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(共21张PPT)
第3课时 三角形内角和定理的证明及推论1，2
沪科版·八年级上册
学习目标
1
2
3
掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单应用；
了解辅助线的概念，理解辅助线在解题过程中的用处；
理解和掌握三角形内角和定理的推论1和推论2.
复习回顾
三角形的内角和定理是什么？
三角形的内角和等于180°.
我们是如何得到的？
①测量
47°
73°
60°
②折叠
③剪拼
你能证明这个定理吗？
都不是证明
推进新课
知识点1
三角形内角和定理的证明
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+ ∠B+∠C=180°.
A
B
C
分析：你通过剪拼、折叠的过程中受到什么启发吗？
都是把三个角拼在一起构成一个平角.
你现在知道怎么用证明的方法证明了吗？
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+ ∠B+∠C=180°.
A
B
C
证明：如图，延长BC到D，以点C为顶点、CD为一边作∠2=∠B，则CE∥BA. (同位角相等，两直线平行)
∴ ∠A=∠1. (两直线平行，内错角相等)
∵B、C、D在同一条直线上，(所作)
∴∠1+∠2+∠ACB=180°.(平角的定义)
∴∠A+∠B+∠ACB=∠1+∠2+∠ACB=180°.(等量代换)
E
D
1
2
为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫作辅助线.
辅助线通常画成虚线.
你还能想到其他添加辅助线构造平角的方法吗？
证法一
证法二
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+ ∠B+∠C=180°.
A
B
C
1
2
l
证明：过点A作l∥BC，
∴∠B=∠1，∠C=∠2，(两直线平行，内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，(平角的定义)
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.(等量代换)
证法三
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+ ∠B+∠C=180°.
A
B
C
1
2
3
D
E
F
证明：过点D作DE∥AC，DF∥AB.
∴∠C=∠1，∠B=∠3. (两直线平行，同位角相等)
∠A+∠AED=180°，∠AED+∠2=180°.
(两直线平行，同旁内角互补)
∴∠A=∠2. (等量代换)
∵∠1+∠2+∠3=180°，(平角的定义)
∴∠A+∠B+∠C=180°. (等量代换)
除了在三角形顶点或边上构造平角外，还可以在三角形内部和外部构造平角.
思考：除了构造平角得到180°外，还有其他方式吗？
两直线平行，同旁内角互补
讨论：如何构造平行线得到同旁内角呢？
A
B
C
A
B
C
l
D
E
F
根据给出的辅助线提示，请同学们课后完成这两种证明方法.
A
B
C
E
D
A
B
C
l
A
B
C
D
E
F
A
B
C
l
A
B
C
D
E
F
思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？
转化思想
添加辅助线（平行线）
利用平行线的性质，转移角
转化为平角或同旁内角
知识点2
三角形内角和定理的推论1，2
问题1：在△ABC中，∠C=90°，求：∠A+∠B的度数.
由此你能得到什么结论？
解：在△ABC中，
根据三角形内角和定理，易得∠A+∠B +∠C=180°，
又∠C=90°，
∴ ∠A+∠B=180°–∠C=180°–90°=90°.
推论1 直角三角形的两锐角互余.
像这样，由基本事实、定理直接得出的真命题叫作推论.
问题2：在△ABC中，∠A+∠B=90°，求：∠C的度数.
由此你能得到什么结论？
解：在△ABC中，
根据三角形内角和定理，易得∠A+∠B +∠C=180°，
又∠A+∠B=90°，
∴ ∠C =180°– (∠A+∠B)=180°– 90°= 90°.
推论2 有两个角互余的三角形是直角三角形.
1.在△ABC 中，
（1）∠C = 90°，∠A = 30°，则∠B = ；
（2）∠A = 50°，∠B = ∠C，则∠B = ；
（3）∠A -∠C = 25°，∠B -∠A = 10°，则
∠B = ；
（4）∠A + ∠B = 90°，则△ABC 是 三角形.
练一练
60°
65°
75°
直角
分析：要计算的是∠D的大小，只要知道它所在三角形中的其它两个角的和即可.
已知：① DE⊥AB，即∠DEB=∠FEA＝90°；
②∠A＝30°；
③ ∠FCD＝80°.
2.如图，在△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.
2.如图，在△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.
解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．
∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，
∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.
又∵∠CFD＝∠AFE，
∴∠CFD＝60°.
∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，
∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.
∠1+∠2=∠3+∠4
“A”字形
∠A+∠B=∠C+∠D
“8”字形
基本图形归纳
1.补充完成下列证明，并填上推理的依据.
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
证明：过点A作DE∥BC，
则 ∠DAB=________，∠EAC=________，
( )
∵ ∠DAB+∠BAC+∠EAC=________，
∴ ∠B+ ∠BAC+∠C=________+________+________
=180°.( )
随堂练习
【教材P80 练习 T1】
A　
B　
C　
D　
E　
∠B
∠C
两直线平行，内错角相等
180°
∠DAB
∠BAC
∠EAC
平角的定义
【教材P80 练习 T2】
A　
B　
C　
D　
E　
F　
3　
1　
2　
2.补充完成下列证明：
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
证明：在BC边上取一点D，过点D作DE∥AB，DF∥AC，分别交AC，AB于点E，F.
∵DE∥AB，
∴∠B=∠3.(两直线平行，同位角相等)
∵DF∥AC，
∴∠C=∠1.(两直线平行，同位角相等)
又 ∵∠1+∠2+∠3=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.(等量代换)
课堂小结
三角形内角和定理的证明及推论 1、2
三角形内角和定理的证明
推论1：直角三角形的两锐角互余.
推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形.
布置作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。

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