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6.2 空间向量的坐标表示
6.2.2 空间向量的坐标表示
第2课时 空间向量数量积的坐标运
算及空间两点间的距离公式
探究点一 空间向量数量积的坐标运算
探究点二 空间两点间的距离
探究点三 利用数量积公式求夹角及模
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.类比平面向量,知道空间向量及其运算的坐标表示.
2.基于运算,能探究空间向量模的坐标公式、空间两点间的距离公式.
3.类比平面向量,知道空间向量平行、垂直、夹角的坐标表示.
知识点一 空间向量数量积的坐标运算
设，，且， ，则
名称 满足条件
向量表示形式 坐标表示形式
, __________________
_____________________
_______
,
知识点二 空间两点间距离公式及线段的中点坐标
1.空间两点间的距离公式
若,，则,两点间的距离为
__________________________________.
2.空间线段中点的坐标公式
设,，则线段的中点 的坐标为
__________________.
探究点一 空间向量数量积的坐标运算
例1（1）［2025·江苏盐城五校联盟高二联考］若 ，
，则 ( )
A.25 B. C. D.29
[解析] ， ，所以， ，所以，
故 .故选B.
√
（2）已知向量，.若向量与 垂直，则
实数 的值为____.
[解析] 由， ，得
，
因为 ，所以，
则 ，解得 .
变式（1）已知，，且，则
( )
A. B. C.1 D.2
[解析] 根据空间向量数量积的坐标公式得
，解得 .故选C.
√
（2）若，，则 ( )
A. B. C.5 D.7
[解析] ， ，
，， ，故选A.
√
［素养小结］
关于空间向量数量积的坐标运算的两类问题
（1）直接计算问题
首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量数量积的
坐标运算公式计算.
（2）求参数值
首先把向量坐标形式表示出来，然后通过数量积运算建立方程
（或方程组），解方程（或方程组）求出参数.
探究点二 空间两点间的距离
例2（1）在空间直角坐标系中，点，， ，则
点到的中点 的距离为( )
A. B. C.7 D.6
[解析] 由题知，，则，
又 ，所以 .
故选C.
√
（2）［2025·北京丰台区高二期中］在棱长为4的正方体内有一点 ，
它到该正方体共顶点的三个面的距离分别为2，1，1，记正方体的中
心为点，则 ( )
A. B. C.2 D.
√
[解析] 设三个面的公共顶点为，以 为原点建立如
图所示的空间直角坐标系，则 ，
因为点 到该正方体共顶点的三个面的距离分别为
2，1，1，所以可取 ，所以
. 故选D.
变式 已知， ，求：
（1）线段的中点坐标和线段 的长度；
解：由，，可得线段中点的坐标是 ，
即， .
变式 已知， ，求：
（2）到，两点距离相等的点 的坐标满足的条件.
解：因为点到， 两点的距离相等，
所以 ，即
，化简
得,即为点 的坐标满足的条件.
［素养小结］
利用空间两点间的距离公式求空间两点间距离的步骤：
（1）建立适当的坐标系，并写出相关点的坐标；
（2）代入空间两点间的距离公式求值.
探究点三 利用数量积公式求夹角及模
例3 如图,在棱长为2的正方体中,, 分别是
,的中点,在棱上,且, 是
的中点.建立适当的空间直角坐标系,解决下
列问题.
例3 如图,在棱长为2的正方体中,, 分别是
,的中点,在棱上,且, 是
的中点.建立适当的空间直角坐标系,解决下
列问题.
（1）求证: ;
证明:以,, }为正交基底,建立
如图所示的空间直角坐标系 ,则
,,, ,
,, .
因为, ,所以
所以,即 .
,
例3 如图,在棱长为2的正方体中,, 分别是
,的中点,在棱上,且, 是
的中点.建立适当的空间直角坐标系,解决下
列问题.
（2）求, ;
解：因为,所以 .
因为,且 ,所以
, .
例3 如图,在棱长为2的正方体中,, 分别是
,的中点,在棱上,且, 是
的中点.建立适当的空间直角坐标系,解决下
列问题.
（3）求 的长.
解：因为是的中点,所以 ，
又因为,所以 ,
故,即 .
变式（1）［2025·江苏海门中学期中］已知向量 ，
，,，若向量与 的夹角为锐
角，则实数 的取值范围是________________.
[解析] 由向量，，可得, ,
.
因为,，所以 ，得.
所以，所以 ，.
又因为向量与 的夹角为锐角，所以
，解得 .
若向量与共线，则，解得.
所以实数 的取值范围是 .
（2）如图，在直三棱柱 中，
， ，，， 分别
是， 的中点.
①求， 之间的距离；
解：根据题意，以，， }为正交基底，建
立如图所示的空间直角坐标系 ，则
，，， ，
，，
因为，分别是， 的中点，
所以， ，
所以 ，
即，之间的距离为 .
（2）如图，在直三棱柱 中，
， ，，， 分别
是， 的中点.
②求， 的值.
解：由①知，， ，则
，， ，
所以， .
［素养小结］
利用空间向量的坐标运算求夹角与模的一般步骤
（1）建系:根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系.
（2）求坐标:①求出相关点的坐标;②写出向量的坐标.
（3）论证、计算:结合公式进行论证、计算.
（4）转化:转化为夹角与距离问题.
拓展 ［2024·杭州二中高二期中］在棱长为1的正方体
中,是底面 （含边界）上一动点,满足
,则线段 长度的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图,以，， }为单位正交基
底，建立空间直角坐标系,则 ,
,,
是底面（含边界）上一动点,
可设 ,
则
, ,,
,
又， 当时, 取得最小
值,此时线段的长度为,
当或 时,取得最大值2,此时线段 的长度为,故线段长度的取值范围是 .故选A.
空间向量数量积及其性质的坐标表示
（1）两个空间向量平行、垂直与两个平面向量平行、垂直的表达式
实质上是一致的.判定空间两直线平行或垂直只需判断两直线对应的
方向向量是否平行或垂直即可.
（2）空间两条直线夹角的取值范围与向量夹角的取值范围不同,当两
直线方向向量的夹角为钝角时,两直线的夹角是与此钝角互补的锐角.
1.注意区别向量平行与垂直的坐标表示.
例1（1）［2025·安徽黄山八校联盟高二期中］已知, ，向量
,，且，则 ( )
A.1 B. C.2 D.
[解析] 因为向量,，且 ，所以存在
，使，得，,，所以 .故选A.
√
（2）［2025·湖北武汉高二联考］已知空间向量 ，
，，若，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，且 ，所以
，所以，所以 ，
所以 .故选C.
√
2.空间向量平行、垂直的坐标表示及应用.
例2 ［2025·河北枣强中学高二期中］已知 ,
, .
（1）若，求， 的值；
解：由题意得 , ，
，
解得, .
例2 ［2025·河北枣强中学高二期中］已知 ,
, .
（2）若且，求， 的值.
解：由题意得, ，
且 ，
又，，, .
例3（1）设,,向量,, ,且
,,则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为向量,,,且, ,
所以,,解得, ,
所以向量,,所以 ,
所以 ,故选C.
√
（2）如图,在长方体 中,
,是侧棱上的任意一点,在线段 上
是否存在一个定点,使得总垂直于 请说明
理由.
解：假设在线段上存在一个定点,使得
总垂直于 .
如图,以,, }为正交基底,建立空间直角
坐标系 .
依题意可设,, ,则
,,,
设 ,则有, ,
由,得 ,
即,此时为 的中点,
所以在线段上存在一个定点,使得总垂直于 .
3.利用数量积求夹角的最值或范围.
例4 ［2025·江苏镇江期末］如图，正方体
的棱长为1，线段 上有两个
动点,，且 .
（1）求证: ；
证明：如图，连接，因为四边形 为正方形，所以
，
又因为 平面， 平面 ，
所以 ，
又因为， 平面， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面，所以 .
例4 ［2025·江苏镇江期末］如图，正方体
的棱长为1，线段 上有两个
动点,，且 .
（2）求三棱锥 的体积；
解：由（1）得到平面的距离为 ，
所以 ，
所以三棱锥的体积为 .
例4 ［2025·江苏镇江期末］如图，正方体 的棱长
为1，线段上有两个动点,，且 .
（3）求异面直线, 所成角的最小值.
解：以,, }为单位正交基底，建立如图所示
的空间直角坐标系 ，
设 ，
则，， ，
，
所以 ，
.
设异面直线,所成的角为 ，
则
，
因为 ，
所以当时， 取得最大值 ，
又 ，
所以 的最小值为 .
练习册
1.若,，则 ( )
A. B.200 C.20 D.
[解析] 因为, ，所以
， ，所以
.
故选A.
√
2.已知,，若，则实数 的值
为( )
A.0 B.2 C.5 D.3
[解析] 由, ，得
，
因为 ，所以
，
解得 .故选B.
√
3.已知空间向量，，若，则
与 的夹角为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为向量， ，所以
，解得,故 ，
又，所以,，
因为 , ，所以, .故选C.
√
4.［2025·河南许昌二中高二联考］在中，已知 ，
，，则 边上的中线长为( )
A. B.6 C. D.7
[解析] 已知，，根据中点坐标公式，得的中点
的坐标为.又 ，所以根据空间两点间的距离公式，可得
.故选B.
√
5.在平行六面体中， ，
，，则体对角线 的长为( )
A. B.12 C. D.13
[解析] ，，，， .故选D.
√
6.（多选题）［2025·湖北部分名校高二期中］在空间直角坐标系
为原点中，已知， ，则下列结论正
确的有( )
A.
B.
C.若，且，则
D.若，且，则
√
√
[解析] 对于A，由，，得 ，所
以 ，A正确；
对于B， ，B错误；
对于C，由，，得，解
得 ，C正确；
对于D，由，，得 ，解得，
D错误.故选 .
7.［2025·江苏无锡一中期末］在空间直角坐标系 中，已知
，，，则与 的夹角的余
弦值为__，在上的投影向量 的坐标为_________.
[解析] 因为，， ，所以
， ，所以
,，在 上的投影向量
, .
8.［2025·江苏通州中学质检］已知向量， ，
若与的夹角为钝角，则实数 的取值范围为___________________.
[解析] 由，可得 ，即
，解得；
由，可得 ，解得.
综上且 .
9.（13分）［2025·湖南永州期末］已知空间中三点 ，
， .
（1）若向量与相互垂直，求实数 的值；
解：，，， ，
， .
向量与 相互垂直，
，解得 .
9.（13分）［2025·湖南永州期末］已知空间中三点 ，
， .
（2）求 的面积.
解：，，
，，
，， 的面积
， .
10.（13分）如图，在空间直角坐标系 中，
正方体的棱长为1，顶点 位于
坐标原点，是棱的中点，是侧面
的中心.
（1）求点，的坐标及 ；
解：因为正方体的棱长为1，位于坐标原点，
是棱的中点，是侧面 的中心，
所以，，则 ，故
.
10.（13分）如图，在空间直角坐标系 中，
正方体的棱长为1，顶点 位于
坐标原点，是棱的中点，是侧面
的中心.
（2）求向量在 上的投影向量的模.
解：由题可知，， ，则
，所以
， ，
所以,，
所以向量 在上的投影向量的模为 , .
11.［2025·江苏盐城五校联盟高二月考］已知空间中三点 ，
，，则以， 为邻边的平行四边形的面积为
( )
A. B. C.3 D.
√
[解析] 因为，， ，所以
， .
根据向量数量积的坐标运算可得
，
根据向量的模长公式可得
，
，
所以 ,，
所以 ,，
所以以 ，为邻边的平行四边形的面积 ,
.故选B.
12.［2025·江苏连云港期末］如图所示，在三棱锥
中， 平面, ，
，点为棱的中点，, 分别
为直线,上的动点，则线段 长度的最小值为
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 在三棱锥中， 平面 ，
，所以，，两两垂直，
以,,}为正交基底，建立空间直角坐标系
，如图所示，
则,,, ，
令，则，
时取等号，
所以线段长度的最小值为 .
故选B.
13.（多选题）［2024·江苏常州一中高二期中］设空间两个单位向量
,与向量的夹角都等于 ，则
的值可以为( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 空间两个单位向量, 与向量
的夹角都等于，， ，
，且 ，
①，又为单位向量， ，
由①②得或
， 均为单位向量，
.故选 .
14.已知点，，，若在线段 上，且满足
，则点 的坐标为_ _______.
[解析] 设，则， ,
，
因为在线段上，且满足 ，
所以即解得 所
以点的坐标为 .
15.在正三棱柱中，，，为 的中
点，为棱上的动点，为上的动点，且 ，则线段
长度的取值范围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 在正三棱柱中，为 的中
点，取的中点，连接，如图，
以 ，， }为正交基底，建立空间直角坐标
系，则，， ，
，
因为是棱 上的动点，所以设，且，
因为 ，所以 ，
令 ， ，则
， .
因为函数在上单调递增，所以当 时，，即线段 长度的最小值为；
当时， ，
即线段长度的最大值为.
所以线段 长度的取值范围为 .故选B.
16.如图，已知矩形的对角线交于点， ,
，将沿 翻折，若在翻折过程中存在
某个位置，使得，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设为沿 翻折后的位
置，以为坐标原点，， 的方向分别为
,轴正方向，建立空间直角坐标系 ，
如图所示.
则，， ，，，
设, , ，
而,, ,
, ，则
， .
又在翻折过程中存在某个位置，使 ，
即 ，
，得
.
当将 翻折到如图△A'BD位置时, 位于平面内，
假设此时,
设垂足为 ,作，交的延长线于,此时在 轴负半轴方向上,
取最小值，
，， ，
，
，
是等边三角形， ，
.
，
，则， ，
又，所以，即 的取值范
围是 .故选A.
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一
知识点二 1. 2.
课中探究 探究点一 例1 （1）B （2） 变式 （1）C （2）A
探究点二 例2 （1）C （2）D 变式 （1）线段中点的坐标是，
（2）探究点三 例3 （1）证明略（2） ,（3）
变式 （1） （2）① . ② 拓展 A
练习册
基础巩固
1.A 2.B 3.C 4.B 5.D 6.AC 7. 8.
9.（1） （2）
10.（1），，（2）
综合提升
11.B 12.B 13.AC 14.
思维探索
15.B 16.A第2课时　空间向量数量积的坐标运算及空间两点间的距离公式
1.A　[解析] 因为a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),所以2a-3b=(-10,5,-14),a+2b=(16,-8,0),所以(2a-3b)·(a+2b)=(-10)×16+5×(-8)+(-14)×0=-200.故选A.
2.B　[解析] 由a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),得a-λb=(-2+λ,1-2λ,3-λ),因为a⊥(a-λb),所以a·(a-λb)=-2(-2+λ)+(1-2λ)+3(3-λ)=14-7λ=0,解得λ=2.故选B.
3.C　[解析] 因为向量a=(-1,m,2),b=(-1,2,-1),所以a·b=1+2m-2=-3,解得m=-1,故a=(-1,-1,2),又b=(-1,2,-1),所以cos===-,因为0≤≤π,所以=.故选C.
4.B　[解析] 已知A(3,2,6),B(5,4,0),根据中点坐标公式,得AB的中点D的坐标为(4,3,3).又C(0,7,1),所以根据空间两点间的距离公式,可得CD==6.故选B.
5.D　[解析] ∵=(1,2,4),=(2,1,-2),=(0,1,10),∴=+=++=(1,2,4)+(2,1,-2)+(0,1,10)=(3,4,12),∴AC1=||==13.故选D.
6.AC　[解析] 对于A,由A(1,3,-5),B(-2,1,1),得=(-3,-2,6),所以||==7,A正确;对于B,·=1×(-2)+3×1+(-5)×1=-4,B错误;对于C,由n=(4,2,t),n⊥,得n·=-12-4+6t=0,解得t=,C正确;对于D,由m=,m∥,得==,解得k=-2,D错误.故选AC.
7.　(1,-1,0)　[解析] 因为=(2,0,0),=(0,2,0),=(0,0,2),所以=-=(0,-2,2),=-=(2,-2,0),所以cos<,>===,在上的投影向量a=||cos<,>==(1,-1,0).
8.(-∞,-6)∪　[解析] 由a·b<0,可得(2,3,-1)·(-4,t,2)<0,即-8+3t-2<0,解得t<;由a∥b,可得==,解得t=-6.综上t<且t≠-6.
9.解:(1)∵A(0,2,3),B(1,2,-1),C(5,6,0),∴=(1,0,-4),=(5,4,-3),-k=(1-5k,-4k,-4+3k).
∵向量-k与相互垂直,∴(-k)·=1-5k-4(-4+3k)=0,解得k=1.
(2)∵=(1,0,-4),=(5,4,-3),∴cos<,>===,∴sin<,>==,∴△ABC的面积S=×||×||×sin<,>=×××=.
10.解:(1)因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,A位于坐标原点,E是棱B1C1的中点,F是侧面CDD1C1的中心,
所以E,F,则=,故||==.
(2)由题可知,D(0,1,0),C1(1,1,1),则=(1,0,1),所以·=-+0-=-1,||=,
所以cos<,>==-,所以向量在上的投影向量的模为||·|cos<,>|=.
11.B　[解析] 因为A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),所以=(-2,-1,3),=(1,-3,2).根据向量数量积的坐标运算可得·=(-2)×1+(-1)×(-3)+3×2=-2+3+6=7,根据向量的模长公式可得||===,||===,所以cos<,>====,所以sin<,>====,所以以AB,AC为邻边的平行四边形的面积S=||×||×sin<,>=××=7.故选B.
12.B　[解析] 在三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,∠BCD=,所以AB,BC,CD两两垂直,以{,,}为正交基底,建立空间直角坐标系C-xyz,如图所示,则C(0,0,0),D(1,0,0),A(0,2,1),P,令=t=t=,则E,设F(0,2,m),于是||==≥,当且仅当t=,m==时取等号,所以线段EF长度的最小值为.故选B.
13.AC　[解析] ∵空间两个单位向量=(m,n,0),=(0,n,p)与向量=(1,1,1)的夹角都等于,∴∠AOC=∠BOC=,|OC|=,∵·=||·||·cos∠AOC=,且·=m+n,∴m+n=①,又为单位向量,∴m2+n2=1②,由①②得或∵=(m,n,0),=(0,n,p)均为单位向量,∴cos∠AOB=n2=.故选AC.
14.　[解析] 设D(x,y,z),则=(x-1,y-4,z-3),=(2,1,1),=(x-1,y-2,z-1),因为D在线段AB上,且满足CD⊥AB,所以即解得所以点D的坐标为.
15.B　[解析] 在正三棱柱ABC-A1B1C1中,O为BC的中点,取B1C1的中点Q,连接OQ,如图,以{,,}为正交基底,建立空间直角坐标系O-xyz,则O(0,0,0),A(0,,0),B1(-1,0,),C1(1,0,),因为M是棱B1C1上的动点,所以设M(a,0,),且a∈[-1,1],因为=,所以|MN|===,令t=,t∈[,],则==t-,t∈[,].因为函数y=t-在[,]上单调递增,所以当t=时,=-=,即线段MN长度的最小值为;当t=时,=-=,即线段MN长度的最大值为.所以线段MN长度的取值范围为.故选B.
16.A　[解析] 设△A1BD为△ABD沿BD翻折后的位置,以D为坐标原点,,的方向分别为x,y轴正方向,建立空间直角坐标系D-xyz,如图所示.则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,m,0),C(0,m,0),E,设A1(a,b,c),∵A1D=1,∴a2+b2+c2=1,而=(a-1,b-m,c),=(a,b,c),=,∵AB⊥AD,∴⊥,则·=a(a-1)+b(b-m)+c2=0,∴bm=1-a.又在翻折过程中存在某个位置,使AB⊥CE,即A1B⊥CE,∴·=(a-1)-(b-m)=0,得m2=bm+1-a=2(1-a).当将△ABD翻折到如图△A'BD位置时, △A'BD位于平面ABCD内,假设此时BA'⊥CE,设垂足为G,作A'F⊥AD,交AD的延长线于F,此时F在x轴负半轴方向上,a取最小值,∵∠BA'D=90°,∴EG∥A'D,∴∠BEG=∠BDA'=∠BDA,∵∠BEG=∠AED,∴∠AED=∠BDA=∠EDA.∵AE=ED,∴△AED是等边三角形,∴∠EDA=60°,∴∠BDA'=∠FDA'=60°.∵A'D=1,∴DF=,则a≥-,∴m2=2(1-a)≤3,又m>0,所以01.若a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),则(2a-3b)·(a+2b)= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.-200 B.200
C.20 D.-20
2.已知a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若a⊥(a-λb),则实数λ的值为 (　 )
A.0 B.2
C.5 D.3
3.已知空间向量a=(-1,m,2),b=(-1,2,-1),若a·b=-3,则a与b的夹角为 (　 )
A. B.
C. D.
4.[2025·河南许昌二中高二联考] 在△ABC中,已知A(3,2,6),B(5,4,0),C(0,7,1),则AB边上的中线长为 (　 )
A. B.6
C.4 D.7
5.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,=(1,2,4),=(2,1,-2),=(0,1,10),则体对角线AC1的长为 (　 )
A.4 B.12
C.5 D.13
6.(多选题)[2025·湖北部分名校高二期中] 在空间直角坐标系O-xyz(O为原点)中,已知A(1,3,-5),B(-2,1,1),则下列结论正确的有 (　 )
A.||=7
B.·=4
C.若n=(4,2,t),且n⊥,则t=
D.若m=,且m∥,则k=-3
7.[2025·江苏无锡一中期末] 在空间直角坐标系O-xyz中,已知=(2,0,0),=(0,2,0),=(0,0,2),则与的夹角的余弦值为　　　　,在上的投影向量a的坐标为　　　　.
8.[2025·江苏通州中学质检] 已知向量a=(2,3,-1),b=(-4,t,2),若a与b的夹角为钝角,则实数t的取值范围为　　　　　　　.
9.(13分)[2025·湖南永州期末] 已知空间中三点A(0,2,3),B(1,2,-1),C(5,6,0).
(1)若向量-k与相互垂直,求实数k的值;
(2)求△ABC的面积.
10.(13分)如图,在空间直角坐标系O-xyz中,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,顶点A位于坐标原点,E是棱B1C1的中点,F是侧面CDD1C1的中心.
(1)求点E,F的坐标及||;
(2)求向量在上的投影向量的模.
11.[2025·江苏盐城五校联盟高二月考] 已知空间中三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),则以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为 (　 )
A. B.7
C.3 D.3
12.[2025·江苏连云港期末] 如图所示,在三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,
∠BCD=,BC=2AB=2CD=2,点P为棱AC的中点,E,F分别为直线DP,AB上的动点,则线段EF长度的最小值为 (　 )
A. B. C. D.
13.(多选题)[2024·江苏常州一中高二期中] 设空间两个单位向量=(m,n,0),=(0,n,p)与向量=(1,1,1)的夹角都等于,则cos∠AOB的值可以为 (　 )
A. B.
C. D.
14.已知点A(1,2,1),B(3,3,2),C(1,4,3),若D在线段AB上,且满足CD⊥AB,则点D的坐标为　　　　.
15.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=,O为BC的中点,M为棱B1C1上的动点,N为AM上的动点,且=,则线段MN长度的取值范围为 (　 )
A. B.
C. D.[,]
16.如图,已知矩形ABCD的对角线交于点E,AB=m,BC=1,将△ABD沿BD翻折,若在翻折过程中存在某个位置,使得AB⊥CE,则m的取值范围是 (　 )
A.(0,] B.(0,]
C.(0,1] D.(0,]第2课时　空间向量数量积的坐标运算及空间两点间的距离公式
【课前预习】
知识点一
x1x2+y1y2+z1z2　x1x2+y1y2+z1z2=0　
知识点二
1.
2.
【课中探究】
探究点一
例1　(1)B　(2)-　[解析] (1)a=(1,2,-1),b=(-1,3,2),所以2b=2(-1,3,2)=(-2,6,4),a+b=(0,5,1),所以a-2b=(3,-4,-5),故(a+b)·(a-2b)=0×3+5×(-4)+1×(-5)=0-20-5=-25.故选B.
(2)由a=(0,2,3),b=(-2,4,6),得a+kb=(-2k,2+4k,3+6k),因为a⊥(a+kb),所以a·(a+kb)=0+2(2+4k)+3(3+6k)=0,则26k+13=0,解得k=-.
变式　(1)C　(2)A　[解析] (1)根据空间向量数量积的坐标公式得a·b=-1+0-2m=-3,解得m=1.故选C.
(2)∵a+b=(-2,-1,2),a-b=(4,-3,-2),∴a=(1,-2,0),b=(-3,1,2),∴a·b=-3-2+0=-5,故选A.
探究点二
例2　(1)C　(2)D　[解析] (1)由题知B(2,7,5),C(4,9,7),则D(3,8,6),又A(1,2,3),所以AD=||==7.故选C.
(2)设三个面的公共顶点为A,以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则O(2,2,2),因为点P到该正方体共顶点的三个面的距离分别为2,1,1,所以可取P(2,1,1),所以OP=||==.故选D.
变式　解:(1)由A(3,2,1),B(1,0,4),可得线段AB中点的坐标是,即,AB=||==.
(2)因为点P(x,y,z)到A,B两点的距离相等,
所以||=||,即=,化简得4x+4y-6z+3=0,即为点P的坐标满足的条件.
探究点三
例3　解:(1)证明:以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则D(0,0,0),E(0,0,1),F(1,1,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),B1(2,2,2),G.
因为=(1,1,-1),=(-2,0,-2),所以·=(1,1,-1)·(-2,0,-2)=1×(-2)+1×0+(-1)×(-2)=0,所以⊥,即EF⊥B1C.
(2)因为=,所以||=.
因为||=,且·=(1,1,-1)·=2-=,所以cos<,>===.
(3)因为H是C1G的中点,所以H,
又因为F(1,1,0),所以=,故||===,即HF=.
变式　(1)∪　[解析] 由向量a=(1,1,0),b=(m,0,2),可得a·b=m,|a|=,|b|=.因为cos=-,所以==-,得m=-1.所以b=(-1,0,2),所以a+kb=(1-k,1,2k),2a+b=(1,2,2).又因为向量a+kb与2a+b的夹角为锐角,所以(a+kb)·(2a+b)=1-k+2+4k>0,解得k>-1.若向量a+kb与2a+b共线,则==,解得k=.所以实数k的取值范围是∪.
(2)解:①根据题意,以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,则C(0,0,0),B(0,1,0),A(1,0,0),A1(1,0,2),B1(0,1,2),C1(0,0,2),因为M,N分别是B1C1,A1A的中点,所以M,N(1,0,1),所以MN=||=
=,
即M,N之间的距离为.
②由①知,=(1,-1,2),=(0,1,2),则||=,||=,·=0-1+4=3,
所以cos<,>===.
拓展　A　[解析] 如图,以{,,}为单位正交基底,建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),∴=(1,1,1).∵P是底面ABCD(含边界)上一动点,∴可设P(x,y,0)(0≤x≤1,0≤y≤1),则=(x,y,-1).∵A1P⊥AC1,∴·=x+y-1=0,∴y=1-x,∴||2=x2+y2+1=x2+(1-x)2+1=2x2-2x+2=2+,又0≤x≤1,∴当x=时,||2取得最小值,此时线段A1P的长度为,当x=0或x=1时,||2取得最大值2,此时线段A1P的长度为,故线段A1P长度的取值范围是.故选A.第2课时　空间向量数量积的坐标运算及空间两点间的距离公式
【学习目标】
　　1.类比平面向量,知道空间向量及其运算的坐标表示.
　　2.基于运算,能探究空间向量模的坐标公式、空间两点间的距离公式.
　　3.类比平面向量,知道空间向量平行、垂直、夹角的坐标表示.
◆ 知识点一　空间向量数量积的坐标运算
设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),且a≠0,b≠0,则
名称 满足条件
向量表示形式 坐标表示形式
a·b |a||b|cos 　　　　　　
a⊥b a·b=0 　　　　　　　　
|a| 　　　
cos
◆ 知识点二　空间两点间距离公式及线段的中点坐标
1.空间两点间的距离公式
若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则A,B两点间的距离为AB=||=　　　　　　　　　　.
2.空间线段中点的坐标公式
设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则线段AB的中点M的坐标为　　　　　　　　　　.
　　　　　 　　　　　 　　　　　
◆ 探究点一　空间向量数量积的坐标运算
例1 (1)[2025·江苏盐城五校联盟高二联考] 若a=(1,2,-1),b=(-1,3,2),则(a+b)·(a-2b)= (　 )
A.25 B.-25
C.-29 D.29
(2)已知向量a=(0,2,3),b=(-2,4,6).若向量a与a+kb垂直,则实数k的值为　　　　.
变式 (1)已知a=(-1,3,-2),b=(1,0,m),且a·b=-3,则m= (　 )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
(2)若a+b=(-2,-1,2),a-b=(4,-3,-2),则a·b= (　 )
A.-5 B.-1 C.5 D.7
[素养小结]
关于空间向量数量积的坐标运算的两类问题
(1)直接计算问题
首先将空间向量用坐标表示出来,然后准确运用空间向量数量积的坐标运算公式计算.
(2)求参数值
首先把向量坐标形式表示出来,然后通过数量积运算建立方程(或方程组),解方程(或方程组)求出参数.
◆ 探究点二　空间两点间的距离
例2 (1)在空间直角坐标系中,点A(1,2,3),B(2,7,5),C(4,9,7),则点A到BC的中点D的距离为 (　 )
A.2 B. C.7 D.6
(2)[2025·北京丰台区高二期中] 在棱长为4的正方体内有一点P,它到该正方体共顶点的三个面的距离分别为2,1,1,记正方体的中心为点O,则OP= (　 )
A. B. C.2 D.
变式 已知A(3,2,1),B(1,0,4),求:
(1)线段AB的中点坐标和线段AB的长度;
(2)到A,B两点距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件.
[素养小结]
利用空间两点间的距离公式求空间两点间距离的步骤:
(1)建立适当的坐标系,并写出相关点的坐标;
(2)代入空间两点间的距离公式求值.
◆ 探究点三　利用数量积公式求夹角及模
例3 如图,在棱长为2的正方体中,E,F分别是DD1,DB的中点,G在棱CD上,且CG=CD,H是C1G的中点.建立适当的空间直角坐标系,解决下列问题.
(1)求证:EF⊥B1C;
(2)求cos<,>;
(3)求HF的长.
变式 (1)[2025·江苏海门中学期中] 已知向量a=(1,1,0),b=(m,0,2),cos=-,若向量a+kb与2a+b的夹角为锐角,则实数k的取值范围是　　　　.
(2)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,M,N分别是B1C1,A1A的中点.
①求M,N之间的距离;
②求cos<,>的值.
[素养小结]
利用空间向量的坐标运算求夹角与模的一般步骤
(1)建系:根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系.
(2)求坐标:①求出相关点的坐标;②写出向量的坐标.
(3)论证、计算:结合公式进行论证、计算.
(4)转化:转化为夹角与距离问题.
拓展 [2024·杭州二中高二期中] 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是底面ABCD(含边界)上一动点,满足A1P⊥AC1,则线段A1P长度的取值范围是 (　 )
A.
B.
C.[1,]
D.[,]

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