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数学北师大版 高二上
1.2.2 圆的一般方程
前面我们已经讨论了圆的标准方程，现将其展开可得：.可见，任何一个圆的方程都可以变形为的形式.
反之，形如的方程表示的曲线是不是圆？
将方程，
配方可得.
（1）当时，方程
表示以为圆心，为半径的圆.
（2）当时，方程，
表示一个点.
（3）当时，方程不表示任何图形.
因此，当时，方程表示一个以为圆心，为半径的圆，
称（其中）为圆的一般方程.
对于二元二次方程而言,圆的一般方程突出了二元二次方程表示圆时,其在代数结构上的典型特征:
(1)x2,y2的系数相同,且不等于0,即A=C0;
(2)不含xy这样的二次项,即B=0.
具备上述两个特征是一般二元二次方程表示圆的必要条件,但不是充分条件.
判断下列二元二次方程是否表示圆的方程 如果是，请求出圆的圆心及半径.(1) ;
(2)
解：（1）化为圆的一般方程.
得知通过计算，
故原方程表示圆的方程，为圆心，为半径，
通过计算得知，圆心为（），半径为.
（2）化为圆的一般方程，得知，通过计算，故原方程不表示任何图形.
求经过点三点的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标.
解: 设所求圆的方程为
因为A，B，C三点在圆上，所以有
解得，
故所求圆的方程为（如右图所示）.
故半径为，圆心为（1， 2）.
讨论方程表示的是怎样的图形.
解 将原方程整理为. ①
当时，方程①是一元一次方程,表示与轴垂直的直线.
当时，方程①可进一步整理为 . ②
当时，方程②无解，故原方程不表示任何图形；
当时，方程②只有一组解，故原方程表示一个点；
当且时，原方程表示一个圆心在，半径为的圆.
已知圆上动点A，轴上定点，将BA延长至M，使求动点M的轨迹方程.
解：设，因，且M在BA的延长线上，
所以A为线段MB的中点，由中点坐标公式得，
因为A在圆上运动，将点A的坐标代入圆的方程，得，
化简得：
所以点M的轨迹方程为.
两个定点的距离为,点到这两个定点的距离的平方和为，求点M的轨迹方程.
解析：以两定点，所在直线为轴，线段的中垂线为轴，
建立直角坐标系，设，
则，
所以，
化简得点的轨迹方程为.
求圆心在直线，且过两圆和的交点的圆的方程.
解析：根据题意得方程组得两圆的交点为设所求圆的方程为.因两点在所求圆上，且圆心在直线，所以得方程组为，解得.
故所求圆的方程为
1. 任何一个圆的方程都可以变形为的形式，但形如的方程不一定是圆的方程.
2. 二元二次方程要想表示圆
（1）相等且均不为0；
（2）；
（3）
3. 求动点的轨迹方程的常用方法
（1）直接法:能直接根据题目提供的条件列出方程;
（2）代入法:找到所求动点与已知动点的关系,代入已知动点所在的方程.
课堂小结
作业：
圆的方程 特殊条件 标准方程 一般方程
圆心在原点 x2+y2=r2 x2+y2r2=0
过原点 (xa)2+(yb)2=a2+b2 x2+y2+Dx+Ey=0
圆心在x轴上 (xa)2+y2=r2 x2+y2+Dx+F=0
圆心在y轴上 x2+(yb)2=r2 x2+y2+Ey+F=0
圆心在x轴上且过原点 (xa)2+y2=a2 x2+y2+Dx=0
圆心在y轴上且过原点 x2+(yb)2=b2 x2+y2+Ey=0
与x轴相切 (xa)2+(yb)2=b2 x2+y2+Dx+Ey+F=0
(0)
与y轴相切 (xa)2+(yb)2=a2 x2+y2+Dx+Ey+F=0
(0)
x
y
O




O
x
y




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