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1.2空间向量基本定理同步练习卷
一、选择题(共8题；共40分)
1．已知是空间的一个基底，则下列说法错误的是（　　）
A．若，则
B．两两共面，但不共面
C．一定存在x，y，使得
D．一定能构成空间的一个基底
2．若 构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是（　　）
A． ， ，
B． ， ，
C． ， ，
D． ， ，
3．在以下三个命题中，真命题的个数是（　　）.
①若三个非零向量 ， ， 不能构成空间的一个基底，则 ， ， 共面；②若两个非零向量 ， 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则 ， 共线；③若 ， 是两个不共线的向量，而 （ 且 ），则 构成空间的一个基底.
A．0 B．1 C．2 D．3
4．若向量 、 、 的起点与终点 、 、 、 互不重合且无三点共线，且满足下列关系（ 是空间任一点），则能使向量 、 、 成为空间一组基底的关系是（　　）
A． B．
C． D．
5．已知矩形为平面外一点，且平面，分别为上的点，，则（　　）
A． B． C．1 D．
6．已知四棱锥的底面为平行四边形，M，N分别为棱，上的点，，N是的中点，向量，则（　　）
A．， B．，
C．， D．，
7．已知空间向量，，，下列命题中正确的（　　）
A．若向量，共线，则向量，所在的直线平行
B．若向量，所在的直线为异面直线，则向量，一定不共面
C．若存在不全为0的实数使得，则，，共面
D．对于空间的任意一个向量，总存在实数使得
8．在棱长为1的正方体 中， 分别在棱 上，且满足 ， ， ， 是平面 ，平面 与平面 的一个公共点，设 ，则 （　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题(共3题；共18分)
9．设 是空间的一组基底，则下列结论正确的是（　　）
A．基底 中的向量可以为任意向量.
B．空间中任一向量 ，存在唯一有序实数组 ，使
C．若 ， ，则
D． 也可以构成空间的一组基底.
10．以下四个命题中错误的是（　　）
A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示
B．若 为空间向量的一组基底，则 构成空间向量的另一组基底
C．对空间任意一点 和不共线的三点 、 、 ，若 ，则 、 、 、 四点共面
D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底
11．在三维空间中，定义向量的外积： 叫做向量 与 的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：① ， ，且 ， 和 构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）：② 的模 （ 表示向量 ， 的夹角）在正方体 中，有以下四个结论，正确的有（　　）
A．
B．
C． 共线
D． 与正方体表面积的数值相等
三、填空题(共3题；共15分)
12．已知 是空间任一点， 四点满足任三点均不共线，但四点共面，且 ，则 　 　.
13．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C和BC1相交于点O，若 ，则 =　 　
14．下列关于空间向量的命题中，
①若向量 ， 与空间任意向量都不能构成基底，则 ；
②若非零向量 ， ， 满足 ， ，则有 ；
③若 ， ， 是空间的一组基底，且 ，则 ， ， ， 四点共面；
④若向量 ， ， ，是空间一组基底，则 ， ， 也是空间的一组基底．
上述命题中，正确的有　 　．
四、解答题(共5题；共77分)
15．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=5，AD=3，AA1=4，∠DAB=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，E是CC1的中点，设=，=，=．
（1）用，，表示；
（2）求AE的长？
16．如图，设O是 ABCD所在平面外的任一点，已知=，=，=你能用，，表示吗？若能，用，，表示出；若不能，请说明理由．
17．如图，在空间平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，若以，，为空间的一个基底，用这个基底表示．
18．如图，已知平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′，化简+﹣．
19．已知平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′．求证：++=2．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】对于A，若不全为0，则 共面，与题意矛盾，A符合题意；
对于B，是空间的一个基底，则 两两共面，但 不共面，B符合题意；
对于C， 不共面，则不存在实数，使得 ，C不符合题意；
对于D，若 共面， ， 无解，
故 不共面，一定能构成空间的一个基底，D符合题意
故答案为：C．
【分析】由不全为0，得到 共面，可判定A正确；根据空间向量的基底的定义，可判定B正确；由 不共面，得到不存在实数，使得 ，可判定C错误；设向量 共面， 列出方程组无解，可判定D正确.
2．【答案】C
【解析】【解答】A： ，所以 ， ， 共面；
B： ，所以 ， ， 共面；
C： 不能用 ， 表示，所以 ， ， 不共面；
D： ， 共线，则 ， ， 共面．
故答案为：C
【分析】根据题意由空间向量共面定理，对选项逐一判断即可得出答案。
3．【答案】C
【解析】【解答】①正确，作为基底的向量必须不共面；
②正确；
③错误，因为 ， ， 共面，所以 不能构成基底.
故只有①②正确.
故答案为：C.
【分析】由空间向量基底的定义：三个向量不共面即可判断出①②正确由此得到答案。
4．【答案】C
【解析】【解答】A中，因为 ，所以 、 、 、 共面，所以向量 、 、 不能成为空间的一组基底；
B中， ，但可能 ，即 、 、 、 可能共面，所以向量 、 、 不一定能成为空间的一组基底；
D中，∵ ，∴ 、 、 、 共面，所以向量 、 、 不能成为空间的一组基底，
故答案为：C．
【分析】由空间向量基底的定义：三个向量不共线对选项逐一判断即可得出答案。
5．【答案】B
【解析】【解答】因为，
所以
，
故，故.
故答案为：B
【分析】根据空间向量基本定理求出，求出答案.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：因为，所以，
，
又，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据向量的线性运算，化简得到，结合题意，即可求得的值.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：因为向量，共线，则向量，所在的直线也可能重合，所以A错；
根据任意向量的意义可知，空间任意两向量，都共面，所以B错；
实数不全为0，不妨设x≠0，则，
由共面向量定理可知，，共面，所以C对；
只有当，，不共面时，空间任意一向量才能表示为，所以D错.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合向量共线定理和向量共面定理以及空间向量基本定理，进而找出真命题的选项.
8．【答案】B
【解析】【解答】因为 ， 在平面 内，所以 ；同理可得 ， ，解得 ，则 ，
故答案为：B.
【分析】根据正方体的结构特征，结合空间向量的关系，求出x，y，z，即可得到相应的值.
9．【答案】B,D
【解析】【解答】对A， 是空间的一组基底，则 不共面，不能为任意向量，A不符合题意；
根据空间向量基本定理可知B符合题意；
对C，由 ， 可得 垂直于 所确定的平面，但 不一定垂直，C不符合题意；
对D， ，令 ，则 ，
于是 ，则 不共面，所以 可以构成空间的一组基底.
故答案为：BD.
【分析】利用已知条件结合基底的判断方法、平面向量基本定理、数量积为0两向量垂直的等价关系，从而找出结论正确的选项。
10．【答案】A,C,D
【解析】【解答】A中忽略三个基底要求不共面的限制，A不符合题意；
若 为空间向量的一组基底，则 、 、 互不共面，且 、 、 均为非零向量，假设 、 、 共面，可设 ，所以 ，该方程组无解，故 、 、 不共面，因此， 可构成空间向量的一组基底，B符合题意；
由于 ，∵ ，此时， 、 、 、 四点不共面，C不符合题意；
任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基底，三个向量不共线时可能共面，D不符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】 根据空间向量基本定理及其推论，对选项逐一判断即可得出答案。
11．【答案】A,C,D
【解析】【解答】设正方体的棱长为 ，
对于A，如图，因为 为等边三角形，故 ，
因为 ，而 为等边三角形，
故 ，A符合题意.
对于B，根据定义， ， ，两者不相等，B不符合题意.
对于C，因为 平面 ，结合外积的定义可得 与 共线，
C符合题意.
对于D， ，故它与正方体的表面积相同，
故答案为：ACD.
【分析】 根据题意运用新定义及空间向量基本概念，对选项逐一判断即可得出答案。
12．【答案】-1
【解析】【解答】∵ 2x 3y 4z ，
∴ 2x 3y 4z ，
∵O是空间任意一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面
∴﹣2x﹣3y﹣4z＝1
∴2x+3y+4z＝﹣1
故答案为：﹣1
【分析】根据空间向量的基本定理，得到﹣2x﹣3y﹣4z＝1，即可求出的值.
13．【答案】
【解析】【解答】解：∵ = ， = ， ， ．
∴ = = + + ，与 比较，可得：x= ，y=1，则 = ．
故答案为： ．
【分析】由 = ， = ， ， ．代入化简整理即可得出．
14．【答案】①③④
【解析】【解答】解：对于①， 若向量 ， 与空间任意向量都不能构成基底，则向量 ， 与空间任意向量都共面，则与必共线，即//，故①正确；
对于②， 若非零向量 ， ， 满足 ， ，当非零向量 ， ， 不共面时， 与可以不平行，故②不正确；
对于③，因为 ，所以，
所以，所以共面，所以 ， ， ， 四点共面，故③正确；
对于④，若向量 ， ，是空间一组基底，则向量 ， ， 不共面，则对任意实数x，y都有，即，
所以 ， ， 不共面，所以 ， ， 也是空间的一组基底．故④正确.
故答案为：①③④
【分析】根据空间向量基本定理可知，能作为基底的向量一定是不共面的向量，由此对四个命题逐个分析可得答案.
15．【答案】解：（1）根据向量的三角形法则得到
=++=++
（2）∵||2=(++)2
=2+2+2+2++
=25+9+4+0+（20+12） cos60°
=54
∴||=3
即AE的长为3．
【解析】【分析】（1）根据向量的三角形法则把要表示的向量写成以几何体的棱为基底的向量的加法的形式，从向量的起点出发，沿着棱到终点．
（2）根据上一问表示出的结果，把要求的向量两边平方，把得到平方式展开，得到已知向量的模长和数量积的关系，代入数据做出结果．
16．【答案】解：根据向量加法与减法的几何意义，得；
向量+=，=﹣；
又在平行四边形ABCD中，=，
∴=+
=+
=+﹣
=﹣+．
∴能用，，表示出．
【解析】【分析】根据向量的加法与减法的几何意义，得出用，，表示的线性表示。
17．【答案】解：∵=+，=+，=+，
∴=++=(++)
【解析】【分析】利用向量的平行四边形法则可得：=+，=+，=+，利用空间向量的平行六面体法则可得=++代入即可得出。
18．【答案】解：平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′，延长AB至AE，使得AB=BE，=，=，
∴+﹣=2﹣=．
故答案为：．
【解析】【分析】直接利用空间向量的演算法求解即可。
19．【答案】证明：如图所示，
平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，
+=，
∴++=+=2．
【解析】【分析】根据题意，画出图形，结合图形，利用向量的合成法则，即可证出结论。
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