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数学北师大版 高二上
2.2.1 双曲线及其标准方程
我们初中学习过的反比例函数的图象是两条双曲线，观察电厂的冷却塔图片，它的轴截面的外轮廓就是双曲线的一部分．双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，今天我们就要研究双曲线的有关问题．
椭圆是平面上到两个定点距离之和等于定长的点的轨迹.当然这个定长要大于这两个定点之间的距离．
那么平面上到两个定点距离的差等于定长的点的轨迹是什么呢
如图，取一条拉链，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点、上，当拉链闭拢时与F重合，把笔尖放在拉链的拉手M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线M，
再把拉链向下翻过来可画得F2F,这条曲线就是双曲线的其中一支．
用同样的方法，我们可以得到双曲线另外一支的图象．
1.在刚刚的实验中，有哪些点是定点，哪些点是动点，还有哪些定长？
F1和F2是定点，M为动点，F1F2和F2F是定长．
2.当||=2c,点M满足|M|=|M|+|F|且|F|=|AB|=2时，动点M满足什么关系？（显然c>）
（常数）．
3.当点M满足|M|<|M|时，动点M满足什么关系？
（常数）．
A
B


平面内与两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于||)的点的集合（或轨迹）．叫做双曲线
称两定点F1、F2为双曲线焦点，为双曲线焦距，一般也用2c来表示．
①若2a=0时，轨迹为F1F2的中垂线；
②若2a=2c时，轨迹为两条射线；
③若2a>2c时，无轨迹；
④若0<2a<2c时，轨迹为双曲线.
特别注意：定义中没有绝对值的时候表示的是双曲线的某一支．



双曲线在我们实际生活中有着十分广泛的应用,如热电厂冷却塔的外形与轴截面的交线,用于大面积照明的照明灯的反光罩与轴截面的交线等很多都是双曲线.
二、双曲线的标准方程
下面,我们仿照求椭圆标准方程的方法,根据双曲线的定义,并选择恰当的平面直角坐标系来求双曲线的标准方程.
如图2-19,给定双曲线,它的焦点为，,焦距||=2c(c>0),双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值为2a(0设P(x,y)是双曲线上任意一点,则根据双曲线的定义可得
即
因为=,=，
所以-=2a.
化简、整理可得
(c2-a2)x2—a2y2=a2(c2-a2).
根据双曲线的定义可知,2c≥2a≥0,
所以c2-a2>0.
设c2-a2=b2(b>O),代入上式,
得b2x2—a2y2=a2b2，
即(a>0,b>O).
(a>0,b>O).
这说明双曲线上的任意一点的坐标都满足方程.还可以类比本章第1节中椭圆的方法来证明:该方程的每一组解对应的点都在双曲线上,即证明方程的解对应的点P(x,y)都满足.因此,
将方程称为双曲线的标准方程,它的焦点在x轴上,两个焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),其中c2=a2＋b2.
①建系：以直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．
②设点：设双曲线上任意一点坐标为，焦距为则常数记为．
③写出限制条件：
④列出等式：
⑤化 简：最终化简为
⑥标准方程：设c2-a2=b2(b>O),代入上式,得(a>0,b>O).
推导双曲线的标准方程步骤：
双曲线的标准方程：
c2=2＋b2.
它的焦点在x轴上,两个焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0)
如果双曲线的焦点在y轴上(如图2-20),其焦点分别为F1(0,-c),F2(0,c),利用同样的方法可以得到双曲线的标准方程为 其中
(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线． ( )
(2)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线． ( )
(3)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线． ( )
(4)若焦点在x轴上的双曲线方程为，则a2＞b2．( )
必须是距离的差的绝对值才表示双曲线．
平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹为双曲线的一支．
因为||PF1|－|PF2||＝8＝|F1F2|，故对应的轨迹为两条射线．
焦点位置取决于双曲线标准方程左边项系数的符号．




已知双曲线的两个焦点分别是F1 (－5， 0)和F2 (5， 0)，该双曲线上的点到两个焦点距离之差的绝对值是6，求该双曲线的标准方程．
解：因为双曲线的焦点x轴上，所以可设它的标准方程为
（，）
又c=5，a=3，故
因此，所求双曲线的标准方程为
．
相距2km的两个哨所A，B听到远处传来的炮弹爆炸声，在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所迟4s，已知当时的声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．
炮弹爆炸点到A哨所的距离与到B哨所的距离之差为定值，由此得到爆炸点的轨迹为双曲线的一支．
解：建立平面直角坐标系，使A，B两点在x上，并且原点与线段AB的中点重合．
设炮弹爆炸点P的坐标为（x，y），
则|PA|-|PB|=340×4=1360，即2a=1360， a=680．
又|AB|=2000，所以2c=2000，c=1000，
所以= 537600．
因为|PA|-|PB|=1360＞0所以点P的轨迹是双曲线的右支，
所以，炮弹爆炸点的轨迹方程为=1 (x>0) ．
求经过两点A(-7，-6)，B(2，3)的双曲线的标准方程：
则有解得
解法2：设双曲线方程为mx2-ny2=1，（mn<0）
则双曲线的标准方程为=1．
解法2：设双曲线方程为
）依题可得
解得
则双曲线的标准方程为=1．
求经过两点A(-7，-6)，B(2，3)的双曲线的标准方程：
探究：能不能设双曲线的标准方程为
解：设双曲线的标准方程为
解得，但在复数内有解
但可得双曲线的标准方程为
求经过两点A(-7，-6)，B(2，3)的双曲线的标准方程：
能不能设双曲线方程为my2-nx2=1，（mn<0）
则有解得
得双曲线方程为y2-x2）=1，整理得=1
求经过两点A(-7，-6)，B(2，3)的（双）曲线的标准方程：
则有解得
解法2：设双曲线方程为mx2+ny2=1，（mn<0）
则双曲线的标准方程为=1．
总结：求经过两点的（双）曲线的标准方程：设（双）曲线方程为mx2+ny2=1，（对于双曲线和椭圆都适用）
已知双曲线中a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为___________．
解： 因为a＝5，c＝7， 所以b2＝c2－a2＝24．
知识点
(1)双曲线的定义；(2)双曲线的标准方程的求法．
本节小结
作业：教材第63页练习题．
平面内，到一个定点F和一条定直线l（点F不在直线l上）的距离之比等于定值e（ e>1）的点的集合为双曲线.
双曲线的第二定义
如右图：
若双曲线方程为：
则焦点坐标为：（±c，0）（其中c2=a2+b2）
准线方程为：
O
x
y
F1
F2
l1
l2
P1
P2
M
N
谢谢
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