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专题3.1 勾股定理的探究
基础知识夯实
知识点01 勾股定理的发现
1.勾股定理：
文字语言：如图，直角三角形两直角边的 平方和 等于斜边的 平方 。
符号语言：如图，在中，，则： a2+b2=c2 。
注意：勾股定理的使用条件：必须是 直角三角形 ，其他三角形不能使用！且要确定好哪条边是 斜边 。
2.勾股定理的运用：
①已知直角三角形的任意两边长，求 第三边 ；
②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的 数量关系 ；
③在网格中绘制长度为无理数的 线段 ；
④解决一些生活实际问题：梯子问题、面积问题等；
⑤解决空间几何中的长度问题，解决简单的最值问题。
知识点02 勾股定理的证明
1.勾股定理的证明方法：勾股定理的证明方法很多，常见的是 拼图 法。
图1：赵爽弦图证法；图2：毕达哥拉斯证法；图3：总统证法；图4：其他面积证法；
图1 图2 图3 图4
2.用拼图的方法验证勾股定理的思路是：
①图形经过 割补 拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积 不会改变 ；
②根据同一种图形的面积 两种 不同的表示方法，列出等式，推导出 勾股定理 。
典型案例探究
知识点01 勾股定理的发现
例1．（25-26八年级上·广东随堂练习）在中，，，则的长是（　　）
A．17 B．或13 C．17或 D．13或17
【答案】C
【详解】解：在中，，，若，则，
若，则；
综上，的长是17或．故选：C．
【变式1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，若，，则的长为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】B
【详解】解：连接，∵，，，∴，
∵是的垂直平分线，∴，∴．故选：B
【变式2】（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，要在门上方的墙上点处装一个由传感器控制的灯，点离地面，任何东西只要移至该灯及内范围，灯就自动发光．已知小军身高，若他走到处灯刚好发光，则他离墙的水平距离是（ ）
A． B． C． D．2m
【答案】B
【详解】解：当人走到点的位置，头顶与点距离是时，灯刚好自动发光，作于，

则，在中，，
答：身高的学生要走到离墙的地方灯刚好发光．故选：B．
【变式3】（24-25八年级下·陕西铜川·阶段练习）如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（ ）
A．64 B．36 C．12 D．6
【答案】B
【详解】解：在中，，由勾股定理得：，
∴正方形和正方形的面积和为 36 ，故选：B．
【变式4】（24-25八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）如图，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外作正方形、半圆、等边三角形、半圆，这四个图形中，，之间的关系满足的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】解：设两直角边分别为a，b，斜边为c，则，
图1中， ，∵，∴，故图1符合题意；
图2中，，，，
∵，∴，故图2符合题意；
图3中，作于点G，则，，
∴，∴，同理：，，
∵，∴，故图3符合题意；
图4中，由图2中推导过程可得：，故图4符合题意
综上，这四个图形中，，之间的关系满足的个数为4个，故选：D．
【变式5】（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图是一株美丽的勾股树．所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为，则正方形、、、的面积的和是 ．
【答案】/49平方厘米
【详解】解：如图所示，在中，由勾股定理得，
由正方形的面积计算公式可得，
∴，同理可得，，
∴，故答案为：．
知识点02 勾股定理的证明
例1．（2025八年级下·河南·专题练习）我国是最早了解勾股定理的国家之一．古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：、大正方形的面积为：，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，∴，故原选项能证明勾股定理，不符合题意；
、大正方形的面积为：，也可看作是个矩形和个小正方形组成，则其面积为：，
∴，∴原选项不能证明勾股定理，符合题意；
、大正方形的面积为：，也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，∴，∴，故原选项能证明勾股定理，不符合题意；
、梯形的面积为：，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：，∴，
∴，故原选项能证明勾股定理，不符合题意；故选：．
【变式1】（24-25八年级下·安徽亳州·期末）【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．（1）在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）拼成，用它可以验证勾股定理；（2）图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）和直角边为的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理
【问题解决】（1）在直角三角形中，直角边分别为，，斜边为，从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理；
（2）勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是（ ）；
A．函数思想 B．整体思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想
【知识应用】（3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路的长．
【答案】（1）见解析；（2）D；（3）0.8千米
【详解】解：（1）根据赵爽弦图进行证明：
∵，∴，∴．
根据“总统证法”进行证明：∵，
∴，∴，∴．
（2）勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是数形结合思想．故选：D
（3）当时，最小，能最大限度节省铺路的费用．
设千米，则（千米）
∵，∴在中，，
在中，，
∴，解得，∴千米，
∴（千米）．答：新修路的长为0.8千米．
【变式2】（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边（），下列三个推断：①；②；③．其中所有正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】解：由题知，因为大正方形的面积为49，所以大正方形的边长为7，
则由勾股定理得，．故①正确．
因为小正方形的面积为4，所以小正方形的边长为2，则．故③正确．
大正方形面积为49，小正方形面积为4，∴每个直角三角形面积为，
，∴，所以（舍负）．故②错误．故选：C．
课后作业
A
一、单选题
1．直角三角形的周长为，斜边上的中线长为1，则它的面积是（ ）
A．1 B． C． D． E．2
【答案】D
【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线性质，勾股定理，
先求出，再求出，然后根据勾股定理得，接下来根据，再代入求出，最后根据三角形的面积得出答案.
【详解】解：令这个直角三角形的直角边为a、b，斜边为c，
∵直角三角形的斜边上的中线长为1，
∴，
∵周长为，
即，
∴，
根据勾股定理，得，
∴，
即，
解得，
所以这个三角形面积.
故选：D.
2．等腰三角形的腰长为，底边长为，它的底边上的高线长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，由三线合一可得，再利用勾股定理解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：如图，∵，，，
∴，
∴，
故选：．
3．如图，是第14届国际数学教育大会的会标，数学元素无处不在，画面非常几何化，主画面由圆和螺线组成，呈中心对称，其中的“弦图”也是中国数学会的徽标，充分展示了中国古代数学的灿烂，利用“弦图”所证明的数学定理是（ ）
A．三角形内角和定理 B．垂径定理 C．正弦定理 D．勾股定理
【答案】D
【分析】本题考查用“赵爽弦图”证明勾股定理，作出图象，设四个全等的直角三角形，边长为，围成了一个边长为c和的大正方形和小正方形，根据大正方形的面积小正方形的面积4个直角三角形的面积列出等式，化简等式即可得到勾股定理．
【详解】
如图，四个全等的直角三角形，边长为，围成了一个边长为c和的大正方形和小正方形，
则，
化简得，
此即为勾股定理，
故“弦图”所证明的数学定理是勾股定理，
故选：D．
4．如图，射线在的内部，且，点P在上，于点D，于点E．若，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】此题考查了角平分线的性质与勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．由，利用勾股定理，即可求得的长，然后由角平分线的性质，可得．
【详解】解：，
，
∵，
，
，点在上，，，
．
故选：C．
二、填空题
5．如图，在中，是边上的中线，则的长为 ．
【答案】13
【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形的中线，
先根据中线的定义求出，再根据勾股定理求出答案即可．
【详解】解：∵是边的中线，且，
∴，
在中，，，
解得．
故答案为：13．
6．如图，在中，是边的中线，于点D，若，则的长是 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，三角形的中线；先根据勾股定理得，进而求出，再结合中线的定义得，最后根据得出答案.
【详解】解：设，则，
因为于点D，
所以和都是直角三角形．
根据勾股定理，得，
所以，
即，
解得，
则．
又因为为边上的中线，所以，
所以．
7．如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：），可以计算出两孔中心B和C的距离为 ．
【答案】150
【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是根据图形得出，的长度．
根据图形分别得出，的长度，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：由图可知：，，
根据勾股定理可得：．
故答案为：150．
8．图1是第七届国际数学教育大会（ICME—7）的会徽图案．如图2所示，如果，那么的长为 ．
【答案】6
【分析】本题考查勾股定理、数字类规律探索．根据勾股定理可以求得的值，即可发现数值的变化特点，从而可以求得的长．
【详解】解：根据题意得：，
，
，
……，
由此发现，，
∴．
故答案为：6
三、解答题
9．如图，在中，，点D是上一点，，，，求的长．
【答案】7
【分析】本题考查了勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，解题关键是熟知等腰直角三角形的性质与勾股定理的应用．
先根据勾股定理求出的长，再根据等腰直角三角形求出的长，即可通过求出的长．
【详解】解：在中，
，
∵，，，
∴，
∴．
故的长为7．
10．如图，在Rt中，的垂直平分线分别交于点．若，求的长．
【答案】的长为
【分析】本题考查了勾股定理，垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得，再在中，运用勾股定理得，代入数值进行计算，即可作答．
【详解】解：连接．
∵的垂直平分线分别交于点，
∴．
设，
则．
在中， ，
即，
解得，
∴的长为．
11．如图，商场和超市都在笔直的街道上，小明家在街道外的处，已知小明家到商场的距离为1300米，到超市的距离为500米，且，则商场到超市的距离为多少米？
【答案】米
【分析】本题考查勾股定理的应用，先连接，根据题意可知是直角三角形，然后根据勾股定理即可求得的长．
【详解】解：连接，
由已知可得，，米，米，
∴，
∴（米），
答：商场P到超市B的距离为1200米．
12．如图，有一个直角三角形纸片，两直角边为，现将直角边沿的角平分线折叠，使它落在斜边上，且与重合，你能求出的长吗？
【答案】的长为．
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，折叠的性质，
先根据勾股定理求出，再根据折叠的性质得，，然后根据勾股定理列出方程，求出解即可.
【详解】解：设的长为则，
根据勾股定理，得，
即，
解得.
根据折叠的性质得，，
∴，
根据勾股定理，得
即，
解得，所以的长为．
B
一、单选题
1．如图所示，四边形中，为等边三角形，，，，则的长为（ ）
A．6 B．5 C． D．4 E．3
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形中勾股定理的运用，证明是解题的关键．以为边作等边三角形，易证，即可证明，由全等三角形的性质可得，证出，根据勾股定理即可求得DE的长，即可解题．
【详解】解：以为边作等边三角形，连接，
∵，是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
2．如图，在中，，则边上的高为（ ）
A．0.6 B． C．1.2 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查勾股定理，三角形的高；根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，结合，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴是直角三角形，
∴，
∵是的斜边上的高，
∴
∴，
故选：B．
3．如图，在中，，，点P是内一点，，且，那么的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
如图，把绕C逆时针旋转得到，连接，可以证明、为等腰直角三角形，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，把绕C逆时针旋转得到，连接，
∴，，，
∴为等腰直角三角形，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
是等腰直角三角形，，
∵，
∴，
，
，
，
，
故选：D．
4．某研究院承担了当地山体隧道的设计工作，为了得到A，B两点之间的距离，测得山体附近地形数据简图如图所示（此为山体从上往下看得到的图形，图中测量线拐点处均为直角），则隧道的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的应用．先补全长方形，可知，，进而根据勾股定理计算即可．
【详解】解：根据题意，补全长方形如图所示：
∴，，
∴，
故选：C．
二、填空题
5．如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于、两点，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理，数形结合、列出方程是解题的关键；
先根据勾股定理求出，再根据线段垂直平分线的性质得到，设，然后在直角三角形中，根据勾股定理构建方程求解即可．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
设，则,
则在直角三角形中，根据勾股定理可得：，
即，
解得：，即；
故答案为：．
6．如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点，，连接交边于点，连接．若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查基本作图，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，先由基本作图得直线垂直平分，再推出，，再根据含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：由题意可知，直线垂直平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
7．如图，在中，，分别以为直径向外作半圆，半圆的面积分别记为，则的值为 ．（结果保留）
【答案】
【分析】本题考查勾股定理、圆的面积问题．由勾股定理可得，再根据即可求解．
【详解】解：中，，
，
，
故答案为：．
8．如图，这是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为．若，则的值是 ．
【答案】675
【分析】根据题意，都由直角三角形和正方形的面积组成的，故设八个全等的直角三角形其中一个的面积为，正方形的面积为，建立等式代入即可；用、表示是解题的关键．
【详解】解：设八个全等的直角三角形其中一个的面积为，正方形的面积为，
，
，
，
，，
．
故答案为：675．
三、解答题
9．如图，，，E是上的一点，且，．
(1)是等腰三角形吗？请说明理由；
(2)若，，请求出的长．
【答案】(1)是，理由见解析；
(2)
【分析】（1）先利用平行线的性质，证明，然后证明，从而得出，那么是等腰三角形；
（2）先证明，然后利用，算得，接着根据勾股定理求得和．
【详解】（1）解：是，理由如下：
，，
，
，，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，，
，，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理，三角形内角和定理，平角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
10．如图，中，，，．
(1)求的面积；
(2)设点在上，若，求的长；
(3)设点在上，若为等腰三角形，求的长．
【答案】(1)
(2)
(3)8或10或
【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质以及分类讨论，熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解题的关键．
（1）根据勾股定理得，再由直角三角形面积公式计算即可；
（2）由可得，设，根据在中利用勾股定理列方程即可得到结论；
（3）依据为等腰三角形，分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别求解即可．
【详解】（1）解：，，，
，
∴的面积，
（2），
，
设，
，
，
解得：，
；
（3）的长为8或10或．
如图1，当时，，
如图2，当时，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
如图3，当时，过作于点，
则，
∴，
∴，
∴，
综上所述，的长为8或10或．
11．如图，某办公大楼正前方有一根高度为米的旗杆，从办公楼顶端测得旗杆顶端的俯角是，旗杆底端到大楼前石阶梯底边沿的距离是米，石阶梯坡长是米，石阶梯坡与水平地面成角，求：
(1)大楼与旗杆的水平距离；
(2)大楼的高度．
【答案】(1)米
(2)米
【分析】本题主要考查含30度角所对的直角边是斜边的一半，勾股定理和等腰三角形的判定与性质，解决此题的关键是合理的运用勾股定理；
（1）先根据含30度角所对的直角边是斜边的一半得到直角边之比，再根据勾股定理即可解决问题；
（2）先根据等角对等边得到边相等，再由（1）中的结果即可得到答案；
【详解】（1）解：延长交于，作于，如图所示：
则米，，
，
,
设米，则米，
在中，米，
由勾股定理得：，
解得：，
米，米，
米，米；
答：大楼与旗杆的水平距离是米；
（2）解：∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴米，
∴米．
答：大楼的高度为米．
12．（教材母题变式）如图①，直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为．
(1)用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②）．
①大正方形的边长为________，小正方形的边长为________；
②大正方形的面积可以表示为________，也可以表示为________；
③观察两种表示方法，可得出________，整理得________，从而验证勾股定理；
(2)将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使和在一条直线上，连接．请你类比（1）中的方法用图③验证勾股定理．
【答案】(1)①，；②，；③；
(2)见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理的验证，熟练掌握通过图形面积关系验证勾股定理的方法是解题的关键．
（1）①通过观察图②，确定大、小正方形的边长；②分别从整体和部分的角度表示大正方形的面积；③根据面积相等得出等式，进而验证勾股定理．
（2）计算图③中图形的面积，从不同角度表示后，根据面积相等验证勾股定理．
【详解】（1）解：①大正方形的边长为，小正方形的边长为．
②大正方形的面积可以表示为，也可以表示为．
③由面积相等可得，
展开得，
整理得．
（2）解：梯形的面积为，又梯形的面积为，
∴，
∴，
两边同乘得，
整理得，验证了勾股定理．
C
1．如图，长方体的长为10，宽为5，高为24，点B为棱上一点，且，如果蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，求蚂蚁爬行的最短路程是多少．
【答案】蚂蚁爬行的最短路程是25
【分析】本题主要考查长方体的展开图及勾股定理，解题的关键是熟练掌握几何体的展开图及勾股定理．由题意得：①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，②当沿长方体的右面和上面进行展开时，③当沿长方体的后面和上面进行展开时，然后利用勾股定理进行求解最短路径即可．
【详解】解：按照答图①展开，因为长方体的宽为5，高为24，点B到点C的距离是2，所以，
在中，由勾股定理，得；
按照答图②展开，因为长方体的宽为5，高为24，点B到点C的距离是2，所以，，
在中，由勾股定理，得；
按照答图③展开，因为长方体的宽为5，高为24，点B到点C的距离是2，所以，，
在中，由勾股定理，得；
因为，
所以蚂蚁按答图①爬行时，路程最短，，
答：蚂蚁爬行的最短路程是25．
2．如图所示的遮阳伞，其示意图如图，伞柄垂直于水平地面，伞圈能沿着伞柄滑动，伞骨cm，，分别是伞骨上两个定点．当伞完全撑开后，点，，在同一条直线上且平行于地面，此时cm．两个身体宽度cm的人共撑这把伞并排站立，两人之间间隔cm，问他们是否会被垂直滴下的雨水淋到？
【答案】他们会被垂直滴下的雨水淋到
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及勾股定理来求解．先证明三角形全等得出相关角度和边的关系，再利用勾股定理求出的长度，最后与两人宽度和间隔之和比较判断是否会被淋到．
【详解】解：如图
∵伞柄垂直于水平地面，伞骨cm，
∴平分,
∴，
在和中，
，
∴≌()，
∴，，
∵点，，在同一条直线上
∴
∴，
在中：cm，cm，
∴cm，
∴cm，
∵．
∴他们会被垂直滴下的雨水淋到．
3．阅读嘉琪的数学日记，思考并解决问题．
2024年9月6日 星期五 天气：晴 从勾股定理到面积关系的思考经过《探索勾股定理》一节的学习，我已经知道：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，则根据勾股定理，易得出，，之间的数量关系：________．如果将正方形改成其他图形，那么这个面积关系是否仍然成立呢？对此，我展开了探究： 如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用、、表示，我发现，、、之间有如下数量关系：________． 理由如下：…
任务一：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用、、表示，请写出、、之间的数量关系：________；
任务二：如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用、、表示，请问：任务一中、、之间的数量关系是否仍然成立？并说明理由；
任务三：如图3，四边形的对角线互相垂直，现以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为、、、，请直接写出、、、之间的数量关系．

【答案】任务一：；任务二：结论仍成立，理由见解析；任务三：．
【分析】任务一：利用勾股定理，结合正方形面积与直角三角形三边平方的对应关系，推导、、的数量关系．
任务二：先依据半圆面积公式，用直角三角形三边表示出、、，再结合勾股定理验证面积关系是否成立．
任务三：借助正方形面积与边长平方的联系，利用对角线互相垂直时，把四边形四边平方转化为直角三角形直角边平方和，推导、、、的数量关系．
此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
【详解】任务一：∵为直角三角形，如图1
，
即
故答案为：；
任务二：结论仍成立，理由如下：
为直角三角形，如图2
，
即
任务三：设相交于点，如图：
则均为直角三角形，由勾股定理得：
又
∴．中小学教育资源及组卷应用平台
专题3.1 勾股定理的探究
基础知识夯实
知识点01 勾股定理的发现
1.勾股定理：
文字语言：如图，直角三角形两直角边的 等于斜边的 。
符号语言：如图，在中，，则： 。
注意：勾股定理的使用条件：必须是 ，其他三角形不能使用！且要确定好哪条边是 。
2.勾股定理的运用：
①已知直角三角形的任意两边长，求 ；
②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的 ；
③在网格中绘制长度为无理数的 ；
④解决一些生活实际问题：梯子问题、面积问题等；
⑤解决空间几何中的长度问题，解决简单的最值问题。
知识点02 勾股定理的证明
1.勾股定理的证明方法：勾股定理的证明方法很多，常见的是 法。
图1：赵爽弦图证法；图2：毕达哥拉斯证法；图3：总统证法；图4：其他面积证法；
图1 图2 图3 图4
2.用拼图的方法验证勾股定理的思路是：
①图形经过 拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积 ；
②根据同一种图形的面积 不同的表示方法，列出等式，推导出 。
典型案例探究
知识点01 勾股定理的发现
例1．（25-26八年级上·广东随堂练习）在中，，，则的长是（　　）
A．17 B．或13 C．17或 D．13或17
【变式1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，若，，则的长为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【变式2】（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，要在门上方的墙上点处装一个由传感器控制的灯，点离地面，任何东西只要移至该灯及内范围，灯就自动发光．已知小军身高，若他走到处灯刚好发光，则他离墙的水平距离是（ ）
A． B． C． D．2m
【变式3】（24-25八年级下·陕西铜川·阶段练习）如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（ ）
A．64 B．36 C．12 D．6
【变式4】（24-25八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）如图，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外作正方形、半圆、等边三角形、半圆，这四个图形中，，之间的关系满足的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式5】（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图是一株美丽的勾股树．所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为，则正方形、、、的面积的和是 ．
知识点02 勾股定理的证明
例1．（2025八年级下·河南·专题练习）我国是最早了解勾股定理的国家之一．古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（24-25八年级下·安徽亳州·期末）【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．（1）在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）拼成，用它可以验证勾股定理；（2）图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）和直角边为的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理
【问题解决】（1）在直角三角形中，直角边分别为，，斜边为，从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理；
（2）勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是（ ）；
A．函数思想 B．整体思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想
【知识应用】（3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路的长．
【变式2】（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边（），下列三个推断：①；②；③．其中所有正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
课后作业
A
一、单选题
1．直角三角形的周长为，斜边上的中线长为1，则它的面积是（ ）
A．1 B． C． D． E．2
2．等腰三角形的腰长为，底边长为，它的底边上的高线长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是第14届国际数学教育大会的会标，数学元素无处不在，画面非常几何化，主画面由圆和螺线组成，呈中心对称，其中的“弦图”也是中国数学会的徽标，充分展示了中国古代数学的灿烂，利用“弦图”所证明的数学定理是（ ）
A．三角形内角和定理 B．垂径定理 C．正弦定理 D．勾股定理
4．如图，射线在的内部，且，点P在上，于点D，于点E．若，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
5．如图，在中，是边上的中线，则的长为 ．
6．如图，在中，是边的中线，于点D，若，则的长是 ．
7．如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：），可以计算出两孔中心B和C的距离为 ．
8．图1是第七届国际数学教育大会（ICME—7）的会徽图案．如图2所示，如果，那么的长为 ．
三、解答题
9．如图，在中，，点D是上一点，，，，求的长．
10．如图，在Rt中，的垂直平分线分别交于点．若，求的长．
11．如图，商场和超市都在笔直的街道上，小明家在街道外的处，已知小明家到商场的距离为1300米，到超市的距离为500米，且，则商场到超市的距离为多少米？
12．如图，有一个直角三角形纸片，两直角边为，现将直角边沿的角平分线折叠，使它落在斜边上，且与重合，你能求出的长吗？
B
一、单选题
1．如图所示，四边形中，为等边三角形，，，，则的长为（ ）
A．6 B．5 C． D．4 E．3
2．如图，在中，，则边上的高为（ ）
A．0.6 B． C．1.2 D．
3．如图，在中，，，点P是内一点，，且，那么的长为（ ）
A． B． C． D．
4．某研究院承担了当地山体隧道的设计工作，为了得到A，B两点之间的距离，测得山体附近地形数据简图如图所示（此为山体从上往下看得到的图形，图中测量线拐点处均为直角），则隧道的长度为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于、两点，则的长为 ．
6．如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点，，连接交边于点，连接．若，则 ．
7．如图，在中，，分别以为直径向外作半圆，半圆的面积分别记为，则的值为 ．（结果保留）
8．如图，这是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为．若，则的值是 ．
三、解答题
9．如图，，，E是上的一点，且，．
(1)是等腰三角形吗？请说明理由；
(2)若，，请求出的长．
10．如图，中，，，．
(1)求的面积；
(2)设点在上，若，求的长；
(3)设点在上，若为等腰三角形，求的长．
11．如图，某办公大楼正前方有一根高度为米的旗杆，从办公楼顶端测得旗杆顶端的俯角是，旗杆底端到大楼前石阶梯底边沿的距离是米，石阶梯坡长是米，石阶梯坡与水平地面成角，求：
(1)大楼与旗杆的水平距离；
(2)大楼的高度．
12．（教材母题变式）如图①，直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为．
(1)用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②）．
①大正方形的边长为________，小正方形的边长为________；
②大正方形的面积可以表示为________，也可以表示为________；
③观察两种表示方法，可得出________，整理得________，从而验证勾股定理；
(2)将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使和在一条直线上，连接．请你类比（1）中的方法用图③验证勾股定理．
C
1．如图，长方体的长为10，宽为5，高为24，点B为棱上一点，且，如果蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，求蚂蚁爬行的最短路程是多少．
2．如图所示的遮阳伞，其示意图如图，伞柄垂直于水平地面，伞圈能沿着伞柄滑动，伞骨cm，，分别是伞骨上两个定点．当伞完全撑开后，点，，在同一条直线上且平行于地面，此时cm．两个身体宽度cm的人共撑这把伞并排站立，两人之间间隔cm，问他们是否会被垂直滴下的雨水淋到？
3．阅读嘉琪的数学日记，思考并解决问题．
2024年9月6日 星期五 天气：晴 从勾股定理到面积关系的思考经过《探索勾股定理》一节的学习，我已经知道：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，则根据勾股定理，易得出，，之间的数量关系：________．如果将正方形改成其他图形，那么这个面积关系是否仍然成立呢？对此，我展开了探究： 如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用、、表示，我发现，、、之间有如下数量关系：________． 理由如下：…
任务一：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用、、表示，请写出、、之间的数量关系：________；
任务二：如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用、、表示，请问：任务一中、、之间的数量关系是否仍然成立？并说明理由；
任务三：如图3，四边形的对角线互相垂直，现以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为、、、，请直接写出、、、之间的数量关系．

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