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高中数学人教A版（2019）必修第一册
第五章 三角函数 5.4.3 正切函数的性质与图象
一、单选题
1.（2025安徽淮南二中月考）与函数的图象不相交的一条直线是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.（2025云南昆明期末）已知函数的最小正周期为，则（ ）
A. 或
B. 或
C.
D.
3.函数的值域是（ ）
A.
B.
C.
D.
4.（2024河北沧州部分学校月考）已知函数，若在区间内单调递增，则的可能取值是（ ）
A.
B.
C.
D.
5.（2024河北邢台二中月考）当时，函数与函数的图象的交点个数为（ ）
A.
B.
C.
D.
6.（2025河南许昌高级中学月考）已知函数，若方程在区间上恰有3个实数根，则的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题
7.（2025江苏百校联考）已知函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为，则（ ）
A.
B. 的最小正周期为
C. 的图象的一条渐近线为直线
D. 的单调递增区间为
8.（2024湖北重点高中智学联盟联考）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若的最小正周期是，则
B. 当时，图象的对称中心的坐标为
C. 当时，
D. 若在区间上单调递增，则
9.（2025云南昆明期末）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 图象的一个对称中心是
C. 的值域为
D. 不等式的解集为
三、填空题
10.（2024陕西西乡县第一中学开学考试）函数的定义域为________。
11.（2025天津西青期末）已知函数的最小正周期是2，则 ；此时函数的定义域为 。
12.（2024河北邢台二中月考）不等式的解集为________。
四、解答题
13.已知函数。
（1）求函数的最小正周期、单调递减区间及其图象的对称中心；
（2）若，求函数的值域。
14.（2023辽宁铁岭清河高级中学月考）已知函数，。
（1）若，求的最小正周期与函数图象的对称中心；
（2）若在上是增函数，求的取值范围。
15.（2025河南许昌高级中学月考改编）已知函数。
（1）若的图象相邻两条渐近线之间的距离为，求的值；
（2）若方程在区间上恰有5个不同的实数根，求的取值范围；
（3）若方程在上至少存在2024个根，求的最小值（用表示）。
一、单选题
1.答案：C
解析：正切函数的定义域为（），即函数的“渐近线”满足，解得。
选项中是渐近线，与函数图象不相交，故选C。
2.答案：A
解析：正切函数的最小正周期公式为。已知，则，解得，即，故选A。
3.答案：C
解析：由正弦函数值域可知，且弧度（约弧度），正切函数在上单调递增。
因此，即值域为，故选C。
4.答案：B
解析：正切函数的单调递增区间为（），解得。
当时，递增区间为，题目中需包含在此区间内，故。
选项中（符合），是渐近线（区间开区间也不建议取），故选B。
5.答案：C
解析：求交点即解，化简得，即，整理为。
解得，其中（小于，舍去），仅有效。
在内，，有1个解；
在内，的区间为，有1个解；
共2个交点，故选C。
6.答案：D
解析：解方程，得（），即。
要求内恰有3个根，即，且。
解得（当时，不在区间内，需结合出题意图调整为闭左区间），故选D。
二、多选题
7.答案：BC
解析：函数（），正切函数相邻对称中心距离为（为周期）。
由题意，得，又，故（选项A错误，B正确）；
渐近线满足，解得，当时，（选项C正确）；
单调递增区间：，解得（选项D错误）。
故选BC。
8.答案：ACD
解析：函数（）：
选项A：周期，由得（正确）；
选项B：时，对称中心满足，即，对称中心为（非，错误）；
选项C：时，，，故（正确）；
选项D：内单调递增，需，得，即（正确）。
故选ACD。
9.答案：BCD
解析：函数为分段函数：
当（）时，；
当（）时，。
选项A：周期为（非，，错误）；
选项B：对称中心，对任意，（正确）；
选项C：值域为（或，正确）；
选项D：即，得，解集为（正确）。
故选BCD。
三、填空题
10.答案：
解析：正切函数定义域要求（），解得，即。
11.答案：；
解析：
周期，由得，即；
定义域：当时，，解得；当时，，解得，统一为。
12.答案：
解析：解，正切函数的解集为，代入，得。
四、解答题
13.解：先化简函数：（利用诱导公式）。
（1）正切函数的周期为，此处，故。
单调递减区间：
正切函数的单调递增区间为（），解得：
因，其单调递减区间与的单调递增区间一致，即（）。
对称中心：
正切函数的对称中心满足（），解得：
故的对称中心为（）。
（2）当时，。
正切函数在上单调递增，故。
因此，即值域为。
14.解：
（1）最小正周期：
由周期公式，得。
对称中心：
正切函数对称中心满足（），代入：
解得
故对称中心为（）。
（2）要求在上单调递增，需保证包含在一个单调区间内。
正切函数的单调区间为（），代入：
当时，；当时，。
取，单调区间为，需满足，解得：
故的取值范围为。
15.解：
（1）正切函数相邻渐近线的距离等于周期，由题意。
由周期公式，得，解得。
（2）解方程，即，得：
（）
化简得
要求内恰有5个根，即，且。
故的取值范围为。
（3）解方程，即，得：
（）
化简得
相邻两根的间距为，若至少有2024个根，则需个间隔（个根对应个间隔）。
故的最小值为。

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