ，使得 为定值 若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】
(1)由题意知 ∴双曲线C的方程为：
(2) 由 周长
设直线l的方程为.x=my+2,其中·
∴直线l的方程为
(3)假设存在这样的M(t，0)满足题意
为定值
∴存在M(1,0)满足 为定值-1.
点评：第二问以焦点三角形的周长为背景展开，本质上就是个弦长问题，在将条件转化为已知AB的弦长以后，底下设线借助弦长公式就迎刃而解了，注意设线设横截距比较简单，同时勿忘关注m 的取值范围.第三问属于圆锥曲线经典的探究类问题，先假设存在这样的 M，并设出坐标，接着将向量数量积转化为坐标运算并结合第二问联立的韦达定理就可以得到一个关于m，t的分式，牢记这里面只有 m是变量，t是常数，接着根据分式为定值，分子分母系数对应成比例即可得出t值，本问还是比较考察基本功的.
19. (17分) 已知函数 其中a≠0.
(1) 当a=1时，若直线y=-x+b是曲线y=f(x)的一条切线，求b的值；
(2) 讨论f(x)的单调性;
(3)若集合 中有且仅有一个元素，求a的取值范围.
【答案解析】
设y=-x+b与曲线y=f(x)切于
答案由①解得 代入
①当a＜0时，x＜0,此时f'(x)＜0恒成立, ∴f(x)在( 上单调递减
②当a＞0时，x＞0,此时令
∴当 时, f'(x)＜0,f(x).单调递减；
当 时，f'(x)＞0,f(x)单调递增.
(3) ①当a＜0时, 由 (2) 知f(x)在( 上单调递减
只需
②当a＞0时, 由 (2) 知f(x)在 上单调递减；
上单调递增
易知 故只需
综上：a的取值范围为
点评：在传统的导数考法上精心打磨，融入了创新元素，比如第一问是属于传统切线问题，主要用于扫盲的.第二问在讨论函数单调性的时候，你是否注意到a 可正可负，接着按a的正负，并同时兼顾定义域进行讨论就行了.第三问，对前面那个集合的式子成功翻译是关键，其本质其实就是f(x)＜1在其定义域内有且仅有一个整数解，接着按a的正负分类讨论并借助数形结合就可以完美解决了，非常好的设问方式，值得一做.

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