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云南省昭通市第一中学2026-2026学年高二上学期开学考试
数学试题及答案解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ）
. . . .
2.直线在轴上的截距为（ ）
. . . .
3.抛物线的焦点到准线的距离是（ ）
. . . .
4.已知是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ）
. .
. .
5.下列方程一定表示圆的是（ ）
. .
. .
6.如图1，在直三棱柱中，，，
分别是棱，和的中点，点是线段上的动点（不包括端点）.若，则线段的长度是（ ）
. . . .
7.已知点，，在直线上存在一点，使得最小，则点坐标为（ ）
. . . .
8.已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
. . . .
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.关于双曲线的以下论述中，正确的是（ ）
.焦点在轴上 .虚轴长为16
.渐近线方程为 .离心率为
10.下列说法正确的是（ ）
.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是
.“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
.当点到直线的距离最大时，的值为
.已知直线过定点且与以，为端点的线段有交点
11.已知一对不共线的向量的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量垂直（如图2甲所示）.在平行六面体中（如图2乙所示），下列结论正确的是（ ）
.
.当时，
.若，，则
.平行六面体的体积
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在空间直角坐标系中，，平面的一个法向量为，则点大平面的距离为 .
13. 如图3，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱，若二面角的平面角为，且，，，则 .
14.直线与直线相交于点，对任意实数，直线分别恒过定点，则的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，的边上的高所在直线方程为.
（1）求顶点的坐标；
（2）求直线的方程.
16.（15分）如图4，在平行六面体中，分别为棱，的中点，记，，满足，，，.
（1）求的长度；
（2）求与夹角的余弦值.
17.（15分）已知的三个顶点是.
（1）若直线过点，且点到直线的距离相等，求直线的方程；
（2）若直线过点，且与轴，轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，求三角形面积取最小值时直线的方程.
18.（17分）如图5，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连接.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）在线段行存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长.
19.（17分）已知圆，直线过点.
（1）当直线与圆相切时，求直线的方程；
（2）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当在圆上运动时，求线段的中点的轨迹方程；
（3）已知,,斜率为且过点的直线与的轨迹交于两点，求的面积.
答案解析
一、选择题
1.D 解析：由题意，直线的斜率为，结合斜率与倾斜角的关系，得的倾斜角为.
2.A 解析：在中，令，得.
3.D 解析：由抛物线，则，∴，∴抛物线焦点到准线的距离是6.
4.C 解析：对于A，，则共面，故A错误；
对于B，，则共面，故B错误；
对于C，假定向量共面，则存在不全为0的实数，使得，整理得，而向量不共面，则有，显然不成立，∴向量不共面，能构成空间的一个基底故C正确；
对于D，，则向量共面，故D 不正确.
5.B 解析：对于A，方程表示点，故A错误；
对于B，方程化为，表示圆，故B正确；
对于C，当时，方程表示点，不表示圆，故C错误；
对于D，方程化为表示两条平行直线，故D错误.
6.A 解析：在直三棱柱中，，
以为原点，的方向分别为轴的正方向建立如图
1所示的空间直角坐标系，
则，
设，则，.
由于，∴,解得，∴线段的长度为.
7.C 解析：如图2，设为点关于直线的对称点，
则的中点为，
由轴对称的性质，可得，解得，即，
直线的方程为，即，
由，解得，即直线与交于点，
，
当点三点共线时，即直线上的点与重合时，
达到最小值，故满足条件的点坐标为.
8.B 解析：由椭圆的定义得，又，故，，由，得.
二、选择题
9.BC 解析：由得，∴双曲线的焦点在轴上，故A错误；
由，∴虚轴长为，故B正确；
由得，故C正确；
由，，∴，即，，∴，故D错误.
10.ACD 解析：对于A，直线与直线平行，
则，解得，
直线，即，
则与的距离为，故A正确；
对于B，由两直线互相垂直得，，解得或，
可知是两直线垂直的充分不必要条件，故B错误；
对于C，将直线方程变形为，由得，
直线过定点，斜率为，
当直线与垂直时，
点到直线的距离最大，
∵，，∴，故C正确；
如图3，，，
由图可知，当或时，直线与线段有交点，故D正确.
11.ABD 解析：对于A，，而，
故，故A正确；
对于B，，当时，有意义，
则，故B正确；
对于C,∵，，∴，，
∴，故C错误；
对于D，的模长即为平行六面体底面的面积，且方向垂直于底面，由数量积的几何意义可知，就是在垂直于底面的方向上的投影向量的模长（即为平行六面体的高）乘以底面的面积，即为平行六面体的体积，故D正确.
三、填空题
12. 解析：∵，∴点到平面的距离.
13. 解析：由条件知，，，
又二面角的平面角为，则，
∴，
∴.
14. 解析：直线化为，
∴直线过定点，即点，
直线化为，
∴直线恒过点，即点，
且两条直线满足，∴，即，
∴，
∴，当且仅当时，等号成立，
∴的最大值为4.
四、解答题
15.解：（1）设，∵边上的中线所在直线方程为，
边上的高所在直线方程为，
∴，解得，∴.
（2）设，则，解得，∴，
∴，∴直线的方程为，即.
16.解：（1）∵，
∴，∴.
（2）∵，
，
∴，
又，，∴，
故与夹角的余弦值为.
17.解：（1）∵点到直线的距离相等，∴直线与平行或通过的中点，
①当直线与平行时，∵，且直线过点，
∴直线方程为：，即；
②当直线通过的中点，∴,
∴直线方程为：，即.
综上，直线方程为：或.
（2）由题意，设，其中为正数，可设直线的方程为，
∵直线过点，∴，
由基本不等式可得，
∴，∴，当且仅当，即时，取得最小值24.
∴面积，∴当时，面积最小，
此时直线的方程为，即.
18.解：（1）∵，∵，，∴四边形为矩形，
在中，，，，
则，
∴，∴，
又平面平面，平面，平面平面，
∴平面.
（2）如图5，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
∵，，可得，
则，
设平面的法向量为，，，
则，不妨令，则.
设平面的法向量为，，
则，不妨令，则.
∴.
∴二面角的正弦值为.
（3）设，则，
又平面的法向量为.
直线与平面所成的角的正弦值为，
解得，∴.
19.解：（1）若直线的斜率不存在，则，圆心到直线的距离为半径，
故直线为圆的切线；
当直线的斜率存在，设切线方程为，
则，解得，此时切线方程为，
综上，切线的方程为或.
（2）设点，则，
由点是的中点得：，∴，①
∵在圆上运动，∴，②
联立①②可得，整理得点的轨迹方程为.
（3）由题知，直线的方程为，设，
联立，得，∴，，
∴，
∴.

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