资源简介

第13章《三角形》章节知识点复习题
题型1 三角形的三边关系的应用
1．现有长为144cm的铁丝，要截成n小段（n＞2），每段的长度不小于1cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
2．三角形的三边的长分别为a，b，c，其中a＞b，且满足a﹣b＝2c﹣6，a+b＝3c﹣6，若c为整数，则c的长是（　　）
A．3或4 B．4或5 C．4或6 D．5或6
3．设△ABC的三边分别为a，b，c，其中a，b满足|a+b﹣14|+（a﹣b+2）2＝0，则最长边c的取值范围是（　　）
A．6＜c＜8 B．2＜c＜14 C．8≤c＜14 D．2＜c＜8
4．为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围一块三角形空地，现已连接好三段篱笆AB，BC，CD，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆AB，CD可分别绕轴BE和CF转动．若要围成一个三角形的空地，则在篱笆AB上接上新的篱笆的长度可以为（　　）
A．1m B．2m C．3m D．4m
题型2 三角形的面积问题
5．如图，G为△ABC三边中线AD，BE，CF的交点，，则阴影部分的面积为（　　）
A．4cm2 B．5cm2 C．6cm2 D．8cm2
6．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．若△ABC的面积为30，BD＝5，则△BDE中BD边上的高是（　　）
A．3 B．6 C．12 D．1.5
7．如图是一块面积为10的三角形纸板，点D、E、F分别是线段AF、BD、CE的中点，则阴影部分的面积为　　 ．
8．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　 　 cm2．
题型3 三角形内角和定理与外角性质的应用
9．如图，D，E两点分别在△ABC的两边AB，AC上，连接DE，已知∠1+∠2＝α，则∠A＝（　　）
A．α﹣90° B．180°﹣α C．α﹣180° D．360°﹣α
10．小明把一副三角尺按如图所示摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，∠α+∠β的度数为（）
A．210° B．235° C．180° D．200°
11．如图，已知∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
12．如图，E，F是△ABC的边AB，AC上的点，D是点A上方的一点，若∠B+∠C＝60°，∠D＝70°，则∠1+∠2的度数为（　　）
A．50° B．60° C．65° D．70°
13．如图是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C，且∠CAB、∠CBA、∠D的大小保持不变．为了舒适，需调整∠E的大小，使∠EFD＝130°，则图中∠E应（　　）
A．增加10° B．减少10° C．增加20° D．减少20°
14．如图是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，∠D＝28°，则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为（　　）
A．62° B．152° C．208° D．236°
15．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是（　　）
A．180° B．360° C．540° D．720°
16．如图，已知∠BOF＝120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F为 　 　 °．
17．如图，在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝55°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是 　 　 ．
18．在社会实践手工课上，小茗同学设计了如图这样一个零件，如果∠A＝52°，∠B＝25°，∠C＝30°，∠D＝35°，∠E＝72°，那么∠F＝　 　 °．
题型4 角度计算中的分类讨论思想
19．已知在△ABC（△ABC不是直角三角形）中，∠A＝40°，AC边的高BD、AB边的高CE所在直线交于点F，则∠BFC的度数为　 　 ．
20．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠ACB＝78°，点F为边AB上一点，当△BDF为直角三角形时，则∠ADF的度数为 　 ．
21．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ACB＝42°，D为边BC延长线上一点，BF平分∠ABC，E为射线BF上一点．若直线CE垂直于△ABC的一边，则∠BEC的度数为 　 　 ．
22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，点P是直线AB上一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．则∠α，∠1，∠2之间的关系为 　 　 ．
23．在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，∠C＝50°，BD是△ABC的角平分线，点F在BD所在的射线上，若CF垂直于△ABC的一边，则∠BFC的度数为 　 　 ．
24．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”．如图∠MON＝40°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C．当△ABC为“灵动三角形”时，∠OAC的度数为 　 　 度．
题型5 含角平分线的复杂角度计算
25．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D．∠ABD的角平分线BF所在直线与射线AE相交于点G，若∠ABC＝3∠C，且∠G＝20°，则∠DFB的度数为（　　）
A．50° B．55° C．60° D．65°
26．如图，BE是∠ABD的角平分线，CF是∠ACD的角平分线，BE与CF交于点G，∠BDC＝150°，∠BGC＝112.5°，则∠A的度数为（　　）
A．55° B．65° C．75° D．85°
27．如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A＝α，则∠A2025＝（　　）
A． B． C． D．
28．如图，点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且∠D＝2∠DAC，∠E＝2∠EBC．若∠DAC的平分线与∠EBC的平分线的交于点P，则∠1与∠2的数量关系为（　　）
A． B．
C．∠2＝175°﹣∠1 D．∠2＝115°+∠1
29．如图，在△ABC中，点O为∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，连接OA，OB，OC，作△AOB的一条角平分线AD．若∠BAC＝α，则∠1+∠2的度数为（　　）
A． B． C．160° D．
30．如图，△ABC中∠BAC的外角的平分线AE与∠ABC的平分线AD相交于点P，∠C＝80°，则∠APB的度数是 　 　 ．
31．如图，∠ABC，∠ADC的角平分线交于点F，若∠A＝15°，∠C＝65°，则∠F的度数为　 　 ．
32．已知△ABC中，∠A＝α．在图（1）中∠B、∠C的角平分线交于点O1，则可计算得；在图（2）中，设∠B、∠C的两条三等分角线分别对应交于O1、O2，则；以此来推，∠B、∠C的三条四等分角线分别对应交于O1、O2、O3，则；请你猜想，当∠B、∠C同时n等分时，（n﹣1）条等分角线分别对应交于O1、O2， ，On﹣1，如图（3），则∠BOn﹣1C＝ 　　 （用含n和α的代数式表示）．
33．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，CD平分外角∠ACF，交BO的延长线于点D，点E是△ABC的两外角平分线的交点．若∠BOC＝130°，则∠E﹣∠D的度数为　 　 ．
34．如图，AD、BC相交于点F，AE、CE分别平分∠BAD、∠BCD．若∠B＝25°，∠E＝30°，则∠D＝　 　 ．
35．如图，在△ABC中，点D是AC延长线上的一点，过点D作DE∥BC，DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，DG与BG交于点G，若∠A＝40°，则∠G的度数为 　 　 ．
36．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，点E、F分别在边BC、AC上，∠FEC＝28°，∠AEF＝2∠AFE，∠ABC的角平分线与∠AEF的角平分线交于点P，则∠P的度数为　 　 ．
题型6 三角形的角度计算与折叠问题
37．如图，在△ABC中，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，若∠1﹣∠2＝60°，则∠B的度数是（　　）
A．30° B．32° C．35° D．60°
38．如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO＝104°，则∠C的度数为（　　）
A．38 B．39 C．40 D．41
39．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC上两点，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点F处，若∠A＝α，∠FDB＝β，则∠FEC的度数是（　　）
A．α+β B．α+2β C．2α+β D．
40．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝110°，则∠1+∠2的度数为（　　）
A．80° B．90° C．100° D．110°
41．在三角形纸片ABC中，∠A＝90°，∠C＝22°，点D为AC边上靠近点C处一定点，点E为BC边上一动点，沿DE折叠三角形纸片，点C落在点C'处．有以下四个结论：①如图1，当点C'落在BC边上时，∠ADC′＝44°；②如图2，当点C′落在△ABC内部时，∠ADC′+∠BEC′＝44°；③如图3，当点C′落在△ABC上方时，∠BEC′﹣∠ADC'＝44°；④当C′E∥AB时，∠CDE＝34°或∠CDE＝124°．其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
42．已知△ABC中，∠A＝65°，将∠B、∠C按照如图所示折叠，若∠ADB′＝35°，则∠1+∠2+∠3＝　 　 °．
43．如图，将△ABC纸片先沿DE折叠，再沿FG折叠，若∠1+∠2＝228°，则∠3+∠4＝　 　 ．
题型7 三角形中多结论问题
44．如图，∠ABC和∠BAC的平分线交于点O，连接CO，△ABC的外角∠ACG的平分线与O的延长线交于点E，OD⊥OC交BC于点D．下列四个结论：①OD∥CE；②；③∠AOB＝∠BDO；④∠ACG＝2∠AOE．其中所有正确的结论有（　　）
A．①④ B．①③ C．①③④ D．②③④
45．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②CA平分∠BCG；③∠ADC＝∠GCD；④∠DFB∠CGE．其中正确的结论有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
46．如图，AD交BC于点O，∠BAD的平分线与△OCD的外角∠OCE的平分线交于点P，∠B＝∠D，则下列结论：①∠PAO+∠PCE＝90°；②∠PAB∠BCD；③∠P＝90°+∠D；④∠P＝90°∠B；其中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
47．如图，D是△ABC的边AC上点，连接BD，CM平分∠ACB交BD于点H，交AB于点M．△ABC的外角∠ACE的平分线CF所在直线与AB的延长线交于点G．当∠CBD＝∠A时，有下列四个结论：
①∠CHD与∠G互余；
②∠CBD＝∠BCG；
③∠MHD﹣∠G＝90°；
④∠MHD＝90°+∠A．
其中正确的结论是（　　）
A．①② B．③④ C．②④ D．①③
48．如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC，②∠ACB＝∠ADB，③∠ADC+∠ABD＝90°，④∠ADB＝45°﹣∠CDB，其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
49．如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，△ABC的外角的平分线CD所在直线与∠ABC的平分线交于点D，与△ABC的外角的平分线BE交于点E．有下列结论：①∠DBE＝90°；②∠BOC＝110°；③∠D＝20°；④∠E＝70°．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2 个 C．3个 D．4个
50．如图，△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE，交BD于点G，交BC于点H．下列结论：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF+∠C；③∠F＝∠BAC﹣∠C；其中正确的是 　 　 ．
题型8 三角形中角度计算综合探究题
51．在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线BE和CD交于点F．
（1）【问题呈现】如图①，若∠A＝100°，求∠BFC的度数；
（2）【问题推广】如图②，将△ABC沿MN折叠，使得点A与点F重合，若∠1+∠2＝160°，则∠BFC＝ 　 　 °；
（3）【问题拓展】若P，Q分别是线段AB，AC上的点，若∠AQP＝α，∠ACB＝70°，射线CF与∠APQ的平分线所在的直线相交于点H（不与点P重合），直接写出∠PHC与∠BFC之间的数量关系（用含α的式子表示）．
52．已知∠MAN＝52°，点B，C分别在AM，AN上．
（1）如图1，连接BC，∠ABC＝α，∠ACB＝β，∠MBC的平分线与∠BCN的平分线交于点O，则α+β＝　 　 °，∠O＝　 　 °；
（2）如图2，点E是线段BC延长线上一点，过点E作EF⊥AN，垂足为点F，∠MAN与∠CEF的平分线交于点D，求∠ACE与∠ADE的数量关系；
（3）如图3，若点G在∠MAN内部（点G不在线段BC上），∠CGB＝108°，连接BG与CG，∠GBM与∠GCN的平分线交于点H，求∠BHC的度数．
53．（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A+∠B＝∠C+∠D．
（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间数量关系．
（3）在图3中，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP∠CAB，∠CDP∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为 　 　 （用x、y的代数式表示）．
（4）在图4中，直线BP平分∠ABC，DP平分∠ADC的外角∠ADE，猜想∠P与∠A、∠C的关系，直接写出结论．
54．综合与实践
在△ABC中，∠C＝40°，点D，E分别是△ABC边AC，BC上的点，点P是一动点，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
【问题初探】
（1）如图1，若点P在线段AB上，且∠α＝60°，则∠1+∠2＝ 　 　 °；
【问题再探】
（2）如图2，若点P在线段AB上运动，写出∠1，∠2，∠α之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若点P在线段AB的延长线上运动，写出∠1，∠2，∠α之间的数量关系，并说明理由；
【问题解决】
（4）如图4，若点P运动到△ABC的内部，请直接写出此时∠1，∠2，∠α之间的数量关系．
55．如图，△ABC中，∠B＝90°，点D在射线BC上运动，DE⊥AD交射线AC于点E．
（1）如图1，若∠BAC＝60°，当AD平分∠BAC时，求∠EDC的度数；
（2）如图2，当点D在线段BC上时，
①判断∠EDC与∠BAD的数量关系并说明理由；
②作EF⊥BC于F，∠BAD、∠DEF的角平分线相交于点G，随着点D的运动，∠G的度数会变化吗？如果不变，求出∠G的度数；如果变化，说明理由；
（3）如图3，当点D在BC的延长线上时，作EF⊥BD于F，∠BAD的角平分线和∠DEF的角平分线的反向延长线相交于点G，∠G的度数会变化吗？如果不变，求出∠G的度数；如果变化，说明理由．
56．在ABC中，AE平分∠BAC，∠ACB＞∠ABC．
（1）如图①，若AD⊥BC于点D，∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，则∠EAD的度数　 ；
（2）如图①，根据（1）的解答过程，猜想并写出∠ABC，∠ACB，∠EAD之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图②，在线段AE上任取一点P，过点P作PD⊥BC于点D，请直接写出∠ABC，∠ACB，∠EPD之间的数量关系．
57．阅读下面的材料，并解决问题．
△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC的外角．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．图1中∠ACD＝∠A+∠B．
（1）已知在△ABC中，∠A＝66°，图2﹣图4的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数．如图2，∠O＝ 　 　 ；如图3，∠O＝ 　 　 ；如图4，∠O＝ 　 　 ；
（2）在（1）的条件下，如图5，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，连接O1O2，则∠BO2O1＝ 　 　 ；
（3）如图6，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的角平分线交于点O1，O2，若∠1＝105°，∠2＝125°，则∠A的度数为 　 　 ．
58．已知∠AOB＝90°，直线CD与OA交于点C，与OB交于点D，点C，D均不与点O重合，CE平分∠DCO，DE平分∠CDO．
（1）如图1，当∠OCD＝40°时，∠CED的度数为　 　 ；
（2）如图2，延长CE与BO交于点F，过E作射线EG与CD交于点G，且满足∠CFO﹣∠GED＝45°．求证：GE∥DO；
（3）如图3，过点C作CM⊥CN，MN是∠COD的外角平分线所在直线，与射线CE交于点N，与CM交于点M．在△CMN中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请求出∠CDE的度数．
59．如图，点C，D分别在射线OA，OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠ODC的平分线交于点P．
（1）如图1，当∠AOB＝∠OCD＝60°时，∠P＝ 　 　 ．
（2）如图2，当∠AOB＝60°，点C，D在射线OA，OB上任意移动时（不与点O重合），∠P的大小是否变化？若变，请说明理由；若不变，请求出∠P的度数．
（3）如图3，若∠OCD+∠ODC＝α（0°＜α＜180°），请直接写出∠P的度数（用含α的式子表示）．
60．如图1，在△ABC中，∠BAC＝100°，∠B：∠C＝3：5，在边BC上有一点D从B向C运动，运动到点C处停止．
（1）当∠ADB＝90°时，求∠CAD的度数；
（2）如图2，把△ACD沿直线AD翻折，点C的对应点为M，若点M在△ABC的内部（不包含△ABC的边）．
①直接写出∠CAD的取值范围；
②探索∠BDM与∠BAM之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，在点D从B向C运动过程中，设∠BAD＝α°，同时将BC绕点B按顺时针方向旋转β°，即∠CBC＝β°，且满足α：β＝2：3，若运动过程中AD、BC所在直线相交于点P，当∠BPD＜120°时，求α的取值范围．
参考答案
题型1 三角形的三边关系的应用
1．
【分析】因n段之和为定值144cm，故欲n尽可能的大，必须每段的长度尽可能小，这样依题意可构造一个数列．
【解答】解：∵每段的长为不小于1（cm）的整数，
∴最小的边最小是1，
∵三条线段不能构成三角形，则第二段是1，第三段是2，第四段与第二、第三段不能构成三角形，
∴第四边最小是3，第五边是5，依次是8，13，21，34，55，
再大时，各个小段的和大于150cm，不满足条件．
上述这些数之和为143，与144相差1，故可取1，1，2，3，5，8，13，21，34，56，
这时n的值最大，n＝10．
故选：B．
2．
【分析】先由a﹣b＝2c﹣6，a+b＝3c﹣6，得2c﹣6＜c＜3c﹣6，解得3＜c＜6，结合c为整数即可作答．
【解答】解：∵三角形的三边分别为a，b，c，
∴a﹣b＜c＜a+b，
∵a＞b，且a﹣b＝2c﹣6，a+b＝3c﹣6，
∴2c﹣6＜c＜3c﹣6，
解得3＜c＜6，
∵c为整数，
∴c的长是4或5，
故选：B．
3．
【分析】根据绝对值和平方的非负性，得到关于a、b的方程组，再根据三角形的三边关系求解即可．
【解答】解：∵|a+b﹣14|+（a﹣b+2）2＝0，
∴a+b﹣14＝0，a﹣b+2＝0，
解得a＝6，b＝8，
∵b﹣a＜c＜b+a，
∴2＜c＜14，
综上所述，只有选项B正确，符合题意，
故选：B．
4．
【分析】设在篱笆AB上接上新的篱笆长度为x，由BC﹣CD＜AB+x＜BC+CD，求出x的取值范围，即可解答．
【解答】解：设在篱笆AB上接上新的篱笆长度为x，
根据题意得：AB＝2m，BC＝8m，CD＝3m，
∵BC﹣CD＜AB+x＜BC+CD，即5m＜AB+x＜11m，
∴3m＜x＜9m，
∴在篱笆AB上接上新的篱笆的长度可以为4m，
故选：D．
题型2 三角形的三边关系的应用
5．
【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，得到△ABC的面积即为阴影部分的面积的3倍，计算即可．
【解答】解：∵G为△ABC三边中线AD，BE，CF的交点，
∴S△ABD＝S△ADC，S△BGD＝S△CDG，S△AFG＝S△BFG，S△AGE＝S△CGE，
∴S△AGB＝S△AGC，S△AFG＝S△AGE，
∴，
同理：，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
6．
【分析】利用三角形中线性质和同底等高面积相等，有，过点E作EF⊥BC，利用面积公式即可求得答案．
【解答】解：过点E作EF⊥BC交BC于点F，如图，
由题意可知：，，
∴，
∵△ABC的面积为30，BD＝5，
∴，
解得EF＝3，
故△BDE中BD边上的高为3．
故选：A．
7．
【分析】连接AE，BF，CD，根据三角形面积公式、三角形的中线的性质解答即可．
【解答】解：如图，连接AE，BF，CD，
∵点D、E、F分别是线段AF、BD的中点，
∴AD＝DF，BE＝ED，
∴S△ADE＝S△ABE，S△FBE＝S△FDE，
同理可得：△ABC被分为7个面积相同的三角形，
∴阴影部分的三角形的面积是△ABC的面积的，
∵△ABC的面积为10，
∴阴影部分的面积是，
故答案为：．
8．
【分析】易得△ABD，△ACD为△ABC面积的一半，同理可得△BEC的面积等于△ABC面积的一半，那么阴影部分的面积等于△BEC的面积的一半．
【解答】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等，
∴S△ABD＝S△ACDS△ABC4＝2（cm2），
同理S△BDE＝S△CDES△BCE2＝1（cm2），
∴S△BCE＝2（cm2），
∵F为EC中点，
∴S△BEFS△BCE2＝1（cm2）．
故答案为1．
题型3 三角形内角和定理与外角性质的应用
9．
【分析】先根据邻补角性质求得∠ADE+∠AED＝360°﹣α，再根据三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：∵∠ADE＝180°﹣∠1，∠AED＝180°﹣∠2，
∴∠ADE+∠AED＝180°﹣∠1+180°﹣∠2＝360°﹣（∠1+∠2）＝360°﹣α，
∵∠ADE+∠AED+∠A＝180°，
∴∠A＝180°﹣（∠ADE+∠AED）＝180°﹣（360°﹣α）＝α﹣180°，
故选：C．
10．
【分析】如图所示，由三角形外角的性质可得∠α＝∠1+∠D、∠β＝∠4+∠F，再根据三角形内角和定理可得∠α+∠β＝∠1+∠D+∠4+∠F＝90°+30°+90°，最后计算即可．
【解答】解：如图：∠α＝∠1+∠D，∠β＝∠4+∠F，
∴∠α+∠β
＝∠1+∠D+∠4+∠F，
＝90°+30°+90°
＝210°，
∴∠α+∠β的度数为210°．
故选：A．
11．
【分析】根据三角形内角和，可以得到∠1和∠2的和，再根据三角形内角和，可以得到∠D+∠E和∠1+∠2的关系，然后即可求得∠D+∠E的度数．
【解答】解：连接BC，如图所示，
∵∠A＝60°，∠ABE＝40°，∠ACD＝30°，
∴∠1+∠2＝180°﹣∠A﹣∠ABE﹣∠ACD＝180°﹣60°﹣40°﹣30°＝50°，
∵∠D+∠E＝∠1+∠2，
∴∠D+∠E＝50°，
故选：C．
12．
【分析】连接EF，利用三角形的内角和定理结合整体思想即可解决问题．
【解答】解：如图，连接EF，
∵∠B+∠C＝60°，
∴∠A＝180°﹣（∠B+∠C）＝120°，
∴∠AEF+∠AFE＝180°﹣∠A＝60°．
∵∠D＝70°，
∴∠DEF+∠DFE＝180°﹣∠D＝110°，
∵∠1+∠AEF＝∠DEF，∠2+∠AFE＝∠DFE，
∴∠1+∠2＝∠DEF+∠DFE﹣（∠AEF+∠AFE）＝110°﹣60°＝50°．
故选：A．
13．
【分析】延长EF，交CD于点G，依据三角形的内角和定理可求∠ACB，根据对顶角相等可得∠DCE，再由三角形内角和定理的推论得到∠DGF的度数；利用∠EFD＝110°，和三角形的外角的性质可得∠D的度数，从而得出结论．
【解答】解：延长EF，交CD于点G，如图：
∵∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∴∠ECD＝∠ACB＝70°．
∵∠DGF＝∠DCE+∠E，
∴∠DGF＝70°+30°＝100°．
∵∠EFD＝130°，∠EFD＝∠DGF+∠D，
∴∠D＝30°．
而图中∠D＝20°，
∴∠D应增加10°．
故选：A．
14．
【分析】首先求出∠F+∠B＝∠D+∠EGD，然后证明出∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D＝180°，最后结合题干∠D＝28°求出∠A+∠B+∠C+∠F的度数．
【解答】解：∵如图可知∠BED＝∠F+∠B，∠CGE＝∠C+∠A，
又∵∠BED＝∠D+∠EGD，
∴∠F+∠B＝∠D+∠EGD，
又∵∠CGE+∠EGD＝180°，
∴∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D＝180°，
又∵∠D＝28°，
∴∠A+∠B+∠C+∠F＝180°+28°＝208°，
故选：C．
15．
【分析】根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”可知∠1＝∠A+∠B，∠2＝∠1+∠E，结合三角形内角和定理可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，即可获得答案．
【解答】解：如下图，
∵∠1＝∠A+∠B，∠2＝∠1+∠E，
又∵∠2+∠C+∠D＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是180°．
故选：A．
16．
【分析】由三角形外角性质得∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，∠E+∠F＝∠1+∠2＝∠BOF＝120°，即得∠A+∠B+∠C+∠D＝∠1+∠2＝120°．
【解答】解：由三角形外角性质可得，∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，∠E+∠F＝∠1+∠2＝∠BOF＝120°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D＝∠1+∠2＝120°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝120°+120°＝240°，
故答案为：240．
17．
【分析】在△CEF中，利用三角形内角和定理可求出∠ECF的度数，连接AC，并延长AC交EF于点M，利用平行线的性质，可得出∠BAD＝∠ECF，此题得解．
【解答】解：在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝55°，
∴∠ECF＝180°﹣∠E﹣∠F＝180°﹣80°﹣55°＝45°．
连接AC，并延长AC交EF于点M，如图所示．
∵AB∥CF，AD∥CE，
∴∠BAC＝∠FCM，∠DAC＝∠ECM，
∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝∠FCM+∠ECM＝∠ECF＝45°．
故答案为：45°．
18．
【分析】连接AD，连接AE并延长到点M，连接AF并延长到点N，利用三角形的外角性质，可得出∠BEM＝∠BAE+∠B，∠DEM＝∠DAE+∠ADE，∠DFN＝∠DAF+∠ADF，∠CFN＝∠CAF+∠C，将其相加后可得出∠BED+∠CFD＝∠A+∠B+∠EDF+∠C，再代入各角的度数，即可求出结论．
【解答】解：连接AD，连接AE并延长到点M，连接AF并延长到点N，如图所示．
∵∠BEM是△ABE的外角，
∴∠BEM＝∠BAE+∠B．
同理可得出：∠DEM＝∠DAE+∠ADE，∠DFN＝∠DAF+∠ADF，∠CFN＝∠CAF+∠C，
∴∠BEM+∠DEM+∠DFN+∠CFN＝∠BAE+∠B+∠DAE+∠ADE+∠DAF+∠ADF+∠CAF+∠C，
即∠BED+∠CFD＝∠A+∠B+∠EDF+∠C，
∴72°+∠CFD＝52°+25°+35°+30°，
∴∠CFD＝70°．
故答案为：70．
题型4 角度计算中的分类讨论思想
19．
【分析】利用三角形内角和及外角的性质求解即可．
【解答】解：已知在△ABC（△ABC不是直角三角形）中，∠A＝40°，AC边的高BD、AB边的高CE所在直线交于点F，如图1，当BD与CE交于点F时，
∴∠ADB＝∠CEB＝90°，∠ABD＝90°﹣40°＝50°，
∠BFC＝∠CEB+∠ABD＝140°；
如图1，△ABC是锐角三角形时，
由题意得：∠ADB＝∠CEB＝90°，∠ABD＝90°﹣40°＝50°，
∠BFC＝∠CEB+∠ABD＝140°；
如图2，△ABC是钝角三角形时，∠ACB是钝角，
同理可求，∠ABD＝90°﹣40°＝50°，
∠BFC＝90°﹣∠ABD＝40°；
如图3，△ABC是钝角三角形时，∠ABC是钝角，
同理可得∠BFC＝40°；
故答案为：40°或140°．
20．
【分析】分两种情况进行讨论：当∠BFD＝90°时，当∠BDF＝90°时，分别依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠ADF的度数．
【解答】解：如图1所示，当∠BFD＝90°时，
∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴Rt△ADF中，∠ADF＝60°；
如图2，当∠BDF＝90°时，
同理可得∠BAD＝30°，
∵∠BAC＝60°，∠ACB＝78°，
∴∠B＝42°，
∴∠BDA＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝180°﹣42°﹣30°＝108°，
∴∠ADF＝∠BDA﹣∠BDF＝108°﹣90°＝18°，
综上所述，∠ADF的度数为18°或60°．
故答案为：60°或18°．
21．
【分析】分三种情况讨论：①当CE⊥BC时，②当CE⊥AB于F时，③当CE⊥AC时，根据垂直的定义和三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：①如图1，当CE⊥BC时，
∵∠A＝60°，∠ACB＝42°，
∴∠ABC＝78°，
∵BM平分∠ABC，
∴∠CBEABC＝39°，
∴∠BEC＝90°﹣39°＝51°；
②如图2，当CE⊥AB于F时，
∵∠ABE∠ABC＝39°，
∴∠BEC＝90°+39°＝129°；
③如图3，当CE⊥AC时，
∵∠CBE＝39°，∠ACB＝42°，
∴∠BEC＝180°﹣39°﹣42°﹣90°＝9°．
综上所述，∠BEC的度数为9°、51°、129°．
故答案为：9°、51°、129°．
22．
【分析】依题意分以下三种情况：①当点P在线段AB上时，则∠PDC＝180°﹣∠1，∠PEC＝180°﹣∠2，再根据∠C+∠PDC+∠PEC+∠DPE＝360°可得出∠α，∠1，∠2之间的关系；②当点P在BA的延长线上时，则∠PAD＝90°+∠ABC，∠APE＝180°﹣∠2﹣∠ABC，进而得∠APD＝∠α+180°﹣∠2﹣∠ABC，再根据∠PAD+∠APD+∠PDA＝180°，可得出∠α，∠1，∠2之间的关系；③当点P在AB的延长线上时，则∠PBE＝90°+∠BAC，∠BPD＝180°﹣∠1﹣∠BAC，进而得∠BPE＝∠α+180°﹣∠1﹣∠BAC，再根据∠BPE+∠PEB+∠PBE＝180°可得出∠α，∠1，∠2之间的关系，综上所述即可得出答案．
【解答】解：∵点P是直线AB上一动点，
∴有以下三种情况：
①当点P在线段AB上时，如图1所示：
∴∠PDC＝180°﹣∠1，∠PEC＝180°﹣∠2，
∵∠C+∠PDC+∠PEC+∠DPE＝360°，∠C＝90°，
∴90°+180°﹣∠1+180°﹣∠2+∠α＝360°，
∴∠1+∠2﹣∠α＝90°；
②当点P在BA的延长线上时，如图2所示：
∵∠PAD＝∠C+∠ABC＝90°+∠ABC，∠APE＝180°﹣∠2﹣∠ABC，
∴∠APD＝∠DPE+∠APE＝∠α+180°﹣∠2﹣∠ABC，
∵∠PAD+∠APD+∠PDA＝180°，
∴90°+∠ABC+∠α+180°﹣∠2﹣∠ABC+∠1＝180°，
∴∠2﹣∠1﹣∠α＝90°；
③当点P在AB的延长线上时，如图3所示：
∵∠PBE＝∠C+∠BAC＝90°+∠BAC，∠BPD＝180°﹣∠1﹣∠BAC，
∴∠BPE＝∠DPE+∠BPD＝∠α+180°﹣∠1﹣∠BAC，
∵∠BPE+∠PEB+∠PBE＝180°，
∴∠α+180°﹣∠1﹣∠BAC+∠2+90°+∠BAC＝180°，
∴∠1﹣∠2﹣∠α＝90°，
综上所述：∠α，∠1，∠2之间的关系为：∠1+∠2﹣∠α＝90°或∠2﹣∠1﹣∠α＝90°或∠1﹣∠2﹣∠α＝90°．
故答案为：∠1+∠2﹣∠α＝90°或∠2﹣∠1﹣∠α＝90°或∠1﹣∠2﹣∠α＝90°．
23．
【分析】分三种情形：CF⊥AB，CF′⊥BC，CF″⊥AC分别求解即可．
【解答】解：如图，当CF⊥AB于点H时，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD∠ABC＝30°，
∵∠CHB＝90°，
∴∠BFC＝∠CHB+∠ABD＝90°+30°＝120°；
当CF′⊥CB时，∠BF′C＝90°﹣30°＝60°；
当CF″⊥AC时，∠BF″C＝180°﹣30°﹣140°＝10°．
综上所述，∠BFC的度数为120°或60°或10°．
故答案为：120°或60°或10°．
24．
【分析】由∠MON＝40°，AB⊥OM，利用三角形的内角和定理可求得∠ABC＝50°，结合“灵动三角形”的定义可分两种情况进行解答，即当∠ACB＝3∠ABC，或∠ACB＝3∠CAB时，根据三角形的内角和定理以及互为余角可得答案．
【解答】解：∵AB⊥OM，
∴∠OAB＝90°，
∵∠MON＝40°，
∴∠ABC＝90°﹣40°＝50°，
当△ABC为“灵动三角形”时，
①当∠ACB＝3∠ABC时，
∠ACB＝3×50°＝150°（舍去），
②当∠ACB＝3∠CAB时，
4∠CAB+50°＝180°，
∴∠CAB＝32.5°，
∴∠OAC＝90°﹣∠CAB＝57.5°，
综上，∠OAC＝57.5°．
三角形ABC中，有一个角是50度的时，∠OAC°．
故答案为：57.5°或°．
题型5 含角平分线的复杂角度计算
25．
【分析】由题意AE平分∠BAC，BF平分∠ABD，推出∠CAE＝∠BAE，∠ABF＝∠DBF，设∠CAE＝∠BAE＝x，设∠C＝y，∠ABC＝3y，想办法用含x和y的代数式表示∠ABF和∠DBF即可解决问题．
【解答】解：如图：
∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABD，
∴∠CAE＝∠BAE，∠1＝∠2，
设∠CAE＝∠BAE＝x，∠C＝y，∠ABC＝3y，
由外角的性质得：
∠1＝∠BAE+∠G＝x+20，∠2∠ABD（2x+y）＝xy，
∴x+20＝xy，解得y＝40°，
∴∠1＝∠2（180°﹣∠ABC）（180°﹣120°）＝30°，
∴∠DFB＝60°．
故选：C．
26．
【分析】连接BC，根据题意得到∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠BDC＝30°，∠GBC+∠GCB＝180°﹣∠BGC＝67.5°，进而得出∠GBD+∠GCD＝（∠GBC+∠GCB）﹣（∠DBC+∠DCB）＝37.5°，得到∠ABC+∠ACB＝2（∠GBD+∠GCD）+（∠DBC+∠DCB）＝105°，根据三角形内角和定理计算即可得到答案．
【解答】解：如图，连接BC，
∵BE是∠ABD的角平分线，CF是∠ACD的角平分线，BE与CF交于点G，
∴∠EBD＝∠FBE∠ABD，∠FCD＝∠ECF∠ACD，
∵∠BDC＝150°，∠BGC＝112.5°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠BDC＝30°，
∴∠GBC+∠GCB＝180°﹣∠BGC＝67.5°，
∴∠GBD+∠GCD＝（∠GBC+∠GCB）﹣（∠DBC+∠DCB）＝37.5°，
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠GBD+∠GCD）+（∠DBC+∠DCB）＝105°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝75°，
故选：C．
27．
【分析】根据角平分线的定义可得，再根据三角形外角的性质可得，化简可得，进一步找出其中的规律，即可求出∠A2025的度数．
【解答】解：∵BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，
∴∠A1BD∠ABC，∠A1CD∠ACD，
又∵∠ACD＝∠ABC+∠A，∠A1CD＝∠A1BD+∠A1，
∴（∠ABC+∠A）＝∠ABC+∠A1，
∴∠A1∠A，
同理可得：∠A2∠A1∠A，
∠A3∠A，.....．
则A2025∠A，
∵∠A＝α，
∴∠A2025，
故选：C．
28．
【分析】由∠DCB是△ACD的外角，利用三角形的外角性质，可求出∠DCB＝3∠DAC，在△BCE中，利用三角形内角和定理，可求出∠ECB＝180°﹣3∠EBC，结合∠1＝∠DCB﹣∠ECB，可得出∠1＝3（∠DAC+∠EBC）﹣180°，变形后可得出∠DAC+∠EBC＝60°∠1，利用角平分线的定义，可得出∠PAB∠DAC，∠PBA∠EBC，进而可得出∠PAB+∠PBA（60°∠1），再结合∠2＝180°﹣（∠PAB+∠PBA），即可求出∠2＝150°∠1．
【解答】解：∵∠DCB是△ACD的外角，
∴∠DCB＝∠D+∠DAC＝3∠DAC．
在△BCE中，∠E＝2∠EBC，
∴∠ECB＝180°﹣∠E﹣∠EBC＝180°﹣3∠EBC，
∴∠1＝∠DCB﹣∠ECB＝3∠DAC﹣（180°﹣3∠EBC）＝3（∠DAC+∠EBC）﹣180°，
∴∠DAC+∠EBC＝60°∠1．
∵∠DAC的平分线与∠EBC的平分线的交于点P，
∴∠PAB∠DAC，∠PBA∠EBC，
∴∠PAB+∠PBA（∠DAC+∠EBC）（60°∠1），
∴∠2＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝180°（60°∠1）＝150°∠1．
故选：A．
29．
【分析】根据角平分线定义可得，，从而可求出∠1+∠2．
【解答】解：∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∠BAC＝α，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，
∵BO是∠ABC 的平分线，CO是∠ACB 的平分线，
∴，，
∴，
∵∠OCB+∠OBC+∠2＝180°，
∴∠2＝180°﹣（∠OCB+∠OBC）＝180°﹣（90°）＝90°，
∵AO是∠BAC和平分线，
∴，
∵AD是∠BAO的平分线，
∴α，
∴，
故选：A．
30．
【分析】由角平分线定义得到∠ABP∠ABC，∠MAP∠CAM，由三角形的外角性质推出∠MAP＝∠ABP+∠APB，即可得到∠APB∠C＝40°．
【解答】解：∵BP平分∠ABC，AP平分∠CAM，
∴∠ABP∠ABC，∠MAP∠CAM，
∵∠MAP＝∠ABP+∠APB，
∴∠CAM∠ABC+∠APB，
∴（∠ABC+∠C）∠ABC+∠APB，
∴∠APB∠C80°＝40°．
故答案为：40°．
31．
【分析】根据题意，如图所示，延长FB交AD于点E，设BC，DF交于点G，根据角平分线的定义可得∠ABF＝∠CBF，∠ADF＝∠CDF，根据三角形的内角和，外角和的性质可得∠F+∠CBF＝∠C+∠CDF①，∠ABF﹣∠A＝∠F+∠CDF②，然后①﹣②得∠A+∠F＝∠C﹣∠F，由此即可求解．
【解答】解：如图所示，延长FB交AD于点E，设BC，DF交于点G，
∵∠ABF＝∠CBF，∠ADF＝∠CDF，
∵∠BGF＝∠CGD，
∴∠F+∠CBF＝∠C+∠CDF①，
由外角的性质可知：∠ABF＝∠A+∠AEF，∠AEF＝∠F+∠ADF，
∴∠CBF﹣∠A＝∠ABF﹣∠A＝∠AEF＝∠F+∠ADF＝∠F+∠CDF②，
∴①﹣②得，∠A+∠F＝∠C﹣∠F，
∴2∠F＝∠C﹣∠A，
又∵∠A＝15°，∠C＝65°，
∴2∠F＝65°﹣15°＝50°，
∴∠F＝25°，
故答案为：25°．
32．
【分析】根据三角形的内角和等于180°得出∠ABC+∠ACB，根据n等分的定义求出∠On﹣1BC+∠On﹣1CB的度数，在△On﹣1BC中，利用三角形内角和定理列式整理即可得解．
【解答】解：由题意可知：∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，，，
∴
；
∴∠BOn﹣1C＝180°﹣（∠On﹣1BC+∠On﹣1CB）
．
故答案为：．
33．
【分析】利用角的平分线，外角性质，三角形内角和定理，计算即可．
【解答】解：∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，CD平分∠ACF，CE平分∠ABC，BE平分∠FBG，
∴
，
解得：∠A＝80°，
∴
，
∴
，
∴∠E﹣∠D＝50°﹣40°＝10°，
故答案为：10°．
34．
【分析】设∠BAE＝α，∠DCE＝β，根据角平分线的定义得∠EAD＝∠BAE＝α，∠BCE＝∠DCE＝β，由三角形的内角和定理得∠AHB＝180°﹣（∠B+∠BAE）＝155°﹣α，∠CHE＝180°﹣（∠E+∠BCE）＝150°﹣β，再根据对顶角相等得155°﹣α＝150°﹣β，据此得α﹣β＝5°，同理由三角形的内角和定理得∠EGA＝180°﹣（∠E+∠EAD）＝150°﹣α，∠CGD＝180°﹣（∠D+∠DCE）＝180°﹣∠D﹣β，再根据对顶角相等得150°﹣α＝180°﹣∠D﹣β，据此可得∠D的度数．
【解答】解：设∠BAE＝α，∠DCE＝β，
∵AE、CE分别平分∠BAD、∠BCD，
∴∠EAD＝∠BAE＝α，∠BCE＝∠DCE＝β，
∵∠B＝25°，∠E＝30°，
∴∠AHB＝180°﹣（∠B+∠BAE）＝180°﹣（25°+α）＝155°﹣α，∠CHE＝180°﹣（∠E+∠BCE）＝180°﹣（β+30°）＝150°﹣β，
又∵∠AHB＝∠CHE
∴155°﹣α＝150°﹣β，
∴α﹣β＝5°，
∵∠EGA＝180°﹣（∠E+∠EAD）＝180°﹣（30°+α）＝150°﹣α，∠CGD＝180°﹣（∠D+∠DCE）＝180°﹣∠D﹣β，
又∵∠EGA＝∠CGD，
∴150°﹣α＝180°﹣∠D﹣β，
∴∠D＝30°+α﹣β＝35°．
故答案为：35°．
35．
【分析】利用三角形的外角性质，可得出∠ACM＝∠A+∠ABC，由DE∥BC，利用“两直线平行，同位角相等”，可得出∠ADE＝∠ACM，∠GDE＝∠GFM，结合角平分线的定义，可得出∠GBF∠ABC，∠GFM（∠A+∠ABC），再利用三角形的外角性质，即可求出∠G的度数．
【解答】解：∵∠ACM是△ABC的外角，
∴∠ACM＝∠A+∠ABC．
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ACM，∠GDE＝∠GFM．
∵DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，
∴∠GBF∠ABC，∠GDE∠ADE∠ACM（∠A+∠ABC），
∴∠GFM＝∠GDE（∠A+∠ABC）．
又∵∠GFM是△GBF的外角，
∴∠GFM＝∠G+∠GBF，即（∠A+∠ABC）＝∠G∠ABC，
∴∠G∠A40°＝20°．
故答案为：20°．
36．
【分析】根据题意可知∠PBC＝∠C，设∠C＝x，表示出∠AEF，根据角平分线的定义，可得∠FEP的度数，根据∠PEC＝∠P+∠PBC列方程，即可求出∠P的度数．
【解答】解：∵∠ABC＝2∠C，BP平分∠ABC，
∴∠PBC＝∠C∠ABC，
设∠C＝x，
则∠PBC＝x，
∵∠FEC＝28°，
∴∠AFE＝x+28°，
∵∠AEF＝2∠AFE，
∴∠AEF＝2x+56°，
∵EP平分∠AEF，
∴∠FEP＝x+28°，
∵∠PEC＝∠P+∠PBC，
∴x+28°+28°＝∠P+x，
∴∠P＝56°，
即∠P的度数为56°，
故答案为：56°．
题型6 三角形的角度计算与折叠问题
37．
【分析】由折叠的性质得到∠D＝∠B，再利用外角性质即可求出所求角的度数．
【解答】解：如图所示：
由折叠的性质得：∠D＝∠B，
根据外角性质得：∠1＝∠3+∠B，∠3＝∠2+∠D，
∴∠1＝∠2+∠D+∠B＝∠2+2∠B，
∴∠1﹣∠2＝2∠B＝60°．
∴∠B＝30°，
故选：A．
38．
【分析】先根据折叠的性质得到∠ADE＝∠ODE，∠AED＝∠OED，∠OFE＝∠BFE，∠BEF＝∠OEF，则利用平角的定义得到∠AED+∠BEF＝90°，∠ADE+∠BFE＝128°，再利用三角形内角和定理得到∠A+∠ADE+∠AED+∠B+∠BFE+∠BEF＝2×180°，则可计算出∠A+∠B＝142°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠C的度数．
【解答】解：∵△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，
∴∠ADE＝∠ODE，∠AED＝∠OED，∠OFE＝∠BFE，∠BEF＝∠OEF，
∵∠AEO+∠BEO＝180°，
∴∠AED+∠BEF＝90°，
∵∠ADO+∠BFO＝2×180°﹣∠CDO﹣∠CFO＝360°﹣104°＝256°，
∴∠ADE+∠BFE＝128°，
∵∠A+∠ADE+∠AED+∠B+∠BFE+∠BEF＝2×180°，
即∠A+∠B+（∠ADE+∠BFE）+（∠AED+∠BEF）＝2×180°，
∴∠A+∠B+128°+90°＝2×180°，
∴∠A+∠B＝142°，
∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣142°＝38°．
故选：A．
39．
【分析】由折叠的性质可得∠ADE＝∠EDF，∠AED＝∠DEF，再由邻补角的定义可得∠ADF＝180°﹣β，从而可求得∠ADE＝90°，由三角形的内角和可求∠AED，从而可求得∠AEF，再由邻补角的定义即可求∠FEC的度数．
【解答】解：由折叠可得：∠ADE＝∠EDF，∠AED＝∠DEF，
∵∠FDB＝β，
∴∠ADF＝180°﹣∠EDB＝180°﹣β，
∴∠ADE（360°﹣∠ADF）＝90°，
∵∠A＝α，
∴∠AED＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝90°α，
∴∠AEF＝∠AED+∠DEF＝2∠AED＝180°﹣2α﹣β，
∴∠FEC＝180°﹣∠AEF＝2α+β．
故选：C．
40．
【分析】连接AA′．首先求出∠BAC，再证明∠1+∠2＝2∠BAC即可解决问题．
【解答】解：连接AA′．
∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∠BA'C＝110°，
∴∠A′BC+∠A′CB＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝140°，
∴∠BAC＝180°﹣140°＝40°，
∵∠1＝∠DAA′+∠DA′A，∠2＝∠EAA′+∠EA′A，
∵∠DAA′＝∠DA′A，∠EAA′＝∠EA′A，
∴∠1+∠2＝2（∠DAA′+∠EAA′）＝2∠BAC＝80°，
故选：A．
41．
【分析】①由折叠的性质得∠DC'C＝∠C＝22°，由三角形内角和定理得∠C'DC＝180°﹣（∠DC'C+∠C）＝136°，进而可得∠ADC′的度数，由此可对结论①进行判断；
②连接CC'，由折叠的性质得∠DC'E＝∠DCE＝22°，由三角形内角和定理及邻补角定义得∠ADC'＝∠DC'C+∠DCC'，∠BEC′＝∠EC'C+∠ECC'，则∠ADC'+∠BEC′＝∠DC'E+∠DCE＝44°，由此可对结论②进行判断；
③设∠CED＝α，由折叠的性质得∠C＝∠C'＝22°，∠C'ED＝∠CED＝α，∠CDE＝∠C'DE，则∠CEC'＝2α，进而得∠BEC′＝180°﹣∠CEC'＝180°﹣2α，∠CDE＝∠C'DE＝180°﹣∠C﹣∠CED＝158°﹣α，∠ADE＝180°﹣∠CDE＝22°+α，进而得∠ADC′＝∠C'DE﹣∠ADE＝136°﹣2α，然后可计算∠BEC′﹣∠ADC'的值即可对结论③进行判断；
④当C′E∥AB时，（ⅰ）当点C'在AC上方时，设C'E交AC于M，由C′E∥AB，∠A＝90°得∠CME＝∠A＝90°，进而得∠CEM＝90°﹣∠C＝68°，再由折叠的性质得∠CED＝∠MED∠CEM＝34°，由此可求出∠CDE的度数；（ⅱ）当点C'在AC下方时，延长C'E交AC于N，由C′E∥AB，∠A＝90°得∠C'ND＝90°，则∠C'DN＝90°﹣∠C'＝68°，再由折叠的性质得∠CDE＝∠C'DE∠C'DN＝34°．由此可对结论④正确，综上所述即可得出答案．
【解答】解：①∵点C'落在BC边上，
∴由折叠的性质得：∠DC'C＝∠C＝22°，
∴∠C'DC＝180°﹣（∠DC'C+∠C）＝136°，
∴∠ADC′＝180°﹣∠C'DC＝180°﹣136°＝44°，
故结论①正确；
②连接CC'，如图2所示：
由折叠的性质得：∠DC'E＝∠DCE＝22°，
∵∠C'DC+∠DC'C+∠DCC'＝180°，∠C'EC+∠EC'C+∠ECC'＝180°，
又∵∠ADC'+∠C'DC＝180°，∠BEC′+∠EC'C+∠ECC'＝180°，
∴∠ADC'＝∠DC'C+∠DCC'，∠BEC′＝∠EC'C+∠ECC'，
∴∠ADC'+∠BEC′＝∠DC'C+∠DCC'+∠EC'C+∠ECC'，
即∠ADC'+∠BEC′＝∠DC'E+∠DCE＝44°，
故结论②正确；
③设∠CED＝α，
由折叠的性质得：∠C＝∠C'＝22°，∠C'ED＝∠CED＝α，∠CDE＝∠C'DE，
∴∠CEC'＝∠C'ED+∠CED＝2α，
∴∠BEC′＝180°﹣∠CEC'＝180°﹣2α，
∴∠CDE＝∠C'DE＝180°﹣∠C﹣∠CED＝180°﹣22°﹣α＝158°﹣α，
∴∠ADE＝180°﹣∠CDE＝180°﹣（158°﹣α）＝22°+α，
∴∠ADC′＝∠C'DE﹣∠ADE＝158°﹣α﹣（22°+α）＝136°﹣2α，
∴∠BEC′﹣∠ADC'＝180°﹣2α﹣（136°﹣2α）＝44°，
故结论③正确；
④当C′E∥AB时，有以下两种情况：
（ⅰ）当点C'在AC上方时，设C'E交AC于M，如图3①所示：
∵C′E∥AB，∠A＝90°，
∴∠CME＝∠A＝90°，
∴∠CEM＝90°﹣∠C＝90°﹣22°＝68°，
由折叠的性质得：∠CED＝∠MED∠CEM＝34°，
∴∠CDE＝180°﹣（∠CED+∠C）＝180°﹣（34°+22°）＝124°；
（ⅱ）当点C'在AC下方时，延长C'E交AC于N，如图3②所示：
∵C′E∥AB，∠A＝90°，
∴∠C'ND＝90°，
由折叠的性质得：∠C＝∠C'＝22°，∠CDE＝∠C'DE，
在Rt△C'ND中，∠C'DN＝90°﹣∠C'＝68°，
∴∠CDE＝∠C'DE∠C'DN＝34°．
综上：当C′E∥AB时，∠CDE＝34°或∠CDE＝124°，
故结论④正确，
综上所述：正确的结论是①②③④，共4个．
故选：D．
42．
【分析】利用三角形的内角和定理的推论，先用∠B表示出∠3，再利用邻补角和四边形的内角和定理用∠C表示出∠1+∠2，最后再利用三角形的内角和定理求出∠1+∠2+∠3．
【解答】解：由折叠知：∠B＝∠B′，∠C＝∠C′．
∵∠3＝∠B+∠4，∠4＝∠ADB′+∠B′，
∴∠3＝∠B+∠ADB′+∠B′
＝2∠B+35°．
∵∠1+∠2＝180°﹣∠C′GC+180°﹣∠C′FC
＝360°﹣（∠C′FC+∠C′GC），
∠C′FC+∠C′GC＝360°﹣∠C﹣∠C′
＝360°﹣2∠C，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠C′FC+∠C′GC）
＝360°﹣（360°﹣2∠C）
＝2∠C．
∴∠1+∠2+∠3
＝2∠C+2∠B+35°
＝2（∠C+∠B）+35°
＝2（180°﹣∠A）+35°
＝2（180°﹣65°）+35°
＝265°．
故答案为：265°．
43．
【分析】先根据三角形外角的性质及∠1+∠2＝228°求出∠A′的度数，进而可得出∠A的度数，由三角形内角和定理求出∠AED+∠ADE的度数，由折叠的性质得出∠AEF+∠ADG的度数，进而可得出结论．
【解答】解：如图，∵∠1+∠2＝228°，∠1＝∠A′+∠A′NM，∠2＝A′+∠A′MN，
∴2∠A′+∠A′NM+∠A′MN＝228°，
∵∠A′+∠A′NM+∠A′MN＝180°，
∴∠A′＝228°﹣180°＝48°，
∴∠A＝∠A′＝48°，
∴∠AED+∠ADE＝180°﹣48°＝132°，
∴∠AEF+∠ADG＝2（∠AED+∠ADE）＝2×132°＝264°，
∴∠3+∠4＝360°﹣264°＝96°．
故答案为：96°．
题型7 三角形中多结论问题
44．
【分析】根据∠ABC和∠BAC的平分线交于点O，得出CO平分∠ACB，求出，证明∠COD＝∠OCE，根据平行线的判定得出OD∥CE，说明①正确；根据角平分线和三角形外角的性质求出，根据∠ABC+∠BAC≠180°，得出，判定②错误；先求出，，得出∠AOB＝∠BDO，判定③正确；根据∠ACG＝∠BAC+∠ABC，，即可判定④正确．
【解答】解：根据三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形角平分线的性质，平行线的判定逐项分析判断如下：
∵∠ABC和∠BAC的平分线交于点O，
∴CO平分∠ACB，
∴，
∵CE平分∠ACG，
∴，
∴，
∵OD⊥OC，
∴∠COD＝90°，
∴∠COD＝∠OCE，
∴OD∥CE，故①正确；
∵，
∠ACG＝∠BAC+∠ABC，
又∵，
∴，
∴，
∵∠ABC+∠BAC≠180°，
∴，故②错误；
∵，，
∴∠AOB＝180°﹣（∠OAB+∠OBA）
，
∵∠BDO＝∠DOC+∠BCO
，
∴∠AOB＝∠BDO，故③正确；
∵∠ACG＝∠BAC+∠ABC，
，
∴∠ACG＝2∠AOE，故④正确；
综上分析可知，正确的有①③④．
故选：C．
45．
【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．
【解答】解：①∵EG∥BC，
∴∠CEG＝∠ACB，
又∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠CEG＝∠ACB＝2∠DCB，故①正确；
②∵∠CEG＝∠ACB，而∠GEC与∠GCE不一定相等，
∴CA不一定平分∠BCG，故②错误；
③∵∠A＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD＝90°．
∵EG∥BC，且CG⊥EG，
∴∠GCB＝90°，即∠GCD+∠BCD＝90°，
∴∠ADC＝∠GCD，故③正确；
④∵∠ABC+∠ACB＝90°，
∵CD平分∠ACB，BE平分∠ABC，
∴∠EBC∠ABC，∠DCB∠ACB，
∴∠DFB＝∠EBC+∠DCB（∠ABC+∠ACB）＝45°，
∵∠CGE＝90°，
∴∠DFB∠CGE，故④正确．
故选：C．
46．
【分析】利用三角形内角和定理可得∠BAO＝∠BCD，即得∠BAO+∠BCE＝180°，再根据角平分线的定义可得，，得到，即可判断①和②；延长AP交BC于点M，由三角形外角性质得∠APC＝∠AMC+∠BCP，∠AMC＝∠B+∠BAM，即得∠APC＝∠BAM+∠B+∠BCP，又由∠B＝∠D，∠BAP+∠BCP＝∠PAO+∠PCE＝90°，可得∠APC＝90°+∠D，即可判断③和④．
【解答】解：∵∠B+∠BAO+∠AOB＝180°，∠D+∠BCD+∠COD＝180°，∠AOB＝∠COD，∠B＝∠D，
∴∠BAO＝∠BCD，
∵∠BCD+∠BCE＝180°，
∴∠BAO+∠BCE＝180°，
∵AP平分∠BAO，CP平分∠BCE，
∴，，
∴，故①正确；
∵∠BAO＝∠BCD，
∴，故②正确；
延长AP交BC于点M，
由条件可知∠APC＝∠BAM+∠B+∠BCP，
∵∠B＝∠D，∠BAP+∠BCP＝∠PAO+∠PCE＝90°，
∴∠APC＝90°+∠D，故③正确；
∴，故④不正确；
综上，正确的结论有3个，
故选：C．
47．
【分析】由角平分线的定义可得，，求出∠MCG＝90°，从而得出∠G+∠CMG＝90°，由三角形外角的定义及性质得出∠CMG＝∠CHD，即可得出∠G+∠CHD＝90°，从而判断①；求出∠BCG＝∠A+∠G得到∠BCG＝∠CBD+∠G，即可判断②；由∠A+∠G+∠ACM＝90°以及∠CBD＝∠A结合三角形内角和定理计算即可得出∠MHD＝∠BCH＝90°+∠G，即可判断③；由∠A≠∠G结合③即可判断④，
【解答】解：∵CM平分∠ACB，CF平分∠ACE，
∴，，
∴，即∠MCG＝90°，
∴∠G+∠CMG＝90°，
∵∠CMG＝∠ACM+∠A，∠CHD＝∠BCM+∠CBD，∠CBD＝∠A，
∴∠CMG＝∠CHD，
∴∠G+∠CHD＝90°，
∴∠CHD与∠G互余，故①正确；
∵∠BCG+∠BCM＝90°，∠A+∠G+∠ACM+∠BCG+∠BCM＝180°，
∴∠A+∠G+∠ACM＝90°，
∵∠BCM＝∠ACM，
∴∠BCG＝∠A+∠G，
∵∠CBD＝∠A，
∴∠BCG＝∠CBD+∠G，故②错误；
∵∠A+∠G+∠ACM＝90°，∠CBD＝∠A，
∴∠MHD＝∠BHC＝180°﹣∠CBD﹣∠BCM＝180°﹣∠A﹣∠ACM＝180°﹣（90°﹣∠G）＝90°+∠G，
∴∠MHD﹣∠G＝90°，故③正确；
∵∠A≠∠G，
∴∠MHD≠90°+∠A，故④错误；
综上所述，正确的是①③，
故选：D．
48．
【分析】根据角平分线定义得出∠ABC＝2∠ABD＝2∠DBC，∠EAC＝2∠EAD，∠ACF＝2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，根据三角形外角性质得出∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠EAC＝∠ABC+∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．
【解答】解：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC＝2∠EAD，
∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB，
∴∠EAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，故①正确；
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，
∴∠ACB＝2∠ADB，故②错误；
在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°，
∵CD平分△ABC的外角∠ACF，
∴∠ACD＝∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠DCF，∠ADB＝∠DBC，∠CAD＝∠ACB
∴∠ACD＝∠ADC，∠CAD＝∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°，
∴∠ADC+∠ABD＝90°
∴∠ADC＝90°﹣∠ABD，
即∠ADC+∠ABD＝90°，故③正确；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵∠ADB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵90°∠ABC＝90°﹣∠ABD＝∠DBC+∠BDC＝∠ABD+∠BDC，
∴∠BDC＝90°﹣2∠ABD，
∴∠ADB＝45°∠CDB，④错误；
故选：B．
49．
【分析】由角平分线的定义可得，即可判定①；由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解，即可判定②；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定③；由三角形外角的性质可得∠MBC+∠NCB＝180°+∠A，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定④；综合即可得出答案．
【解答】解：∵BD是∠ABC的平分线，BE是△ABC的外角的平分线，
∴∠DBE＝∠DBC+∠CBE＝90°，
故①正确；
∵∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，
∴∠ABD＝∠OBC∠ABC，∠OCB＝∠ACO∠ACB，
又∵∠A＝40°，
∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）＝70°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣70°＝110°，
故②正确；
∵CD平分∠ACF，
∴，
∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∠DCF＝∠OBC+∠D，∠ABD+∠OBC∠ABC，
∴2∠OBC+2∠D＝∠ABC+∠A＝∠ACF＝2∠DCF，
∴2∠D＝∠A，
∴∠D＝20°，
故③正确；
∵∠MBC＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∠ACB+∠A+∠ABC＝180°，
∴∠MBC+∠NCB＝∠A+∠ACB+∠ABC+∠A＝180°+∠A，
∵BE平分∠MBC，CE平分∠BCN，
∴∠MBC＝2∠EBC，∠BCN＝2∠BCE，
∴∠EBC+∠ECB＝90°∠A＝110°，
∴∠E＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝70°，
故④正确；
综上正确的有：①②③④．
故选：D．
50．
【分析】①根据BD⊥FD，FH⊥BE和∠FGD＝∠BGH，证明结论正确；
②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；
③证明∠DBE＝∠BAC﹣∠C，根据①的结论，证明结论正确；
④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确．
【解答】解：①∵BD⊥FD，
∴∠FGD+∠F＝90°，
∵FH⊥BE，
∴∠BGH+∠DBE＝90°，
∵∠FGD＝∠BGH，
∴∠DBE＝∠F，
故①正确；
②∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∠BEF＝∠CBE+∠C，
∴2∠BEF＝∠ABC+2∠C，
∠BAF＝∠ABC+∠C，
∴2∠BEF＝∠BAF+∠C，
故②正确；
③∠ABD＝90°﹣∠BAC，
∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，
∵∠CBD＝90°﹣∠C，
∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，
由①得，∠DBE＝∠F，
∴∠F＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，
故③错误；
故答案为：①②．
题型8 三角形中角度计算综合探究题
51．解：（1）∵∠A＝100°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣100°＝80°，
又∵BE，CD分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠ABC，，
∴．
∴∠BFC＝180°﹣（∠EBC+∠DCB）＝180°﹣40°＝140°．
（2）∵∠1+∠2＝160°，
∴∠AMF+∠ANF＝360°﹣（∠1+∠2）＝360°﹣160°＝200°，
由折叠可得，，
∴200°＝100°，
∴∠A＝180°﹣（∠AMN+∠ANM）＝180°﹣100°＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣80°＝100°，
又∵BF，CF分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠ABC，，
∴，
∴∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝180°﹣50°＝130°，
故答案为：130．
（3）∠PHC+∠BFC＝145°α或∠PHC﹣∠BFC＝35°α．
设∠A＝x，
①如图，当点H在∠APQ 的平分线的反向延长线上时，
则∠APQ＝180°﹣α﹣x，
∴，∠NCB70°＝35°，∠ABC＝180°﹣70°﹣x＝110°﹣x，
∴∠HNP＝∠BNC＝180°﹣∠ABC﹣∠NCB＝35°+x，
∴∠PHC＝180°﹣∠HPN﹣∠HNP＝90°α﹣35°x，
而∠BFC＝180°﹣∠FBC﹣∠FCB＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°（180°﹣∠A）＝90°x，
∴∠PHC+∠BFC＝180°α﹣35°＝145°α；
②如图，当点H在∠APQ 的平分线上时，延长CH交AB于点N，
则同①可得，∠BNC＝180°﹣∠ABC﹣∠NCB＝35°+x，∠APM∠APQ＝90°αx，
∴∠PHN＝180°﹣∠HPN﹣∠HNP＝90°α﹣35°x，
∴∠PHC＝180°﹣∠PHN＝90°α+35°x，
同①可得∠BFC＝90°x，
∴∠PHC﹣∠BFC＝35°α．
52．解：（1）∵∠ABC＝α，∠ACB＝β，∠MAN＝52°，
∴α+β＝180°﹣∠MAN＝180°﹣52°＝128°；
∴，，
∴，
故答案为：128，64；
（2）连接DC并延长于点P，
∵EF⊥AN，
∴∠EFC＝90°，
∵∠ACE＝∠EFC+∠CEF，
∴∠CEF＝∠ACE﹣∠EFC＝∠ACE﹣90°，
∵，
，
∵∠ACP＝∠DAC+∠ADC，∠ECP＝∠EDC+∠DEC，
∴∠ACE＝∠ACP+∠ECP＝∠DAC+∠ADC+∠EDC+∠DEC
＝∠DAC+∠ADE+∠DEC
，
∴2∠ADE﹣∠ACE＝38°；
（3）①点G在△ABC外时，如图，连接BC，
在四边形ABCG中，∠MAN+∠ABG+∠ACG+∠CGB＝360°，∠CGB＝108°，∠MAN＝52°，
∴∠ABG+∠ACG＝200°，
∵∠ABG+∠GBM＝180°，∠ACG+∠GCN＝180°，
∴∠GCN+∠GBM＝160°，
∵，
∴，
∴∠GBC+∠GCB＝180°﹣∠CGB＝72°，
∴∠BHC＝180°﹣（∠HBC+∠HCB）
＝180°﹣（∠GBC+∠GCB+∠GBH+∠GCH）
＝180°﹣（72°+80°）
＝28°；
②点G在△ABC内时，连接BC，
由（1）知，∠ABC+∠ACB＝128°，
在△BCG中，∠GBC+∠GCB+∠CGB＝180°，
∴∠GBC+∠GCB＝180°﹣∠CGB＝72°，
∴∠ABG+∠ACG＝（∠ABC+∠ACB）﹣（∠GBC+∠GCB）＝128°﹣72°＝56°，
∵∠ABG+∠GBM＝180°，∠ACG+∠GCN＝180°，
∴∠GCN+∠GBM＝360°﹣56°＝304°，
∴，
∴，
∵∠CGB+∠GBH+∠GCH+∠BHC＝360°，
∴∠BHC＝360°﹣（∠CGB+∠GBH+∠GCH）＝360°﹣（108°+152°）＝100°，
综上可知，∠BHC的度数为28°或100°．
53．解：（1）如图1中，
∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）如图2中，
设∠BAP＝∠PAD＝x，∠BCP＝∠PCD＝y，
则有，
∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，
∴∠P（∠B+∠D）；
∴2∠P＝∠B+∠D；
（3）如图4中，设∠CAP＝α，∠CDP＝β，则∠PAB＝3α，∠PDB＝3β，设∠C＝x，∠B＝y，
则有，
∴4∠P＝3∠C+∠B，
∴∠P（3x+y），
故答案为：∠P（3x+y）．
（4）如图5中，延长AB交PD于J，设∠PBJ＝x，∠ADP＝∠PDE＝y．
则有∠A+2x＝∠C+180°﹣2y，
∴x+y＝90°（∠C﹣∠A），
∵∠P+x+∠A+y＝180°，
∴∠P＝90°∠C∠A．
54．解：（1）∵∠A+∠B+∠C＝180°：∠C＝40°，
∴∠A+∠B＝180°﹣40°＝140°，
∵∠APD+∠α+∠BPE＝180°，∠α＝60°，
∴∠APD+∠BPE＝120°，
∵∠A+∠1+∠APD＝∠B+∠2+∠BPE＝180°，
∴∠A+∠1+∠APD+∠B+∠2+∠BPE＝360°，∠A+∠B+∠APD+∠BPE+∠1+∠2＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣140°﹣120°＝100°，
故答案为：100；
（2）∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠C＝40°
∴∠A+∠B＝180°﹣40°＝140°，
∵∠APD+∠α+∠BPE＝180°，
∴∠APD+∠BPE＝180°﹣∠α，
∵∠A+∠1+∠APD＝∠B+∠2+∠BPE＝180°，
∴∠A+∠1+∠APD+∠B+∠2+∠BPE＝360°，
即∠A+∠B+∠APD+∠BPE+∠1+∠2＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣140°﹣180°+∠α＝40°+∠α，
∴∠1+∠2＝40°+∠α；
（3）∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠C＝40°，
∴∠A+∠B＝180°﹣40°＝140°，
∵∠3+∠2+∠α＝180°，
∴∠3＝∠4＝180°﹣∠2﹣∠α，
∵∠A+∠ABC+∠1+∠4＝360°，
∴140°+∠1+180°﹣∠2﹣∠α＝360°，
∴∠1﹣∠2＝40°+∠α；
（4）∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠C＝40°，
∴∠A+∠B＝180°﹣40°＝140°，
∵五边形ABEPD的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠A+∠B+∠1+∠2+∠α＝540°，
∴∠1+∠2＝540°﹣140°﹣∠α，
∴∠1+∠2＝400°﹣∠α．
55．解：（1）∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，
∴∠BAD∠BAC＝30°，
∵∠B＝90°，
∴在Rt△ABD中，∠ADB＝90°﹣∠BAD＝60°，
∵DE⊥AD，
∴∠ADB+∠EDC＝90°，
∴∠EDC＝90°﹣∠BAD＝30°；
（2）①∠EDC与∠BAD的数量关系是：∠EDC＝∠BAD，理由如下：
当点D在线段BC上时，
∵∠B＝90°，
∴∠BAD+∠ADB＝90°，
∵DE⊥AD，
∴∠ADB+∠EDC＝90°，
∴∠EDC＝∠BAD；
②随着点D的运动，∠G的度数不发生变化，始终是45°，理由如下：
设AG，EG分别∠BC于点M，N，如图2所示：
∵AG平分∠BAD，
∴设∠BAG＝∠DAG＝α，
∴∠BAD＝2α，
∵∠B＝90°，
∴∠GMN＝∠AMB＝90°﹣∠BAG＝90°﹣α，
由①可知：∠EDC＝∠BAD＝2α，
∵EF⊥BC，
在Rt△DEF中，∠DEF＝90°﹣∠EDC＝90°﹣2α，
∵EG平分∠DEF，
∴∠FEG∠DEF（90°﹣2α）＝45°﹣α，
∵EF⊥BC，
∴∠GNM＝∠ENF＝90°﹣∠FEG＝90°﹣（45°﹣α）＝45°+α，
∴∠G＝180°﹣（∠GMN+∠GNM）＝180°﹣（90°﹣α+45°+α）＝45°；
（3）当点D在BC的延长线上时，∠G的度数不发生变化，始终是45°，理由如下：
设AG交BC于点M，GE的延长线交CD于点N，如图3所示：
∵∠B＝90°，DE⊥AD，
∴∠BAD+∠ADC＝90°，∠ADC+∠EDC＝90°，
∴∠EDC＝∠BAD，
∵AG平分∠BAD，
∴设∠BAG＝∠DAG＝α，
∴∠EDC＝∠BAD＝2α，∠GMN＝∠AMB＝90°﹣∠BAG＝90°﹣α，
∴∠DEF＝90°﹣∠EDC＝90°﹣2α，
∵EG平分∠DEF，
∴∠FEN∠DEF（90°﹣2α）＝45°﹣α，
∵EF⊥BC，
∴∠GNM＝90°﹣∠FEG＝90°﹣（45°﹣α）＝45°+α，
∴∠G＝180°﹣（∠GMN+∠GNM）＝180°﹣（90°﹣α+45°+α）＝45°．
56．解：（1）∵∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，
∴∠CAB＝180°﹣（∠B+∠C）＝80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC∠BAC80°＝40°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝60°，
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴∠EAD＝∠CAE﹣∠CAD＝40°﹣30°＝10°，
故答案为：10°；
（2）∠EAD（∠ACB﹣∠ABC）．
理由：∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE∠BAC[180°﹣（∠ABC+∠ACB）]＝90°（∠ABC+∠ACB），
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝180°﹣90°﹣∠ACB＝90°﹣∠ACB，
∴∠EAD＝∠CAE﹣∠CAD＝90°（∠ABC+∠ACB）﹣（90°﹣∠ACB）（∠ACB﹣∠ABC），
即∠EAD（∠ACB﹣∠ABC）；
（3）∠EPD∠ACB∠ABC，
理由是：如图，过A作AG⊥BC于G，
∵PD⊥BC，
∴AG∥PD，
∴∠GAE＝∠EPD，
∵∠CAB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE∠BAC[180°﹣（∠ABC+∠ACB）]＝90°∠ABC∠ACB，
∵AG⊥BC，
∴∠AGC＝90°，
∴∠GAC＝90°﹣∠ACB，
∴∠GAE＝∠CAE﹣∠CAG＝90°∠ABC∠ACB﹣（90°﹣∠ACB）∠ACB∠ABC，
∴∠EPD∠ACB∠ABC．
57．解：（1）如图2，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB
＝（∠ABC+∠ACB）
（180°﹣∠BAC）
（180°﹣66°）
＝57°，
∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣57°＝123°；
如图3，∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD＝∠A+∠ABC，
∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠CBO∠ABC，∠OCD∠ACD，
∵∠OCD是△OBC的外角，
∴∠OCD＝∠O+∠OBC，
∴∠O＝∠OCD﹣∠OBC∠ACD∠ABC∠A＝33°，
如图4，∵∠EBC是△ABC的外角，
∴∠EBC＝∠A+∠ACB，
同理得∠BCF＝∠A+∠ABC，
∴∠EBC+∠BCF＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝66°+180°＝246°，
∵BO平分∠EBC，CO平分∠BCF，
∴∠EBC＝2∠OBC，∠BCF＝2∠BCO，
∴∠OBC+∠BCO＝123°，
∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣123°＝57°；
故答案为：123°，33°，57°；
（2）如图5，∵∠A＝66°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣66°＝114°，
∵∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，
∴∠O2BC∠ABC，∠O2CB∠ACB，
∴∠O2BC+∠O2CB114°＝76°，
∴∠BO2C＝180°﹣76°＝104°，
∵O1B平分∠CBO2，O1C平分∠BCO2，
∴O1O2平分∠BO2C，
∴∠BO2O1104°＝52°，
故答案为：52°；
（3）∵∠1＝105°，∠2＝125°，
∴∠O2BO1＝∠2﹣∠1＝20°，
∵∠ABC的三等分线分别与∠ACB的角平分线交于点O1，O2，
∴∠ABC＝3∠O2BO1＝60°，∠O2CB＝180°﹣105°﹣40°＝35°，
∴∠ACB＝2O2CB＝70°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣70°＝50°．
故答案为：50°．
58．解：（1）∵∠AOB＝90°，∠OCD＝40°，
∴∠CDO＝90°﹣∠ODD＝90°﹣40°＝50°，
∵，，
∴∠CED＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE＝180°﹣20°﹣25°＝135°，
故答案为：135°；
（2）证明：∵，，
∵∠DCO+∠CDO＝90°，
∴∠DCE+∠EDF＝45°，
∵∠CFO＝∠DCF+∠CDO＝∠DCF+2∠EDF＝∠EDF+45°，
∴∠EDF＝∠CFO﹣45°，
∵∠CFO﹣∠GED＝45°，
∴∠GED＝∠CFO﹣45°，
∴∠EDF＝∠GED，
∴GE∥DO；
（3）分情况讨论：①当∠M＝4∠N时，
∵CM⊥CN，即∠MCN＝90°，
∴∠M+∠N＝90°，
∴，
∵，
∴∠NCO＝∠COM﹣∠N＝27°，
∵CE平分∠DCO，
∴∠DCO＝2∠NCO＝54°，
∴∠CDO＝180°﹣90°﹣54°＝36°，
∵DE平分∠CDO，
∴；
②当∠MCN＝4∠N＝90°时，
∴∠N＝22.5°，
∵，
∴∠NCO＝∠COM﹣∠N＝22.5°，
∵CE平分∠DCO，
∴∠DCO＝2∠NCO＝45°，
∴∠CDO＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∵DE平分∠CDO，
∴；
当∠MCN＝4∠M＝90°时，则∠M＝22.5°，
∴∠N＝180°﹣90°﹣22.5°＝67.5°，
∵MN是∠COD的外角平分线所在直线，
∴，
∴∠NCO＝∠COM﹣∠N＝﹣22.5°，不符合题意，舍去；
当∠N＝4∠M时，同理可得∠M＝18°，则∠N＝72°，
同理可得此时∠NCO＝∠COM﹣∠N＝﹣27°，不符合题意，舍去；
综上，∠CDE的度数为22.5°或18°．
59．解：（1）由条件可知∠ACD＝180°﹣∠OCD＝180°﹣60°＝120°，
，
∵△OCD中，∠AOB＝∠OCD＝60°，
∴∠ODC＝180°﹣∠AOB﹣∠OCD＝60°，
∵DP平分∠ODC，
∴，
∵△PDC中，∠ECD＝∠P+∠PDC，
∴∠P＝∠ECD﹣∠PDC＝60°﹣30°＝30°，
故答案为：30°；
（2）∠P的大小不变，∠P＝30°，理由如下：
∵CE平分∠ACD，DP平分∠ODC，
∴，，
∴，
∴，
∴，
答：当∠AOB＝60°，当点C，D在射线OA，OB上任意移动时（不与点O重合），∠P的大小不变，∠P＝30°；
（3）若∠OCD+∠ODC＝α，
则∠AOB＝180°﹣（∠OCD+∠ODC）＝180°﹣α，
由（2）可得：．
60．解：（1）设∠B＝3x，∠C＝5x，
在△ABC中，∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠B+∠C＝80°，即8x＝80°，
∴x＝10°，
∴∠B＝30°，∠C＝50°，
∵∠ADB是△ACD的外角，
∴∠ADB＝∠C+∠CAD，
∵∠ADB＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣50°＝40°；
（2）①由（1）可得当点M落在BC上，即AD⊥BC 时，∠CAD＝40°，
如图，当点M落在AB上时，
则，
∵点M在△ABC的内部（不包含△ABC 的边），
∴∠CAD的取值范围为40°＜∠CAD＜50°；
②∠BAM+∠BDM＝20°，证明如下：延长AM交BC 于点N，
由翻折可知：∠AMD＝∠C＝50°，
∵∠AMD是△MND的外角，
∴∠AMD＝∠AND+∠BDM，
∵∠AND是△ABN的外角，
∴∠AND＝∠BAM+∠B，
∴∠AMD＝∠BAM+∠B+∠BDM，
∴∠BAM+∠BDM＝∠AMD﹣∠B＝20°；
（3）∵α：β＝2：3，可设α＝2x，β＝3x，如图，当射线AD与射线BC′交于点P时，
∠BPD＝180°﹣∠BAD﹣∠ABP． ＝180°﹣2x°﹣（3x°+30°） ＝150°﹣5x° 且∠BPD＜120°，
∴150°﹣5x°＜120°，
∴x＞6，
∴α＞12；如图，当射线DA与射线CB交于点P时，
∠ABP＝180°﹣∠ABC﹣∠CBC＝150°﹣3x°，
∵∠BPD＝∠BAD﹣∠ABP ＝2x°﹣（150°﹣3x°） ＝5x°﹣150° 且∠BPD＜120°，
∴5x°﹣150°＜120°，
∴x＜54，
∴α＜108，当直线AD与直线BC'平行时，则∠BAD+∠ABC＝180° 2x°+3x°+30°＝180°，
∴x＝30，
∴α＝60，
∵AD、BC所在直线相交于点P，
∴α≠60，
又∵点D从B运动到点C停止，
∴0≤α≤100，
∴12＜α≤100且α≠60．

展开更多......

收起↑