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第十七章 因式分解 单元综合练习
一、选择题
1.在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是( )
C.(m+1)(m-1)=m -1
2.下列因式分解正确的是( )
A. ax+ ay=a(x+y)+1 B.3a+3b=3(a+b)
3.若 能用完全平方公式因式分解，则k 的值为( )
A.9 B.-9 C.±9 D.±3
4.有一道因式分解题： 其中“■”是被墨迹污染看不清的单项式，这个单项式不可能是( )
A.2x B.-2x C. y
5.整式 与 的公因式是( )
A. n B. n C. n+1 D. n-1
6.下列多项式不能用公式法进行因式分解的是( )
7.将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是( )
8.多项式. 可分解为(x-5)(x-b),则a,b的值分别是( )
A.-10和-2 B.-10和2 C.10和 2 D.10和-2
9.(2024·江苏南京中考)任意两个奇数的平方差总能( )
A.被3 整除 B.被5整除 C.被6整除 D.被8整除
10.由多项式乘法可得多项式乘法的立方和公式： 故有 下列应用这个公式进行的变形不正确的是( )
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二、填空题
11.把多项式 分解因式时，应提取的公因式是 .
12.(2024·黑龙江哈尔滨中考)把多项式 分解因式的结果是 .
13.分解因式：(x-2)(x-4)+1= .
14.若a-2b=-2,则整式 的值为 。
15.分解因式 的结果是 .
16.已知实数m 满足 则
三、解答题
17.分解因式：
、
18.计算:
(2)1.38×29-17×1.38+88×1.38.
19.如图，将一块边长为a cm的正方形纸片的四个角各剪去一个边长为 的小正方形.试用含a，b的代数式表示剩余部分的面积，并用分解因式法求当(a=9.7 cm,b=0.15 cm时,剩余部分的面积.
20.有一张边长为a 厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b 厘米，木工师傅设计的三种方案如图所示：
小明发现这三种方案都能验证公式： 对于方案一，小明是这样验证的：
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程.（ ）
21.数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数 N 能否表示为 均为自然数)”的问题.
(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下(n为正整数)：
N 奇数 4的倍数
表示结果 … …
一般结论 4n=
按上表规律，完成下列问题：
(2)兴趣小组还猜测:像2,6,10,14,…这些形如4n—2(n为正整数)的正整数N不能表示为x -y (x,y均为自然数).师生一起研讨，分析过程如下：
假设 其中x，y均为自然数.
分下列三种情形分析：
①若x，y均为偶数，设.x=2k,y=2m,，其中k，m均为自然数，则 为4 的倍数。
而4n-2不是4的倍数，矛盾.故x，y不可能均为偶数.
②若x，y均为奇数，设.x=2k+1,y=2m+1,，其中k，m均为自然数，则 为4 的倍数.
而4n-2不是4的倍数，矛盾.故x，y不可能均为奇数.
③若x，y一个是奇数一个是偶数，则 为奇数.
而4n—2是偶数，矛盾.故x，y不可能一个是奇数一个是偶数.
由①②③可知，猜测正确.
阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容，并写出推理过程.
22.阅读下列材料：
常用的分解因式方法有提公因式、公式法等.但有的多项式只用上述方法无法分解，如 细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：
分组
=(x-2y)(x+2y)+2(x-2y) 组内分解因式
=(x-2y)(x+2y+2) 整体思想提公因式
这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
(1)分解因式：
(2)已知△ABC 的三边a,b,c 满足 判断 的形状并说明理由.
1. D【解析】选项 A 等号左边不是多项式，选项B等号右边不是整式，选项 C是整式的乘法，选项 D是因式分解.
2. B 【解析】3a+3b=3(a+b),故选B.
3. A 【解析】6x=2·x×3,故
4. D 【解析】 不能进行因式分解，故选 D.
5. C 【解析】 所以整式 与 的公因式是(n+1),故选C.
6. B 【解析】 而 不能用公式法进行因式分解，故选B.
7. C 【解析】选项A中,原式=(a+1)(a-1);选项B中,原式=a(a+1);选项C中,原式=(a-1) ;选项D中,原式=(a+1) .故选C.
8. A 【解析】∵x -3x+a=(x-5)(x-b)=
∴b+5=3,5b=a.解得(b=-2,a=-10.
9. D 【解析】设这两个奇数分别为2m+1和2n+1,故( 1)(2m+1-2n-1)=(2m+2n+2)(2m—2n)=4(m+n+1)(m-n).
∵m-n或m+n+1必有一个为偶数,
是8的倍数.
10. C 【解析】 故选项C错误.
【解析】 故应提取的公因式是
12.2(a+3)(a-3) 【解析】原式= 3)(a-3).
【解析】原式
14.16 【解析】4
【解析】
16.8 【解析】因为 所以
所以.
17.【解】(1)原式:
(2)原式
(3)原式:
(4)原式:
18.【解】(1)原式:
(2)原式=1.38×(29-17+88)=1.38×100=138.
19.【解】剩余部分的面积是(
当a=9.7 cm,b=0.15 cm时,剩余部分的面积=a -4b =(a+2b)(a-2b)=(9.7+2×0.15)×(9.7-2×0.15)=10×9.4=94(cm ).
20.【解】由题意可得：
方案二：
方案三：
21.【解】(1)(1)7 5
(2)4(k+m+1)(k-m) (2k+1) -(2m+1) =(2k+1+2m+1)(2k+1-2m-1)=4(k+m+1)(k-m).
22.【解】( (-9x+3y)=(3x+y)(3x-y)-3(3x-y)=(3x-y)(3x+y-3).
(2)△ABC 为等腰三角形.
理由：
∴(a+b)(a-b)-c(a-b)=0,
∴(a-b)(a+b-c)=0,
∴a-b=0或a+b-c=0.
∵△ABC三边a,b,c都大于0,
∴a+b-c>0.
∴a-b=0,即a=b,
∴△ABC 为等腰三角形.

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