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1.4空间向量的应用基础练习卷
一、选择题(共8题；共40分)
1．已知，，，则平面ABC的一个法向量可以是（　　）
A． B．
C． D．
2．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在“鳖臑”中，平面，，且，为的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
3．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在α内，则P(－2，1，4)到α的距离为（　　）
A．10 B．3 C． D．
4．在空间直角坐标系中，若直线l的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则（　　）
A． B．
C． 或 D．l与 斜交
5．如图所示，在三棱柱 中， 底面 ， ， ，点 、 分别是棱 、 的中点，则直线 和 所成的角为（　　）
A．120° B．150° C．30° D．60°
6．在四棱锥中，底面，底面是边长为的正方形，，则直线与平面所成角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，正三角形 与正三角形 所在平面互相垂直，则二面角 的余弦值是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，直角梯形，，，，是边中点，沿翻折成四棱锥，则点到平面距离的最大值为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题(共3题；共18分)
9．在正方体中，，，则（　　）
A．为钝角
B．
C．平面
D．直线与平面所成角的正弦值为
10．正方体 ，的棱长为4，已知 平面α， ，则关于α β截此正方体所得截面的判断正确的是（　　）
A．α截得的截面形状可能为正三角形
B． 与截面α所成角的余弦值为
C．α截得的截面形状可能为正六边形
D．β截得的截面形状可能为正方形
11．三棱锥中，已知平面，垂足为，连接，，，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则为的重心
B．若，则为的垂心
C．若，则为的外心
D．若，，，则为的内心
三、填空题(共3题；共15分)
12．已知向量是直线的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若直线⊥平面，则实数的值为　 　.
13．若空间中有三点，则到直线的距离为　 　；点到平面的距离为　 　.
14．已知球 是三棱锥 的外接球， ， ，点 是 的中点，且 ，则球 的表面积为　 　.
四、解答题(共5题；共77分)
15．已知正方体 棱长为1，O为 中点，以D为原点， 所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 .
（1）求平面 的法向量 ，并证明 平面 ；
（2）求异面直线 与 夹角的余弦值.
16．如图，在三棱柱中，所有棱长均为，，．
（1）证明：平面平面．
（2）求平面与平面的夹角的正弦值．
17．如图，在棱长为4的正方体 中， 分别是 和 的中点．
（1）求点 到平面 的距离；
（2）求 与平面 所成的角的余弦值．
18．如图，长方体 的底面 是正方形，点 在棱 上， ．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ， ，求二面角 的余弦值．
19．如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 底面 ， ， 为棱 的中点.
（1）求直线 与 所成角的余弦值；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）求二面角 的余弦值.
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】，，令法向量为，则，
，可取.
故答案为：A.
【分析】 根据已知条件，先求出，坐标，再结合法向量的定义，列出方程组，即可求解出答案.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，“鳖臑”A-BCD 是由正方体的四个顶点构成的，
以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，
则 ， ， ， ， ，
则 ， ，
，
则异面直线BM与CD夹角的余弦值为 ．
故选：B．
【分析】将“鳖臑”A-BCD放在正方体内部，建立空间直角坐标系即可利用向量求异面直线BM与CD夹角的余弦值．
3．【答案】D
【解析】【解答】 ＝(1，2，－4)，又平面α的一个法向量为n＝(－2，－2，1)，
所以P到α的距离为 ＝ 。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合空间向量的方法，再结合数量积求点到平面的距离公式，进而求出点 P(－2，1，4)到α的距离 。
4．【答案】C
【解析】【解答】直线l的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，
因为 ，
所以 ，
所以 或 ，
故答案为：C.
【分析】根据题意首先求出直线与平面的法向量，再由数量积的坐标运算性质计算出结果即可得出，结合法向量的定义即可得出直线与平面的位置关系。
5．【答案】D
【解析】【解答】以 为原点。 分别为 轴建立空间直角坐标系：
令 ，
则 ， ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，
所以直线 和 所成的角为 .
故答案为：D
【分析】根据题意建立空间直角坐标系求出各个点以及向量和的坐标，结合空间向量的数量积运算公式再把坐标代入即可计算出夹角的余弦值，由此即可求出角的大小。
6．【答案】B
【解析】【解答】如图所示，
以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
设直线与平面所成的角为，所以，
故答案为：B.
【分析】以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用向量法可求出直线与平面所成角的正弦值.
7．【答案】D
【解析】【解答】如图示，取AC中点E，连结BE、DE，在正三角形 与正三角形 中，
BE⊥AC，DE⊥AC，因为面 ⊥面 ，面 面 ，所以BE⊥面ADC，
以E为原点， 为x轴正方向， 为y轴正方向， 为z轴正方向，建立空间直角坐标系，设AC=2，则
，
平面ACD的一个法向量为
而 ，设 为面BCD的一个法向量，则：
即 ，不妨令x=1，则
设二面角 的平面角为θ，则θ为锐角，
所以 .
故答案为：D
【分析】首先由已知条件的面面垂直即可得出线面垂直，再由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面ACD法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面BCD的法向量的坐标，结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到二面角的余弦值。
8．【答案】B
【解析】【解答】根据题意建立空间直角坐标系，如图：
可得：C(0，0，0)、B(1，0，0)、A(1，1，0)、E(0，1，0)
设点D的坐标为（0，b，c），由题意可得：0＜b＜2，0＜c≤1，
所以
设平面的法向量为，可得：
即
令z=1，则x=c，
所以平面的一个法向量为
点C到平面的距离d=
又因为0＜c≤1，
所以，当c=1时，等号成立，
所以距离d的最大值是，
故选：B.
【分析】根据已知条件，建立空间直角坐标系，设出点的坐标（0，b，c），求出平面的法向量，利用空间向量中点到面的距离公式，得到距离d关于参数c的函数，求函数的最大值（即距离的最大值）。
9．【答案】B,C,D
【解析】【解答】令，以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．
，
，则为锐角，A不符合题意；
，，，B符合题意；
，
设平面的法向量为，
不妨设，则，
，
，又平面，则平面，C符合题意；
平面，则是平面的一个法向量，又，
则直线与平面所成角的正弦值为，D符合题意.
故答案为：BCD．
【分析】建立空间直角坐标系，通过计算判断A；通过计算，判断B；求出平面的法向量，通过验证判断C；是平面的一个法向量，借助向量夹角公式可判断D．
10．【答案】A,B,C
【解析】【解答】解：A选项：为正三角形的情况为△B1CD1，故A正确；
B选项：不妨设截面a是△B1CD1，由于直线与平面所成角的余弦值等于直线与平面法向量所成角正弦值，且AC1为平面B1CD1的法向量，则∠A1AC1即为直线与法向量为夹角，
设夹角为θ，则其正弦值为，故B正确；
C选项：为正六边形的情况为A1D1，A1B1，B1B，BC，CD，D1D中点连线构成，故C正确；
D选项：由于直线AC1为体对角线，且，在正方体上任找一点(排除A1C1)与A1C1可构成平面β，但无法得到正方形截面，故D错误.
故答案为：ABC
【分析】根据正方体的几何特征，利用向量法求直线与平面所成的角，结合正三角形及正六边形的几何特征求解即可.
11．【答案】B,C
【解析】【解答】解：三棱锥 中，已知 平面 ，垂足为 ，连接 ， ， ，
如图所示：
对于 ：若 ，则 为 的外心，故 错误；
对于 ： ，整理得： ，所以 ，
即 ，由于 平面 ，
所以 ，故 平面 ，
所以 ，
同理： ， ，
故点 为 的垂心，故 正确；
对于 ：由于 ，利用勾股定理 ， ， ，
所以： ，故 为 的外心，故 正确；
对于 ：由于 ， ，所以 平面 ，所以 ，
由于于 平面 ，
所以 ，
故 平面 ，
所以 ，同理 ，
故点 为 的垂心，故 错误．
故答案为：BC
【分析】根据三角形的外心的定义，可判定A错误；根据题意得到 ，得到 ，证得 平面 ，得到、和 ，可判定B正确；利用勾股定理，分别求得 ，得到 ，可判定C 正确；根据题意证得 平面 ，得到 ，在由 平面 ，得到 ，证得 平面 ，得到 、 和 ，可判定D错误.
12．【答案】-1
【解析】【解答】因为直线⊥平面，则与平行，
故，即，解得：，
故实数的值为-1.
故答案为：-1
【分析】利用直线⊥平面，则与平行，再利用向量共线的坐标表示得出实数m的值。
13．【答案】；
【解析】【解答】由可得
则，
又，则
则到直线的距离为
设平面的一个法向量为
则，即，
令，则，又
则点到平面的距离为
故答案为：；
【分析】 利用空间向量的夹角求出A到直线BC的距离，利用向量法求出P到平面ABC的距离.
14．【答案】
【解析】【解答】由 ， ，可得 ，所以 ，
由点 是 的中点，且 ，可求得 ，
又由 ，可得 ，所以 ，
又 且 平面 ，所以 平面 ，
以 为底面， 为侧棱补成一个直三棱柱，如图所示，
则三棱锥 的外接球即为该三棱柱的外接球，
球心 到底面 的距离为 ，
由正弦定理，可得 的外接圆的半径为 ，
所以球 的半径为 ，
所以球 的表面积为 .
故答案为： .
【分析】根据题意由线面垂直的判定定理即可证明AC⊥平面PAB，结合勾股定理求出三角形PAB外接圆的半径，再由点到面的距离公式求出球的半径，把数值代入到球的表面积公式计算出结果即可。
15．【答案】（1）证明： ，故 ，
设平面 的一个法向量为 ，
由 得 ，
令 ，则 ，所以 .
又 ，从而 .
∵ 平面 ，所以 平面 ；
（2）设 分别为直线 与 的方向向量．
则由 ， ，得 .
所以两异面直线 与 的夹角 的余弦值为 ．
【解析】【分析】(1)根据题意建立空间直角坐标系，写出各点坐标，结合数量积的坐标公式，求解平面的一个法向量即可得证。
(2)写出，的坐标，根据空间向量的夹角计算公式即可得解。
16．【答案】（1）证明：取中点，连接，，则．
，，为等边三角形，
，，，
，，
，，平面，
平面，
平面，平面平面．
（2）解：如图，以，，，
所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．
，，
平面的的法向量，
平面的的法向量，
，，故平面与平面的夹角的正弦值为．
【解析】【分析】（1）取中点，连接，，则，再根据勾股定理证得，推出平面，即可证得平面平面；
（2） 以，，，所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出平面的的法向量和平面的的法向量，利用向量法可求出平面与平面的夹角的正弦值．
17．【答案】（1）解：如图所示，以点 为原点建立空间直角坐标系 ，
依题意，得 ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
则 ，即 ，
由此取 ，可得平面 的一个法向量为 ，
又由
所以点 到平面 的距离为
（2）解：设 与平面 所成角为 ，则 ，
且 ，
所以 与平面 所成角的余弦值为
【解析】【分析】(1)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面BEF法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面BEF的法向量的坐标，结合空间里点到平面的距离公式代入数值计算出结果即可。
(2)由(1)的结论结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，再诱导公式即可得到sin的值，再由同角三角函数的平方关系即可求出 与平面 所成角的余弦值 。
18．【答案】（1）由已知得， 平面 ，
平面 ，故
又 ，所以 平面
（2）由（1）知 ．由题设知 ，所以 ，
故 ，
以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系 ，则
， ， ， ，
， ，
设平面 的法向量为 ，
则 即 所以可取
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 可取
于是
所以，二面角 的余弦值为 ．
【解析】【分析】（1）根据直线与平面垂直的判定定理与性质定理求证即可；
（2）利用向量法直接求解即可.
19．【答案】（1）解： 平面 ，四边形 为正方形，设 .
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则 、 、 、 、 、 .
， ，
，
所以，异面直线 、 所成角的余弦值为 ；
（2）解：设平面 的一个法向量为 ， ， ，
由 ，可得 ，取 ，可得 ，则 ，
， ，
因此，直线 与平面 所成角的正弦值为 ；
（3）解：设平面 的一个法向量为 ， ， ，
由 ，可得 ，得 ，取 ，则 ， ，
所以，平面 的一个法向量为 ，
，
由图形可知，二面角 为锐角，
因此，二面角 的余弦值为 .
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合四棱锥的结构特征，再利用正方形的性质和中点的性质，从而结合数量积求向量夹角的公式，从而求出异面直线 与 所成角的余弦值。
（2）利用已知条件结合数量积求向量夹角的公式，从而求出直线 与平面 所成角的正弦值。
(3)利用已知条件结合线面垂直的定义，从而推出线线垂直，再利用数量积求向量夹角的公式，从而求出二面角 的余弦值。
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