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浙江省九年级上学期数学期中仿真模拟试题（三）
一、选择题（本大题有10题，每题3分，共30分．在每题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．）
1．（2025九上·湖州期末）下列函数中，是的二次函数的是（　　）
A． B． C． D．
2． 已知 则下列等式中，不成立的是（　　)
A． B．
C． D．4x=3y
3．（2016九上·龙湾期中）已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2024九上·浙江期中）二次函数的图象如图所示，则点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2024九下·杭州期中）如图，已知为的直径，弦与交于点E，连结，设，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·潮安模拟）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八上·宁波期末）如图，在中，，点在AB边上，连结CD，点是CD的中点，连结AE．若，则AE的长是（　　）
A．2 B． C． D．
8．（2024九上·杭州期中）如图，点，在半圆上，， 相交于点，则的值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·浙江模拟）已知正比例函数与二次函数的图象相交于两点．若两点的横坐标分别为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
10．（2024九上·杭州期中）如图，在半圆O中，直径，C，D是半圆上两点，P是直径上一点，若，，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6题，每题3分，共18分．）
11．（2025八下·慈溪期末）一个多边形的内角和是720°，则这个多边形的边数是　 　。
12．（2024·新兴模拟）如图，在的正方形网格纸中，每个小正方形的边长均为1，点O，A，B为格点，即是小正方形的顶点，若将扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径为　 　．
13．（2025·东营）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢＋矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则的值为　 　．
14．（2024九上·浙江期中）若时，函数的最大值为17，则　 　．
15．（2024九上·南山期末） 如图，△ABC 为直角三角形，∠ACB=90°，AC=1，BC=3，D 是 AB 边上的中点，将△ACB 绕着点 A 逆时针旋转，使点 C 落在线段 CD 上的点 E 处，点 B 的对应点为 F，边 EF 与边 AB 交于点 G， 则 DG 的长　 　．
16．（2024九上·朝阳期末）已知函数（是常数，），（是常数，），在同一平面直角坐标系中，若无论为何值，函数和的图象总有公共点，则的取值范围是　 　．
三、解答题（本大题有8题，第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分．）
17．（2023九上·越城月考）抛物线y=-x2+（m-1）x+m与y轴交于点（0，3）．
（1）求出m的值及抛物线与x轴的交点坐标.
（2）当x取什么值时，抛物线在x轴下方？
（3）当x取什么值时，y的值随x的增大而增大．
18．（2024九上·滨江期末）如图，是的角平分线，在边上取点，使．
（1）求证：．
（2）若，，求的度数．
19．（2025·柯桥模拟）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定的价格进行试销，通过对5天的试销情况进行统计，得到如下数据：
单价（元/件） 30 34 38 40 42
销量（件） 40 32 24 20 16
（1）分析表格中的数据发现销量y与单价x之间存在一次函数关系，求y关于x的函数关系式．
（2）若该产品的成本是20元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少？
20．（2025·温州模拟）根据要求作图并证明．
（1）如图，请按以下步骤进行尺规作图，并保留作图痕迹：
①画一条直径；
②作的垂直平分线交于点C，D；
③连结，得到．
（2）根据第（1）小题作法，给出是等边三角形的证明．
21．（2025九上·唐山期末）如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点C的坐标为．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．
（1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标；
（2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点C的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由．
22．（2024九上·浙江期中）如图，正方形的边长为1，点在正方形外，．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
23．（2024九上·浙江期中）已知二次函数（，b是实数）图象经过四点：，，，．
（1）若，
①求二次函数的表达式；
②已知时，y随x的增大而减小，求k的最大值；
（2）若m，n，p这三个实数中，有且只有一个是负数，求a的取值范围．
24．（2024九上·浙江期中）如图1，内接于，，过点C作，交于D，过D作于点E，交于点M，连结．
（1）求证：
①；
②；
（2）如图2，若是中点，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、y=4x，y是x的正比例函数，故此选项不符合题意；
B、y=2x-1，y是x的一次函数，故此选项不符合题意；
C、y=x2-3，y是x的二次函数，故此选项符合题意；
D、，y是x的反比例函数，故此选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）叫做二次函数，由此判断即可.
2．【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A.∵，∴，此选项正确，不合题意；
B. ∵，∴，此选项错误，符合题意；
C. ∵，∴，此选项正确，不合题意；
D.∵，∴4x=3y，此选项正确，不合题意；
故答案为：B.
【分析】直接利用比例的性质将原式变形进而得出答案.
3．【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：当点P是⊙O外一点时，OP>5cm，A、B、C均不符题意.
故答案为：D.
【分析】由题意可知，OP>5cm，结合选项即可判断求解。
4．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：函数图象开口向下，
，
抛物线对称轴在轴右侧，
，异号，
∴，
抛物线与轴交于正半轴，
，
，
点在第二象限，
故答案为：B．
【分析】根据函数图象的开口方向、对称轴以及与轴的交点可求出的正负情况，从而得的正负情况，进而根据点坐标与象限的关系得到答案.
5．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图：连接
∵
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：B.
【分析】先由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出，再运用三角形内角和以及等边对等角，得出，最后运用三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和，即可作答．
6．【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：二次函数的图象关于轴对称，
关于轴的对称点为，
，且时，函数值随自变量的增大而减小，
；
故选：D．
【分析】根据二次函数的性质即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，
则BF=FC=4，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】过点A作AF⊥BC于点F，则可以求出AF=3，即可得到△ABC的面积，然后根据求出AE长即可.
8．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图所示，连接，连接交于M，
∵，
∴，
∴D是的中点，
∴OD垂直平分BC
∴，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是直径，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】连接，交于M，先证明，可得，再由AB是直径可得，证得，由和是等腰直角三角形，则可设，则，，，利用相似三角形性质求解即可得到结论．
9．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：联立整理得x2-kx-3=0，
由条件可知p，q是方程x2-kx-3=0两个根
∴p·q=-3，
故答案为：A.
【分析】联立正比例函数和二次函数的解析式，求出交点横坐标对应的方程，利用根与系数的关系求解p·q.
10．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，将半圆补充成一个整圆，过点作的垂线交于点，连接交于点，延长交于点，连接，
∵为直径，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴最小值为的长度，
，，
，
∴，
∴，
，
∴，
∵为直径，，
∴，，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：B．
【分析】将半圆补充成一个整圆，过点作的垂线交于点，连接交于点，延长交于点，连接，根据垂径定理以及线段垂直平分线的性质得，从而得最小值为的长度，然后求出，由圆周角定理得，进而得，于是得，接下来根据直角所对的圆周角是直角得，解直角三角形求出的长即可.
11．【答案】六
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，由内角和公式可得：
（n 2）×180°＝720°，
∴n＝6，
故答案为：6．
【分析】根据n边形内角和定理，列方程解答即可．
12．【答案】
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆弧AB的长度=，
即围成的圆锥的底面圆的周长为：；
∴这个锥的底面圆的半径为：．
故答案为：．
【分析】首先根据弧长公式求出圆弧AB的长度，也就是这个圆锥的底面圆的周长，进而根据圆周长计算公式即可得出半径。
13．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；求余弦值
【解析】【解答】解：解：如图，作OH⊥AB交AB于H，交圆弧于C，
由题意：AB=8，HC=2，
设OA=x，则OC=x，
∴OH =x-2，
∵OH⊥AB，OC为半径，
∴AH = BH =AB
在Rt OAH中，由勾股定理得AH2+OH2=OA2，
∴42+(x-2）2=x2，
解得x=5，
∴OA=5，
∴cos∠OAB=，
故答案为：.
【分析】如图，作OH⊥AB交AB于H，交圆弧于C，利用垂径定理得AH=BH=4，再用勾股定理构构建方程组求出OA，OH，再利用余弦函数定义即可解答.
14．【答案】6
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵函数，
∴函数的图象开口向上，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
当时，，当时，，
∵时，函数的最大值为，
∴，
故答案为：6．
【分析】先根据函数的解析式得到函数的图象开口方向以及对称轴，求出当时，当时，，结合函数图象的性质即可求解.
15．【答案】
【知识点】旋转的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点A作AH⊥CD于H，过点D作DN⊥EF于N，
∵∠BCA=90°，AC=1，CB=3，
∴，
∵CD是BA边上的中线，
∴，
∴∠DCA=∠DAC，
∵∠BCA=90°=∠CHA，
∴∠DCA+∠CAH=90°=∠DAC+∠B，
∴∠B=∠CAH，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵将△ABC绕着点A逆时针旋转，
∴AE=AC=1，∠AEF=∠BCA=90°，
∴， ∠AEH+∠DEN = 90°，
∴，
∵∠AEH+∠HAE=90°，
∴∠HAE=∠DEN，
又∵∠AHE=∠DNE =90°，
∴△AEH∽△EDN，
∴，
∴，
∴，
∵∠AEG=∠DNG，∠DGN=∠AGE，
∴△AGE∽△DGN，
∴，
∵，
∴，
故答案为：.
【分析】先证∠B=∠CAH，由锐角三角函数可求CH，AH的长，由旋转的性质可得AE=AC=1，∠AEF=∠BCA=90°，由等腰三角形的性质可得CH=HE，通过证明△AEH∽△EDN，可得，可求DN的长，通过证明△AGE∽△DGN，由相似三角形的性质可求解.
16．【答案】或
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】且 ，
该函数过点（-4，-2），
且 ，
该函数过（-5，0），（1，0）
当a<0时，无论k为何值，函数和的图象总有公共点，
a<0符合题意；
当a>0时，无论k为何值，函数和的图象总有公共点，
x=-4时，可得
解得
符合题意；
无论为何值，函数和的图象总有公共点，则的取值范围为或 .
【分析】根据求得其过定点（-4，-2），根据求得其过定点（-5，0），（1，0），利用数形结合以及分两种情况进行讨论，从而求解.
17．【答案】（1）解：将 （0，3） 代入，可得m=3，
∴
令y=0，即，解得，
∴ x轴的交点坐标为，；
（2）解：根据的图像，如下图
如图可知， 当或时，抛物线在x轴下方；
（3）解：∵，
∴抛物线开口朝下，
抛物线对称轴为，
根据二次函数的性质可知，
当时，y随着x的增大而增大.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出m，在令y=0，求出根即可得到答案；
（2）数形结合，可知 x取什么值时，抛物线在x轴下方 ；
（3）由题意可知图像开口朝下，所以当x小于等于对称轴时，y随着x的增大而增大。
18．【答案】（1）证明：是的角平分线，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
是的角平分线，
，
，
，
，
．

【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】（1）由角平分线得到，然后根据化为，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似解题即可；
（2）先由三角形外角的性质得到，然后根据角平分线的定义得到，然后根据相似三角形的对应角相等得到即可解题．
19．【答案】（1）解：设函数关系式为，
，
解得：，
∴一次函数关系式为y＝﹣2x+100.
（2）解：设产品的利润为y元，
∵﹣2＜0，20＜x＜50，
∴当x＝35时，y取最大值为450元，
答：为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为35元．
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设函数关系式为，从表格中选取2组数值代入，解得k、b的值，进而求得函数表达式.
(2)设产品的利润为y元，利用利润的计算公式列出函数关系式为，再通过二次函数的性质求得当x＝35时，y取最大值为450元.
20．【答案】（1）解：如图1即为所求；
（2）解：如图2，连结OD，BD，
∵为的直径，是的中垂线，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）先过圆心O画一条直径AB，然后分别以点O，B为圆心，以大于为半径画弧，然后过弧的两个交点画直线，与交于点C，D，最后连接即可；
（2）连结，，根据垂径定理、垂直平分线的性质得，，，从而得，进而得，于是根据等边三角形的判定推出是等边三角形，得，接下来根据圆周角定理得，结合，可求出，据此即可得证结论.
（1）解：图1即为所作图形．
（2）解：如图2，连结OD，BD．
∵是的中垂线，为的直径，
∴，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴是等边三角形．
21．【答案】（1）解：根据题意，设抛物线的解析式为，把原点坐标代入解析式，得，
解得，
故抛物线的解析式为；
∵水面边缘点C的坐标为，C，B在一条直线上，
∴点B的纵坐标为，
根据题意，得，
解得（舍去），
故点．
（2）解：根据，运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点C的水平距离为5米，则此时该点的横坐标为米，
当时，，
由，
根据运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，
故本次跳水失误．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）此题给出了抛物线的顶点坐标，故设抛物线的解析式为，把原点坐标代入解析式，确定a值，即可求出抛物线的解析式；根据点的坐标与图形性质易得点B的纵坐标为-10，故将y=-10代入所求的函数解析式算出对应的自变量x的值即可得到点B的坐标；
（2）根据，运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点C的水平距离为5米，则此时该点的横坐标为米，计算对应的纵坐标，结合标准判断即可．
（1）解：根据题意，设抛物线的解析式为，
把原点坐标代入解析式，得，
解得，
故抛物线的解析式为；
∵水面边缘点C的坐标为，C，B在一条直线上，
∴点B的纵坐标为，
根据题意，得，
解得（舍去），
故点．
（2）解：根据，运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点C的水平距离为5米，则此时该点的横坐标为米，
当时，，
由，
根据运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，
故本次跳水失误．
22．【答案】（1）证明：如图：
∵四边形是正方形，
∴，，
，
，
又，
，
，
∴；
（2）解：∵，
．
，
，
∵，，
∴，
∴
，
∴由勾股定理得：
∴，
，
．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先由正方形的性质结合已知可得，再由三角形的内角和定理结合已知可证即可；
（2）由得为等腰直角三角形，则由勾股定理可得，再由（1）的结论利用相似比计算即可．
（1）证明：如图：
∵四边形是正方形，
∴，，
，
，
又，
，
，
∴；
（2）解：∵，
．
，
，
∵，，
∴，
∴
，
∴由勾股定理得：
∴，
，
．
23．【答案】（1）解：根据题意，可将，代入，得，
解得：，，
∴二次函数的表达式为：；
②∵二次函数的表达式为：，
∴二次函数的开口向上，对称轴为直线，
时，随的增大而减小，
，
解得：，
∴的最大值为2；
（2）解：把代入，得，
，
，
∵二次函数图象经过，，这三个点，
时，，
∴时，，
∴时，，
当时，有，
∴，
∵，，这三个实数中，有且只有一个是负数，
，
∴，
解得：；
当时，有
∴，
∵，，这三个实数中，有且只有一个是负数，
，
∴，
解得：，
综上所述，的取值范围为：或．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）①利用待定系数法进行求解；
②由①的函数表达式求出二次函数开口方向以及对称轴，根据二次函数的性质可列不等式求出的取值范围，即可求解；
（2）将代入函数表达式求出，从而得，求出的值，然后分两种情况讨论：当或时，分别列出不等式组并解之，即可求出的取值范围.
（1）解：依题意，当时，图象经过点，
①把，分别代入，
得，
解得：，，
．
②∵
∴开口方向向上，且对称轴为直线，
时，y随x的增大而减小，
，
解得：，
∴k的最大值为2．
（2）解：把分别代入，得，
，
，
∵二次函数图象经过，，这三个点，
时，；
∴时，；
∴时，；
当时，则，
∴，
，n，p这三个实数中，有且只有一个是负数，
，
即，
解得，
当时，则
即，
，n，p这三个实数中，有且只有一个是负数，
，
即，
解得：，
综上所述，a的取值范围是：或．
24．【答案】（1）证明：①，
，
，
，
即：，
．
②过点A作于H，
，
，
由（1）得：，
，
，
，即：，
，
，
（2）解：，，
，
，即：，
，
，
，
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）①由二直线平行，内错角相等可得，由同圆中相等的圆周角所对的弧相等可得，由等式性质推出，进而根据等弧对等弦即可得证；
②过点A作于H，根据等腰三角形的三线合一得，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似证明，根据相似三角形的对应边成比例即可得证；
（2）由有两组角对应相等的两个三角形相似证明，由相似三角形对应边成比例，结合已知是中点，得出，结合（1）②恒等式得出，进而即可求解．
（1）①，
，
，
，
即：，
．
②过点A作于H，
，
，
由（1）得：，
，
，
，即：，
，
，
．
（2），，
，
，即：，
，
，
，
．
1 / 1浙江省九年级上学期数学期中仿真模拟试题（三）
一、选择题（本大题有10题，每题3分，共30分．在每题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．）
1．（2025九上·湖州期末）下列函数中，是的二次函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、y=4x，y是x的正比例函数，故此选项不符合题意；
B、y=2x-1，y是x的一次函数，故此选项不符合题意；
C、y=x2-3，y是x的二次函数，故此选项符合题意；
D、，y是x的反比例函数，故此选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）叫做二次函数，由此判断即可.
2． 已知 则下列等式中，不成立的是（　　)
A． B．
C． D．4x=3y
【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A.∵，∴，此选项正确，不合题意；
B. ∵，∴，此选项错误，符合题意；
C. ∵，∴，此选项正确，不合题意；
D.∵，∴4x=3y，此选项正确，不合题意；
故答案为：B.
【分析】直接利用比例的性质将原式变形进而得出答案.
3．（2016九上·龙湾期中）已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：当点P是⊙O外一点时，OP>5cm，A、B、C均不符题意.
故答案为：D.
【分析】由题意可知，OP>5cm，结合选项即可判断求解。
4．（2024九上·浙江期中）二次函数的图象如图所示，则点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：函数图象开口向下，
，
抛物线对称轴在轴右侧，
，异号，
∴，
抛物线与轴交于正半轴，
，
，
点在第二象限，
故答案为：B．
【分析】根据函数图象的开口方向、对称轴以及与轴的交点可求出的正负情况，从而得的正负情况，进而根据点坐标与象限的关系得到答案.
5．（2024九下·杭州期中）如图，已知为的直径，弦与交于点E，连结，设，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图：连接
∵
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：B.
【分析】先由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出，再运用三角形内角和以及等边对等角，得出，最后运用三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和，即可作答．
6．（2025·潮安模拟）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：二次函数的图象关于轴对称，
关于轴的对称点为，
，且时，函数值随自变量的增大而减小，
；
故选：D．
【分析】根据二次函数的性质即可求出答案.
7．（2025八上·宁波期末）如图，在中，，点在AB边上，连结CD，点是CD的中点，连结AE．若，则AE的长是（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，
则BF=FC=4，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】过点A作AF⊥BC于点F，则可以求出AF=3，即可得到△ABC的面积，然后根据求出AE长即可.
8．（2024九上·杭州期中）如图，点，在半圆上，， 相交于点，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图所示，连接，连接交于M，
∵，
∴，
∴D是的中点，
∴OD垂直平分BC
∴，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是直径，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】连接，交于M，先证明，可得，再由AB是直径可得，证得，由和是等腰直角三角形，则可设，则，，，利用相似三角形性质求解即可得到结论．
9．（2025·浙江模拟）已知正比例函数与二次函数的图象相交于两点．若两点的横坐标分别为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：联立整理得x2-kx-3=0，
由条件可知p，q是方程x2-kx-3=0两个根
∴p·q=-3，
故答案为：A.
【分析】联立正比例函数和二次函数的解析式，求出交点横坐标对应的方程，利用根与系数的关系求解p·q.
10．（2024九上·杭州期中）如图，在半圆O中，直径，C，D是半圆上两点，P是直径上一点，若，，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，将半圆补充成一个整圆，过点作的垂线交于点，连接交于点，延长交于点，连接，
∵为直径，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴最小值为的长度，
，，
，
∴，
∴，
，
∴，
∵为直径，，
∴，，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：B．
【分析】将半圆补充成一个整圆，过点作的垂线交于点，连接交于点，延长交于点，连接，根据垂径定理以及线段垂直平分线的性质得，从而得最小值为的长度，然后求出，由圆周角定理得，进而得，于是得，接下来根据直角所对的圆周角是直角得，解直角三角形求出的长即可.
二、填空题（本大题有6题，每题3分，共18分．）
11．（2025八下·慈溪期末）一个多边形的内角和是720°，则这个多边形的边数是　 　。
【答案】六
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，由内角和公式可得：
（n 2）×180°＝720°，
∴n＝6，
故答案为：6．
【分析】根据n边形内角和定理，列方程解答即可．
12．（2024·新兴模拟）如图，在的正方形网格纸中，每个小正方形的边长均为1，点O，A，B为格点，即是小正方形的顶点，若将扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径为　 　．
【答案】
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆弧AB的长度=，
即围成的圆锥的底面圆的周长为：；
∴这个锥的底面圆的半径为：．
故答案为：．
【分析】首先根据弧长公式求出圆弧AB的长度，也就是这个圆锥的底面圆的周长，进而根据圆周长计算公式即可得出半径。
13．（2025·东营）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢＋矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；求余弦值
【解析】【解答】解：解：如图，作OH⊥AB交AB于H，交圆弧于C，
由题意：AB=8，HC=2，
设OA=x，则OC=x，
∴OH =x-2，
∵OH⊥AB，OC为半径，
∴AH = BH =AB
在Rt OAH中，由勾股定理得AH2+OH2=OA2，
∴42+(x-2）2=x2，
解得x=5，
∴OA=5，
∴cos∠OAB=，
故答案为：.
【分析】如图，作OH⊥AB交AB于H，交圆弧于C，利用垂径定理得AH=BH=4，再用勾股定理构构建方程组求出OA，OH，再利用余弦函数定义即可解答.
14．（2024九上·浙江期中）若时，函数的最大值为17，则　 　．
【答案】6
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵函数，
∴函数的图象开口向上，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
当时，，当时，，
∵时，函数的最大值为，
∴，
故答案为：6．
【分析】先根据函数的解析式得到函数的图象开口方向以及对称轴，求出当时，当时，，结合函数图象的性质即可求解.
15．（2024九上·南山期末） 如图，△ABC 为直角三角形，∠ACB=90°，AC=1，BC=3，D 是 AB 边上的中点，将△ACB 绕着点 A 逆时针旋转，使点 C 落在线段 CD 上的点 E 处，点 B 的对应点为 F，边 EF 与边 AB 交于点 G， 则 DG 的长　 　．
【答案】
【知识点】旋转的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点A作AH⊥CD于H，过点D作DN⊥EF于N，
∵∠BCA=90°，AC=1，CB=3，
∴，
∵CD是BA边上的中线，
∴，
∴∠DCA=∠DAC，
∵∠BCA=90°=∠CHA，
∴∠DCA+∠CAH=90°=∠DAC+∠B，
∴∠B=∠CAH，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵将△ABC绕着点A逆时针旋转，
∴AE=AC=1，∠AEF=∠BCA=90°，
∴， ∠AEH+∠DEN = 90°，
∴，
∵∠AEH+∠HAE=90°，
∴∠HAE=∠DEN，
又∵∠AHE=∠DNE =90°，
∴△AEH∽△EDN，
∴，
∴，
∴，
∵∠AEG=∠DNG，∠DGN=∠AGE，
∴△AGE∽△DGN，
∴，
∵，
∴，
故答案为：.
【分析】先证∠B=∠CAH，由锐角三角函数可求CH，AH的长，由旋转的性质可得AE=AC=1，∠AEF=∠BCA=90°，由等腰三角形的性质可得CH=HE，通过证明△AEH∽△EDN，可得，可求DN的长，通过证明△AGE∽△DGN，由相似三角形的性质可求解.
16．（2024九上·朝阳期末）已知函数（是常数，），（是常数，），在同一平面直角坐标系中，若无论为何值，函数和的图象总有公共点，则的取值范围是　 　．
【答案】或
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】且 ，
该函数过点（-4，-2），
且 ，
该函数过（-5，0），（1，0）
当a<0时，无论k为何值，函数和的图象总有公共点，
a<0符合题意；
当a>0时，无论k为何值，函数和的图象总有公共点，
x=-4时，可得
解得
符合题意；
无论为何值，函数和的图象总有公共点，则的取值范围为或 .
【分析】根据求得其过定点（-4，-2），根据求得其过定点（-5，0），（1，0），利用数形结合以及分两种情况进行讨论，从而求解.
三、解答题（本大题有8题，第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分．）
17．（2023九上·越城月考）抛物线y=-x2+（m-1）x+m与y轴交于点（0，3）．
（1）求出m的值及抛物线与x轴的交点坐标.
（2）当x取什么值时，抛物线在x轴下方？
（3）当x取什么值时，y的值随x的增大而增大．
【答案】（1）解：将 （0，3） 代入，可得m=3，
∴
令y=0，即，解得，
∴ x轴的交点坐标为，；
（2）解：根据的图像，如下图
如图可知， 当或时，抛物线在x轴下方；
（3）解：∵，
∴抛物线开口朝下，
抛物线对称轴为，
根据二次函数的性质可知，
当时，y随着x的增大而增大.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出m，在令y=0，求出根即可得到答案；
（2）数形结合，可知 x取什么值时，抛物线在x轴下方 ；
（3）由题意可知图像开口朝下，所以当x小于等于对称轴时，y随着x的增大而增大。
18．（2024九上·滨江期末）如图，是的角平分线，在边上取点，使．
（1）求证：．
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：是的角平分线，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
是的角平分线，
，
，
，
，
．

【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】（1）由角平分线得到，然后根据化为，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似解题即可；
（2）先由三角形外角的性质得到，然后根据角平分线的定义得到，然后根据相似三角形的对应角相等得到即可解题．
19．（2025·柯桥模拟）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定的价格进行试销，通过对5天的试销情况进行统计，得到如下数据：
单价（元/件） 30 34 38 40 42
销量（件） 40 32 24 20 16
（1）分析表格中的数据发现销量y与单价x之间存在一次函数关系，求y关于x的函数关系式．
（2）若该产品的成本是20元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少？
【答案】（1）解：设函数关系式为，
，
解得：，
∴一次函数关系式为y＝﹣2x+100.
（2）解：设产品的利润为y元，
∵﹣2＜0，20＜x＜50，
∴当x＝35时，y取最大值为450元，
答：为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为35元．
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设函数关系式为，从表格中选取2组数值代入，解得k、b的值，进而求得函数表达式.
(2)设产品的利润为y元，利用利润的计算公式列出函数关系式为，再通过二次函数的性质求得当x＝35时，y取最大值为450元.
20．（2025·温州模拟）根据要求作图并证明．
（1）如图，请按以下步骤进行尺规作图，并保留作图痕迹：
①画一条直径；
②作的垂直平分线交于点C，D；
③连结，得到．
（2）根据第（1）小题作法，给出是等边三角形的证明．
【答案】（1）解：如图1即为所求；
（2）解：如图2，连结OD，BD，
∵为的直径，是的中垂线，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）先过圆心O画一条直径AB，然后分别以点O，B为圆心，以大于为半径画弧，然后过弧的两个交点画直线，与交于点C，D，最后连接即可；
（2）连结，，根据垂径定理、垂直平分线的性质得，，，从而得，进而得，于是根据等边三角形的判定推出是等边三角形，得，接下来根据圆周角定理得，结合，可求出，据此即可得证结论.
（1）解：图1即为所作图形．
（2）解：如图2，连结OD，BD．
∵是的中垂线，为的直径，
∴，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴是等边三角形．
21．（2025九上·唐山期末）如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点C的坐标为．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．
（1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标；
（2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点C的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由．
【答案】（1）解：根据题意，设抛物线的解析式为，把原点坐标代入解析式，得，
解得，
故抛物线的解析式为；
∵水面边缘点C的坐标为，C，B在一条直线上，
∴点B的纵坐标为，
根据题意，得，
解得（舍去），
故点．
（2）解：根据，运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点C的水平距离为5米，则此时该点的横坐标为米，
当时，，
由，
根据运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，
故本次跳水失误．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）此题给出了抛物线的顶点坐标，故设抛物线的解析式为，把原点坐标代入解析式，确定a值，即可求出抛物线的解析式；根据点的坐标与图形性质易得点B的纵坐标为-10，故将y=-10代入所求的函数解析式算出对应的自变量x的值即可得到点B的坐标；
（2）根据，运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点C的水平距离为5米，则此时该点的横坐标为米，计算对应的纵坐标，结合标准判断即可．
（1）解：根据题意，设抛物线的解析式为，
把原点坐标代入解析式，得，
解得，
故抛物线的解析式为；
∵水面边缘点C的坐标为，C，B在一条直线上，
∴点B的纵坐标为，
根据题意，得，
解得（舍去），
故点．
（2）解：根据，运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点C的水平距离为5米，则此时该点的横坐标为米，
当时，，
由，
根据运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，
故本次跳水失误．
22．（2024九上·浙江期中）如图，正方形的边长为1，点在正方形外，．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：如图：
∵四边形是正方形，
∴，，
，
，
又，
，
，
∴；
（2）解：∵，
．
，
，
∵，，
∴，
∴
，
∴由勾股定理得：
∴，
，
．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先由正方形的性质结合已知可得，再由三角形的内角和定理结合已知可证即可；
（2）由得为等腰直角三角形，则由勾股定理可得，再由（1）的结论利用相似比计算即可．
（1）证明：如图：
∵四边形是正方形，
∴，，
，
，
又，
，
，
∴；
（2）解：∵，
．
，
，
∵，，
∴，
∴
，
∴由勾股定理得：
∴，
，
．
23．（2024九上·浙江期中）已知二次函数（，b是实数）图象经过四点：，，，．
（1）若，
①求二次函数的表达式；
②已知时，y随x的增大而减小，求k的最大值；
（2）若m，n，p这三个实数中，有且只有一个是负数，求a的取值范围．
【答案】（1）解：根据题意，可将，代入，得，
解得：，，
∴二次函数的表达式为：；
②∵二次函数的表达式为：，
∴二次函数的开口向上，对称轴为直线，
时，随的增大而减小，
，
解得：，
∴的最大值为2；
（2）解：把代入，得，
，
，
∵二次函数图象经过，，这三个点，
时，，
∴时，，
∴时，，
当时，有，
∴，
∵，，这三个实数中，有且只有一个是负数，
，
∴，
解得：；
当时，有
∴，
∵，，这三个实数中，有且只有一个是负数，
，
∴，
解得：，
综上所述，的取值范围为：或．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）①利用待定系数法进行求解；
②由①的函数表达式求出二次函数开口方向以及对称轴，根据二次函数的性质可列不等式求出的取值范围，即可求解；
（2）将代入函数表达式求出，从而得，求出的值，然后分两种情况讨论：当或时，分别列出不等式组并解之，即可求出的取值范围.
（1）解：依题意，当时，图象经过点，
①把，分别代入，
得，
解得：，，
．
②∵
∴开口方向向上，且对称轴为直线，
时，y随x的增大而减小，
，
解得：，
∴k的最大值为2．
（2）解：把分别代入，得，
，
，
∵二次函数图象经过，，这三个点，
时，；
∴时，；
∴时，；
当时，则，
∴，
，n，p这三个实数中，有且只有一个是负数，
，
即，
解得，
当时，则
即，
，n，p这三个实数中，有且只有一个是负数，
，
即，
解得：，
综上所述，a的取值范围是：或．
24．（2024九上·浙江期中）如图1，内接于，，过点C作，交于D，过D作于点E，交于点M，连结．
（1）求证：
①；
②；
（2）如图2，若是中点，求的值．
【答案】（1）证明：①，
，
，
，
即：，
．
②过点A作于H，
，
，
由（1）得：，
，
，
，即：，
，
，
（2）解：，，
，
，即：，
，
，
，
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）①由二直线平行，内错角相等可得，由同圆中相等的圆周角所对的弧相等可得，由等式性质推出，进而根据等弧对等弦即可得证；
②过点A作于H，根据等腰三角形的三线合一得，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似证明，根据相似三角形的对应边成比例即可得证；
（2）由有两组角对应相等的两个三角形相似证明，由相似三角形对应边成比例，结合已知是中点，得出，结合（1）②恒等式得出，进而即可求解．
（1）①，
，
，
，
即：，
．
②过点A作于H，
，
，
由（1）得：，
，
，
，即：，
，
，
．
（2），，
，
，即：，
，
，
，
．
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