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数学北师大版 高二上
2.1.2 椭圆的简单几何性质（1）
由椭圆C的标准方程????2????2+????2????2=1????>????>0?和图象来推出椭圆的简单几何性质。
?
由方程????2????2+????2????2=1可得椭圆C上的任意一点????(????,?????)总满足????2????2?1，????2????2?1，即???????????????，???????????????．这说明椭圆C位于四条直线：????=?????，????=????，????=?????，????=????所围成的矩形区域内．
?
1.范围
y
·
·
F1
F2
M
????=?????
?
????=????
?
????=?????
?
????=????
?
2.对称性
根据椭圆方程????2????2+????2????2=1的结构特点，可以发现：若(????0,????0)是椭圆方程的一组解，即????02????2+????02????2=1，则(????0，?????0)，(?????0，????0) ，(?????0，?????0)也是方程的解．
?
这说明:若点P(????0,????0)在椭圆上,则点P分别关于x轴、y轴和原点О对称的点P1(????0,?????0),
P2(?????0,????0),P3(?????0,?????0)也在椭圆上(如图)
?
这说明椭圆????2????2+????2????2=1既是关于x轴和y轴的轴对称图形，也是关于原点的中心对称图形．这个中心称为椭圆的中心．
?
y
·
·
F1
F2
M
P?
P1?
P2?
P3?
3.顶点
如图,在椭圆C的标准方程????2????2+????2????2=1中,当x=0时,y=±b.这说明B1(0,-b),B2(0,b)是椭圆C与y轴的两个交点.同理,当y=0时,x=±????,即A(-????,0),A(????,0)是椭圆C与x轴的两个交点.
?
因为x轴、y轴是椭圆的对称轴,所以椭圆与它的对称轴有四个交点.这四个交点叫作椭圆的顶点.
线段????1????2，????1????2分别叫作椭圆的长轴和短轴，且|????1????2|=2????，|????1????2|=2????．
a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长．
?
椭圆????2????2+????2????2=1的四个顶点分别为：
????1(?????,0) ，????2(????,0)，????1(0,?????)，????2(0,????)．
?
由于b2=????2-c2 ,????，b，c就是图中Rt△OB2F2的三边长.它们从另一角度反映了参数????，b，c的几何意义.
?
4.离心率
由参数a,b,c的关系知道:
a,c的大小可反映椭圆“扁的程度”.我们规定椭圆的焦距与长轴长度的比叫作椭圆的离心率,用e表示，
即“????????=e,显然0?
y
·
·
F1
F2
M
e越接近于1，椭圆就越扁．反之，e越接近于0，椭圆就越接近于圆．
y
·
·
F1
F2
B
y
·
·
F1
F2
M
如图所示，在Rt△????????2????中，cos∠????????2????=????????=????
?
当椭圆C的焦点在y轴上时，通过其标准方程????2????2+????2????2=1????>????>0?和图象可以获得椭圆的哪些几何性质呢？与椭圆焦点在x轴时进行比较．
?
????1
?
????2
?
????
?
????
?
????1
?
????2
?
????2
?
????1
?
取值范围：???????????????且???????????????
?
轴长：长轴长为2a，短轴长为2b
焦点：????1(0,?????)，????2(0,????)
?
对称轴：x轴、y轴．对称中心：坐标原点
离心率： 0?
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图象
标准方程
????2????2+????2????2=1????>????>0
????2????2+????2????2=1????>????>0
范围
???????????????且???????????????
???????????????且???????????????
顶点
????1(?????,0) ，????2(????,0)，????1(0,?????)，????2(0,????)
????1(0,?????) ，????2(0,????)，????1(?????,0)，????2(????,0)
轴长
长轴长为2a，短轴长为2b,焦距2c
焦点
????1(?????,0)，????2(????,0)
????1(0,?????)，????2(0,????)
对称性
对称轴：x轴、y轴．对称中心：坐标原点
离心率
0焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图象
标准方程
范围
顶点
轴长
长轴长为2a，短轴长为2b,焦距2c
焦点
对称性
对称轴：x轴、y轴．对称中心：坐标原点
离心率
(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上．
(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点．
(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为????+????，最小值为?????????．
(4)O为长轴中点、短轴中点、????1????2中点．
(5)P为短轴端点时，∠????1????????2最大．
?
椭圆焦点在x轴上：
求椭圆9????2+25????2=225的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．
?
解：将已知方程化为椭圆的标准方程????225+????29=1，则????=5，????=3，????=????2?????2=4．
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2????=10，2????=6，
离心率是????=????????=45．
两个焦点分别是????1(?4，0)，????2(4，0)．
椭圆的四个顶点分别是????1(?5，0) ，????2(5，0)，????1(0，?3)，????2(0，3)．
?
求椭圆9????2+25????2=225的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．
?
做出椭圆图形：
将方程????225+????29=1变形为????=±3525?????2，由????=3525?????2，在0??????5的范围内计算出一些点的坐标(????，????)，如下表(y的值精确到0.1)．
?
x
0
1
2
3
4
5
y
3.0
2.9
2.7
2.4
1.8
0
先用描点法画出椭圆在第一象限内的图形，再利用对称性画出整个椭圆(如图):
求椭圆????2????2+4????2????2=1(????>1)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
?
解： 由已知得????21????2+????214????2=1(????>1)，因为014????2．
所以椭圆的焦点在x轴上，并且长半轴长????=1???? ，短半轴长????=12???? ，半焦距????=32????，
所以椭圆的长轴长2????=2????，短轴长2????=1????．焦点坐标为(?32????，0)，(32????，0)，
顶点坐标为(1????，0)，(?1????，0)，(0，?12????)，(0，12????)，
离心率????=????????=32????1????=32．
?
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图象
标准方程
????2????2+????2????2=1????>????>0
????2????2+????2????2=1????>????>0
范围
???????????????且???????????????
???????????????且???????????????
顶点
????1(?????,0) ，????2(????,0)，????1(0,?????)，????2(0,????)
????1(0,?????) ，????2(0,????)，????1(?????,0)，????2(????,0)
轴长
长轴长为2a，短轴长为2b,焦距2c
焦点
????1(?????,0)，????2(????,0)
????1(0,?????)，????2(0,????)
对称性
对称轴：x轴、y轴．对称中心：坐标原点
离心率
0焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图象
标准方程
范围
顶点
轴长
长轴长为2a，短轴长为2b,焦距2c
焦点
对称性
对称轴：x轴、y轴．对称中心：坐标原点
离心率
本节小结
作业：教材第55页练习第1、2、3、4、5题．
谢谢
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