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数学北师大版 高二上
前面已经讨论了直线的方向向量,与方向向量垂直的向量称为直线的法向量,直线的法向量和方向向量都反映了直线的方向.
1.1.3 四、直线方程的点法式
直线Ax+By+C=0的法向量n(x,y),那么
(x,y)（B，-A)=0，得Bx-Ay=0，令x=A,那么y=B，
向量（B，-A)是直线Ax+By+C=0的方向向量
故直线Ax+By+C=0的法向量是n(A,B)
若直线l经过点P,且一个法向量为n,则直线l上不同于点P的任意一点M都满足n·=0.反之,满足n·=0的任意一点M一定在直线l上.
如图所示,已知直线l 过点, l 的一个法向量为,设 是直线l 一动点,则，．得 ①
方程①是由直线l 上一点和l 的一个法向量确定的,因此这个方程叫做直线方程的点法式．
一条直线的法向量不唯一,它们都是相互平行(共线)的．
已知的三个顶点分别为求边上的高所在直线的方程．
解： 由已知可得．
因为就是边上的高所在直线的法向量,
又所求直线经过点,
所以由直线方程的点法式可得所求直线的方程
为即
例15 已知直线l经过点A(3,1),且与P(-1,0),Q(3,2)两点的连线垂直,求直线l的方程.
解:因为PQ⊥l,所以PQ=(3+1,2-0)=(4,2)为直线l的一个法向量.
又直线l经过点A(3,1),代入直线的点法式方程,得
4(x—3)＋2(y—1)=0，
即
2x+y一7=0.
直线l 过点,且它在 x 轴上的截距是它在 y 轴上的截距的3倍,求直线l 的方程.
解:当直线截距为时，设直线方程为,
∵直线过点，解得，
此时方程为，
若直线截距不为，则设方程为，
将点代入，得，
即，此时直线方程为，，
故求得直线方程是或．
若方程表示一条直线，则实数的取值范围是 .
解：方程表示一条直线，
则不能同时成立.
得
故m的取值范围为(－∞,1)∪(1,＋∞).
形式 方程 适用范围 各常数的几何意义
点斜式 斜率存在 是直线上一个定点, 是斜率
斜截式 斜率存在 是斜率, 是y轴上的截距
两点式 不与x轴,y轴垂直 , 是直线上两个定点
截距式 不与x轴,y轴垂直且不过原点 a是x轴上的非零截距,b是 y轴上的非零截距
一般式 所有直线 当时,是斜率,是y轴上的截距
点法式 法向量存在 是直线上一个定点,是直线的法向量
直线方程的六种形式及其特点
课堂小结
作业：
谢谢
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