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浙江省九年级上学期数学期中仿真模拟试题（二）
一、选择题：本题共10小题，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024八下·顺德月考）随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2021九上·昆山期末）一元二次方程 中一次项系数、常数项分别是（　　）
A．2， B．0， C．1， D．1，0
3．（2024九上·北京市开学考）抛物线的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023九上·大埔期中）下列各组中的四条线段成比例的是(　　)
A．a=2，b=3，c=4，d=1 B．a=2， b=， c=，d=
C．a=4，b=6，c=5，d=10 D．a=，b=3，c=2，d=
5．其居民为了减少外出，常使用手机软件在线上买菜，某买菜手机软件2020年1月的新注册用户人数为200万，3月的新注册用户人数为338万，则2、3两个月新注册用户人数每月的平均增长率是 (　　)
A．10% B．15% C．23% D．30%
6．（2025八下·禅城期中）如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点O旋转了，小孩的位置也从A点运动到了B点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2023九上·郑州期末）如图，点A、B、C在上，为等边三角形，则的度数是（　　）
A．60° B．50° C．40° D．30°
8．（2025·梧州模拟）如图，当驾驶员的眼睛点与地面的距离为米时，是驾驶员的视觉盲区，车头近似的看成是矩形，且，若的长度为米，则车宽的长度大约是（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
9．（2025·深圳一模）如图，在矩形ABCD中，AD>AB，AB=5cm，AC，BD交于点O，∠AOD=2∠AOB=120°，则BC=（　　）
A．5cm B．cm C．cm D．cm
10．（2025·玉环二模）抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．若抛物线经过点，则必过点
B．
C．若点和都在抛物线上，则
D．
二、填空题：本题共6小题，共18分．
11．（2024九上·武汉月考）若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为　 　．
12．（2025九上·江北期末）已知实数 满足 ，则 的值为　 　．
13．（2023八上·连平期末）如图，将绕点A逆时针旋转，得到，若点D在线段的延长线上，则的大小为　 　．
14．（2025·怀化模拟）如图，为的直径，弦于点，，，那么该圆的半径为　 　.
15．（2024·伊通模拟）如图，在平面直角坐标系中，将直角三角板的角的顶点与坐标原点O重合，直角顶点B在x轴的负半轴上，顶点A在第三象限．将绕点O逆时针旋转一定角度得到使点B的对应点落在边OA上．若，则点的坐标为　 　．
16．如图，在 ABCD中，AB=3，BC=4，∠B=60°，点E是AB边上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交 BC边于点 F，且∠EFD=60°，则AE的长为　 　.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2025八下·雨花期末）解下列方程：
（1）．
（2）．
18．（2024九上·北京市月考）如图，在以为直径的中，弦于点，与弦交于点，连接，已知．
（1）求的半径．
（2）若，求的长．
19．（2022·济宁）已知，，求代数式的值．
20．（2024九上·杭州期中）已知二次函数y＝mx2﹣2mx+3，其中m≠0．
（1）若二次函数经过（﹣1，6），求二次函数解析式．
（2）若该抛物线开口向上，当﹣l≤x≤2时，抛物线的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为6，求点M和点N的坐标．
（3）在二次函数图象上任取两点（x1，y1），（x2，y2），当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，求a的取值范围．
21．（2024九上·杭州期中）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为（如图），养殖场的总面积为．
（1）求y关于x的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
22．（2024八下·大洼月考）如图，四边形是平行四边形，相交于点O，E为的中点，连接，过点E作于点F，过点O作于点G．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若四边形是菱形，，求的长．
23．（2024九上·浙江期中）如图1，由四个全等的直角三角形的直角边拼接成一个正方形，我们称这样的图形为“弦图”，“弦图”是中国古代数学的瑰宝，在如图2的“弦图”中，连结，交于点O，设与，的交点分别为M，N．吴老师和学生们对此“弦图”进行研究性学习时，有如下交流：
吴老师：利用弦图中的三角形全等关系可证明“四边形是正方形，O是和的中点．”；
小聪：这两个结论都能证明，我还发现“”；
小颖：我发现“已知，的长度，就能确定的长度”，如：“已知，，求的长．”
结合上述师生的交流：
（1）请你证明小聪发现的结论；
（2）请你解答小颖提出的问题“已知，，求的长．”
24．（2024九上·慈溪期中）在一个圆中，圆心到该圆的任意一条弦的距离，叫做这条弦的弦心距．
（1）如图1，在中，半径是5，弦，则这条弦的弦心距长为　 　．
（2）通过大量的做题探究；小明发现：在同一个圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦的弦心距也相等．但是小明想证明时却遇到了麻烦．请结合图2帮助小明完成证明过程如图2，在中，，，，求证：．
（3）如图3，在中，的直径为20，且弦垂直于弦于，请应用上面得出的结论求的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：根据中心对称图形的概念，可知ACD不是中心对称图形，B是中心对称图形，所以ACD不符合题意，B符合题意，
故答案为：B.
【分析】由中心对称图形的概念：把一个图形绕着某一个点旋转180°，若旋转后的图形能够与原来的图形重合，则这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，即可对每一项的图形进行判断求解.
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：一元二次方程 中的一次项系数和常数项分别是1， 3，
故答案为：C.
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2＋bx＋c＝0（a，b，c是常数且a≠0），ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项.其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项.
3．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】抛物线的顶点坐标是，
故答案为：D．
【分析】利用抛物线的顶点式直接求出顶点坐标即可.
4．【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A、4×1≠3×2，四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
B、由被开方数越大其算术平方根就越大得，而2×=×2，所以四条线段成比例，故本选项符合题意；
C、4×10≠5×6，四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
D、由被开方数越大其算术平方根就越大得，而×3≠2×，所以四条线段不成比例，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】四条线段满足最小的和最大的相乘等于另外两条相乘时，这四条线段成比例，据此逐一判断得出答案.
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设每月的平均增长率为x，则由题意得
200(x+1)2=338，解得x1=30%，x2=-2.3(舍去)
故答案为：D.
【分析】设平均增长率为x，由题意列出一元二次方程，求解方程即可得结果.
6．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质可得，
∴，
故选：A．
【分析】本题主要是对旋转的性质，等边对等角，三角形内角和的考查，根据旋转的性质可得出，再由等边对等角可得，再由三角形内角和可得。
7．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴=∠AOB =×60°=30°.
故答案为：D.
【分析】利用等边三角形的性质可求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理可求出∠ACB的度数.
8．【答案】D
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的实际应用；三角形内接矩形相似模型
【解析】【解答】解：如图，过点作，垂足为，交于点，
则米，
设米，由得，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
即，
，
，
，
解得，，
∴米
故答案为：D．
【分析】过点P作PM⊥BE于点M，交AF于点N，设FA=x米，则FD=x米，由矩形的性质得AF∥CD，AF=CD，由平行线的性质推出MN=DF=x米，由平行于三角形一边得直线，截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△PAF∽△PBE，由相似三角形对应边成比例建立方程求出PN=x，然后根据PN+MN=PM建立方程，求解得出x的值，从而即可得出CD的长.
9．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：首先，因为四边形ABCD是矩形：矩形的对角线相等且互相平分，
所以OA = OB = OC = OD，
已知 ∠AOB=60° ， ∠AOD=120（因为AOD = 2AOB)
又因为OA = OB且AOB = 60°，所以 AOB是等边三角形
则OA = OB = AB = 5cm，所以AC = 2OA = 10cm
然后，在RtABC中：根据勾股定理BC=
已知AB = 5cm，AC = 10cm，
代入可得：BC=
故选：C.
【分析】本题围绕矩形性质（对角线相等且平分）、等边三角形判定（有一个角为60 ° 的等腰三角形是等边三角形 ）以及勾股定理展开，利用矩形对角线关系得出等边三角形，进而结合勾股定理求边.
10．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：A.∵抛物线经过点C(t，n)，
∴点C关于对称轴对称点(4-t，n)在抛物线上，
∴4-t为ax2+bx+c=n的一个根，A错误；
B.∵抛物线顶点为A(2，m)，
∴抛物线对称轴为直线x=2，
∵抛物线过点(5，0)，
∴由对称性可得抛物线经过点(-1，0)，
∴a-b+c=0，B错误；
C.∵，4-2=2，
∴，
∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵y1∴C错误；
D.∵，
∴b=-4a，
∴5a+c=0，
∴c=-5a，
∵(2，m)为抛物线顶点，
∴4a+2b+c=m，
∴4a-8a-5a=m，即9a+m=0，m=-9a
∴b+c=-9a=m，D正确，
故答案为：D.
【分析】由抛物线开口和抛物线与y轴交点，抛物线的对称性及经过点(5，0)，由抛物线对称轴为直线x=2可得b=-4a，由a-b+c=0可得c=-5a，点C对称点横坐标为4-t可判断.
11．【答案】1
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：把代入方程得，
解得．
故答案为：1
【分析】根据方程的根的定义，可得出关于m的等式，解方程即可求得m的值。
12．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：
设
故答案为：
【分析】设 代入所求的式子化简即可.
13．【答案】40°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：根据旋转的性质，可得：，
∴．
故答案为：．
【分析】
根据旋转的性质得到，利用等边对等角得到，在利用三角形内角和定理进行计算即可解答.
14．【答案】13
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如下图，连接，设该圆的半径为，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
即，
解得
∴该圆的半径为，
故答案为：13．
【分析】本题主要对垂径定理、勾股定理等知识进行考查．首先连接并设该圆的半径为，根据垂径定理，可得，在中，根据勾股定理有，带入未知数x有，解得．
15．【答案】
【知识点】勾股定理；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：过点作轴于点C，如图所示：
由题意得，，，
∴，
∴，，
由旋转得，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【分析】过点作轴于点C，由题意得，，，进而即可求出∠BAO，从而即可得到，，再根据旋转的性质得到，进而结合题意运用勾股定理即可求出CA'，从而即可求解。
16．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：解法一：如图①，延长FC到点G，使得CG=FC，连接DG，
图①
∵ ∠B=60°， ∠EFD=60°，
∴∠B=∠EFD，
∠B+∠BEF=∠EFC=∠EFD+∠DFC，
∴∠BEF=∠DFC，
∴
∵ ，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD=3，
∴∠DCG=∠B=∠G=60°，
∴ △DCG 是等边三角形，
∴CG= G
解法二：如图②，过点F作FM⊥AB于点M，过点D作DN⊥BA于点N，
图②
∴∠FME=∠FED=∠N=90°，
∴∠MFE+∠MEF=∠DEN+∠MEF=90°，
∴∠MFE=∠DEN，
∴△EMF∽△DNE，
∵四边形ABCD 为平行四边形，∠B=60°，
∴AD∥BC，AD=BC=4，
∴
设AE=x，则BM=AB-AE-EM=1-x，NE=AN+AE=2+x，
在Rt△BMF 中，
解得
故答案为：.
【分析】解法一：延长FC到点G，使得CG=FC，连接DG，证明，即可得到对应边成比例，然后得到△DCG 是等边三角形，代入比例式解题即可；解法二：过点F作FM⊥AB于点M，过点D作DN⊥BA于点N，即可得到△EMF∽△DNE，得到对应边长比例，然后在Rt△BMF 中，根据解直角三角形求出AE长即可.
17．【答案】（1）解：
∴ ，
（2）解：
∴，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）直接开平方可得，然后移项得到方程的两根；
（2）利用因式分解法得到，故可求出方程两根。
18．【答案】（1）解：如图，连接，
，
设半径，
是的直径，
，，
，
解得，
的半径为；
（2）解：由（1）得：直径，
，
，
，
．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）连接，设半径，由垂径定理可得DH=CD，由线段的和差OH=OA-AH可将OH用含r的代数式表示出来，再Rt△ODH中，由勾股定理可得关于r的方程，解方程即可求解；
（2）由（1）得：直径，由弧的和差可得，根据圆心角、弦】弧之间的关系定理可得AE=CD，然后在Rt△ABE中，由勾股定理计算即可求解．
（1）解：如图，连接，
，
设半径，
是的直径，
，，
，
解得，
的半径为；
（2）解：由（1）得：直径，
，
，
，
．
19．【答案】解：
故代数式的值为-4．
【知识点】代数式求值
【解析】【分析】先分解因式，再将 ，， 代入求解即可。
20．【答案】解：（1）把（-1，6）代入函数解析式得，m+2m+3=6，
∴m=1，
∴函数解析式为：y=x2-2x+3；
（2）∵抛物线开口方向向上，
∴m＞0，
∵y=mx2-2mx+3=m(x-1)2+3-m，
∴抛物线的顶点为（1，3-m），
∴当x＜1时y随x增大而减小，
当x≥1时，y随x增大而增大，
∴最低点N（1，3-m），
∵当x=-1时，y=3m+3，
当x=2时，y=3，
且m＞0，
∴3m+3＞3，
∴最高点M（-1，3m+3），
∴3m+3=6，
∴m=1，
代入M点和N点坐标得：M（-1，6），N（1，2）；
（3）①当m＞0时，
则有当x≤1时y随x增大而减小，
当x≥1时，y随x增大而增大，
又∵当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，
此时a+2≤1，
∴a≤-1，
②当m＜0时，
则有当x≤1时y随x增大而增大，
当x≥1时，y随x增大而减小，
又∵当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，
此时a≥1，
综上，当m＞0时a≤-1；当m＜0时，a≥1．
【知识点】二次函数的最值；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）把（-1，6）代入解析式中求出m，即可得到解析式；
（2）根据开口向上得m＞0，再根据函数图象的增减性得到最高点和最低点，从而得出m的值，即可求出点的坐标；
（3）分为m＞0和 m＜0 两种情况，根据图象的增减性得到a的取值范围即可．
21．【答案】（1）解：∵较小矩形的宽为，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，∴较大矩形的宽为．
∴矩形养殖场的长为，矩形养殖场的宽为．
∴养殖场的总面积为．
∵墙的长度为10米，
∴，
∴．
∴关于的函数关系式为
（2）解：由题意，∵，∴当时，随的增大而增大．
又∵，
∴当时，取最大值，最大值为：．
答：当为时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件可得到矩形养殖场的长和宽，再利用矩形的面积公式可得到y关于x的函数解析式，利用墙的长度可求出x的取值范围.
（2）将（1）中的函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质及x的取值范围，可得到矩形面积的最大值及此时x的值.
（1）解：由题意，∵较小矩形的宽为，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，
∴较大矩形的宽为．
∴矩形养殖场的长为，矩形养殖场的宽为．
∴养殖场的总面积为．
∵墙的长度为10米，
∴，
∴．
∴关于的函数关系式为．
（2）解：由题意，∵，
∴当时，随的增大而增大．
又∵，
∴当时，取最大值，最大值为：．
答：当为时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为．
22．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
点是的中点，
．
，
，
于点，于点，
，
四边形是平行四边形
，
，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是菱形，
，，，，
，，
，，
在中，，
，
即，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的性质等知识点进行考查；（1）因为四边形ABCD是平行四边形，两对角线互相平分，所以，因为E为AB中点，所以，因此，于点，于点，则，可证明四边形EFGO为平行四边形，又因为，所以，因此四边形是矩形得证；
（2）因为四边形ABCD是菱形，所以对角线互相垂直，即，在中，，根据面积法有，可解得．
23．【答案】（1）证明：∵四边形，都是正方形，
，
，
；
（2）解：，，
，
∵，，
，，
∵四边形，是正方形，
∴，是等腰直角三角形，
∴，，
又∵是和的中点，
，，
由（1）得：，
，
∴，
解得：，
∴由中心对称的性质，得：．
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；中心对称的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得，再由，即可得证结论；
（2）由全等三角形得，结合勾股定理求出，，然后根据正方形的性质得，是等腰直角三角形，从而得，，进而得，，接下来由（1）中的相似三角形对应边成比例的性质得到，最后根据中心对称的性质即可得到的长.
（1）解：由吴老师与小聪的交流可知：
四边形是正方形，
∵四边形是正方形，四边形是正方形，
，
，
；
（2），
，
，
由正方形得：，
由正方形得：，
由吴老师与小聪的交流可知：O是和的中点，
，，
由（1）得：，
，
即：，
，
∴由中心对称性，得：．
24．【答案】（1）3
（2）证明：连接、，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
（3）解：过点作交于，过点作交于，连接，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
的直径为20，
，
，
，
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；垂径定理
【解析】【解答】解：（1）连接，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：3.
【分析】（1）连接OB，根据垂径定理可得BC，再利用勾股定理即可求解；
（2）连接BO、OC，利用HL判定Rt△BOM≌Rt△CON，即可得出结论；
（3）过点作交于，过点作交于，连接，由（2）可知，四边形是正方形，再分别运用勾股定理求出GO、EO即可.
1 / 1浙江省九年级上学期数学期中仿真模拟试题（二）
一、选择题：本题共10小题，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024八下·顺德月考）随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：根据中心对称图形的概念，可知ACD不是中心对称图形，B是中心对称图形，所以ACD不符合题意，B符合题意，
故答案为：B.
【分析】由中心对称图形的概念：把一个图形绕着某一个点旋转180°，若旋转后的图形能够与原来的图形重合，则这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，即可对每一项的图形进行判断求解.
2．（2021九上·昆山期末）一元二次方程 中一次项系数、常数项分别是（　　）
A．2， B．0， C．1， D．1，0
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：一元二次方程 中的一次项系数和常数项分别是1， 3，
故答案为：C.
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2＋bx＋c＝0（a，b，c是常数且a≠0），ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项.其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项.
3．（2024九上·北京市开学考）抛物线的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】抛物线的顶点坐标是，
故答案为：D．
【分析】利用抛物线的顶点式直接求出顶点坐标即可.
4．（2023九上·大埔期中）下列各组中的四条线段成比例的是(　　)
A．a=2，b=3，c=4，d=1 B．a=2， b=， c=，d=
C．a=4，b=6，c=5，d=10 D．a=，b=3，c=2，d=
【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A、4×1≠3×2，四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
B、由被开方数越大其算术平方根就越大得，而2×=×2，所以四条线段成比例，故本选项符合题意；
C、4×10≠5×6，四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
D、由被开方数越大其算术平方根就越大得，而×3≠2×，所以四条线段不成比例，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】四条线段满足最小的和最大的相乘等于另外两条相乘时，这四条线段成比例，据此逐一判断得出答案.
5．其居民为了减少外出，常使用手机软件在线上买菜，某买菜手机软件2020年1月的新注册用户人数为200万，3月的新注册用户人数为338万，则2、3两个月新注册用户人数每月的平均增长率是 (　　)
A．10% B．15% C．23% D．30%
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设每月的平均增长率为x，则由题意得
200(x+1)2=338，解得x1=30%，x2=-2.3(舍去)
故答案为：D.
【分析】设平均增长率为x，由题意列出一元二次方程，求解方程即可得结果.
6．（2025八下·禅城期中）如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点O旋转了，小孩的位置也从A点运动到了B点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质可得，
∴，
故选：A．
【分析】本题主要是对旋转的性质，等边对等角，三角形内角和的考查，根据旋转的性质可得出，再由等边对等角可得，再由三角形内角和可得。
7．（2023九上·郑州期末）如图，点A、B、C在上，为等边三角形，则的度数是（　　）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴=∠AOB =×60°=30°.
故答案为：D.
【分析】利用等边三角形的性质可求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理可求出∠ACB的度数.
8．（2025·梧州模拟）如图，当驾驶员的眼睛点与地面的距离为米时，是驾驶员的视觉盲区，车头近似的看成是矩形，且，若的长度为米，则车宽的长度大约是（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的实际应用；三角形内接矩形相似模型
【解析】【解答】解：如图，过点作，垂足为，交于点，
则米，
设米，由得，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
即，
，
，
，
解得，，
∴米
故答案为：D．
【分析】过点P作PM⊥BE于点M，交AF于点N，设FA=x米，则FD=x米，由矩形的性质得AF∥CD，AF=CD，由平行线的性质推出MN=DF=x米，由平行于三角形一边得直线，截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△PAF∽△PBE，由相似三角形对应边成比例建立方程求出PN=x，然后根据PN+MN=PM建立方程，求解得出x的值，从而即可得出CD的长.
9．（2025·深圳一模）如图，在矩形ABCD中，AD>AB，AB=5cm，AC，BD交于点O，∠AOD=2∠AOB=120°，则BC=（　　）
A．5cm B．cm C．cm D．cm
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：首先，因为四边形ABCD是矩形：矩形的对角线相等且互相平分，
所以OA = OB = OC = OD，
已知 ∠AOB=60° ， ∠AOD=120（因为AOD = 2AOB)
又因为OA = OB且AOB = 60°，所以 AOB是等边三角形
则OA = OB = AB = 5cm，所以AC = 2OA = 10cm
然后，在RtABC中：根据勾股定理BC=
已知AB = 5cm，AC = 10cm，
代入可得：BC=
故选：C.
【分析】本题围绕矩形性质（对角线相等且平分）、等边三角形判定（有一个角为60 ° 的等腰三角形是等边三角形 ）以及勾股定理展开，利用矩形对角线关系得出等边三角形，进而结合勾股定理求边.
10．（2025·玉环二模）抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．若抛物线经过点，则必过点
B．
C．若点和都在抛物线上，则
D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：A.∵抛物线经过点C(t，n)，
∴点C关于对称轴对称点(4-t，n)在抛物线上，
∴4-t为ax2+bx+c=n的一个根，A错误；
B.∵抛物线顶点为A(2，m)，
∴抛物线对称轴为直线x=2，
∵抛物线过点(5，0)，
∴由对称性可得抛物线经过点(-1，0)，
∴a-b+c=0，B错误；
C.∵，4-2=2，
∴，
∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵y1∴C错误；
D.∵，
∴b=-4a，
∴5a+c=0，
∴c=-5a，
∵(2，m)为抛物线顶点，
∴4a+2b+c=m，
∴4a-8a-5a=m，即9a+m=0，m=-9a
∴b+c=-9a=m，D正确，
故答案为：D.
【分析】由抛物线开口和抛物线与y轴交点，抛物线的对称性及经过点(5，0)，由抛物线对称轴为直线x=2可得b=-4a，由a-b+c=0可得c=-5a，点C对称点横坐标为4-t可判断.
二、填空题：本题共6小题，共18分．
11．（2024九上·武汉月考）若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为　 　．
【答案】1
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：把代入方程得，
解得．
故答案为：1
【分析】根据方程的根的定义，可得出关于m的等式，解方程即可求得m的值。
12．（2025九上·江北期末）已知实数 满足 ，则 的值为　 　．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：
设
故答案为：
【分析】设 代入所求的式子化简即可.
13．（2023八上·连平期末）如图，将绕点A逆时针旋转，得到，若点D在线段的延长线上，则的大小为　 　．
【答案】40°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：根据旋转的性质，可得：，
∴．
故答案为：．
【分析】
根据旋转的性质得到，利用等边对等角得到，在利用三角形内角和定理进行计算即可解答.
14．（2025·怀化模拟）如图，为的直径，弦于点，，，那么该圆的半径为　 　.
【答案】13
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如下图，连接，设该圆的半径为，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
即，
解得
∴该圆的半径为，
故答案为：13．
【分析】本题主要对垂径定理、勾股定理等知识进行考查．首先连接并设该圆的半径为，根据垂径定理，可得，在中，根据勾股定理有，带入未知数x有，解得．
15．（2024·伊通模拟）如图，在平面直角坐标系中，将直角三角板的角的顶点与坐标原点O重合，直角顶点B在x轴的负半轴上，顶点A在第三象限．将绕点O逆时针旋转一定角度得到使点B的对应点落在边OA上．若，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：过点作轴于点C，如图所示：
由题意得，，，
∴，
∴，，
由旋转得，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【分析】过点作轴于点C，由题意得，，，进而即可求出∠BAO，从而即可得到，，再根据旋转的性质得到，进而结合题意运用勾股定理即可求出CA'，从而即可求解。
16．如图，在 ABCD中，AB=3，BC=4，∠B=60°，点E是AB边上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交 BC边于点 F，且∠EFD=60°，则AE的长为　 　.
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：解法一：如图①，延长FC到点G，使得CG=FC，连接DG，
图①
∵ ∠B=60°， ∠EFD=60°，
∴∠B=∠EFD，
∠B+∠BEF=∠EFC=∠EFD+∠DFC，
∴∠BEF=∠DFC，
∴
∵ ，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD=3，
∴∠DCG=∠B=∠G=60°，
∴ △DCG 是等边三角形，
∴CG= G
解法二：如图②，过点F作FM⊥AB于点M，过点D作DN⊥BA于点N，
图②
∴∠FME=∠FED=∠N=90°，
∴∠MFE+∠MEF=∠DEN+∠MEF=90°，
∴∠MFE=∠DEN，
∴△EMF∽△DNE，
∵四边形ABCD 为平行四边形，∠B=60°，
∴AD∥BC，AD=BC=4，
∴
设AE=x，则BM=AB-AE-EM=1-x，NE=AN+AE=2+x，
在Rt△BMF 中，
解得
故答案为：.
【分析】解法一：延长FC到点G，使得CG=FC，连接DG，证明，即可得到对应边成比例，然后得到△DCG 是等边三角形，代入比例式解题即可；解法二：过点F作FM⊥AB于点M，过点D作DN⊥BA于点N，即可得到△EMF∽△DNE，得到对应边长比例，然后在Rt△BMF 中，根据解直角三角形求出AE长即可.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2025八下·雨花期末）解下列方程：
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：
∴ ，
（2）解：
∴，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）直接开平方可得，然后移项得到方程的两根；
（2）利用因式分解法得到，故可求出方程两根。
18．（2024九上·北京市月考）如图，在以为直径的中，弦于点，与弦交于点，连接，已知．
（1）求的半径．
（2）若，求的长．
【答案】（1）解：如图，连接，
，
设半径，
是的直径，
，，
，
解得，
的半径为；
（2）解：由（1）得：直径，
，
，
，
．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）连接，设半径，由垂径定理可得DH=CD，由线段的和差OH=OA-AH可将OH用含r的代数式表示出来，再Rt△ODH中，由勾股定理可得关于r的方程，解方程即可求解；
（2）由（1）得：直径，由弧的和差可得，根据圆心角、弦】弧之间的关系定理可得AE=CD，然后在Rt△ABE中，由勾股定理计算即可求解．
（1）解：如图，连接，
，
设半径，
是的直径，
，，
，
解得，
的半径为；
（2）解：由（1）得：直径，
，
，
，
．
19．（2022·济宁）已知，，求代数式的值．
【答案】解：
故代数式的值为-4．
【知识点】代数式求值
【解析】【分析】先分解因式，再将 ，， 代入求解即可。
20．（2024九上·杭州期中）已知二次函数y＝mx2﹣2mx+3，其中m≠0．
（1）若二次函数经过（﹣1，6），求二次函数解析式．
（2）若该抛物线开口向上，当﹣l≤x≤2时，抛物线的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为6，求点M和点N的坐标．
（3）在二次函数图象上任取两点（x1，y1），（x2，y2），当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，求a的取值范围．
【答案】解：（1）把（-1，6）代入函数解析式得，m+2m+3=6，
∴m=1，
∴函数解析式为：y=x2-2x+3；
（2）∵抛物线开口方向向上，
∴m＞0，
∵y=mx2-2mx+3=m(x-1)2+3-m，
∴抛物线的顶点为（1，3-m），
∴当x＜1时y随x增大而减小，
当x≥1时，y随x增大而增大，
∴最低点N（1，3-m），
∵当x=-1时，y=3m+3，
当x=2时，y=3，
且m＞0，
∴3m+3＞3，
∴最高点M（-1，3m+3），
∴3m+3=6，
∴m=1，
代入M点和N点坐标得：M（-1，6），N（1，2）；
（3）①当m＞0时，
则有当x≤1时y随x增大而减小，
当x≥1时，y随x增大而增大，
又∵当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，
此时a+2≤1，
∴a≤-1，
②当m＜0时，
则有当x≤1时y随x增大而增大，
当x≥1时，y随x增大而减小，
又∵当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，
此时a≥1，
综上，当m＞0时a≤-1；当m＜0时，a≥1．
【知识点】二次函数的最值；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）把（-1，6）代入解析式中求出m，即可得到解析式；
（2）根据开口向上得m＞0，再根据函数图象的增减性得到最高点和最低点，从而得出m的值，即可求出点的坐标；
（3）分为m＞0和 m＜0 两种情况，根据图象的增减性得到a的取值范围即可．
21．（2024九上·杭州期中）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为（如图），养殖场的总面积为．
（1）求y关于x的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
【答案】（1）解：∵较小矩形的宽为，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，∴较大矩形的宽为．
∴矩形养殖场的长为，矩形养殖场的宽为．
∴养殖场的总面积为．
∵墙的长度为10米，
∴，
∴．
∴关于的函数关系式为
（2）解：由题意，∵，∴当时，随的增大而增大．
又∵，
∴当时，取最大值，最大值为：．
答：当为时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件可得到矩形养殖场的长和宽，再利用矩形的面积公式可得到y关于x的函数解析式，利用墙的长度可求出x的取值范围.
（2）将（1）中的函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质及x的取值范围，可得到矩形面积的最大值及此时x的值.
（1）解：由题意，∵较小矩形的宽为，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，
∴较大矩形的宽为．
∴矩形养殖场的长为，矩形养殖场的宽为．
∴养殖场的总面积为．
∵墙的长度为10米，
∴，
∴．
∴关于的函数关系式为．
（2）解：由题意，∵，
∴当时，随的增大而增大．
又∵，
∴当时，取最大值，最大值为：．
答：当为时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为．
22．（2024八下·大洼月考）如图，四边形是平行四边形，相交于点O，E为的中点，连接，过点E作于点F，过点O作于点G．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若四边形是菱形，，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
点是的中点，
．
，
，
于点，于点，
，
四边形是平行四边形
，
，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是菱形，
，，，，
，，
，，
在中，，
，
即，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的性质等知识点进行考查；（1）因为四边形ABCD是平行四边形，两对角线互相平分，所以，因为E为AB中点，所以，因此，于点，于点，则，可证明四边形EFGO为平行四边形，又因为，所以，因此四边形是矩形得证；
（2）因为四边形ABCD是菱形，所以对角线互相垂直，即，在中，，根据面积法有，可解得．
23．（2024九上·浙江期中）如图1，由四个全等的直角三角形的直角边拼接成一个正方形，我们称这样的图形为“弦图”，“弦图”是中国古代数学的瑰宝，在如图2的“弦图”中，连结，交于点O，设与，的交点分别为M，N．吴老师和学生们对此“弦图”进行研究性学习时，有如下交流：
吴老师：利用弦图中的三角形全等关系可证明“四边形是正方形，O是和的中点．”；
小聪：这两个结论都能证明，我还发现“”；
小颖：我发现“已知，的长度，就能确定的长度”，如：“已知，，求的长．”
结合上述师生的交流：
（1）请你证明小聪发现的结论；
（2）请你解答小颖提出的问题“已知，，求的长．”
【答案】（1）证明：∵四边形，都是正方形，
，
，
；
（2）解：，，
，
∵，，
，，
∵四边形，是正方形，
∴，是等腰直角三角形，
∴，，
又∵是和的中点，
，，
由（1）得：，
，
∴，
解得：，
∴由中心对称的性质，得：．
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；中心对称的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得，再由，即可得证结论；
（2）由全等三角形得，结合勾股定理求出，，然后根据正方形的性质得，是等腰直角三角形，从而得，，进而得，，接下来由（1）中的相似三角形对应边成比例的性质得到，最后根据中心对称的性质即可得到的长.
（1）解：由吴老师与小聪的交流可知：
四边形是正方形，
∵四边形是正方形，四边形是正方形，
，
，
；
（2），
，
，
由正方形得：，
由正方形得：，
由吴老师与小聪的交流可知：O是和的中点，
，，
由（1）得：，
，
即：，
，
∴由中心对称性，得：．
24．（2024九上·慈溪期中）在一个圆中，圆心到该圆的任意一条弦的距离，叫做这条弦的弦心距．
（1）如图1，在中，半径是5，弦，则这条弦的弦心距长为　 　．
（2）通过大量的做题探究；小明发现：在同一个圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦的弦心距也相等．但是小明想证明时却遇到了麻烦．请结合图2帮助小明完成证明过程如图2，在中，，，，求证：．
（3）如图3，在中，的直径为20，且弦垂直于弦于，请应用上面得出的结论求的长．
【答案】（1）3
（2）证明：连接、，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
（3）解：过点作交于，过点作交于，连接，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
的直径为20，
，
，
，
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；垂径定理
【解析】【解答】解：（1）连接，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：3.
【分析】（1）连接OB，根据垂径定理可得BC，再利用勾股定理即可求解；
（2）连接BO、OC，利用HL判定Rt△BOM≌Rt△CON，即可得出结论；
（3）过点作交于，过点作交于，连接，由（2）可知，四边形是正方形，再分别运用勾股定理求出GO、EO即可.
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