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第二十二章 《二次函数》章节测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．二次函数的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式中，是的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数中，当时，y随x的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
4．二次函数与轴的交点个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．无法确定
5．已知，两点都在抛物线（）上，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．已知二次函数的图象经过四个象限，则的值可以是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
7．已知二次函数的图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，下列结论正确的是（ ）
A． B．该函数图象与轴的交点的纵坐标是
C．当时，函数值 D．当时，随的增大而增大
9．若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位：）与小球运动的时间t（单位：）之间的函数关系如图所示，有以下结论：
①小球在空中经过的路程是40；
②与之间的函数关系式为；
③小球运动的时间为6；
④当小球的高度时，．以上结论中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图①所示的矩形窗框ABCD的周长及其两条隔断EF，GH的总长为，且隔断EF，GH分别与矩形的两条邻边平行．设BC的长为，矩形ABCD的面积为，y关于x的函数图象如图②，则下列说法正确的是（ ）
A．矩形ABCD的最大面积为 B．当时，矩形ABCD的面积最大
C．a的值为12 D．以上说法均错误
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．抛物线的对称轴是直线 ．
12．已知二次函数，当 （填写x的取值范围）时，函数值y随着自变量x的增大而增大．
13．将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线为 ．
14．已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则抛物线与轴的另一个交点坐标为 ．
15．有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数来表示，已知米，距离点2米处的棚高为米，若借助横梁建一个门，要求门的高度为1.5米，则横梁的长度是 米．
16．已知二次函数（是常数），当自变量时，函数有最大值为10，则 ．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．已知关于x的函数．
(1)当此函数为一次函数时，求函数的解析式；
(2)当此函数为二次函数时，求函数的解析式；
18．已知抛物线与轴交于点，对称轴是直线．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若，，是抛物线上的三个点，则、、的大小关系是______．（用“”连接）
19．在平面直角坐标系中，抛物线：经过点．
(1)求此二次函数图象的对称轴与顶点坐标；
(2)若把此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移n（）个单位，图象恰好经过点，求n的值．
20．已知抛物线的顶点坐标为，且图象经过点，交轴于、两点，
(1)求此二次函数的解析式；
(2)求、点坐标，
(3)根据图象，当函数值时，写出自变量的取值范围．
21．已知二次函数的图象经过点，．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)取五点，填写列表，然后在图中画出函数的图象．
（要求：画出具有对称美的图象．）
x … …
y … …
(3)若，求y的取值范围．
22．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为．且该抛物线的对称轴为直线．
(1)求该抛物线的表达式和顶点的坐标．
(2)连接交抛物线的对称轴于点，连接，在抛物线上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
23．小莹打算自主创业开一家花店，她了解到某种花卉近期售价与日销售量的市场规律保持不变，于是她到附近A，B，C，D，E，5家花卉店对该种花卉的售价与日销售量情况作了市场调查，并记录了如下数据：
花店 售价（元/盆） 日销售量（盆）
A 20 50
B 30 30
C 18 54
D 22 46
E 26 38
(1)根据以上信息，求出日销售量与售价之间的一次函数关系式；
(2)小莹欲购进进价为15元/盆的该种花卉在当地市场进行销售，在销售该种花卉中，
①当每盆售价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？
②考虑到花店新开业，为了吸引顾客，让利于民，小贵打算在销售过程中每天获得400元的利润，应如何定价？
24．综合与实践
【问题背景】某课外科学活动小组研究一个小球在一条足够长且平直的轨道上的运动问题．如图，轨道起始段（段）绝对光滑，不存在阻力；剩余部分（段）粗糙，存在恒定的摩擦力，会使小球速度逐渐减小直至停止．
【实验操作】活动小组经过研究，得出小球运动过程中速度（单位：）与时间（单位：）的关系（如图1所示），以及路程（单位：）与时间（单位：）的关系（如图2所示）．其中，图2中段是抛物线的一部分．已知小球初速度．
【建立模型】
任务1：根据图1和图2提供的信息，确定轨道初段的长度为_____；
任务2：求小球在粗糙轨道（射线对应部分）上运动时，速度与时间之间的函数关系式．
求小球从开始出发到最终停止，行进的总路程．
【拓展延伸】任务3：在任务2的条件下，探究在粗糙轨道段（射线上）是否存在一节长为的轨道，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为1秒．若存在，请求出这节轨道的起点与点之间的距离；若不存在，请说明理由．
25．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为点，且经过原点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点是抛物线上，且位于直线上方的一个动点，当点在抛物线上，且横坐标为时，
AOB的面积为____________．
求 POB的面积的最大值．
(3)如图，将原抛物线沿射线方向平移得到新的抛物线，新抛物线与射线交于，两点（点在点的左侧）．
若，则新抛物线的解析式为____________．
在抛物线平移过程中，线段的长度总是定值，请你直接写出此定值．
参考答案
一、选择题
1．D
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的一般顶点式为，其中顶点坐标为，根据顶点式可直接写出顶点坐标即可得解．
【详解】解：由题意得，二次函数的顶点坐标是．
故选：D．
2．D
【分析】此题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数，逐一验证各选项即可．
【详解】A．，分母含，是分式函数而非整式，不符合二次函数定义；
B．，若，则变为一次函数，不一定是二次函数；
C．展开得，为一次函数；
D．展开得，符合（），是二次函数．
故选：D．
3．D
【分析】本题主要考查了一次函数的性质以及二次函数的性质，正比例函数的性质，熟知以上知识是解题的关键．根据一次函数以及二次函数的增减性即可进行解答．
【详解】A：为一次函数，斜率，故当增大时，始终增大，不符合条件．
B：是开口向下的抛物线，顶点在原点．当时，函数在对称轴左侧随增大而递增，不符合条件．
C：开口向下，顶点为．当时，函数同样随增大而递增，不符合条件．
D：是开口向上的抛物线，顶点为．当时，函数在对称轴左侧随增大而递减，符合条件．
故选：D．
4．C
【分析】此题考查了二次函数的图象与轴的交点和对应一元二次方程的根的情况之间的联系，令，则，然后通过根的判别式即可求解，熟练掌握一元二次方程的根的情况与判别式的关系是解题的关键．
【详解】解：令，则，
∴，
∴抛物线与轴有个交点，
故选：．
5．A
【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是先求出抛物线对称轴，再根据点到对称轴的距离以及二次函数的增减性判断函数值大小．
先将抛物线解析式化为顶点式求出对称轴，再分别计算两点到对称轴的距离，最后根据二次函数性质时开口向上，对称轴右侧随增大而增大）比较函数值大小．
【详解】因为，
所以抛物线对称轴为直线，
点到对称轴的距离为；
点到对称轴的距离为，
因为，所以抛物线开口向上，在对称轴右侧随的增大而增大，
点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，所以，
故选：A．
6．A
【分析】求出二次函数的顶点坐标为，对称轴为，与y轴的交点坐标为，又由开口向上可知，图象要经过四个象限，则，结合可得，由此即可得解．本题主要考查了二次函数图象的性质，利用数形结合是解题的关键．
【详解】解：，
∵，
∴开口向上，
顶点坐标为，对称轴为，与y轴交点为，
∵二次函数的图象经过四个象限，
∴，
解得，
又∵
∴，
∴的值可以是2．
故选：A
7．C
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点及特殊点的函数值，结合二次函数性质，逐一分析选项 ．本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中（开口方向）、（对称轴与共同决定）、（与轴交点）的意义及特殊点函数值的应用是解题的关键．
【详解】解： 二次函数图象中，开口向上，
．
对称轴，又，
，即．
抛物线与轴交点在负半轴，
．
选项A：，，，
两负一正相乘得正，
，该选项错误．
选项B：对称轴，由图象知对称轴，即，
又，两边乘得，，该选项错误．
选项C：当时，，即；当时，，
，该选项正确．
选项D：当时，，由图象知对应的函数值，
，该选项错误．
故选．
8．D
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，从函数图象中获取信息，求出函数解析式，逐一进行判断即可．
【详解】解：由图象可知：抛物线的对称轴为直线，
∴；故A选项错误；
∴，
把代入，得：，
∴，
∴，
∴当时，，
∴该函数图象与轴的交点的纵坐标是，当时，，故B，C选项错误；
由图象可知，当时，随的增大而增大；故D选项错误；
故选D．
9．A
【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握知识点，读懂函数图象是解题的关键．
根据函数的图象中的信息判断即可．
【详解】解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m；
故①错误；
②设函数解析式为：，
把代入得，
解得，
函数解析式为，
故②错误；
③令，，
解得：或6，
小球的运动时间为，
故③正确；
④把代入解析式得，，
解得：或，
∴小球的高度时，t为秒或秒，
故④错误；
综上，正确的只有一个，
故选A．
10．C
【分析】本题考查二次函数图象和性质，解题的关键是识别函数图象，确定自变量的取值为何值时函数取得最大值．
观察图2，得出当时，函数值最大，可判断A、B错误；根据题意确定，即判断C正确，进而可判断D．
【详解】解：由题图②可知，矩形ABCD的最大面积为，此时，故A，B选项错误；
当时，矩形ABCD的面积取最大值4，
，
，
故C选项正确，D选项错误．
故选：C．
二、填空题
11．
【分析】本题考查二次函数的性质，直接利用对称轴的计算方法求解即可．
【详解】解∶ 抛物线的对称轴是直线，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先化为顶点式，再求出二次函数图象的开口方向和对称轴方程，再根据二次函数的增减性求解即可．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴该函数图象开口向上，对称轴为直线，
∴当时，函数值y随x的增大而增大．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了二次函数图象的平移．
根据左加右减，上加下减求解作答即可．
【详解】解：将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线为，
即，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点问题，对称性，求出二次函数的对称轴，根据对称性求出另一个交点的坐标即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线为，
∵抛物线与轴的一个交点坐标为，
∴抛物线与轴的另一个交点坐标为；
故答案为：．
15．
【分析】此题主要考查二次函数的性质及用待定系数法求出函数的解析式，比较简单，要学会设合适的函数解析式．先用待定系数法求出函数函数解析式，求出当时的自变量的值，即可求出答案．
【详解】解：由题意可得，抛物线经过，，
故，
解得：，
故抛物线解析式为：
由题意可得：当时，
，
解得：
∴米．
故答案为：
16．或
【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数的最值，先求出二次函数的对称轴，再分、和三种情况，结合二次函数的性质解答即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数，
∴二次函数的对称轴为直线，
又∵当自变量时，函数有最大值为10，
∴当即时，时取最大值，即，
解得，
当即时，号时取最大值，即，
则
∵，方程没有实数根，
当时即，时取最大值，即，
解得
综上，的值为或，
故答案为：或．
三、解答题
17．（1）解：函数为一次函数，
，或，
，或
当时函数，
当时函数，
此一次函数解析式为或；
（2）解：x的函数为二次函数．
，且
解得：，
当时，，
函数的解析式．
18．（1）解：令，则；
∴抛物线与轴的交点为；
∴；
∵抛物线的对称轴是直线，
∴，解得：；
∴此抛物线的解析式为：；
（2）解：由（１）可知：抛物选开口向上， 对称轴是直线．
∵且，
∴
故答案为：
19．（1）解：∵经过点，
∴．
解得：．
∴二次函数的解析式为．
∴对称轴为直线．顶点的坐标为．
（2）解：二次函数的解析式化为．
∵把此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移个单位，
∴平移后新二次函数的解析式为．
∵平移后图图象经过点，
∴．
解得：．
20．（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，且图象经过点，
∴设抛物线解析式为
代入，得
解得：
∴
（2）解：当时，
解得：
∴，
（3）解：∵，
根据函数图象可得，当函数值时，自变量的取值范围为．
21．（1）解；∵二次函数的图象经过点，．
∴
解得
∴该二次函数的解析式为
（2）填表如下：
x … …
y … 3 0 0 3 …
描点画图如下
（3）
，
解：当时，，
当时，，
，顶点坐标为，即时，有最小值为，
∴根据函数图象可得当的y的取值范围为．
22．（1）解：由题意，得解得
∴该抛物线的表达式为，
∴顶点的坐标为．
（2）存在．
设所在直线的表达式为，
将点，代入，得
解得
∴所在直线的表达式为．
∵抛物线的对称轴为直线，
∴当时，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
即或．
解，得，；
解，得，，
∴点的坐标为或或或．
23．（1）解：∵日销售量与售价满足一次函数关系，
∴设售价为x元/盆，日销售量y盆，
直线过点和点，
∴，
解得：，
∴，
答：日销售量与售价之间的一次函数关系式为．
（2）解：①设利润为w元，则，
即，
∵，
∴开口向下，对称轴为直线，
∵ ，
∴，
∴符合，
把代入，
答：当每盆售价定为30元时，每天获得的利润最大，最大利润是450元；
②当时
，
∵让利于民，不符合题意舍去，
．
答：每天获得400元的利润，应定价为25元．
24．解：任务1：由题意得：轨道初段的总长为
故答案为：；
任务2：设，
则，
解得，
∴；
根据题意将代入得：，
解得，
∴；
由知小球在段速度与时间之间的函数关系式为，
当时，解得，
将代入得，
∴行进的总路程为；
任务3：解：存在，假设存在这节轨道，且小球第m秒行驶至轨道起点，则第秒行驶至轨道终点，
由题意得：，
解得：，
当时，，即这节轨道的起点刚好为C点（符合题意），
∴轨道起点与点A之间的距离为．
25．（1）解：∵函数图象经过原点，
∴，
解得，
∴；
（2）解：过点作轴交于点，
∵点横坐标为，
∴，
∴直线的解析式为，
∵，
∴，
∴，
∴ AOB的面积，
故答案为：；
过点作轴交于点，
设，则，
∴ POB的面积，
当时， POB的面积的最大值为；
（3）解：∵，
∴点向右平移个单位，向上平移个单位得到点，
设抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，
∴平移后的函数解析式为，将点代入，
可得，
解得（舍）或，
∴新抛物线的解析式为，
故答案为：；
设抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，
∴平移后的函数解析式为，
当时，，
∴，，
∵直线的解析式为，
∴，
∴．

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