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(共20张PPT)
数学北师大版 高二上
2.1.2 椭圆的简单几何性质（2）
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图象
标准方程
范围
顶点 ，，， ，，，
轴长 长轴长为2a，短轴长为2b,焦距2c 焦点 ， ，
对称性 对称轴：x轴、y轴．对称中心：坐标原点 离心率 复习巩固
求适合下列条件的椭圆的标准方程：(l)长轴在x轴上，长轴的长为12，离心率为；(2)经过点和．
解： (l)由已知，
，
得，，从而 ．
所以椭圆的标准方程为；
(2)由椭圆的几何性质可知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，
所以点P，Q分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点，于是有，8，
又因为短轴、长轴分别在x轴和y轴上，所以椭圆的标准方程为．
酒泉卫星发射中心将一颗人造卫星送入到距地球表面近地点(离地面最近的点)高度约200 km，远地点(离地面最远的点)高度约350 km的椭圆轨道(将地球看作一个球，其半径约为6371 km)，求椭圆轨道的标准方程．(注：地心(地球的中心)位于椭圆轨道的一个焦点，且近地点，远地点与地心共线)
||=， ||=，
所以 ，
从而 ．
所以椭圆轨道的标准方程为．
解：如图，设地心为椭圆轨道右焦点，近地点、远地点分别为
，以直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则
三点都在x轴上，
如图，点P是圆O：上的动点，作PH⊥x轴于点H，求线段PH的中点M的轨迹方程，并指出该轨迹是什么图形．
解： 设点M的坐标为(x，y) ，则点P的坐标为(x ，2y)．
因为点P在圆O上，所以，即
．
所以点M的轨迹是长轴长为4，短轴长为2，焦点在x轴上的椭圆．
求与椭圆的焦点相同，且经过点(，)的椭圆的标准方程．
解：椭圆的焦点为(1，0)，(1，0)，设所求椭圆方程为，将(，)代入椭圆方程，，解得，所以所求椭圆方程为．
求与椭圆离心率相同，且经过点(，1)的椭圆的标准方程．
解：依题意可设所求椭圆方程为或．
由椭圆过点(，1)可得或，
即或者．
所以所求椭圆方程为或．
求椭圆的标准方程
直接法
待定系数法
相关点代入法
在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个．
与椭圆有相同离心率的椭圆方程为焦点在x轴上)或( 0，焦点在y轴上)．
本节小结
作业：教材第56，5758页练习题全做．
从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上．
|PF1|+|PF2|= |PF|+|PF2|≥|FF2|(当且仅当F、P、F2共线时“=”成立)即2a≥|FF2|
连FF2交椭圆于M，如右下图，交l于,
则|MF1|+|MF2|=2a
∵|MF1|≤|MF|(M、重合时“=”成立，即P为切点)
∴ 2a≤|MF|+|MF2|=|FF2| ∴2a≤|FF2|≤2a ∴|FF2|=2a
此时F、P、F2共线，即反射光线过F2．
证明：如右上图，过点P做椭圆的切线l，焦点F1关于l的对称点为F,则反射光线与FP在同一直线上.
椭圆的第二定义
平面内，到一个定点F和一条定直线l（点F不在直线l上）的距离之比等于定值e（ 0其中定点F为椭圆的焦点，定直线l为椭圆的准线，定值e为椭圆的离心率.
O
x
y
F1
F2
l1
l2
P1
P2
M
N
如右图：
若椭圆方程为：
则焦点坐标为：（±c，0）（其中a2=b2+c2）
准线方程为：
平面内的动点到两定点A1 (a ，0)、A2(a，0)的斜率乘积等于常数 e 1的点的轨迹，为椭圆（不含两定点）．其中两定点为椭圆的顶点， 1 证明：设点P的坐标为(x，y)，
∵点A，B的坐标分别是（a，0），（a，0），
∴
．
=
定义：联结椭圆上任意两点的线段叫作这个椭圆的弦，通过焦点的弦叫作这个椭圆的焦点弦(所以椭圆的长轴也是焦点弦)，和长轴垂直的焦点弦叫作这个椭圆的通径．椭圆的“通径”长为 ．
推导：如图所示，设椭圆的方程为 ，
焦点为F1 (c ，0) ，CD为椭圆的通径．
设C(c ，y0) ， D(c ， y0) (其中y0 )
则通径| CD |= 2y0
将C坐标代入方程中：
=故y0 =
则通径长为
以椭圆上一点P (x0,y0) (y0≠0)和焦点F1(c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2（焦点三角形）中，若∠ F1PF2 = θ，则
O
x
y
F1
F2
A1
A2
B1
B2
P
（1）|PF1|+|PF2|=2a
（2）4c2=|PF1|2 + |PF2|2 2|PF1|·|PF2|·cosθ
（3）S△ PF1F2 = |PF1|·|PF2|·sinθ=b2tan
（4）当P为短轴端点时，θ最大，越向两侧，θ越小
以椭圆上一点P (x0,y0) (y0≠0)和焦点F1(c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2（焦点三角形）中，若∠ F1PF2 = θ，则S△ PF1F2 = |PF1|·|PF2|·sinθ=b2tan
O
x
y
F1
F2
A1
A2
B1
B2
P
=|PF1|·|PF2|·cosθ=(x0+c,y0) (x0-c,y0)=x02+y02-c2
|PF1|·|PF2|=
①
|PF1|·|PF2|=e(+x0) e(-x0)=-x02
②
=x02
x02=
S△ PF1F2 = |PF1|·|PF2|·sinθ= ·sinθ
= ·sinθ==b2tan
设直线l:y=kx+b与曲线C:的两个交点为M（x1，y1），N（x2，y2），则弦长：
O
x
y
F1
F2
A1
A2
B1
B2
M
N
l
|MN|=
|MN|=
|MN|=====
|MN|==
=
O
x
y
P
M
N
l
如图，椭圆方程为直线l与椭圆C相交于两点M、N，记弦MN中点为点P（x0，y0）
设M（x1，y1），N（x2，y2），则有：
两式作差得
结合
化简可得
（1）
即直线l与直线OP的斜率之积为定值 ；
即由椭圆方程及弦中点坐标即可确定弦所在直线l的斜率；
（2）
即由椭圆方程及平行弦的斜率，即可求得弦中点的轨迹方程．
（3）
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