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第十三章 三角形单元综合练习卷
一、选择题
1.下列说法正确的是（ ）
A.三角形不一定具有稳定性 B.三角形的一个外角等于两个内角的和
C.三角形的重心一定在三角形内部 D.直角三角形只有一条高
2.用三角尺作△ABC 的边BC 上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
3.如图，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（ ）
4.如图,在△ABC中,D 是AB 边上一点,连接CD.下列角中,大小与∠B+∠BCD 相等的是（ ）
A.∠ADC B.∠BDC C.∠A D.∠ACB
5.如图,分别过△ABC 的顶点A,B 作AD∥BE.若∠CAD=25°,∠EBC=80°,则∠ACB 的度数为( )
A.65° B.75° C.85° D.95°
6.如图，平面镜MN 放置在水平地面CD 上，墙面PD⊥CD 于点D，一束光线AO 照射到镜面MN 上,反射光线为OB,点 B 在 PD 上,法线垂直于地面,∠1=∠2.若∠AOC=35°,则∠OBD 的度数为( )
A.35° B.45° C.55° D.65°
7.已知△ABD 的周长为25 cm,AD 是△ABC 的中线,AB 比AC 长6 cm,则△ACD的周长为（ ）
A.19 cm B.22 cm C.25 cm D.31 cm
8.在△ABC中,∠B=45°,AB=3,三角形的高AD 与高BE 所在直线交于点H,点 H在△ABC的外部，以下对∠C 的描述正确的是（ ）
A.∠C是锐角 B.∠C是直角
C.∠C 是钝角 D.∠C 是锐角或钝角
9.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（ ）
A.60° B.75°
C.60°或150° D.60°或120°
10 如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使点A 落在△ABC 外的点A'处，折痕为 DE.如果 那么下列式子中正确的是（ ）
A.γ=2α+β
B.γ=α+2β
C.γ=α+β
二、填空题
11.如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路(B，C为小路端点)和一棵小树(A为小树位置).测得△ABC为等边三角形,BC=48m,则AC= m.
12.下列条件:①∠A:∠B:∠C=1:1:2,②∠A+∠B=∠C,③∠B=90°-∠A, 其中能确定△ABC 是直角三角形的有 .(填序号)
13.如图,点D 是△ABC 的边BC 上异于B,C 的任意一点,点E 是线段AD 的中点,若S△ABC=12,贝，则阴影部分的面积为 .
14.如图,AD 是△ABC 的角平分线,CE 是△ABC 的高, 若点 F 为边AB 上一点，当△BDF 为直角三角形时，则∠ADF 的度数为 .
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15.如图,在△ABC中,AE ,BE 分别满足. 在 △ABE 中, AE , BE 分 别 满 足 以此规律作下去，若∠C=m°，则
三、解答题
16.如图,在锐角三角形 ABC 中,BC 边上有 E,D,F 三点, 垂足为 F.
(1)以AD 为中线的三角形有 ；以AE 为角平分线的三角形有 ；以AF 为高的钝角三角形有 .
(2)若 求 的度数.
17.已知 的三边长分别为a，b，c.
(1)化简:
(2)若a=5,b=2,，且三角形的周长为偶数.
①求c 的值;
②试判断 的形状.
18.如图,在 中，点 D 是边AC上的一点，连接BD，且
(1)求 的度数；
(2)若 BD 平分 求证
19.如图,AD为 的中线，BE为 的中线.
(1)若 求 的度数；
(2)在 中作BD边上的高；
(3)若 的面积为60，BD=5,,求点 E 到 BC边的距离.
20.如图,已知 P 为 内部一点,连接BP,PC.过点 P 作直线交AB,AC 于点M,N,证明:AB+AC>PB+PC.
21.如图1，有一块三角形菜地，若从顶点 A 修一条笔直的小路交BC 于点D，小路正好将菜地分成面积相等的两部分.
(1)画出点 D 的位置.
(2)假设在菜地中有一点 E，如图2，BC 上是否存在点 F，使折线 A—E——F 将 分为面积相等的两部分 若存在，请画出点F 的位置，并说明理由.
1. C【解析】三角形具有稳定性，选项 A 说法错误；三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，选项B说法错误；选项C说法正确；直角三角形有三条高，选项D说法错误.
2. B【解析】根据三角形高的定义，可知选项 B符合题意.
3. B【解析】观察图形，选项 B被剪成的两较短木棒长的和大于上面的木棒的长，能围成三角形，故符合题意.
4. A 【解析】由两内角∠B 与∠BCD,可确定这两个角所在的三角形为△BCD，与这两个内角都不相邻的外角为∠ADC，根据三角形外角的性质，∠ADC即为所求.
5. B 【解析】因为 AD∥BE,所以∠ADC=∠EBC=80°.因为在△ACD 中,∠CAD+∠ADC+∠ACB=180°,∠CAD=25°,所以.
6. C 【解析】因为 PD⊥CD,所以∠BDO=90°.因为法线垂直于地面,所以∠1+∠AOC=∠2+∠BOD.
又因为∠1=∠2,所以∠BOD=∠AOC=35°,所以
7. A 【解析】因为AD 是BC 边上的中线,所以BD=CD,所以△ABD 与△ACD 周长的差为(AB+BD+AD)-(AC+AD+CD)=AB-AC.因为△ABD 的周长为25 cm,AB 比AC 长6 cm,所以△ACD 的周长为25-6=19(cm).
8. D【解析】因为三角形的高AD与高BE 所在直线交于点H,点 H 在△ABC 的外部,所以△ABC 是钝角三角形.因为∠B=45°，所以∠C 是钝角或∠A是钝角.当∠C 是钝角时，∠A 是锐角，高AD 的垂足在BC的延长线上，高BE 的垂足在AC的延长线上，它们所在的直线的交点在△ABC 的外部；当∠A 是钝角时,∠C 是锐角,高 AD 的垂足在 BC上，高BE的垂足在CA 的延长线上，它们所在的直线的交点在△ABC 的外部.因此，当∠C 是钝角或锐角时，三角形的高AD 与高BE 所在直线的交点H 都在△ABC 的外部,故选 D.
9. D【解析】当顶角为钝角时，顶角的度数为 90°+ ；当顶角为锐角时，顶角的度数为 90°一
10. A 【解析】由折叠,得∠A=∠A',∵∠BDA'=∠A+∠AFD=∠A+∠A'+∠CEA',
∴γ=α+α+β=2α+β,故选 A.
11.48 【解析】因为△ABC 为等边三角形,所以AC=BC=48m.
12.①②③④ 【解析】①由三角之比可知∠A 与∠B互余，∠C 为直角，故可确定△ABC 是直角三角形；②由条件得∠C 占内角和的一半，即为 90°，故可判断是直角三角形;③由∠B=90°-∠A,得∠B+∠A =90°,即∠A 与∠B 互余,能确定△ABC 是直角三角形;④由条件可求∠A=∠B=45°,∠C=90°,故能确定△ABC 是直角三角形.
13.6 【解析】由点 E 是线段 AD 的中点,可知S△ABE=S△BDE,S△AEC=S△CED,
所以 所以阴影部分的面积为6.
14.60°或18°【解析】如图①,当∠BFD=90°时,因为 AD 是△ABC的角平分线,∠BAC=60°,所以∠BAD=30°,所以∠ADF=60°.
如图 ②, 当 ∠BDF = 90°时, 同 理 可得∠BAD=30°.
因为∠BAC=60°,∠ACB=78°,所以∠B=42°,
所以∠BDA = 180° - ∠B - ∠BAD = ,所以∠ADF=∠BDA-
综上所述,∠ADF 的度数为18°或 60°.
15. 【解析】由题意 可设 ∠ E AD= α 、∠E BD=β,则∠CAB=3a,∠CBD=3β.面三角形的外角的性质,得β=a+∠E 、ββ=3a+∠C、 间理可求 即
16.【解】(1)△ABC △ABD △ABE,△ABD、△ADE
(2)在△ABC 中,∠BAC=88°,∠B=35°,
所以
因为AF⊥BC,所以.
17.【解】(1)因为a,b,c 是△ABC 的三边长,
所以a-b-c<0,b-c-a<0,a+b-c>0,
所以|a-b-c|-|b-c-a|+|a+b-c|=-a+b+c+b-c-a+a+b-c=-a+3b-c.
(2)①因为a=5,b=2,所以5-2②因为a=c=5,所以△ABC 是等腰三角形.
18.(1)【解】因为∠BDC=∠A+∠ABD,∠BDC=65°,∠A =40°,所以∠ABD=∠BDC-∠A =
(2)【证明】因为 BD 平分∠ABC,∠ABD=25°,所以∠ABC=2∠ABD=50°,
所以 所以△ABC 是直角三角形,∠C=90°,所以AC⊥BC.
19.【解】(1)因为∠BED 是△ABE 的一个外角,所以∠BED=∠ABE+∠BAD=15°+35°=50°.
(2)如图,所作 EF 即为△BED 中 BD 边上的高.
(3)因为 AD 为△ABC 的中线,BE 为△ABD的中线，所以
因为 BD=5,所以在△BED 中,BD 边上的高EF=2S△BED÷BD=2×15÷5=6,即点 E 到 BC边的距离为6.
20.【证明】在△AMN 中, AM +AN > MN;在△MPB 中,MP+MB>BP;在△NPC 中,NP+NC>PC.将三个不等式左边、右边分别相加，得AM+AN+MP+MB+NP+NC>MP+NP+PR+PC,即AB+AC>PB+PC.
21.【鳞】(Ⅰ)如图①,取 BC中点D,连接AD.
(2)如图②,取 BC 中点D,连接AE,DE,过A作AF∥DE,交 BC 于点F,连接EF,则折线A—E—F 即为所求。
理由：由(1)知 S四边形ABDE+S△DEF,S△ABD=S≌边形ABDE+S△ADE·
因为AF∥DE,所以S△ADE=S△DEF
所以 即

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