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数学北师大版 高二上
1.2.1 圆的标准方程（2）
1.写出圆的标准方程，并指出圆心和半径.
2.写出圆心在原点、圆心在轴上，圆心在轴上，特殊位置的圆的方程.
答案：1. 圆的标准方程为，圆心为，半径为；
2. 当圆心在原点上，方程为；
当圆心在x轴上，；
当圆心在y轴上，
求经过),两点，且圆心在直线 上的圆的标准方程.
解法1 设该圆的标准方程为.
由圆经过两点且圆心在直线上,
可得方程组
整理、化简得
解得
故所求圆的标准方程为（如右图所示）
待定系数法
求经过),两点，且圆心在直线 上的圆的标准方程.
解法：如右图所示，连接，作的垂直平分线交于点，则圆心是线段的垂直平分线与直线的交点，
线段的垂直平分线的方程为.
联立线段的垂直平分线方程和直线的方程
得方程组解得
即圆心的坐标为.
又该圆经过点，则，
故所求圆的方程为.
几何法
对于任何一个半径为r的圆,为了方便研究,我们可以以圆心为原点建立平面直角坐标系,再依据圆的定义得到圆的方程为
圆的方程为的几何性质.
（1）范围
圆上任意一点都满足不等式
.
这说明圆上的所有点都在两条平行直线和两条平行直线围成的正方形之间（如右图所示）.
圆的方程为的几何性质.
（2）对称性
若点P的坐标满足方程，
则点P分别关于轴、轴和原点对称的
点的坐标也都满足方程.
这说明圆既是关于轴和轴的轴对称图形,
也是关于原点的中心对称图形.
写出圆心为，半径长等于5的圆的方程，并判断点是否在这个圆上.
解析：圆心是，半径长等于5的圆的标准方程是：
.
把的坐标代入方程左右两边相等，
点的坐标适合圆的方程，所以点在这个圆上；
把的坐标代入方程左右两边不相等，
点的坐标不适合圆的方程，所以点不在这个圆上.
的三个顶点的坐标分别是，求它的外接圆的方程.
解法1：设所求圆的方程为.
因都在圆上，故
，解得
所求圆的方程为
解法2：
解题思路：圆心为两条中垂线的交点，半径为圆心到圆上一点。
AB的中垂线方程：
BC的中垂线方程：
则中垂线的交点就是所求圆的圆心
则半径
故所求圆的方程为
的三个顶点的坐标分别是，求它的外接圆的方程.
以圆心为原点建立平面直角坐标系，得到的圆的方程为的几何性质有：
（1）范围.圆上的所有点都在两条平行直线和两条平行直线围成的正方形之间.
（2）对称性.圆既是关于轴和y轴的轴对称图形,也是关于原点的中心对称图形.
点与圆的位置关系及判定方法如下:
位置关系 利用距离判断 利用方程判断
点P在圆上
点P在圆外
点P在圆内
课堂小结
作业：
谢谢
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