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广东省深圳市2016年启智杯小学三四年级数学思维及应用能力竞赛(A1组)
1．（2016·深圳竞赛）请在括号与□内分别填上所有可能的两位和一位数字使等式成立，列出你填写的等式。
(　　)÷□=3……4
2．（2016·深圳竞赛） 在1、2、3、…、19、20这20个数中， 选取18个数， 使它们的和等于198。
（1）总共有多少种不同的取法？
（2）写出两种不同的取法.
（3）所有这样的取法中，写出使这18个数乘积最小的取法.写出你的答案，不必写出过程。
3．（2016·深圳竞赛） 请填入图中缺少的数字，并说明你发现的规律。
4．（2016·深圳竞赛）甲乙两家公司同时打出了招聘启事，启事中的内容基本一致，唯独有如下不同：
甲公司：年薪10万元，每经过一年提薪1次，每次2万元。
乙公司：半年薪5万元，每经过半年提薪一次，每次0.5万元。
如果不考虑其他的待遇和要求，单纯从薪酬的角度考虑，哪一家公司的待遇更好一些？ 或者没有区别？
5．（2016·深圳竞赛）如图： 平面上有一个 的长正方形网格模型，共有 20 个结点(纵横线的交点)，连接任意两个结点都可以得到一条线段，那么从这20个结点中任意连接两个结点，可以得到多少条长度等于AB的线段(包括AB)？简要说明你的寻找方法。
6．（2016·深圳竞赛）在矩形ABCD中， E、F、G、H分别是四边中点， 平行四边形IJKL面积为1，则矩形ABCD的面积为多少？ 说明你的推理方法.
7．（2016·深圳竞赛）甲乙丙丁4个同学一起去商场，他们每个人买了一样东西，分别是：一个水杯、一双鞋、一条裤子、一个书包，而这 4 件商品正好是在商场的 4 个不同的楼层. 现在知道：甲去了1层、水杯在4层出售、乙购买了一双鞋、丙在2层购物、甲没有购买书包. 请你判断他们各自在哪个楼层买了什么东西，把你的判断结果填写在表中.
学生 甲 乙 丙 丁
楼层 　 　 　 　
物品 　 　 　 　
8．（2016·深圳竞赛） 请将2016写成 的形式. 其中a， b， c， d， e， f是6个不同的数字，比如当a=6时， 。请给出所有不同的写法。
9．（2016·深圳竞赛） 有一种算法程序：从1 开始交替地做加法和乘法，第一次可以做加法也可以做乘法，每次做加法都将上次结果加上2 或者 3； 每次做乘法都将上次结果乘以2或者3：例如请按例子的形式写出得到26 的所有可能的计算过程，说明你的思考方法。
10．（2016·深圳竞赛）在如图所示乘法算式中，汉字“启、智、杯、好”分别代表一个不同的数字，每个空格代表一个数字，求“启智杯好”连在一起代表什么数？ 说明你的关键步骤。
11．（2016·深圳竞赛）在由10个1组成的加减法算式 中，同时改变其中的4个运算符号(加号变为减号，减号变为加号) 算一次操作. 问：能否经过若干次操作，使算式结果为0？ 若能，请写出你的操作过程； 若不能，请说明理由.
12．（2016·深圳竞赛）小明手中拿着一些不同点数的扑克牌(不含大王、小王， 他先从这些扑克牌中抽若干张，把抽到的扑克牌点数相加，所得和记为A； 再从剩余的扑克牌中抽若干张，把抽到的扑克牌点数相加，所得和记为B. 他发现，无论怎样抽取，A和B都不相等，请问：
（1）如果小明手中只有4张牌，那么这4张牌的点数之和最小是多少？ 分别写出它们的点数.
（2）要使小明手中的扑克牌的点数之和达到最大值，应该是哪些点数的牌？ 分别列出它们的点数并指出和的最大值。
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】枚举法；余数和除数的关系
【解析】【解答】 解：因为除数比余数大，所以除数最小可以是5，最大可以是9，
依次写出下列式子：
19÷5=3…4
22÷6=3…4
25÷7=3…4
28÷8=3…4
31÷9=3…4
故答案为：
【分析】根据除法规则，余数必须小于除数，因此除数需小于4，除数是一位数，所以除数小于10。同时，被除数为两位数，需满足10≤被除数≤99。通过枚举可能的除数并计算对应的被除数，筛选符合条件的组合。
2．【答案】（1）解：因为1+2+3++20=210
210-198=12
12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7
所以这样的2个数是组合是1与11；2与10；3与9；4与8；5与7共5组。
答：总共有5种不同的取法。
（2）解：若未取的两个数为1和11，则选取的数为2到10、12到20的所有数。例如： 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 ， 10 ， 12 ， 13 ， … ， 20 （共18个数）。
若未取的两个数为2和10，则选取的数为1，3，4，5，6，7，8，9，11，12，…，20。例如： 1 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 ， 11 ， 12 ， … ， 20 （共18个数）。
答： 2+3+4+…+9+10+12+13+…+19+20 或 1+3+4+5+…+8+9+11+12+…+19+20 ，答案不唯一。
（3） 1×2×3×4×6×8×9×10×…×19×20 （共18个数）
【知识点】数字和问题；和定最值问题
【解析】【解答】解：（3）解：因为在1与11；2与10；3与9；4与8；5与7这5组数中，5和7的乘积最大，
所以去掉5和7为：1 ， 2，3 ， 4 ， 6 ， 8 ， 9 ， 10、11 ， 12 ， … ， 20 （共18个数）。
答： 1×2×3×4×6×8×9×10×…×19×20 （共18个数）
【分析】（1）先求出 1-20所有数的和是210，比198多出了12，即说明没取的2个数的和是12，这样的2个数是组合是1与11；2与10；3与9；4与8；5与7共5组。
（2）在这样的5组中任选2组即可解答第二问
（3）在这5组中，把2个数相乘的积最大的组去掉，即去掉5和7。
3．【答案】解：观察每个方框数与它下面两个方框的数的关系，可以得出上面方框中的数是下面方框相邻两个数之和。
第三行中的数：2=2+0；1=1+0；7=1+6
第二行中的数：3=2+1，后一个是1+7=8
第一行中的数：3+8=11
答：填入的数字如图所示，规律为上面方框中的数是下面方框相邻两个数之和 。
【知识点】数列中的规律
【解析】【分析】本题需要根据图中的数字排列规律，填写缺失的数字并说明规律。通常这类题目涉及行或列的运算关系，如加减乘除、等差数列、等比数列或其他组合规律。需要观察已知数字的位置关系，推断可能的运算方式。本题观察每个方框数与它下面两个方框的数的关系，可以得出上面方框中的数是下面方框相邻两个数之和。
4．【答案】解：第一年，某人在A公司可以得到10万元，而在B公司则是5万元+5.5万元=10.5万元；
第二年，某人在A公司可以得到12万元，而在B公司则是6万元+6.5万元=12.5万元；
第三年，某人在A公司可以得到14万元，而在B公司则是7万元+7.5万元=14.5万元；
…
显然，在B公司每年都会比在A公司多收入0.5 万元，乙公司的待遇更好。
答：乙公司的待遇更好。
【知识点】最优化问题
【解析】【分析】 要比较甲乙两家公司的待遇，需分别计算各年份的总收入。甲公司每年固定提薪，乙公司每半年提薪一次。通过计算前三年的总收入及通式，可比较两者的优劣。
5．【答案】解：如图下图所示，每一个“日”字型的六个节点中可以连两条长度等于AB的线段，
竖方向有8个不同位置的“日”字型，
横方向有9个不同位置的“日”字型，
所以可以连成2×（8+9）=34（条）长度为AB的线段。
答： 可以得到34条长度等于AB的线段。
【知识点】几何中的计数问题
【解析】【分析】 根据示例解析中的“日”字形结构，每个“日”字形（1×2的小长方形）中存在两条长度为AB的线段。 根据示例解析的思路，横向和纵向的“日”字形结构分别有9和8个，每个贡献2条线段，总线段数为 2 × ( 9 + 8 ) = 34 条。
6．【答案】解：将已知将图形进行剪拼，如下如图所示：
下图中红色部分的两块可以拼成和平行四边形IJKL相同的平行四边形，黄色部分的两块可以拼成和平行四边形IJKL相同的平行四边形，绿色部分的两块可以拼成和平行四边形IJKL相同的平行四边形，蓝色部分的两块可以拼成和平行四边形IJKL相同的平行四边形。
上图中红色部分、蓝色部分、绿色部分、黄色部分的面积都和平行四边形IJKL面积相同．
所以：1×5=5
答：矩形的面积是5。
【知识点】逻辑推理；平面图形的切拼
【解析】【分析】本题需通过几何变换或面积分割的方法，将平行四边形IJKL的面积与矩形整体面积关联。通过剪拼或面积分解，将矩形分割为若干与平行四边形IJKL面积相等的部分，从而推导出整体面积。
7．【答案】解：（1）甲去了1层，水杯在4层出售，乙购买一双鞋，甲没有购买书包，说明水杯，鞋，书包不在一层，所以甲在一层买了裤子。
⑵丙在2层购物，而裤子，水杯，鞋不在二层，所以丙在2层买了书包。
⑶水杯在4层，乙购买了一双鞋，所以乙在三楼购买了一双鞋。
⑷所以丁在4层买了水杯。
答： 如图下表所示，答案为一、三、二、四、裤子、鞋、书包、水杯。
学生 甲 乙 丙 丁
楼层 一 三 二 四
物品 裤子 鞋 书包 水杯
【知识点】逻辑推理
【解析】【分析】 本题需要根据给定的条件，确定甲、乙、丙、丁四人所在的楼层及购买的物品。通过逐步排除和逻辑推理，结合已知条件确定楼层与物品的对应关系。关键在于利用“水杯在4层”和“甲未买书包”等限制条件，排除矛盾选项，最终得到唯一合理的分配方案。
8．【答案】解：三位数部分最大为 999 + 888 = 1887 ，剩余需满足：
11 c + 11 d +e +f= 2016 = 2016 1887 = 129
但两位数部分最大为 99 + 88 = 187 ，但此时若 c = 9 和 d = 8 ，则与a=9、b=8冲突。需重新调整。
尝试 a = 9 （999）、 b = 8 （888），且 c ， d不等于9、8，且与其他数字不重复。
可能的组合：
(1)若 c= 7 （77），则 11 c = 77 ，剩余 129 77 = 52 需由 11 d +e + f组成：
11 d + e + f= 52
若 d= 4 （44），则 11 d = 44 ，剩余 52 44 = 8 ，即 e + f= 8 。需 e和 f 为不同数字且不与9、8、7、4重复。例如：
e = 6 ， f = 2 （6+2=8），所有数字为9，8，7，4，6，2（均不同）。
或 e= 5 ，f = 3 （5+3=8），数字为9，8，7，4，5，3（不同）。
此时得到两种组合：
999 + 888 + 77 + 44 + 6 + 2
999 + 888 + 77 + 44 + 5 + 3
同理，当c= 6 时，可得出符合题意要求的组合：2016=999+888+66+55+7+1
答：满足题意的写法有：2016=999+888+77+44+5+3、2016=999+888+77+44+6+2、2016=999+888+66+55+7+1
【知识点】数字问题；逻辑推理
【解析】【分析】 本题需通过枚举较大的三位数组合，结合剩余部分的约束条件，逐步排除不符合条件的组合。关键在于优先选择较大的三位数以减少剩余部分的复杂度，并确保所有数字唯一。最终得到三种不同的有效写法。 首先，三位数部分 和的取值为 111a 和 111b （a，b为1-9的整数）。两位数部分为 11 c和 11 d （c，d为0-9且不重复）。剩余的e和f为个位数，且所有数字a，b，c，d，e，f均不同。总和为：
111 a + 111 b+ 11 c + 11 d +e +f= 2016 ，三位数部分尽可能大以减少剩余部分的复杂度，因此优先尝试较大的a和b组合（如9和8）， 并确保所有数字唯一。最终得到三种不同的有效写法。
9．【答案】解：先从 1 开始，按照交替做加法和乘法的规则，通过不同的加 2、加 3、乘 2、乘 3 的组合，尝试得到结果为 26的方法有以下6种：
【知识点】定义新运算
【解析】【分析】 本题需要从 1 开始，按照交替做加法和乘法的规则，通过不同的加 2、加 3、乘 2、乘 3 的组合，尝试得到结果为 26。
10．【答案】解： 由第一步：好×好，个位数还是“好”，说明“好”等于1或5或6；
由第二步：杯×好，个位数还是“好”，而且“杯”和“好”不是同一个数字，说明“杯”=1，从而“好”只能等于5或6；
由第三步：智×启智杯好=0，说明“智”=0，
由第四步：启×启智杯好，结果为四位数，说明启≤3，所以“启”=2或3，“启×好”的个位数为“启”，当“启”=2时，“好”=6；当“启”=3时，无解，所以“启”=2。
所以“启智杯好”=2016。
答： 启智杯好”连在一起代表的数是2016。
【知识点】竖式数字谜
【解析】【分析】 通过观察乘法算式的特点，利用乘法运算的规律和数字的性质来逐步推导每个汉字所代表的数字。
11．【答案】解：每一次操作，对结果的影响有以下可能：
增加或减少8(四个减号变加号； 或四个加号变减号)； 增加或减少4(三个减变加，一个加变减； 或三个加变减，一个减变加)；结果不变(两加两减)。
所以每次操作结果的改变量是4的倍数，所以无论经过多少次操作，都无法从结果2变为结果0。
答： 经过若干次操作，算式结果不能为0。
【知识点】逻辑推理
【解析】【分析】本题主要涉及到对算式中运算符号改变后结果变化规律的分析。通过研究每次操作对结果的影响情况，来判断是否能从初始结果达到目标结果。
（1）分析每次操作对结果的影响：
情况①：当四个减号变加号时，原来减的数现在加，相当于结果增加了4×2=8；当四个加号变减号时，原来加的数现在减，相当于结果减少了4×2=8。
情况②：当三个减号变加号，一个加号变减号时，三个减号变加号使结果增加了3×2=6，一个加号变减号使结果减少了2，那么总体结果增加了6 2=4；同理，当三个加号变减号，一个减号变加号时，三个加号变减号使结果减少了3×2=6，一个减号变加号使结果增加了2，总体结果减少了6 2=4。
情况③：当有两个加号变减号，两个减号变加号时，两个加号变减号使结果减少了2×2=4，两个减号变加号使结果增加了2×2=4，所以结果不变。
综上，每一次操作结果的改变量为4的倍数。
（2）分析初始结果与目标结果的关系
算式初始结果为2，而目标结果为0，2到0的差值为2，2不是4的倍数。因为每次操作结果的改变量是4的倍数，所以无论经过多少次操作，都无法从结果2变为结果0。
12．【答案】（1）解：从最小的点数 1 开始选。
如果只有 1 ，2 ，那么可以 1 为 A ，2 为 B ，不满足 A 和 B 都不相等的条件。
若有 1 ，2 ，3 ，可以 1 + 2 = 3 ，也不满足条件。
当选取 1 ，2 ，4 时，1 ，2 ，4 ，1 + 2 = 3 ，1 + 4 = 5 ，2 + 4 = 6 ，1+2 + 4 = 7 ，这些和都不相等。再加上 8 ，因为前面得到的和最大是 7 ，8 与前面任意组合的和都不相等。所以这 4 张牌的点数为 1 ，2 ，4 ，8 ，它们的和为 1+2+4+8=15 。
答：这4张牌的点数之和最小是15，点数是 1 ，2 ，4 ，8。
（2）解：在扑克牌中，较大的点数为 K=13 ，Q=12 ，J=11 。先选取 13 ，12 ，11 。
若再选 10 ，13 = 12 + 1 （这里假设从剩余牌中取 12 和 1 与 13 相等，不满足条件），所以不能选 10 。
选 9 ，此时 13 ，12 ，11 ，9 ，它们之间任意组合的和都不相等。
再考虑剩下的点数，若选 8 ，13+9 = 12 + 10 （不满足条件），不能选 8 。选 6 ，此时 13 ，12 ，11 ，9 ，6 ，它们之间任意组合的和都不相等。
再选 5 ，同样满足无论怎样抽取，A 和 B 都不相等的条件。
这些牌的点数之和为 13+12+11+9+6+5=51 。
答：要使小明手中的扑克牌的点数之和达到最大值，这些牌的点数为 13 ，12 ，11 ，9 ，6 ，5 ，和的最大值是 51 。
【知识点】最大与最小
【解析】【分析】 本题需构造两组数，使得任意子集的和不相等。需应用子集和唯一性条件构造。
（1） 要使 4 张牌无论怎样抽取，两部分的和都不相等，那么这 4 个数组成的所有和都应不同。可以从最小的点数开始尝试组合。
（2）在不含大小王的扑克牌中，要使点数之和最大，应选取较大点数的牌，同时要满足 A 和 B 无论怎样抽取都不相等的条件。
1 / 1广东省深圳市2016年启智杯小学三四年级数学思维及应用能力竞赛(A1组)
1．（2016·深圳竞赛）请在括号与□内分别填上所有可能的两位和一位数字使等式成立，列出你填写的等式。
(　　)÷□=3……4
【答案】
【知识点】枚举法；余数和除数的关系
【解析】【解答】 解：因为除数比余数大，所以除数最小可以是5，最大可以是9，
依次写出下列式子：
19÷5=3…4
22÷6=3…4
25÷7=3…4
28÷8=3…4
31÷9=3…4
故答案为：
【分析】根据除法规则，余数必须小于除数，因此除数需小于4，除数是一位数，所以除数小于10。同时，被除数为两位数，需满足10≤被除数≤99。通过枚举可能的除数并计算对应的被除数，筛选符合条件的组合。
2．（2016·深圳竞赛） 在1、2、3、…、19、20这20个数中， 选取18个数， 使它们的和等于198。
（1）总共有多少种不同的取法？
（2）写出两种不同的取法.
（3）所有这样的取法中，写出使这18个数乘积最小的取法.写出你的答案，不必写出过程。
【答案】（1）解：因为1+2+3++20=210
210-198=12
12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7
所以这样的2个数是组合是1与11；2与10；3与9；4与8；5与7共5组。
答：总共有5种不同的取法。
（2）解：若未取的两个数为1和11，则选取的数为2到10、12到20的所有数。例如： 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 ， 10 ， 12 ， 13 ， … ， 20 （共18个数）。
若未取的两个数为2和10，则选取的数为1，3，4，5，6，7，8，9，11，12，…，20。例如： 1 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 ， 11 ， 12 ， … ， 20 （共18个数）。
答： 2+3+4+…+9+10+12+13+…+19+20 或 1+3+4+5+…+8+9+11+12+…+19+20 ，答案不唯一。
（3） 1×2×3×4×6×8×9×10×…×19×20 （共18个数）
【知识点】数字和问题；和定最值问题
【解析】【解答】解：（3）解：因为在1与11；2与10；3与9；4与8；5与7这5组数中，5和7的乘积最大，
所以去掉5和7为：1 ， 2，3 ， 4 ， 6 ， 8 ， 9 ， 10、11 ， 12 ， … ， 20 （共18个数）。
答： 1×2×3×4×6×8×9×10×…×19×20 （共18个数）
【分析】（1）先求出 1-20所有数的和是210，比198多出了12，即说明没取的2个数的和是12，这样的2个数是组合是1与11；2与10；3与9；4与8；5与7共5组。
（2）在这样的5组中任选2组即可解答第二问
（3）在这5组中，把2个数相乘的积最大的组去掉，即去掉5和7。
3．（2016·深圳竞赛） 请填入图中缺少的数字，并说明你发现的规律。
【答案】解：观察每个方框数与它下面两个方框的数的关系，可以得出上面方框中的数是下面方框相邻两个数之和。
第三行中的数：2=2+0；1=1+0；7=1+6
第二行中的数：3=2+1，后一个是1+7=8
第一行中的数：3+8=11
答：填入的数字如图所示，规律为上面方框中的数是下面方框相邻两个数之和 。
【知识点】数列中的规律
【解析】【分析】本题需要根据图中的数字排列规律，填写缺失的数字并说明规律。通常这类题目涉及行或列的运算关系，如加减乘除、等差数列、等比数列或其他组合规律。需要观察已知数字的位置关系，推断可能的运算方式。本题观察每个方框数与它下面两个方框的数的关系，可以得出上面方框中的数是下面方框相邻两个数之和。
4．（2016·深圳竞赛）甲乙两家公司同时打出了招聘启事，启事中的内容基本一致，唯独有如下不同：
甲公司：年薪10万元，每经过一年提薪1次，每次2万元。
乙公司：半年薪5万元，每经过半年提薪一次，每次0.5万元。
如果不考虑其他的待遇和要求，单纯从薪酬的角度考虑，哪一家公司的待遇更好一些？ 或者没有区别？
【答案】解：第一年，某人在A公司可以得到10万元，而在B公司则是5万元+5.5万元=10.5万元；
第二年，某人在A公司可以得到12万元，而在B公司则是6万元+6.5万元=12.5万元；
第三年，某人在A公司可以得到14万元，而在B公司则是7万元+7.5万元=14.5万元；
…
显然，在B公司每年都会比在A公司多收入0.5 万元，乙公司的待遇更好。
答：乙公司的待遇更好。
【知识点】最优化问题
【解析】【分析】 要比较甲乙两家公司的待遇，需分别计算各年份的总收入。甲公司每年固定提薪，乙公司每半年提薪一次。通过计算前三年的总收入及通式，可比较两者的优劣。
5．（2016·深圳竞赛）如图： 平面上有一个 的长正方形网格模型，共有 20 个结点(纵横线的交点)，连接任意两个结点都可以得到一条线段，那么从这20个结点中任意连接两个结点，可以得到多少条长度等于AB的线段(包括AB)？简要说明你的寻找方法。
【答案】解：如图下图所示，每一个“日”字型的六个节点中可以连两条长度等于AB的线段，
竖方向有8个不同位置的“日”字型，
横方向有9个不同位置的“日”字型，
所以可以连成2×（8+9）=34（条）长度为AB的线段。
答： 可以得到34条长度等于AB的线段。
【知识点】几何中的计数问题
【解析】【分析】 根据示例解析中的“日”字形结构，每个“日”字形（1×2的小长方形）中存在两条长度为AB的线段。 根据示例解析的思路，横向和纵向的“日”字形结构分别有9和8个，每个贡献2条线段，总线段数为 2 × ( 9 + 8 ) = 34 条。
6．（2016·深圳竞赛）在矩形ABCD中， E、F、G、H分别是四边中点， 平行四边形IJKL面积为1，则矩形ABCD的面积为多少？ 说明你的推理方法.
【答案】解：将已知将图形进行剪拼，如下如图所示：
下图中红色部分的两块可以拼成和平行四边形IJKL相同的平行四边形，黄色部分的两块可以拼成和平行四边形IJKL相同的平行四边形，绿色部分的两块可以拼成和平行四边形IJKL相同的平行四边形，蓝色部分的两块可以拼成和平行四边形IJKL相同的平行四边形。
上图中红色部分、蓝色部分、绿色部分、黄色部分的面积都和平行四边形IJKL面积相同．
所以：1×5=5
答：矩形的面积是5。
【知识点】逻辑推理；平面图形的切拼
【解析】【分析】本题需通过几何变换或面积分割的方法，将平行四边形IJKL的面积与矩形整体面积关联。通过剪拼或面积分解，将矩形分割为若干与平行四边形IJKL面积相等的部分，从而推导出整体面积。
7．（2016·深圳竞赛）甲乙丙丁4个同学一起去商场，他们每个人买了一样东西，分别是：一个水杯、一双鞋、一条裤子、一个书包，而这 4 件商品正好是在商场的 4 个不同的楼层. 现在知道：甲去了1层、水杯在4层出售、乙购买了一双鞋、丙在2层购物、甲没有购买书包. 请你判断他们各自在哪个楼层买了什么东西，把你的判断结果填写在表中.
学生 甲 乙 丙 丁
楼层 　 　 　 　
物品 　 　 　 　
【答案】解：（1）甲去了1层，水杯在4层出售，乙购买一双鞋，甲没有购买书包，说明水杯，鞋，书包不在一层，所以甲在一层买了裤子。
⑵丙在2层购物，而裤子，水杯，鞋不在二层，所以丙在2层买了书包。
⑶水杯在4层，乙购买了一双鞋，所以乙在三楼购买了一双鞋。
⑷所以丁在4层买了水杯。
答： 如图下表所示，答案为一、三、二、四、裤子、鞋、书包、水杯。
学生 甲 乙 丙 丁
楼层 一 三 二 四
物品 裤子 鞋 书包 水杯
【知识点】逻辑推理
【解析】【分析】 本题需要根据给定的条件，确定甲、乙、丙、丁四人所在的楼层及购买的物品。通过逐步排除和逻辑推理，结合已知条件确定楼层与物品的对应关系。关键在于利用“水杯在4层”和“甲未买书包”等限制条件，排除矛盾选项，最终得到唯一合理的分配方案。
8．（2016·深圳竞赛） 请将2016写成 的形式. 其中a， b， c， d， e， f是6个不同的数字，比如当a=6时， 。请给出所有不同的写法。
【答案】解：三位数部分最大为 999 + 888 = 1887 ，剩余需满足：
11 c + 11 d +e +f= 2016 = 2016 1887 = 129
但两位数部分最大为 99 + 88 = 187 ，但此时若 c = 9 和 d = 8 ，则与a=9、b=8冲突。需重新调整。
尝试 a = 9 （999）、 b = 8 （888），且 c ， d不等于9、8，且与其他数字不重复。
可能的组合：
(1)若 c= 7 （77），则 11 c = 77 ，剩余 129 77 = 52 需由 11 d +e + f组成：
11 d + e + f= 52
若 d= 4 （44），则 11 d = 44 ，剩余 52 44 = 8 ，即 e + f= 8 。需 e和 f 为不同数字且不与9、8、7、4重复。例如：
e = 6 ， f = 2 （6+2=8），所有数字为9，8，7，4，6，2（均不同）。
或 e= 5 ，f = 3 （5+3=8），数字为9，8，7，4，5，3（不同）。
此时得到两种组合：
999 + 888 + 77 + 44 + 6 + 2
999 + 888 + 77 + 44 + 5 + 3
同理，当c= 6 时，可得出符合题意要求的组合：2016=999+888+66+55+7+1
答：满足题意的写法有：2016=999+888+77+44+5+3、2016=999+888+77+44+6+2、2016=999+888+66+55+7+1
【知识点】数字问题；逻辑推理
【解析】【分析】 本题需通过枚举较大的三位数组合，结合剩余部分的约束条件，逐步排除不符合条件的组合。关键在于优先选择较大的三位数以减少剩余部分的复杂度，并确保所有数字唯一。最终得到三种不同的有效写法。 首先，三位数部分 和的取值为 111a 和 111b （a，b为1-9的整数）。两位数部分为 11 c和 11 d （c，d为0-9且不重复）。剩余的e和f为个位数，且所有数字a，b，c，d，e，f均不同。总和为：
111 a + 111 b+ 11 c + 11 d +e +f= 2016 ，三位数部分尽可能大以减少剩余部分的复杂度，因此优先尝试较大的a和b组合（如9和8）， 并确保所有数字唯一。最终得到三种不同的有效写法。
9．（2016·深圳竞赛） 有一种算法程序：从1 开始交替地做加法和乘法，第一次可以做加法也可以做乘法，每次做加法都将上次结果加上2 或者 3； 每次做乘法都将上次结果乘以2或者3：例如请按例子的形式写出得到26 的所有可能的计算过程，说明你的思考方法。
【答案】解：先从 1 开始，按照交替做加法和乘法的规则，通过不同的加 2、加 3、乘 2、乘 3 的组合，尝试得到结果为 26的方法有以下6种：
【知识点】定义新运算
【解析】【分析】 本题需要从 1 开始，按照交替做加法和乘法的规则，通过不同的加 2、加 3、乘 2、乘 3 的组合，尝试得到结果为 26。
10．（2016·深圳竞赛）在如图所示乘法算式中，汉字“启、智、杯、好”分别代表一个不同的数字，每个空格代表一个数字，求“启智杯好”连在一起代表什么数？ 说明你的关键步骤。
【答案】解： 由第一步：好×好，个位数还是“好”，说明“好”等于1或5或6；
由第二步：杯×好，个位数还是“好”，而且“杯”和“好”不是同一个数字，说明“杯”=1，从而“好”只能等于5或6；
由第三步：智×启智杯好=0，说明“智”=0，
由第四步：启×启智杯好，结果为四位数，说明启≤3，所以“启”=2或3，“启×好”的个位数为“启”，当“启”=2时，“好”=6；当“启”=3时，无解，所以“启”=2。
所以“启智杯好”=2016。
答： 启智杯好”连在一起代表的数是2016。
【知识点】竖式数字谜
【解析】【分析】 通过观察乘法算式的特点，利用乘法运算的规律和数字的性质来逐步推导每个汉字所代表的数字。
11．（2016·深圳竞赛）在由10个1组成的加减法算式 中，同时改变其中的4个运算符号(加号变为减号，减号变为加号) 算一次操作. 问：能否经过若干次操作，使算式结果为0？ 若能，请写出你的操作过程； 若不能，请说明理由.
【答案】解：每一次操作，对结果的影响有以下可能：
增加或减少8(四个减号变加号； 或四个加号变减号)； 增加或减少4(三个减变加，一个加变减； 或三个加变减，一个减变加)；结果不变(两加两减)。
所以每次操作结果的改变量是4的倍数，所以无论经过多少次操作，都无法从结果2变为结果0。
答： 经过若干次操作，算式结果不能为0。
【知识点】逻辑推理
【解析】【分析】本题主要涉及到对算式中运算符号改变后结果变化规律的分析。通过研究每次操作对结果的影响情况，来判断是否能从初始结果达到目标结果。
（1）分析每次操作对结果的影响：
情况①：当四个减号变加号时，原来减的数现在加，相当于结果增加了4×2=8；当四个加号变减号时，原来加的数现在减，相当于结果减少了4×2=8。
情况②：当三个减号变加号，一个加号变减号时，三个减号变加号使结果增加了3×2=6，一个加号变减号使结果减少了2，那么总体结果增加了6 2=4；同理，当三个加号变减号，一个减号变加号时，三个加号变减号使结果减少了3×2=6，一个减号变加号使结果增加了2，总体结果减少了6 2=4。
情况③：当有两个加号变减号，两个减号变加号时，两个加号变减号使结果减少了2×2=4，两个减号变加号使结果增加了2×2=4，所以结果不变。
综上，每一次操作结果的改变量为4的倍数。
（2）分析初始结果与目标结果的关系
算式初始结果为2，而目标结果为0，2到0的差值为2，2不是4的倍数。因为每次操作结果的改变量是4的倍数，所以无论经过多少次操作，都无法从结果2变为结果0。
12．（2016·深圳竞赛）小明手中拿着一些不同点数的扑克牌(不含大王、小王， 他先从这些扑克牌中抽若干张，把抽到的扑克牌点数相加，所得和记为A； 再从剩余的扑克牌中抽若干张，把抽到的扑克牌点数相加，所得和记为B. 他发现，无论怎样抽取，A和B都不相等，请问：
（1）如果小明手中只有4张牌，那么这4张牌的点数之和最小是多少？ 分别写出它们的点数.
（2）要使小明手中的扑克牌的点数之和达到最大值，应该是哪些点数的牌？ 分别列出它们的点数并指出和的最大值。
【答案】（1）解：从最小的点数 1 开始选。
如果只有 1 ，2 ，那么可以 1 为 A ，2 为 B ，不满足 A 和 B 都不相等的条件。
若有 1 ，2 ，3 ，可以 1 + 2 = 3 ，也不满足条件。
当选取 1 ，2 ，4 时，1 ，2 ，4 ，1 + 2 = 3 ，1 + 4 = 5 ，2 + 4 = 6 ，1+2 + 4 = 7 ，这些和都不相等。再加上 8 ，因为前面得到的和最大是 7 ，8 与前面任意组合的和都不相等。所以这 4 张牌的点数为 1 ，2 ，4 ，8 ，它们的和为 1+2+4+8=15 。
答：这4张牌的点数之和最小是15，点数是 1 ，2 ，4 ，8。
（2）解：在扑克牌中，较大的点数为 K=13 ，Q=12 ，J=11 。先选取 13 ，12 ，11 。
若再选 10 ，13 = 12 + 1 （这里假设从剩余牌中取 12 和 1 与 13 相等，不满足条件），所以不能选 10 。
选 9 ，此时 13 ，12 ，11 ，9 ，它们之间任意组合的和都不相等。
再考虑剩下的点数，若选 8 ，13+9 = 12 + 10 （不满足条件），不能选 8 。选 6 ，此时 13 ，12 ，11 ，9 ，6 ，它们之间任意组合的和都不相等。
再选 5 ，同样满足无论怎样抽取，A 和 B 都不相等的条件。
这些牌的点数之和为 13+12+11+9+6+5=51 。
答：要使小明手中的扑克牌的点数之和达到最大值，这些牌的点数为 13 ，12 ，11 ，9 ，6 ，5 ，和的最大值是 51 。
【知识点】最大与最小
【解析】【分析】 本题需构造两组数，使得任意子集的和不相等。需应用子集和唯一性条件构造。
（1） 要使 4 张牌无论怎样抽取，两部分的和都不相等，那么这 4 个数组成的所有和都应不同。可以从最小的点数开始尝试组合。
（2）在不含大小王的扑克牌中，要使点数之和最大，应选取较大点数的牌，同时要满足 A 和 B 无论怎样抽取都不相等的条件。
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