资源简介

高中数学人教A版（2019）必修第一册
第五章三角函数 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
一、单选题
1.（2025八省（区）联考）函数的最小正周期是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.函数的最小正周期是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.（2023江苏滨海县八滩中学期末）已知函数的最小正周期为，则（ ）
A.
B.
C.
D.
4.已知函数，若直线是函数图象的一条对称轴，则其图象的一个对称中心为（ ）
A.
B.
C.
D.
5.（2025重庆第二外国语学校月考）下列函数中，最小正周期是且图象关于直线对称的是（ ）
A.
B.
C.
D.
6.（2023四川眉山期中）已知函数，，则的值域是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题
7.下列函数中最小正周期为，且为偶函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
8.（2025湖南株洲期末）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 在区间上单调递增
B. 的图象关于点对称
C. 若，，则的最小值为
D. 若，则
9.（2024甘肃民乐县第一中学检测）已知函数，则（ ）
A. 是偶函数
B. 在区间上单调递减
C. 在区间上有四个零点
D. 的值域为
三、填空题
10.已知函数，则________.
11.（2023甘肃天水一中阶段检测）函数的单调递减区间是________.
12.比较大小：________（填“>” “<”或“=”）.
四、解答题
13.求函数的值域.
14.（2025山东邹城期末）已知：
（1）求的最小正周期及单调递增区间；
（2）当时，求的最大值和最小值.
15.（2024重庆十八中月考）已知函数：
（1）求函数在上的单调递减区间；
（2）若在区间上恰有两个零点，，求的值.
一、单选题
1.答案：D
解析：余弦函数的基本形式为，其最小正周期公式为。本题中，代入公式得。
2.答案：C
解析：利用余弦函数的偶函数性质，可将函数化简为。此时，根据周期公式得。
3.答案：B
解析：正弦函数的周期公式为，已知，则，解得。将代入函数，计算：
。
4.答案：A
解析：余弦函数的对称轴满足（），已知直线是对称轴，代入得，即。结合，取，得，因此。
余弦函数的对称中心满足（），代入得，解得。当时，对称中心为。
5.答案：A
解析：最小正周期为，根据周期公式，得，排除（中，周期为）。
正弦函数的对称轴满足（），将代入选项验证：
：，满足对称轴条件；
：，不满足；
：，不满足。
故答案为。
6.答案：C
解析：已知，则。
正弦函数在上的取值范围是，因此的取值范围是。
二、多选题
7.答案：AC
解析：逐一分析选项：
：，的周期为，绝对值后周期减半为；且，是偶函数，符合条件；
：，周期为，且是奇函数，不符合；
：利用诱导公式化简，周期为，且，是偶函数，符合条件；
：，周期为，不符合。
8.答案：ACD
解析：逐一分析选项：
：函数的单调递增区间满足（），解得。当时，区间为，与题干区间一致，正确；
：正弦函数的对称中心对应函数值为“平衡位置”，即（常数项）。代入，得，故对称中心为，错误；
：时，，即，解得，；时，，即，解得，（）。两者最小距离为，正确；
：时，，即，解得，（）。两点间距离为，令，则距离为，正确。
9.答案：ABD
解析：逐一分析选项：
：，满足偶函数定义，正确；
：当时，（时），，而在上单调递减，故单调递减，正确；
：当时，令，即。由于、，仅当两者均为0时成立，解得，共3个零点，错误；
：当（）时，（最大值）；当（）时，（最小值），故值域为，正确。
三、填空题
10.答案：-1
解析：函数的周期。计算一个周期内的函数和：
，，，，，；
总和为。
又，即2025项包含337个完整周期和前3项，故总和为。
11.答案：（）
解析：先化简函数：。
函数的单调递减区间，等价于的单调递增区间。
正弦函数的递增区间为（），令，得：
，解得（）。
12.答案：>
解析：利用诱导公式化简：
；
；
因，故填“>”。
四、解答题
13.解：采用“分离常数法”化简函数：
。
已知正弦函数的值域为，则。
分析分式的取值范围：当分母从增大到时，分式从减小到，即。
因此，即值域为。
14.解：
（1）最小正周期：根据正弦函数周期公式，本题中，故。
单调递增区间：正弦函数的递增区间为（），令，得：
，
移项化简：，
两边除以2：（）。
故单调递增区间为（）。
（2）当时，计算的取值范围：
当时，；
当时，；
故。
正弦函数在上的最大值为，最小值为。
因此的最大值为，最小值为。
15.解：
（1）单调递减区间：正弦函数的递减区间为（），令，得：
，
移项化简：，
两边除以2：（）。
结合，取时，区间为；取时，区间为。
故在上的单调递减区间为和。
（2）由得，即，化简为。
令，当时，。
因方程在上有两个解、（对应、），根据正弦函数的对称性，得（正弦函数在内对称于）。
又，，代入得：
，化简得，解得，即。
因此。
由，得，代入得：
。
根据诱导公式，得。
故。

展开更多......

收起↑