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数学北师大版 高二上
1.2.3 直线与圆的位置关系
点与圆有三种位置关系：点在圆外，点在圆上，点在圆内.我们是通过点与圆心的距离和圆的半径的大小关系来判断点与圆的位置关系的，点在圆外，即；点在圆上，即；点在圆内，即.
在平面几何中，已经学习了直线与圆的三种位置关系：
直线与圆相交，直线与圆相切，直线与圆相离（如上图）.
直线和圆有两个公共点，叫做直线和圆相交，这时这条直线叫做圆的割线；
直线和圆只有一个公共点，叫做直线和圆相切，这个唯一的公共点叫做切点；
直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.
借助平面直角坐标系,平面内的直线与圆C可以分别用方程表示.那么,由直线与圆C的方程,如何判断它们的位置关系呢
直线与圆的位置关系可由圆心到直线的距离与半径的大小关系来决定,也可以根据它们的方程组成的方程组解的情况来决定.
1. 几何法：圆心到直线的距离与半径的大小关系.
设圆心到直线的距离为，则圆心到直线的距离(不全为0).
当时，直线与圆相交，
当时，直线与圆相切；
当时，直线与圆相离.
直线与圆的位置关系的判定.
2. 代数法：方程组解的情况.
由方程组，求解得：
（1），有两组实数解，直线与圆相交；
（2），有一组实数解，直线与圆相切；
（3）无实数解，直线与圆相离.
直线与圆的位置关系的判定.
直线与圆的位置关系及判定：
位置关系 公共点个数 几何法判定 代数法判定
相交 2
相切 1
相离 0
已知直线，圆
（1）指出圆心M 的位置特征；
（2）求实数分别取何值时，直线与圆相交、相切、相离.
解：（1）由圆的方程可知圆心为轴上的动点.
（2）根据点到直线的距离公式，得圆心M 到直线的距离为
当，即 时，直线与圆相交（如右图所示）；
当，即 时，直线与圆相切；
当，即 时，直线与圆相离；
如图，已知直线和圆心为的圆，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求它们的交点坐标.
解法1：由直线与圆的方程，得
消去，得
因
所以，直线l与圆的相交，有两个公共点.
由，解得，
把代入方程，；
把代入方程，
故直线l与圆有两个交点，它们的坐标分别是
如图，已知直线和圆心为的圆，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求它们的交点坐标.
解法：
圆的方程可转化为.
可以看出，圆心的坐标为，半径长为.
故点到直线的距离
所以，直线与圆的相交，有两个公共点.
由，解得，
把代入方程，；
把代入方程，.
故直线与圆有两个交点，它们的坐标分别是
1.直线与圆的位置关系及判定：
位置关系 公共点个数 几何法判定 代数法判定
相交 2
相切 1
相离 0
2. 代数法与几何法的优缺点
(1）代数法从方程的角度来考虑，比较直观，但计算较为烦琐﹔几何法从几何的角度来考虑，方法较为简单，是判断直线与圆的位置关系的常用方法．
（2）应用几何法还可以求出圆上有4个，3个，2个，1个，0个点到直线的距离等于某一定值的情况，因此几何法的适用面更广些.
已知圆C的方程是，直线的方程为，求：当m为何值时（1）直线平分圆；（2）直线与圆相切；（3）直线与圆有两个公共点.
解：（1）因为直线平分圆，所以圆心在直线上，即有.
（2）因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，所以=2，故，即时，直线l与圆相切.
（3）直线与圆有两公共点，，即<2，所以时有两个公共点.
作业：
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