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第二十二章《二次函数》单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列各式中，是的二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．二次函数的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．抛物线经过点
C．抛物线的顶点是 D．当时，随的增大而增大
3．已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表,则这个二次函数图象的对称轴是直线（ ）
x …… 0 3 5 ……
y …… 0 ……
A． B． C． D．
4．若点在抛物线上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．已知二次函数在时最小值为，则b的值为（ ）
A．4 B．4或 C． D．或
6．已知抛物线（a为常数，），将抛物线向下平移4个单位长度后得到的抛物线与x轴两个交点间的距离为4，则a的值为（ ）
A． B．2 C． D．
7．已知不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C． D．
8．若，()是关于的方程()的两个实数根，则实数，，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
9．冬季蔬菜大棚内某天的温度（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，其中．有下列结论：
①蔬菜大棚内当天的温度可以是；
②蔬菜大棚内当天的温度的最大值为；
③蔬菜大棚内当天的温度不低于19℃的时长为．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．已知直线与抛物线交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴交于点C，若抛物线的对称轴是y轴，则等于（）
A．1﹕2 B．1﹕3 C．1﹕4 D．3﹕4
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．请任意写出一个图象开口向上，且顶点坐标为的二次函数解析式： ．
12．将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是 ．
13．已知二次函数的部分图象如图所示．若，则的取值范围是 ．
14．若二次函数有最大值为4，则的最小值是 ．
15．如图，抛物线与轴交于点，，把抛物线在轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与轴交于点，，若直线与，共有个不同的交点，则的取值范围是 ．
16．如图，抛物线的对称轴为直线，且过点，有下列结论①；②；③；④；其中所有正确的结论是 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x … 0 1 2 …
y … 5 0 0 5 …
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在图中画出这个二次函数的图象；
(3)当时，直接写出y的取值范围．
18．（6分）抛物线与轴的交点为，，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)为抛物线第一象限上的一点，若，求点的坐标；
19．（8分）已知函数y＝x2＋(m－3)x＋1－2m（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点．
（2）不论m为何值，该函数的图像都会经过一个定点，求定点的坐标．
20．（8分）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为．
(1)若对于，有，求t的值；
(2)若对于，都有，求t的取值范围．
21．（10分）有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽．按如图所示建立平面直角坐标系．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？
22．（10分）在平面直角坐标系中，设二函数y1＝（x﹣m）（x＋m＋2），其中m≠0
（1）求证：函数y1与x轴有交点；
（2）若函数y2＝mx＋n经过函数y1的顶点，求实数m，n的关系式；
（3）已知点P（﹣3，a），Q（x1，b）在函数y1的图象上，若a≥b，求x1的取值范围．
23．（12分）请根据以下素材，完成探究任务．
制定加工方案
生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等.
背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元．
信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类加工人数（人）每人每天加工量（件）平均每件获利（元）风y224雅x1正148
探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系．
任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式．
任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案．
24．（12分）如图，抛物线经过点、、．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是抛物线上的动点，当时，试确定m的值，使得的面积最大；
（3）抛物线上是否存在不同于点B的点D，满足，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．B
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，掌握形如（a、b、c为常数，的函数）叫二次函数成为解题的关键．
根据二次函数的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．y是x的一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．是二次函数，故本选项符合题意；
C．，y是x的一次函数，故本选项不符合题意；
D．不是二次函数，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．C
【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的标准式形式，分析开口方向、顶点坐标、对称轴及增减性，逐一验证各选项的正确性．
【详解】解：A、抛物线开口方向由二次项系数决定，因，故开口向上，A正确，不符合题意；
B、将代入函数，得，故抛物线经过点，B正确，符合题意；
C、函数为，属于标准形式，顶点坐标为，而非，C错误，符合题意；
D、因开口向上，对称轴为轴（），当时，随增大而递增，D正确，不符合题意．
故选：C．
3．D
【分析】本题主要考查二次函数，理解表格信息，掌握待定系数法是关键．
通过观察表格中时，确定，函数式为，利用其他点的坐标建立方程组，解得，，从而对称轴为．
【详解】解：1. 确定的值：当时，，代入函数式得，故函数式为，
2. 建立方程组：
当时，①；
当时，②；
当时，③；
当时，④；
3. 解方程组：
得，，
得，，则，
得，，则，
∴，
整理得，，
解得，，
∴，，
4. 求对称轴：对称轴公式为，代入，，得，
∴二次函数图象的对称轴是直线，
故选：D．
4．A
【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线开口向下且对称轴为直线知离对称轴水平距离越远，函数值越大，据此求解可得．
【详解】解：抛物线的对称轴为，开口向上，
点的距离为，
点的距离为，
点的距离为，
由于开口向上，距离对称轴越远，y值越大，
∵，
∴．
故选：A．
5．B
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据题意易得二次函数开口向上，其最小值可能在顶点或区间端点处，需分顶点在区间内、左侧、右侧三种情况讨论，结合最小值条件求解．
【详解】解：由二次函数，
∴二次函数图象的对称轴为直线，开口向上，且顶点坐标为，
当 即 时，顶点处取最小值，代入顶点坐标得：
则，
解得 ，即 ；
∴；
当 即 时，最小值在 处，
则
解得 ，满足 ；
当 即 时，最小值在 处，
则，
解得 ，但 不成立，舍去，
综上，或．
故选：B．
6．D
【分析】本题考查抛物线的平移，抛物线与x轴的交点．将原抛物线向下平移4个单位后得到新抛物线，求出其解析式并确定与x轴的交点，利用交点间距为4建立方程求解a的值．
【详解】解：原抛物线为，向下平移4个单位后得到新抛物线．
令，则，解得，
∴新抛物线与x轴的两个交点坐标为，，
∵抛物线与x轴两个交点间的距离为4，
∴，
∴．
故选：D．
7．D
【分析】本题考查一元二次不等式的解法，由题意得方程的解为或，利用根与系数的关系可得a，b的值，代入即可得出不等式的解集．
【详解】解：∵不等式的解集为，
∴方程的解为或，
∴，，
解得，，
∴，即，即
解得：，
故不等式解集为，
故选：D．
8．D
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数之间的关系，二次函数与一元二次方程，令抛物线解析式，得到抛物线与轴交点的横坐标为，，再结合图象得抛物线与交点，即交点横坐标为，，从而确定出，，，的大小关系，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
【详解】解：令抛物线解析式，
当，，
解得：，，
∴抛物线与轴交点的横坐标为，，
∴抛物线与交点，横坐标为，，
∵，，
∴如图，
∴，
故选：．
9．C
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，依据题意得，，故当时，有最大值为19.4，且当时，随的增大而增大，进而逐个判断可以得解．解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
【详解】解：由题意得，，
当时，有最大值为19.4，且当时，随的增大而增大，故②错误．
，且当时，，
蔬菜大棚内当天的温度可以是，故①正确．
令，
．
或．
的图象开口向下，
蔬菜大棚内当天的温度不低于的时长为：小时，故③正确．
综上，正确的有①③，共2个．
故选：C．
10．B
【分析】本题考查了二次函数与一次函数综合．
由抛物线的对称轴为y轴，可求得，联立直线与抛物线方程，解得交点、，直线与x轴交点．利用三角形面积公式分别计算和的面积，再求比值即可．
【详解】解：抛物线对称轴为y轴，即顶点横坐标，解得．
代入得抛物线方程得．
联立方程和，得，
解得或．
∴和．
令，代入得，
即．
∵、、．
∴；
∵、、．
∴；
．
故选B．
二．填空题
11．（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了根据顶点式求二次函数的解析式，设抛物线的解析式为，由条件可以得出，从而即可得到答案．
【详解】解：设抛物线的解析式为，且抛物线的图象开口向上，
∴，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了二次函数的平移，以及二次函数一般式化顶点式，解题的关键在于正确掌握函数平移的规律．先把配成顶点式，再把函数先向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得到平移后的顶点式，即可得到平移后的抛物线的顶点坐标．
【详解】解：将抛物线化为顶点式有，
再向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，
得，
故平移后的抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，对称轴与交点坐标的关系，利用数形结合的思想，正确求得抛物线与轴的另一个交点的坐标是解题的关键．
根据抛物线的对称轴为，一个交点为，可推出另一交点为，结合图象求出时，的范围．
【详解】解：根据抛物线的图象可知：抛物线的对称轴为，一个交点为，
根据对称性，则另一交点为，
所以，的取值范围是，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了二次函数图像的平移，关于坐标轴对称的点的坐标特征；利用顶点坐标变换是解题的关键．
根据题意设二次函数的顶点坐标为，且开口向下，根据平移可知的顶点坐标为，根据关于轴对称可知的顶点坐标为，且开口向上，有最小值．
【详解】解：∵二次函数有最大值为4，
∴设二次函数的顶点坐标为，
∵向左平移1个单位得到，
∴的顶点坐标为，
∵与关于轴对称，
∴的顶点坐标为，且开口向上，
此时顶点坐标为，则最小值为；
故答案为：．
15．
【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线y＝x＋m与抛物线C2相切时m的值以及直线y＝x＋m过点B时m的值，结合图形即可得到答案.
【详解】令y＝－2x2＋8x－6＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，则点A（1,0），B(3,0)由于C1向右平移两个长度单位得C2,则C2解析式为y＝－2（x－4）2＋2（3≤x≤5），当y＝x＋m1与C2相切时，令y＝x＋m1＝y＝－2（x－4）2＋2，即2x2－15x＋30＋m1＝0，△＝－8m1－15＝0，解得m1＝－，当y＝x＋m2过点B时，即0＝3＋m2，m2＝－3，当－3＜m＜－时直线y＝x＋m与C1、C2共有3个不同交点，故答案是－3＜m＜－.
16．①②③
【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
根据二次函数图像及其性质对序号依次判断即可．
【详解】由图像可知，，，
∴，故①正确．
当x=时，y=0，
即
∴
∴
∴，故②正确．
由对称轴为，与x轴一个交点为可知与x轴另一个交点为
即
化简得，故③正确．
∵对称轴为
∴
∴，
将代入有
即
∴，故④错误．
综上所述①②③正确．
故答案为①②③．
三．解答题
17．（1）解：∵和的函数值相同，都是，
∴对称轴为直线，
∴顶点为，
设，
将代入得，解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：描点，连线，这个二次函数的图象如图，
（3）解：当时，y的取值范围是．
18．（1）解：把代入得
，
解得，
∴；
（2）解：在上取一点，使得，连接，过点作轴于点，过点作于点，
当时，，
∴，
∴
∵，轴，，
∴四边形是矩形，，
∴，，，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设直线为，
把，代入得，
∴，
解得，
直线为，
联立与得
，
解得或，
∴．
19．（1）证明：令y＝0，则x2＋(m－3)x＋1－2m＝0．
因为a＝1，b＝m－3，c＝1－2m，
所以b2－4ac＝(m－3)2－4(1－2m)＝m2＋2m＋5＝(m＋1)2＋4＞0．
所以方程有两个不相等的实数根．
所以不论m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点．
（2）解：y＝x2＋(m－3)x＋1－2m＝(x－2)m＋x2－3x＋1．
因为该函数的图像都会经过一个定点，
所以x－2＝0，解得x＝2．
当x＝2时，y＝－1．
所以该函数图像始终过定点（2，－1）．
20．（1）解：∵对于有，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线的对称轴为．
∴；
（2）解：∵当，
∴，，
∵，，
∴离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，
∴，
即．
21．（1）解：由题意得，，
设抛物线解析式为，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：船行驶到桥下的时间为：小时，
水位上升的高度为：．
∵抛物线解析式为，
∴抛物线顶点坐标为，
∴当船到达桥下时，此时水面距离拱桥最高点的距离为，
∴如果该船的速度不变，那么它能安全通过此桥．
22．解（1），
，，，
，
∴函数与x轴有交点；
（2），
∴顶点坐标为：，
∵函数经过函数的顶点，
∴，
化简可得：，
∴实数m，n的关系式为：；
（3）抛物线的对称轴为：，
∵二次项系数，开口向上，作草图如下：
∴（-3，a）与（1，a）关于对称，
∵，
∴根据函数图象的性质可得：，
∴的取值范围为：．
23．解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装，
∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，
∴加工“正”服装的有人，
∵“正”服装总件数和“风”服装相等，
∴，
整理得：；
任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：，
∴，
整理得：
∴
任务3：由任务2得，
∴当时，获得最大利润，
，
∴，
∵开口向下，
∴取或，
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
∴，
综上：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润．
24．解：（1）据题意可设抛物线的解析式为，
将点代入，可得
∴抛物线的解析式为；
（2）设直线AC的解析式为：，
将、代入得，
解得，
∴直线的解析式：，
当时，点在直线上方，
过点P作x轴的垂线与线段相交于点Q，
将分别代入和得，，
∴
∵，
∴当且仅当时，取得最大值，
此时最大，
∴；
（3）由、、得，
∵，，
∴，
连接，过B作的垂线交抛物线于点D，交于点H，
则，
，
∵，
∴与关于的垂直平分线对称，即关于抛物线的对称轴对称，
∴点D与点C关于抛物线的对称轴对称，
又∵，
∴点D的坐标为（-2，3）．

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