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鲁教版（五四制）数学八年级上学期期中仿真模拟试卷一（范围：1-3章）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题目要求.
1．（2025八下·新昌期中）为了落实“双减”政策，增强学生体质，阳光学校篮球兴趣小组开展投篮比赛活动，7名选手投中篮圈的个数分别为2，3，2，4，3，2，5，这组数据的众数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2025八上·莱山期末）把多项式因式分解正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·杭州期中）数据0，，6，1，的众数是，则这组数据的方差为（　　）
A．2 B． C． D．
4．（2025八下·龙岗期中）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025八下·射洪期中）下列各式：，，，，，其中分式共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2024八下·天桥月考）下列等式成立的是（ ）
A．+= B．= C．= D．=-1
7．（2024八下·河南驻马店经济开发月考）将分式方程去分母后，得（　　）
A． B．
C． D．
8．（2022八上·兴隆期中）若分式方程有增根，则的值为（　　）
A． B．3 C．1 D．
9．（2024八上·仙居期末）为缅怀革命先烈，传承红色精神，某校八年级师生在清明节期间前往距离学校的烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时达到．已知汽车的速度是骑车速度的3倍，设骑车的速度为，根据题意，下列方程正确的是（　　）．
A． B． C． D．
10．（2025八下·深圳期中）下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（　　）
姓名：李明班级：八(2)班得分：____
判断题（每小题20分，共100分），对的打“√”，错的打“×”.
①代数式，都是分式（×） ②当时，分式有意义（√） ③若分式的值为0，则（√） ④式子从左到右变形正确（√） ⑤分式是最简分式（√）
A．40 B．60 C．80 D．100
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分.
11．（2025八下·兴宁期中）已知，则　 　．
12．（2024八上·雅安期末）数据2，4，6，8，10，这组数据的方差为　 　．
13．（2025八下·深圳期中）已知关于的分式方程的解为负数，则字母的取值范围是　 　．
14．（2021八上·芜湖期末）已知a+b＝4，ab＝1，则a3b+2a2b2+ab3的值为　 　．
15．（2020八上·陵县期末）若数m使关于x的不等式组 有且仅有四个整数解，且使关于x的分式方程 有非负数解，则所有满足条件的整数m的值之和是　 　．
三、解答题：本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（2025七下·上城期中）分解因式：
（1）
（2）
（3）
（4）
17．（2023八上·岳阳期中）解方程：
（1）；
（2）
18．（2024七下·深圳期中）某新型品牌充电器给手机充电时充电速度是匀速的，一台手机屏幕画面显示初始电量为，其电量（单位：）与充电时间（单位：h）为表格中几组对应值．根据以上信息，回答下列问题：
充电时间（单位：h） 0 0.25 0.5 1.5
电量（单位：） 20 40 60 80
（1）　 　，　 　；
（2）该手机充电直至电量达到需要多久？
19．（2024·七下婺城期中）已知三个整式①，②，③x2．
（1）从中选出两个进行加法运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解（写出一种即可）；
（2）从中选出两个分别作为分式的分子与分母，要求这个分式不是最简分式，并对这个分式进行约分（写出一种即可）．
20．（2025八下·兴宁期中）阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得到，这时
中又有公因式，于是可以提出，即
，我们称这种方法为分组法．请你利用分组法解答下列问题：
（1）解决问题：分解因式．
（2）拓展运用：已知是的三边，且满足，请判断的形状并说明理由．
21．（2025八上·宝安期末）发生火灾时，逃生时间通常仅有几分钟，采取有效的自救与逃生措施能够显著降低人员伤亡。某中学针对八年级学生进行了逃生技能掌握情况的调查，随机抽取了1班和2班各10名学生进行问卷调查，分数越高表明学生掌握的逃生技能越好，根据调查结果绘制了相应的统计图。
数据分析结果详见下表：
班级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差
1班 8.1 x 9 2.09
2班 y 9 9 1.24
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）x=　 　，y=　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）小颖的得分是9分，其分数高于她所在班级半数同学的个人得分，则小颖在　 　班（填“1”或“2”）；
（4）在逃生技能的掌握方面，你认为哪个班级的学生表现更优异 请说明理由。
22．（2025八下·深圳期中）小深家的新能源汽车，既可以纯油动行驶，也可以纯电动行驶.请你帮助小深完成下列问题：
动力源 纯油动 纯电动
行驶里程 a千米 a千米
总耗油(电)量 50升 70千瓦时
油(电)单价 7.6元/升 0.5元/千瓦时
每千米费用 元 ▲ 元
（1）纯电动力时每千米费用为 ▲ 元；
（2）若每千米纯用油的费用比纯用电的费用多0.69元：
①求出a的值；
②若行驶这a千米先后使用两种动力方式，总费用为242元，则汽车纯电动行驶了多少千米
23．（2025八下·深圳期中）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”.
（1）判断方程6-4(1-x)=2x与是否为“相似方程”，并说明理由；
（2）已知关于x，y的二元一次方程y=mx+6和y=x+4m是“相伴方程”，求正整数m的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】众数
【解析】【解答】解： 数字2出现3次， 数字3出现2次，数字4出现1次， 数字5出现1次
数字2出现次数最多.
故答案为：A.
【分析】 根据众数的定义，统计每个数值出现的频次，找出出现次数最多的数值即可解答.
2．【答案】D
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：D．
【分析】先提公因式，然后再用平方差公式，即可得到结论．
3．【答案】B
【知识点】方差；众数
【解析】【解答】解：根据这组数据的众数是-1，则x=-1，
故这组数据为：0、-1、6、1、-1，由平均数的计算公式得这组数据的平均数=[0+（-1）+6+1+（-1））÷5=1，
由方差的计算公式得这组数据的方差s2= [（0-1）2+（-1-1）2+（6-1）2+（1-1）2+（-1-1）2]=．
故答案为：B．
【分析】根据这组数据的众数是-1，则x=-1，再根据平均数的计算公式求出这组数据的平均数，然后运用方差的计算公式S2=（其中n是样本容量，表示平均数）计算方差即可．
4．【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：B不是因式分解，不符合题意；
B不是因式分解，不符合题意；
C是因式分解，符合题意；
D不是因式分解，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据因式分解的定义即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：属于分式的有，，，一共3个，
故答案为：C．
【分析】
本题考查了分式的定义，熟知分式的定义是解题关键.分式的定义：一般地，用A、B(B≠0)表示两个整式，A÷B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式；判断分式的依据：看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，由此可判断出答案．
6．【答案】C
【知识点】分式的基本性质；分式的加减法
【解析】【解答】解：A．，故此选项错误，不符合题意；
B．，故此选项错误，不符合题意；
C．，故此选项正确，符合题意；
D．，故此选项错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】
本题考查了分式的基本性质以及分式的加减法，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键．
根据分式的基本性质以及分式的加法运算法则进行判断即可．
7．【答案】D
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：D．
【分析】 根据分式方程的解法步骤，找到最简公分母，利用等式的基本性质，在方程左右两边分别乘最简公分母即可．
8．【答案】D
【知识点】分式方程的解及检验；分式方程的增根
【解析】【解答】解：，
，
解得，
关于的分式方程有增根，
，
，
解得．
故答案为：D．
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
9．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： ∵汽车的速度是骑车师生速度的3倍，且骑车师生的速度为x km/h，
∴汽车的速度为3x km/h
由题意得：
故答案为：B.
【分析】 由汽车及骑车师生速度间的关系可得出汽车的速度为3x km/h，再利用“时间、路程、速度”的关系以及等量关系“他们同时达到”列出关于x的分式方程即可．
10．【答案】B
【知识点】分式的概念；分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；分式的基本性质；最简分式的概念
【解析】【解答】解：①代数式不是分式，答对
②当时，分式有意义，答对
③若分式的值为0，则|x|-3=0，且x-3≠0，解得：x=-3，答错
④式子从左到右变形错误，答错
⑤分式是最简分式，答对
∴答对三道，得分为20×3=60
故答案为：B
【分析】根据分式的定义，分式值为0及有意义的条件，分式的性质，最简分式的性质逐项进行判断即可求出答案.
11．【答案】3
【知识点】公因式的概念；求代数式的值-整体代入求值；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故答案为：3．
【分析】
观察所求代数式，每一项都含有公因式xy，提取公因式，把已知等式整体代入计算即可求出答案．
12．【答案】8
【知识点】方差
【解析】【解答】解：平均数为：，
，
，
，
故答案为8．
【分析】先求出这组数据的平均数，再求每个数与平均数的差的平方，得到一组新的数据，最后求这组新的数据的平均数。这个平均数就是方差。
13．【答案】a < -1且a ≠ -2
【知识点】分式有无意义的条件；解分式方程；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：方程两边同乘 ( x + 1 ) ，去分母得：
2 x 3a = x + 1
整理得：
x = 3a + 1
∵方程的解 x 为负数且 x ≠ -1，
∴3a + 1且3a + 1≠ -1，
解得 a < -且a ≠ -，
故答案为：a < -且a ≠ -.
【分析】 首先通过去分母将分式方程转化为整式方程，解出x的表达式x = 3a + 1；再根据方程的解 x 为负数且 x ≠ -1，代入x的值，即可得到a的取值范围.
14．【答案】16
【知识点】代数式求值；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：a3b+2a2b2+ab3
=ab（a2+2ab+b2）
=ab（a+b）2
=1×42
=16．
故答案是16．
【分析】先分解因式，再将 a+b＝4，ab＝1， 代入求解即可。
15．【答案】-1
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解不等式组 ，可得 ，
∵不等式组有且仅有四个整数解，
∴﹣1≤ ＜0，
∴﹣4＜m≤3，
解分式方程 ，可得x＝ ，
又∵分式方程有非负数解，
∴x≥0，且x≠2，
即 ≥0， ≠2，
解得 且m≠-2，
∴﹣4∴满足条件的整数m的值为﹣3，-1，0，1，2
∴所有满足条件的整数m的值之和是：
故答案为：﹣1．
【分析】分别求出使不等式组有四个整数解的m的范围和使方程有非负数解的m的范围，综合这两个范围求整数m的值.
16．【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】
（1）提公因式即可；
（2）由于和是一对相反数，可直接提公因式即可；
（3）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
（4）先利用平方差形式分解因式，再分别提公因式即可．
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
17．【答案】（1）解：；
去分母， 得
解得：．
检验：把代入最简公分母：．
故是增根， 原分式方程无解．
（2）解：
解：去分母，得
去括号，得
解得
检验：当时，，
原分式方程的解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程即可求出答案.
（2）方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程即可求出答案.
（1）；
去分母， 得
解得：．
检验：把代入最简公分母：．
故是增根， 原分式方程无解．
（2）解：去分母，得
去括号，得
解得
检验：当时，，
原分式方程的解．
18．【答案】（1）30；1
（2）解：设手机充电直至电量达到90％需要x小时，
由题意得，
解得x=1.75
故设手机充电直至电量达到90％需要1.75小时.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：（1）∵手机充电速度是匀速的，
∴
∴0.5m-10=5，
∴m=30；
同理，
∴20n=20，
∴n=1，
经检验n=1是原方程的根；
故答案为：30；1；
【分析】（1）根据手机冲进的电量除以充电的时间等于充电的速度，并结合手机充电速度是匀速的分别列出关于字母m、n的方程，求解即可；
（2）根据手机原有电量+手机充进电量=90列出方程，求解即可.
19．【答案】（1）解：答案不唯一，若选①③，则；
若选②③，则
（2）解：答案不唯一，以下两个都正确：
或．
【知识点】整式的加减运算；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；分式的约分
【解析】【分析】（1）先根据整式的加法法则计算，再对其因式分解即可；
（2）三个整式中只能选①③作为分式的分子分母，先提公因式再约分即可.
20．【答案】（1）解：
．
（2）解：△ABC是等腰三角形，理由如下：
，
，
∴，
∴，
∴，
或 ，
或 ，
∴△ABC 为等腰三角形．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解的应用；因式分解-分组分解法；等腰三角形的概念
【解析】【分析】
（1）观察项式，采用分组分解法和提公因式法可知：把多项式的前两项分成一组，后两项分成一组，先采用提公因式法提取公因式2x，使式子变成：再用提公因式法提取公因式a-b，可得到，由此可得出答案；
（2）要判断三角形形状，需将已知等式变形为因式乘积为0的形式：，通过分组分解法对等式左边进行因式分解，即：，再采用提公因式法对等式坐标进行分解可得：，最后利用乘法的性质：若ab=0，则a=0，b=0；由性质结论可得： 或 ，化简可得：a=b或a=c，根据等腰三角形的定义可知：△ABC是等腰三角形，由此可得出结论．
（1）解：
．
（2）解： 是等腰三角形，理由如下：
，
，
∴，
∴，
∴，
或 ，
或 ，
为等腰三角形．
21．【答案】（1）8.5；8.4
（2）解：补全条形统计图如下图
（3）1
（4）解：2班更优异，因为2班的平均数，中位数均大于1班，方差小于1班(言之有理即可得分)
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）由题意得1班学生得分为9分的人数为10-2-2-1-2=3人，2班中得分为8分的人数所占百分比为100-50-10-10-10=20%，
∵1班学生抽取了10人，
∴中位数应该是第5和第6位同学得分的平均数，
∴，
∴，
故答案为：8.5；8.4；
（3）∵小颖的得分是9分，其分数高于她所在班级半数同学的个人得分，
∴9＞8.5，
∴小颖在1班，
故答案为：1
【分析】（1）先根据条形统计图和扇形统计图得到1班学生得分为9分的人数为10-2-2-1-2=3人，2班中得分为8分的人数所占百分比为100-50-10-10-10=20%，进而根据中位数的定义和平均数的计算方法结合题意即可求解；
（2）根据（1）补全统计图即可求解；
（3）根据题意比较中位数即可求解；
（4）根据平均数、中位数、方差结合题意进行数据分析，进而即可求解。
22．【答案】（1）
（2）解：①每千米纯用油的费用比纯用电的费用多0.69元，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
②
设汽车纯电动力行驶了，
由题意得：，
解得，
答：汽车纯电动力行驶了200km．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：纯电动力每千米行驶费用是（元），
故答案为：；
【分析】 （1）依据“每千米费用 = 总费用÷行驶里程”的关系，由纯电动行驶的耗电量、电单价算出总费用，进而得出每千米费用；
（2）①通过已知纯油动与纯用电每千米费用差为0.69元，列方程求解a的值；
②利用总费用242元，结合两种动力方式的费用关系，设未知数列方程求解纯电动行驶的千米数。
23．【答案】（1）解：方程6－4（1-x）与方程是＂相似方程＂，理由如下：
解方程6－4（1-x）＝2x得：，
解方程得：，
检验：是该分式方程得解．
两个方程是＂相似方程＂；
（2）由条件可知，
均为整数，
，
，
又为正整数，
或．
【知识点】解分式方程；分式方程-同解问题
【解析】【分析】（1）需要分别求解两个方程，然后对比它们的解，若解相同，则这两个方程是“相似方程”；
（2）先通过联立两个二元一次方程求出x关于m的表达式，再根据“相伴方程”的定义，即x为整数解，分析m-1可能的取值，从而求出m的值。
1 / 1鲁教版（五四制）数学八年级上学期期中仿真模拟试卷一（范围：1-3章）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题目要求.
1．（2025八下·新昌期中）为了落实“双减”政策，增强学生体质，阳光学校篮球兴趣小组开展投篮比赛活动，7名选手投中篮圈的个数分别为2，3，2，4，3，2，5，这组数据的众数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】众数
【解析】【解答】解： 数字2出现3次， 数字3出现2次，数字4出现1次， 数字5出现1次
数字2出现次数最多.
故答案为：A.
【分析】 根据众数的定义，统计每个数值出现的频次，找出出现次数最多的数值即可解答.
2．（2025八上·莱山期末）把多项式因式分解正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：D．
【分析】先提公因式，然后再用平方差公式，即可得到结论．
3．（2025八下·杭州期中）数据0，，6，1，的众数是，则这组数据的方差为（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】方差；众数
【解析】【解答】解：根据这组数据的众数是-1，则x=-1，
故这组数据为：0、-1、6、1、-1，由平均数的计算公式得这组数据的平均数=[0+（-1）+6+1+（-1））÷5=1，
由方差的计算公式得这组数据的方差s2= [（0-1）2+（-1-1）2+（6-1）2+（1-1）2+（-1-1）2]=．
故答案为：B．
【分析】根据这组数据的众数是-1，则x=-1，再根据平均数的计算公式求出这组数据的平均数，然后运用方差的计算公式S2=（其中n是样本容量，表示平均数）计算方差即可．
4．（2025八下·龙岗期中）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：B不是因式分解，不符合题意；
B不是因式分解，不符合题意；
C是因式分解，符合题意；
D不是因式分解，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据因式分解的定义即可求出答案.
5．（2025八下·射洪期中）下列各式：，，，，，其中分式共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：属于分式的有，，，一共3个，
故答案为：C．
【分析】
本题考查了分式的定义，熟知分式的定义是解题关键.分式的定义：一般地，用A、B(B≠0)表示两个整式，A÷B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式；判断分式的依据：看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，由此可判断出答案．
6．（2024八下·天桥月考）下列等式成立的是（ ）
A．+= B．= C．= D．=-1
【答案】C
【知识点】分式的基本性质；分式的加减法
【解析】【解答】解：A．，故此选项错误，不符合题意；
B．，故此选项错误，不符合题意；
C．，故此选项正确，符合题意；
D．，故此选项错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】
本题考查了分式的基本性质以及分式的加减法，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键．
根据分式的基本性质以及分式的加法运算法则进行判断即可．
7．（2024八下·河南驻马店经济开发月考）将分式方程去分母后，得（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：D．
【分析】 根据分式方程的解法步骤，找到最简公分母，利用等式的基本性质，在方程左右两边分别乘最简公分母即可．
8．（2022八上·兴隆期中）若分式方程有增根，则的值为（　　）
A． B．3 C．1 D．
【答案】D
【知识点】分式方程的解及检验；分式方程的增根
【解析】【解答】解：，
，
解得，
关于的分式方程有增根，
，
，
解得．
故答案为：D．
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
9．（2024八上·仙居期末）为缅怀革命先烈，传承红色精神，某校八年级师生在清明节期间前往距离学校的烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时达到．已知汽车的速度是骑车速度的3倍，设骑车的速度为，根据题意，下列方程正确的是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： ∵汽车的速度是骑车师生速度的3倍，且骑车师生的速度为x km/h，
∴汽车的速度为3x km/h
由题意得：
故答案为：B.
【分析】 由汽车及骑车师生速度间的关系可得出汽车的速度为3x km/h，再利用“时间、路程、速度”的关系以及等量关系“他们同时达到”列出关于x的分式方程即可．
10．（2025八下·深圳期中）下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（　　）
姓名：李明班级：八(2)班得分：____
判断题（每小题20分，共100分），对的打“√”，错的打“×”.
①代数式，都是分式（×） ②当时，分式有意义（√） ③若分式的值为0，则（√） ④式子从左到右变形正确（√） ⑤分式是最简分式（√）
A．40 B．60 C．80 D．100
【答案】B
【知识点】分式的概念；分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；分式的基本性质；最简分式的概念
【解析】【解答】解：①代数式不是分式，答对
②当时，分式有意义，答对
③若分式的值为0，则|x|-3=0，且x-3≠0，解得：x=-3，答错
④式子从左到右变形错误，答错
⑤分式是最简分式，答对
∴答对三道，得分为20×3=60
故答案为：B
【分析】根据分式的定义，分式值为0及有意义的条件，分式的性质，最简分式的性质逐项进行判断即可求出答案.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分.
11．（2025八下·兴宁期中）已知，则　 　．
【答案】3
【知识点】公因式的概念；求代数式的值-整体代入求值；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故答案为：3．
【分析】
观察所求代数式，每一项都含有公因式xy，提取公因式，把已知等式整体代入计算即可求出答案．
12．（2024八上·雅安期末）数据2，4，6，8，10，这组数据的方差为　 　．
【答案】8
【知识点】方差
【解析】【解答】解：平均数为：，
，
，
，
故答案为8．
【分析】先求出这组数据的平均数，再求每个数与平均数的差的平方，得到一组新的数据，最后求这组新的数据的平均数。这个平均数就是方差。
13．（2025八下·深圳期中）已知关于的分式方程的解为负数，则字母的取值范围是　 　．
【答案】a < -1且a ≠ -2
【知识点】分式有无意义的条件；解分式方程；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：方程两边同乘 ( x + 1 ) ，去分母得：
2 x 3a = x + 1
整理得：
x = 3a + 1
∵方程的解 x 为负数且 x ≠ -1，
∴3a + 1且3a + 1≠ -1，
解得 a < -且a ≠ -，
故答案为：a < -且a ≠ -.
【分析】 首先通过去分母将分式方程转化为整式方程，解出x的表达式x = 3a + 1；再根据方程的解 x 为负数且 x ≠ -1，代入x的值，即可得到a的取值范围.
14．（2021八上·芜湖期末）已知a+b＝4，ab＝1，则a3b+2a2b2+ab3的值为　 　．
【答案】16
【知识点】代数式求值；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：a3b+2a2b2+ab3
=ab（a2+2ab+b2）
=ab（a+b）2
=1×42
=16．
故答案是16．
【分析】先分解因式，再将 a+b＝4，ab＝1， 代入求解即可。
15．（2020八上·陵县期末）若数m使关于x的不等式组 有且仅有四个整数解，且使关于x的分式方程 有非负数解，则所有满足条件的整数m的值之和是　 　．
【答案】-1
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解不等式组 ，可得 ，
∵不等式组有且仅有四个整数解，
∴﹣1≤ ＜0，
∴﹣4＜m≤3，
解分式方程 ，可得x＝ ，
又∵分式方程有非负数解，
∴x≥0，且x≠2，
即 ≥0， ≠2，
解得 且m≠-2，
∴﹣4∴满足条件的整数m的值为﹣3，-1，0，1，2
∴所有满足条件的整数m的值之和是：
故答案为：﹣1．
【分析】分别求出使不等式组有四个整数解的m的范围和使方程有非负数解的m的范围，综合这两个范围求整数m的值.
三、解答题：本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（2025七下·上城期中）分解因式：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】
（1）提公因式即可；
（2）由于和是一对相反数，可直接提公因式即可；
（3）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
（4）先利用平方差形式分解因式，再分别提公因式即可．
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
17．（2023八上·岳阳期中）解方程：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：；
去分母， 得
解得：．
检验：把代入最简公分母：．
故是增根， 原分式方程无解．
（2）解：
解：去分母，得
去括号，得
解得
检验：当时，，
原分式方程的解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程即可求出答案.
（2）方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程即可求出答案.
（1）；
去分母， 得
解得：．
检验：把代入最简公分母：．
故是增根， 原分式方程无解．
（2）解：去分母，得
去括号，得
解得
检验：当时，，
原分式方程的解．
18．（2024七下·深圳期中）某新型品牌充电器给手机充电时充电速度是匀速的，一台手机屏幕画面显示初始电量为，其电量（单位：）与充电时间（单位：h）为表格中几组对应值．根据以上信息，回答下列问题：
充电时间（单位：h） 0 0.25 0.5 1.5
电量（单位：） 20 40 60 80
（1）　 　，　 　；
（2）该手机充电直至电量达到需要多久？
【答案】（1）30；1
（2）解：设手机充电直至电量达到90％需要x小时，
由题意得，
解得x=1.75
故设手机充电直至电量达到90％需要1.75小时.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：（1）∵手机充电速度是匀速的，
∴
∴0.5m-10=5，
∴m=30；
同理，
∴20n=20，
∴n=1，
经检验n=1是原方程的根；
故答案为：30；1；
【分析】（1）根据手机冲进的电量除以充电的时间等于充电的速度，并结合手机充电速度是匀速的分别列出关于字母m、n的方程，求解即可；
（2）根据手机原有电量+手机充进电量=90列出方程，求解即可.
19．（2024·七下婺城期中）已知三个整式①，②，③x2．
（1）从中选出两个进行加法运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解（写出一种即可）；
（2）从中选出两个分别作为分式的分子与分母，要求这个分式不是最简分式，并对这个分式进行约分（写出一种即可）．
【答案】（1）解：答案不唯一，若选①③，则；
若选②③，则
（2）解：答案不唯一，以下两个都正确：
或．
【知识点】整式的加减运算；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；分式的约分
【解析】【分析】（1）先根据整式的加法法则计算，再对其因式分解即可；
（2）三个整式中只能选①③作为分式的分子分母，先提公因式再约分即可.
20．（2025八下·兴宁期中）阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得到，这时
中又有公因式，于是可以提出，即
，我们称这种方法为分组法．请你利用分组法解答下列问题：
（1）解决问题：分解因式．
（2）拓展运用：已知是的三边，且满足，请判断的形状并说明理由．
【答案】（1）解：
．
（2）解：△ABC是等腰三角形，理由如下：
，
，
∴，
∴，
∴，
或 ，
或 ，
∴△ABC 为等腰三角形．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解的应用；因式分解-分组分解法；等腰三角形的概念
【解析】【分析】
（1）观察项式，采用分组分解法和提公因式法可知：把多项式的前两项分成一组，后两项分成一组，先采用提公因式法提取公因式2x，使式子变成：再用提公因式法提取公因式a-b，可得到，由此可得出答案；
（2）要判断三角形形状，需将已知等式变形为因式乘积为0的形式：，通过分组分解法对等式左边进行因式分解，即：，再采用提公因式法对等式坐标进行分解可得：，最后利用乘法的性质：若ab=0，则a=0，b=0；由性质结论可得： 或 ，化简可得：a=b或a=c，根据等腰三角形的定义可知：△ABC是等腰三角形，由此可得出结论．
（1）解：
．
（2）解： 是等腰三角形，理由如下：
，
，
∴，
∴，
∴，
或 ，
或 ，
为等腰三角形．
21．（2025八上·宝安期末）发生火灾时，逃生时间通常仅有几分钟，采取有效的自救与逃生措施能够显著降低人员伤亡。某中学针对八年级学生进行了逃生技能掌握情况的调查，随机抽取了1班和2班各10名学生进行问卷调查，分数越高表明学生掌握的逃生技能越好，根据调查结果绘制了相应的统计图。
数据分析结果详见下表：
班级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差
1班 8.1 x 9 2.09
2班 y 9 9 1.24
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）x=　 　，y=　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）小颖的得分是9分，其分数高于她所在班级半数同学的个人得分，则小颖在　 　班（填“1”或“2”）；
（4）在逃生技能的掌握方面，你认为哪个班级的学生表现更优异 请说明理由。
【答案】（1）8.5；8.4
（2）解：补全条形统计图如下图
（3）1
（4）解：2班更优异，因为2班的平均数，中位数均大于1班，方差小于1班(言之有理即可得分)
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）由题意得1班学生得分为9分的人数为10-2-2-1-2=3人，2班中得分为8分的人数所占百分比为100-50-10-10-10=20%，
∵1班学生抽取了10人，
∴中位数应该是第5和第6位同学得分的平均数，
∴，
∴，
故答案为：8.5；8.4；
（3）∵小颖的得分是9分，其分数高于她所在班级半数同学的个人得分，
∴9＞8.5，
∴小颖在1班，
故答案为：1
【分析】（1）先根据条形统计图和扇形统计图得到1班学生得分为9分的人数为10-2-2-1-2=3人，2班中得分为8分的人数所占百分比为100-50-10-10-10=20%，进而根据中位数的定义和平均数的计算方法结合题意即可求解；
（2）根据（1）补全统计图即可求解；
（3）根据题意比较中位数即可求解；
（4）根据平均数、中位数、方差结合题意进行数据分析，进而即可求解。
22．（2025八下·深圳期中）小深家的新能源汽车，既可以纯油动行驶，也可以纯电动行驶.请你帮助小深完成下列问题：
动力源 纯油动 纯电动
行驶里程 a千米 a千米
总耗油(电)量 50升 70千瓦时
油(电)单价 7.6元/升 0.5元/千瓦时
每千米费用 元 ▲ 元
（1）纯电动力时每千米费用为 ▲ 元；
（2）若每千米纯用油的费用比纯用电的费用多0.69元：
①求出a的值；
②若行驶这a千米先后使用两种动力方式，总费用为242元，则汽车纯电动行驶了多少千米
【答案】（1）
（2）解：①每千米纯用油的费用比纯用电的费用多0.69元，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
②
设汽车纯电动力行驶了，
由题意得：，
解得，
答：汽车纯电动力行驶了200km．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：纯电动力每千米行驶费用是（元），
故答案为：；
【分析】 （1）依据“每千米费用 = 总费用÷行驶里程”的关系，由纯电动行驶的耗电量、电单价算出总费用，进而得出每千米费用；
（2）①通过已知纯油动与纯用电每千米费用差为0.69元，列方程求解a的值；
②利用总费用242元，结合两种动力方式的费用关系，设未知数列方程求解纯电动行驶的千米数。
23．（2025八下·深圳期中）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”.
（1）判断方程6-4(1-x)=2x与是否为“相似方程”，并说明理由；
（2）已知关于x，y的二元一次方程y=mx+6和y=x+4m是“相伴方程”，求正整数m的值.
【答案】（1）解：方程6－4（1-x）与方程是＂相似方程＂，理由如下：
解方程6－4（1-x）＝2x得：，
解方程得：，
检验：是该分式方程得解．
两个方程是＂相似方程＂；
（2）由条件可知，
均为整数，
，
，
又为正整数，
或．
【知识点】解分式方程；分式方程-同解问题
【解析】【分析】（1）需要分别求解两个方程，然后对比它们的解，若解相同，则这两个方程是“相似方程”；
（2）先通过联立两个二元一次方程求出x关于m的表达式，再根据“相伴方程”的定义，即x为整数解，分析m-1可能的取值，从而求出m的值。
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