资源简介 第22章《二次函数》单元检测试一、选择题(本题共12小题,每小题3分,共36分。)1.下列变量具有二次函数关系的是( )A.圆的周长C与半径rB.在弹性限度内,弹簧的长度y与所挂物体的质量xC.正三角形的面积S与边长aD.匀速行驶的汽车,路程s与时间t2.对于二次函数y=﹣x2+2x﹣4,下列说法正确的是( )A.当x>0,y随x的增大而减小B.当x=1时,y有最大值﹣3C.图象的顶点(﹣1,﹣3)D.图象与x轴有两个交点3.将抛物线y=x2﹣2x+3向左平移2个单位,再向上平移1个单位,得到的抛物线的解析式为( )A.y=(x﹣3)2+4 B.y=(x+1)2+4C.y=(x+1)2+3 D.y=(x﹣1)2+24.已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的顶点坐标为(﹣2,﹣1),下列说法正确的是( )A.B.当x=﹣2时,二次函数有最小值为3C.当x>﹣2时,y随x的增大而减小D.当﹣3<x<﹣1时,y<05.若二次函数y=(m+1)x2﹣mx+m2﹣2m﹣3的图象经过原点,则m的值必为( )A.﹣1或3 B.﹣1 C.3 D.﹣3或16.某宾馆有50个房间供游客居住,市场监管部门规定每间房价不得高于360元,当每个房间每天的定价为220元时,房间会全部住满;当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲.如果游客居住房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的成本.有下列结论:①若每个房间定价增加30元,则每天居住的房间数为47个;②每个房间的定价可以有两个不同的值满足该宾馆某天利润为12000元;③宾馆每天的最大利润为12250元.其中,正确结论的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.37.已知抛物线y=a(x﹣3)2+2(a>0)经过点A(1,y1),B(m,y2),C(n,y3),且|m﹣3|<|n﹣3|<2,则y1,y2,y3的大小关系是( )A.y1<y2<y3 B.y2<y3<y1 C.y3<y2<y1 D.y3<y1<y28.如图,Rt△AOB中,AB⊥OB,且AB=OB=3,设直线x=t截此三角形所得阴影部分的面积为S,则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的( )A. B.C. D.9.如图,点A是抛物线y=a(x﹣3)2+k与y轴的交点,AB∥x轴交抛物线另一点于B,点C为该抛物线的顶点.若△ABC为等边三角形,则a的值为( )A. B. C. D.110.函数y=|x|﹣1的图象如图所示,类似地,函数y=x2﹣4|x|﹣2的图象为( )A. B.C. D.11.已知二次函数y=mx2+2mx+1(m≠0)在﹣2≤x≤2时有最小值﹣4,则m等于( )A.5 B.﹣5或 C.5或 D.﹣5或12.如图,二次函数y=ax2+bx+c与x轴交于点A(3,0)、B(﹣1,0),与y轴交于点C(0,m),其中﹣4<m<﹣3.则下列结论:①a﹣c>0;②方程ax2+bx+c﹣5=0没有实数根;③b<﹣2;④0.其中错误的个数有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题(本题共6小题,每小题2分,共12分.)13.二次函数y=x2+12x+10的顶点坐标为 .14.若是关于x的二次函数,则m的值为 .15.已知二次函数y=x2﹣2x+c的图象上A,B,C三点的坐标分别为(m﹣1,yA),(m,﹣4),(m+1,yC).若yA=yc,则c的值为 .16.若二次函数y=x2﹣3x﹣5+a与x轴有两个不同交点,且关于y的分式方程的解为非负整数,则所有满足条件的整数a值之和是 .17.如图,已知抛物线y=﹣x2+4x﹣2和线段MN,点M和点N的坐标分别为(0,5),(4,5),将线段MN向下平移k(k>0)个单位长度后与抛物线有两个交点,则k的取值范围是 .18.若一个点的坐标满足(k,2k),我们将这样的点定义为“倍值点”.若关于x的二次函数y=(t+1)x2+(t+2)x+s(s,t为常数,t≠﹣1)总有两个不同的倍值点,则s的取值范围是 .三、解答题(本题共8小题,共72分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)19.(8分)已知二次函数y=x2﹣(m﹣2)x﹣m(m为常数).(1)求证:函数与x轴有两个交点;(2)若当x≥3时,y随x的增大而增大,求m的取值范围.20.(8分)如图,已知二次函数y=x2﹣(a+1)x﹣a的图象经过点N(3,2).(1)求a的值和该二次函数的顶点坐标;(2)当0<x<3时,求函数y的取值范围.21.(8分)已知抛物线y=ax2﹣2ax+c的图象经过点(﹣1,0),(0,3).(1)求这个二次函数的表达式.(2)当﹣1≤x≤2时,函数的最大值为m,最小值为n,求m﹣n.22.(8分)某商店销售一种商品,已知该商品每件的成本价为40元,当该商品每件的售价为50元时,每天可以售出100件.市场调研表明,每件的售价每上涨5元,每天的销售量就会减少10件.设该商品每件的售价为x元,每天销售量为y件,每天的总利润为W元.(1)求销售量y与售价x之间的函数关系式;(2)求当售价x为多少元时,每天的总利润W最大?最大利润是多少元?23.(10分)如图,在平面直角坐标系中,已知B(0,2),,点A在x轴正半轴上,且OA=2OB,二次函数y=ax2+bx(a≠0)的图象经过点A,C.(1)求二次函数的表达式;(2)将该抛物线先向右平移m个单位,再向上平移n个单位,此时顶点恰好落在线段AB上,求m与n的关系.24.(10分)如图,抛物线y=x2﹣2x+c与x轴正半轴,y轴负半轴分别相交于点A,B,且OA=OB,点G为抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式及点G的坐标;(2)点M,N为抛物线上两点(点M在点N的左侧),且到对称轴的距离分别为3个单位长度和4个单位长度,点Q为抛物线上点M,N之间(不含点M,N)的一个动点,求点Q的纵坐标yQ的取值范围.25.(10分)【探究】某校人工智能科技小组,用电脑模拟飞行器实验,以点O为原点,以水平直线OA为x轴,以过点O且垂直OA的直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系,从点O向右上方发射飞行器,飞行器的飞行路线是抛物线y=ax2+bx(a<0),在离点O水平距离为时,飞行器达到最大高度,最大高度为,在飞行到B点时,智能科技小组控制飞行器变轨,飞行器的飞行路线变为直线y=kx+8.1,直至落在x轴上的点A处.(1)求a、b、k的值;(2)在整个飞行期间,飞行器的高度为2.4时有两个位置,求这两个位置之间的水平距离.【拓展】在上述情境中,从O点继续发射飞行器,调整飞行器的参数,使抛物线y=axx+bx(a<0)中b的值保持不变,当飞行器的水平距离为9时,飞行器的飞行路线变轨为直线y=kx+m,此时k的值不变,若OA>15,求a的取值范围.26.(10分)如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣1,0)、C(0,3)、B(2,3)(1)求抛物线的解析式;(2)线段AB上有一动点P,过点P作y轴的平行线,交抛物线于点Q,求线段PQ的最大值;(3)抛物线的对称轴上是否存在点M,使△ABM为直角三角形?如果存在,求出点M的坐标;如果不存在,说明理由(4个坐标).参考答案一、选择题1.C【解答】解:A.C=2πr,是一次函数的关系;B.弹簧的长度y是随着物体的质量x增大而增长的,是一次函数关系;C.正三角形的面积,是二次函数关系;D.S=vt,故匀速行驶的汽车,路程s与时间t之间是一次函数关系.故选:C.2.B【解答】解:把二次函数化为顶点式为:y=﹣(x﹣1)2﹣3,根据顶点式即可对各选项进行判断如下:∴顶点坐标为(1,﹣3),开口向下,对称轴为x=1,当x>1时y随x的增大而减小,故A选项错误;当x=1时,y有最大值﹣3,与x轴没有交点,故C、D选项错误,B选项正确,故选:B.3.C【解答】解:抛物线y=x2﹣2x+3=(x﹣1)2+2,它的顶点坐标是(1,2).将其向左平移2个单位,再向上平移1个单位后,得到新抛物线的顶点坐标是(﹣1,3),所以新抛物线的解析式是:y=(x+1)2+3.故选:C.4.D【解答】解:∵抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的顶点坐标为(﹣2,﹣1),∴2,4a﹣2b+3=﹣1,解得a=1,b=4,故选项A错误,不符合题意;当x=﹣2时,二次函数有最小值为﹣1,故选项B错误,不符合题意;当x>﹣2时,y随x的增大而增大,故选项C错误,不符合题意;由上可得,y=x2+4x+3=(x+1)(x+3),∴当y=0时,x=﹣1或x=﹣3,∴当﹣3<x<﹣1时,y<0,故选项D正确,符合题意;故选:D.5.C【解答】解:根据题意得m2﹣2m﹣3=0,所以m=﹣1或m=3,又因为二次函数的二次项系数不为零,即m+1≠0,所以m=3.故选:C.6.B【解答】解:结论①:定价增加30元,即定价为220+30=250元,每增加10元,空闲房间数增加1个,故增加30元对应空闲3个,居住房间数为50﹣3=47个,故①结论正确;结论②:设定价增加10x元,则定价为(220+10x)元,房间数为(50﹣x)个.∴(220+10x﹣20)(50﹣x)=12000,经计算可得:x=10或x=20.当x=20时,对应定价为220+10x=220+10×20=420元(超过360元上限),∴x=10,故②结论错误;结论③:设利润为w,w=(220+10x﹣20)(50﹣x)=﹣10x2+300x+10000,∵﹣10<0,由题意可得:对称轴为直线,∵220+10x≤360,∴x≤14,∴当x=14,w=﹣10x2+300x+10000=12240,故③结论错误.故选:B.7.B【解答】解:由题意得,抛物线的对称轴为直线x=3,开口向上,∵|m﹣3|<|n﹣3|<2,∴点B离对称轴水平距离最近,其次是点C,点A离对称轴最远,∴y2<y3<y1,故选:B.8.D【解答】解:∵Rt△AOB中,AB⊥OB,且AB=OB=3,∴∠AOB=∠A=45°,∵CD⊥OB,∴CD∥AB,∴∠OCD=∠A,∴∠AOD=∠OCD=45°,∴OD=CD=t,∴S△OCDOD×CDt2(0≤t≤3),即St2(0≤t≤3).故S与t之间的函数关系的图象应为定义域为0≤t≤3、开口向上的二次函数图象;故选:D.9.A【解答】解:如图,过点C作CD⊥AB于点D,由条件可知AD=3,,C(3,k).∵当x=0时,y=9a+k,∴A(0,9a+k),∴,∴.故选:A.10.C【解答】解:当x<0时,函数解析式为y=x2﹣4(﹣x)﹣2=x2+4x﹣2,当x≥0时,y=x2﹣4x﹣2,∴当x<0时,该函数是二次函数,开口向上,对称轴为直线,当x≥0时,该函数是二次函数,开口向上,对称轴为直线,故函数y=|x|﹣1的图象如图所示,类似地,函数y=x2﹣4|x|﹣2的图象,故选:C.11.C【解答】解:二次函数y=mx2+2mx+1=m(x+1)2﹣m+1,∴对称轴为直线x=﹣1,①m>0,抛物线开口向上,x=﹣1时,有最小值y=﹣m+1=﹣4,解得:m=5;②m<0,抛物线开口向下,∵对称轴为直线x=﹣1,在﹣2≤x≤2时有最小值﹣4,∴x=2时,有最小值y=4m+4m+1=﹣4,解得:m;故选:C.12.A【解答】解:二次函数y=ax2+bx+c与x轴交于点A(3,0)、B(﹣1,0),图象开口向上,∴对称轴直线为,∴b=﹣2a,当x=﹣1时,y=a﹣b+c=0,∴a﹣(﹣2a)+c=0,即3a+c=0,∴c=﹣3a,∴a﹣c=a﹣(﹣3a)=4a>0,故①正确;图象开口向上,对称轴直线为x=1,∴当x=1时,函数有最小值,最小值x轴的下方,∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=5两个不同的交点,∴方程ax2+bx+c﹣5=0有两个不相等的实数根,故②错误;∵二次函数y=ax2+bx+c与y轴交于点C(0,m),其中﹣4<m<﹣3,∴当x=0,y=c=m,∴﹣4<c<﹣3,∵c=﹣3a,b=﹣2a,,∴ 解得,故③正确;当x=1时,函数有最小值,最小值为y=a+b+c<0,b=﹣2a,∴b﹣a=﹣2a﹣a=﹣3a<0,∴,故④正确;综上所述,正确的有①③④,错误的有②,∴错误的有1个,故选:A.二、填空题13.(﹣6,﹣26).【解答】解:∵a=1,b=12,c=10,∴6,26,∴二次函数y=x2+12x+10的顶点坐标为(﹣6,﹣26).故答案为:(﹣6,﹣26).14.2.【解答】解:由题意得,,解得:m=2,故答案为:2.15.﹣3.【解答】解:由条件可知(m﹣1,yA),(m+1,yC)关于对称轴对称,∵y=x2﹣2x+c,∴,∴m=1,∴点B的坐标为(1,﹣4),把(1,﹣4)代入y=x2﹣2x+c,得:1﹣2+c=﹣4,解得:c=﹣3.故答案为:﹣3.16.6.【解答】解:由题意可得:(﹣3)2﹣4(﹣5+a)>0,即,解关于y的分式方程,可得且y≠2,∵解为非负整数,∴,a≠4,a+2为3的倍数,解得:a≥﹣2,∴a=﹣2或1或7,∴满足条件的所有a值的和为:﹣2+1+7=6,故答案为:6.17.3<k≤7.【解答】解:由条件可知直线MN的解析式为y=5,将线段MN向下平移k(k>0)个单位长度后得到的解析式为y=5﹣k,∵平移后与抛物线有两个交点,∴联立方程得,﹣x2+4x﹣2=5﹣k,整理得,x2﹣4x+7﹣k=0,∴Δ=(﹣4)2﹣4(7﹣k)>0,解得k>3,在二次函数y=﹣x2+4x﹣2中,令x=0,则y=﹣2,∴当线段MN平移到二次函数与y轴交点处仍有两个交点,即k=7,∴3<k≤7,故答案为:3<k≤7.18.﹣1<s<0.【解答】解:根据题意“倍值点”一定在直线y=2x图象上,令(t+1)x2+(t+2)x+s=2x,整理得:(t+1)x2+tx+s=0,∵若关于x的二次函数y=(t+1)x2+(t+2)x+s(s,t为常数,t≠﹣1)总有两个不同的倍值点,∴Δ=t2﹣4(t+1) s>0,令w=t2﹣4(t+1) s=t2﹣4st﹣4s,∵w>0,∴Δ=16s2+16s<0,即s(s+1)<0,解得:﹣1<s<0.故答案为:﹣1<s<0.三、解答题19.(1)证明:∵判别式Δ=[﹣(m﹣2)]2﹣4×1×(﹣m)=m2+4,又∵m2≥0,∴m2+4>0,∴二次函数y=x2﹣(m﹣2)x﹣m与x轴有两个交点.(2)解:∵二次函数y=x2﹣(m﹣2)x﹣m的对称轴为x,开口向上,又∵y随x的增大而增大,∴3,解得:m≤8,∴当x≥3时,y随x的增大而增大,m的取值范围是m≤8.20.解:(1)∵二次函数y=x2﹣(a+1)x﹣a的图象经过点N(3,2),∴2=32﹣(a+1)×3﹣a,解得a=1,∴y=x2﹣2x﹣1=(x﹣1)2﹣2,∴该函数图象的顶点坐标为(1,﹣2),由上可得,a的值为1,该二次函数的顶点坐标为(1,﹣2);(2)∵y=x2﹣2x﹣1=(x﹣1)2﹣2,∴当x=0时,y=﹣1,当x=3时,y=2,当x=1时,该函数取得最小值﹣2,∴当0<x<3时,函数y的取值范围是﹣2≤y<2.21.解:(1)把(﹣1,0),(0,3)分别代入y=ax2﹣2ax+c得,解得,∴这个二次函数的表达式为y=﹣x2+2x+3;(2)∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,∴当x=1时,y有最大值4,当x=﹣1时,y=﹣x2+2x+3=0,当x=2时,y=﹣x2+2x+3=﹣4+4+3=3,∴﹣1≤x≤2时,0≤y≤4,∴m=4,n=0,∴m﹣n=4﹣0=4.22.解:(1)根据题意得:;(2)根据题意得,W=(x﹣40)(﹣2x+200)=﹣2x2+280x﹣8000=﹣2(x﹣70)2+1800,∵﹣2<0,∴抛物线开口向下,W有最大值,∴当x=70时,W最大,W最大=1800,答:当售价定为70元时,每天的利润最大,最大利润是1800元.23.解:(1)解:∵B(0,2),OA=2OB,∴OB=2,OA=4,∴A(4,0),∵二次函数y=ax2+bx(a≠0)的图象经过点A(4,0),,∴,解得,∴二次函数的表达式是;(2)由(1)知抛物线的解析式为可化为.∴其顶点坐标为(2,﹣2)∵抛物线先向右平移m个单位,再向上平移n个单位,此时顶点恰好落在线段AB上,∴平移后得到抛物线,其顶点坐标是(2+m,﹣2+n).设直线AB的函数表达式y=kx+d(k≠0),∵A(4,0),B(0,2),∴,解得:,∴直线AB的函数表达式是.∴,∴m+2n=6.24.解:(1)取x=0,则y=c,∴B(0,c),∴A(﹣c,0),把点A代入抛物线的解析式,得:0=(﹣c)2﹣2×(﹣c)+c,解得c=0(舍去)或c=﹣3,∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3,∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,∴G(1,﹣4);(2)∵点M到对称轴的距离为3个单位,∴xM=1﹣3=﹣2或xM=1+3=4,∴yM=5,∴M(﹣2,5)或M(4,5),∵点N到对称轴的距离为4个单位,∴xN=1﹣4=﹣3或xN=1+4=5,∴yN=12,∴N(﹣3,12)或N(5,12),又∵M在N的左侧,∴M,N的坐标为(﹣2,5),(5,12)或(4,5),(5,12),若M,N的坐标为(﹣2,5),(5,12),则﹣4≤yQ<12,若M,N的坐标为(4,5),(5,12),则5<yQ<12.25.解:探究:(1)设抛物线为,∴,∴,∴,∴b=1.∵x=9时,,∴,∵点B在直线y=kx+8.1上,∴,∴;(2)∵,整理得:x2﹣15x+36=0.解得:x1=12>9(不合题意,舍去),x2=3.∵.∴解得:x=11.4,∴11.4﹣3=8.4.答:距离为8.4.拓展:当x=9时,y=ax2+x=81a+9,∴B(9,81a+9),∴,∴,∴时,OA>15.26.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣1,0)、C(0,3)、B(2,3),∴,解得,所以,抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3;(2)设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0),则,解得,所以,直线AB的解析式为y=x+1,设点P的横坐标为x,∵PQ∥y轴,∴点Q的横坐标为x,∴PQ=(﹣x2+2x+3)﹣(x+1),=﹣x2+x+2,=﹣(x)2,∵点P在线段AB上,∴﹣1≤x≤2,∴当x时,线段PQ的长度最大,最大值为;(3)由(1)可知,抛物线对称轴为直线x=1,①AB是直角边时,若点A为直角顶点,则直线AM的解析式为y=﹣x﹣1,当x=1时,y=﹣1﹣1=﹣2,此时,点M的坐标为(1,﹣2),若点B为直角顶点,则直线BM的解析式为y=﹣x+5,当x=1时,y=﹣1+5=4,此时,点M的坐标为(1,4),②AB是斜边时,设点M的坐标为(1,m),则AM2=(﹣1﹣1)2+m2=4+m2,BM2=(2﹣1)2+(m﹣3)2=1+(m﹣3)2,由勾股定理得,AM2+BM2=AB2,所以,4+m2+1+(m﹣3)2=(﹣1﹣2)2+(0﹣3)2,整理得,m2﹣3m﹣2=0,解得m,所以,点M的坐标为(1,)或(1,),综上所述,抛物线的对称轴上存在点M(1,﹣2)或(1,4)或(1,)或(1,),使△ABM为直角三角形. 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