资源简介

(共23张PPT)
数学北师大版 高二上
根据定义,点P到直线的距离d就是点P到直线的垂线段PN的长(如图).但是因为垂足N的坐标是未知的,所以不能直接用两点间的距离公式来计算.
1.1.6 二、点到直线的距离公式
在平面直角坐标系中,有一点P(xo, yo),直线Ax＋By＋C=0(其中A,B不全为0),如何求出点P到直线的距离d呢

P
P
N

P(xo, yo)
N

M
设M(x1,y1)是直线Ax＋By＋C=0上任意一点,我们可以把线段PN的长理解成向量PM在直线的法向量=(A,B)方向上的投影向量的长度.
d=
因为M(x1,y1)在直线Ax＋By＋C=0上，所以Ax1＋By1＋C=0
d=
(其中A,B不全为O)
d=
(其中A,B不全为O)

P(xo, yo)
N

M
点P(xo, yo)到直线Ax＋By＋C=0(其中A,B不全为0)的距离公式
探究二：间接法
x
y
O
面积法求出|P0Q|
求出|P0R|
求出|P0S|
利用勾股定理求出|RS|
S
R
求出点R的坐标
求出点S的坐标
于是,过点P且与l垂直的直线方程是y-yo=(x-xo).
点P(xo, yo)到直线Ax＋By＋C=0(其中A,B不全为0),的距离.
首先求出直线l:Ax＋By＋C=0的斜率k=-,
所以与l垂直的直线斜率为.
解方程组
这点就是过点P作l的垂线的垂足.
得交点H( ，),
由两点间的距离公式可得
Ax＋By＋C=0
y-yo=(x-xo)
d=
d=
=
=
=
=
例23求点P(-2,1)到下列直线的距离:
(1) 3x+4y-1=0;(2)y=2x+3;(3）2x+5=0.
解(1）根据点到直线的距离公式,得
d=
即点P(-2,1)到直线3x+4y-1=0的距离为
(2)直线方程y=2x＋3可化为一般式2x-y＋3=0.根据点到直线的距离公式,得
d=
例23求点P(-2,1)到下列直线的距离:
(1) 3x+4y-1=0;(2)y=2x+3;(3）2x+5=0.
解(1）根据点到直线的距离公式,得
(3)直线方程2x＋5=0可化为x=-,这条直线垂直于x轴,所以d=|-2-(-)|=.
即点P(—2,1)到直线2x+5=0的距离为.
另解：直线方程2x＋5=0可变得2x＋0y+5=0
d=
例19用解析法证明:等腰三角形底边延长线上一点到两腰的距离之差等于一腰上的高.
证明在△ABC中,AB=AC,P为BC延长线上一点,PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,CF⊥AB于F.
以BC所在直线为x轴,以BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系(如图).
设A(0,b),B(-a,0),C(a,0)(a>0,b>0),
则直线AB方程为bx -ay+ab=0,
取P(xo,0),使xo≥a,则点P到直线AB,AC的距离分别为
直线 AC方程为bx+ay-ab=0,
|PD|=
|PE|=
点C到直线AB的距离为|CF|=
|PD| -|PE|=
=|CF|
例20两平行直线l1,l2分别过A(1,0)与 B(0,5)．若l1与l2的距离为5,求这两直线方程.
解显然,直线l1,l2均不与x轴垂直.设l1的方程为y=k(x-1)，即kx-y—k=0,则点B到l1，的距离为
所以k=0或k=
l1的方程为y=0或5x-12y一5=0，
可得l2的方程为y=5;或y= x+5.
故所求两直线方程分别为
或 l1:5x--12y一5=0 l2:5x-12y+60=0.
y=0
l2:y=5
l1:
我们来求圆心为C(a,b),半径是r的圆的方程(图2-39).
设P(x,y)是圆上任意一点,根据圆的定义,点P到圆心C的距离等于r.由两点间距离公式,点P适合的条件可表示为
两边平方,得(x-a)2+(y—b)2=r2.
此方程就是圆心为C(a,b),半径是r的圆的方程.
不难看出,如果一个点P(x,y)满足此方程,则P到圆心的距离为r,这个点就在圆上。我们把这个方程叫作圆的标准方程.
不难看出,满足方程的工,y为坐标所表示的点都在圆上,圆上.的每一点的坐标都满足方程.
特别地,当圆心在坐标原点时,有a=b=0,
那么圆的方程为x2+y2=r2.
例2 已知点A(1 ，3)，B(3，1)，C( - 1，0) ，求的面积
解：如图，设AB边上的高为h，则
y
1
2
3
4
x
O
-1
1
2
3
边上的高 就是点 到 的距离
边所在直线的方程为：
即：
点 到直线 的距离
因此，
已知两条平行直线Ax+By+C1=0,Ax+By+C2=O(其中A,B不全为0,且C1≠C2),那么如何求它们之间的距离呢
我们知道,两条平行直线间的距离就是夹在两条平行直线间的公垂线段的长.在直线上任取一点P(x1,y1),则有Ax1+By1+C1=0,即C1=-Ax1-By1此时,两条平行直线,间的距离也就是点P到直线的距离.
根据点到直线的距离公式,得
d=
两条平行直线Ax+By+C1=0,Ax+By+C2=O(其中A,B不全为0,且C1≠C2),它们之间的距离公式是
d=
例24求下列各组平行直线间的距离:
(1) 3x＋4y-1=0，: 3.x+4y+3=0;
(2)y=3x＋2，: y=3x-3;
(3)x-2y-1=0， 2x-4y+3=0.
解(1）根据两条平行直线间的距离公式,得
d= ==·
即与间的距离为.
例24求下列各组平行直线间的距离:
(1) 3x＋4y-1=0，: 3.x+4y+3=0;
(2)y=3x＋2，: y=3x-3;
(3)x-2y-1=0， 2x-4y+3=0.
解(2)将所给直线方程化为一般式,得
:3x-y＋2=0,:3x-y-3=0.根据两条平行直线间的距离公式,得
d=
==
与间的距离为
(3)将直线的方程化为2x-4y-2=0.根据两条平行直线间的距离公式,得
例24求下列各组平行直线间的距离:
(1) 3x＋4y-1=0，: 3.x+4y+3=0;
(2)y=3x＋2，: y=3x-3;
(3)x-2y-1=0， 2x-4y+3=0.
d= ==
间的距离为
课堂小结
点P(xo, yo)到直线Ax＋By＋C=0(其中A,B不全为0)的距离公式d=
2.两条平行直线Ax+By+C1=0,Ax+By+C2=O(其中A,B不全为0,且C1≠C2),它们之间的距离公式是
d=
作业：
4、已知直线l:2x-y+1=0和点O(0，0)、M(0，3)，试在l上找一点P，
使得||PO|-|PM||的值最大，并求出这个最大值。
解：点O(0，0)关于直线l:2x-y+1=0的对称点为O′ (- ， )，
则直线MO′的方程为y-3= x。
直线MO′与直线l:2x-y+1=0的交点P(- , - )即为所求，
相应的||PO|-|PM||的最大值为|MO′|= 。
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站
有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
欢迎加入21世纪教育网教师合作团队！！月薪过万不是梦！！
详情请看：
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php

展开更多......

收起↑