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(共26张PPT)
13.1.3 三角形中几条重要线段
沪科版·八年级上册
学习目标
1
2
3
理解三角形的高、中线与角平分线的概念，了解定义、三角形的重心的概念；
能正确作出一个三角形的高线、中线、角平分线，并掌握相关性质；
经历画图、观察、操作、描述等实践过程，加深对知识的理解，感受数学语言的准确性.
情境导入
你还记得如何 “过一点画已知直线的垂线” 吗？
l
A
B
推进新课
知识点1
三角形的高
问题1：过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗
A
B
C
D
从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫作三角形的高线，也叫作三角形的高.
注意：标明垂直的记号和垂足的字母.
如右图，线段 AD 是 BC 边上的高.
问题2：你还能作出△ABC的另外两条高吗？
一个三角形有三个顶点，应该有三条高.
A
B
C
D
锐角三角形的三条高
(1) 你能画出这个三角形的三条高吗？
(2) 这三条高之间有怎样的位置关系？
(3) 锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部？
锐角三角形的三条高交于同一点.
锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
O
直角三角形的三条高
A
B
C
D
直角边BC边上的高是 ；
直角边AB边上的高是 .
(2) AC边上的高是 ；
(1) 画出直角三角形的三条高，
AB
BC
它们有怎样的位置关系？
直角三角形的三条高交于直角顶点.
BD
钝角三角形的三条高
(1) 你能画出钝角三角形的三条高吗？
(2) AC边上的高呢？
AB边上的高呢？
BC边上的高呢？
BF
CE
AD
A
B
C
D
F
O
E
(3)钝角三角形的三条高交于一点吗？
(4)它们所在的直线交于 一点吗？
钝角三角形的三条高不相交于一点.
钝角三角形的三条高所在的直线交于一点.
三角形的三条高的特性：
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
高在三角形内部的数量
高之间是否相交
高所在的直线是否相交
三条高所在直线的交点的位置
3
1
1
相交
相交
不相交
相交
相交
相交
三角形内部
直角顶点
三角形外部
三角形的三条高所在直线交于一点.
练一练
作△ABC 的边 AB 上的高，下列作法中，正确的是(　　)
D
方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：
(1)过该边所对的顶点；
(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上．
知识点2
三角形的角平分线
问题3：准备一个三角形纸片ABC，按图所示的方法折叠，展开后，折痕AD把∠ABC分成∠1和∠2两个角．∠1和∠2有什么关系？
C
A
B
C
A
B
C
A
B
D
C'
1
2
D
C
A
B
C
A
B
C
A
B
D
C'
1
2
三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.
如图，在△ABC 中，∠1 =∠2，
线段 AD 就是∠ABC 的一条角平分线.
D
想一想：三角形的角平分线与角的平分线有什么不同
不同点是：前者是线段，后者是射线.
每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个.
(1) 你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗？
(2) 你能用折纸的办法得到它们吗？
(3) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系？
探究
三角形共有三条内角平分线，它们交于三角形内一点.
三角形的三条角平分线交于一点，称之为三角形的内心.
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
C
A
B
D
F
F
A
B
C
C
B
A
练一练
如图，在△ABC中，∠BAC 60°，∠B 45°，AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数.
A
B
D
C
解：因为AD是△ABC的角平分线，∠BAC 60°，
所以∠BAD ∠DAC 30°.
因为在△ABD中，∠B ∠ADB ∠BAD 180°，
所以∠ADB 180° ∠B ∠BAD
180° 45° 30° 105°.
知识点3
三角形的中线
问题4：你能经过三角形的一个顶点画一条线段，将这个三角形分为面积相等的两个三角形吗？
三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫作三角形的中线.
如图，在△ABC中，点E是BC的中点，线段AE就是△ABC的一条中线.
B
C
A
E
BE = EC
问题5：任意画一个三角形，画出它的所有中线，它们有什么特点？
A
B
C
D
E
F
A
B
C
A
B
C
(1)任何三角形有三条中线，都在三角形的内部，并且交于一点；
(2)三角形的中线是一条线段；
(3)三角形的任意一条中线把这个三角形分成了两个面积相等的三角形.
A
B
C
D
E
F
A
B
C
A
B
C
三角形三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心.
练一练
在△ABC中，CD是中线，已知BC－AC =5cm，△DBC的周长为25cm，求△ADC的周长.
A
D
B
C
AC (BC－5) cm
解：因为CD是△ABC的中线，
所以BD AD.
又因为BC AC 5cm，
△DBC的周长 BC BD CD 25cm，
所以△ADC的周长 AD CD AC
BD CD BC 5 25 5 20(cm).
总结
三角形的重要线段 图形 特点 数量 位置
三角形的高
三角形的中线
三角形的角平分线
锐角三角形：内部；
钝角三角形：外部；
直角三角形：直角顶点
3
3
3
交点叫作三角形的重心.在三角形内部
在三角形内部
随堂练习
1. 填空：
（1）如果AD是△ABC的高，那么∠BDA=_______；
（2）如果BE是△ABC的角平分线，那么∠ABE=∠______=∠_______；
（3）如果CM是△ABC的中线，那么△ACM的面积_____△BCM的面积（填“<”“>”或“=”）.
【教材P70 练习 T1】
90°
ABC
EBC
=
【教材P71 练习 T2】
2.如图，在△ABC中，AB=AC，画出底边BC上的中线AD、高AH和△ABC的角平分线AM，那么AD，AH，AM有什么关系？
画图可发现三条线段重合.
【教材P71 练习 T3】
3.下列各图中，AD是不是△ABC中边BC上的高？如果不是，请你画出△ABC中边BC上的高.
D
D
课堂小结
A
B
C
D
从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫作三角形的高线，也叫作三角形的高.
三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.
C
A
B
1
2
D
B
C
A
E
三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫作三角形的中线.
布置作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。

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