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2.6应用一元二次方程
一．选择题（共7小题）
1．（2025 广安模拟）某旅游景点2022年接待游客25万人次，2024年接待游客36万人次，设该景点接待游客人次年平均增长率为x，下列方程正确的是（　　）
A．25（1+x）2＝36 B．25（1+x2）＝36
C．250（1+2x）＝36 D．25x2＝36
2．（2025春 西湖区期末）随着生产技术的进步，某款药品的生产成本逐年下降．两年前生产1吨药品的成本是5000元，现在生产1吨该款药品的成本是3000元，设药品成本的年平均下降率为x，则可列方程（　　）
A．2×3000（1﹣x）＝5000 B．3000（1﹣x）2＝5000
C．2×5000（1﹣x）＝3000 D．5000（1﹣x）2＝3000
3．（2025春 温州期末）温州市2022年GDP（国内生产总值）约为8030亿元，2024年GDP约为9719亿元．设这两年温州市的GDP平均增长率为x，则可列出方程（　　）
A．8030（1+x）2＝9719 B．8030x2＝9719
C．8030（1+x2）＝9719 D．8030（1+2x）＝9719
4．（2025春 滁州期末）电影《哪吒2》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元．将增长率记为x，则方程可以为（　　）
A．2+2x+2x2＝18
B．2（1+x）2＝18
C．（2+x）2＝18
D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝18
5．（2025春 兰溪市期末）为更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块面积为480m2的长方形场地作为劳动基地．若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边由总长为70m的篱笆围成，并且在平行于墙的边上设置两个开口宽为1m的进出门（如图），设靠墙的长方形边长为x（m），则下列方程正确的是（　　）
A．x（72﹣2x）＝480 B．x（68﹣2x）＝480
C．x（72﹣x）＝480 D．x（68﹣x）＝480
6．（2025春 凤阳县期末）流行性感冒是一种由流感病毒引起的传染病，人群普遍易感．若有一人患了流感，经过两轮传染后，假设共有100人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，则下列结论错误的是（　　）
A．1轮后有（x+1）人患了流感
B．2轮后有（x+1）x个人患了流感
C．依题意可得方程（x+1）2＝100
D．经过三轮一共会有1000人感染
7．（2024秋 徐水区期末）如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（图中单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．设观花道的直角边（如图所示）为x m，则x的值为（　　）
A． B． C．1 D．
二．填空题（共5小题）
8．（2025春 高青县期末）在2024年12月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为513，则这个最小数为　 　 ．
9．（2025 西宁二模）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知6、7月的增长率相同，则增长率为 　 　 ．
10．（2025春 田阳区期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝5cm，点E从A点出发，沿射线AB运动，速度为2cm/s，点F从点C出发，沿线段CA运动，速度为1cm/s，连接EF．E、F两点同时出发，当点F到达点A时，点E也停止运动，请问经过 　 　 s后，△AEF的面积恰为12cm2．
11．（2025 李沧区校级三模）一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗．园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，在一定范围内，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价降低0.5元．若该校最终向园林公司支付树苗款8800元，设该校共购买了x棵树苗，则可列出方程　 　 ．
12．（2025 重庆校级二模）随着夏季到来，西瓜进入丰收季，某地西瓜的供应量持续增加，导致市场价格两次降低，每次降低的百分率相同．已知西瓜原价为每千克12.5元，经过两次降价后现价为每千克8元，则每次降低的百分率是 　 　 ．
三．解答题（共3小题）
13．（2025春 淮阴区期末）市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，4月份售出150个，6月份售出216个．
（1）求该品牌头盔月销售量的月平均增长率；
（2）此种品牌头盔每个进货价为30元，调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元？
14．（2025春 兰溪市期末）五一假期，某著名景区在5月1日至3日期间的游客人数逐日增加，5月4日至5日游客人数大幅减少．据统计，5月1日的游客人数为1.5万人，5月3日的游客人数为2.16万人．
（1）求5月1日至3日到该景区的游客人数的日平均增长率；
（2）5月4日至5日这两天到该景区的游客总人数不会超过5月1日至3日游客总人数的，求5月4日至5日到该景区的游客人数平均每天最多是多少万人？
15．（2025春 镇海区期末）如图，学校为美化环境，准备用总长为29m的篱笆，在靠墙的一侧设计一块矩形花圃ABCD，其中墙长19m，花圃三边外围用篱笆围起，并在边BC上留一个1m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．
（1）若花圃的面积为100m2，求花圃的一边AB的长；
（2）花圃的面积能达到120m2吗？如果能，请你给出设计方案，如果不能，请说明理由．
2.6应用一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025 广安模拟）某旅游景点2022年接待游客25万人次，2024年接待游客36万人次，设该景点接待游客人次年平均增长率为x，下列方程正确的是（　　）
A．25（1+x）2＝36 B．25（1+x2）＝36
C．250（1+2x）＝36 D．25x2＝36
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】设游客每年的平均增长率为x，根据该旅游景点2022年及2024年接待游客人次数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设游客每年的平均增长率为x，
依题意，得：25（1+x）2＝36．
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
2．（2025春 西湖区期末）随着生产技术的进步，某款药品的生产成本逐年下降．两年前生产1吨药品的成本是5000元，现在生产1吨该款药品的成本是3000元，设药品成本的年平均下降率为x，则可列方程（　　）
A．2×3000（1﹣x）＝5000 B．3000（1﹣x）2＝5000
C．2×5000（1﹣x）＝3000 D．5000（1﹣x）2＝3000
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】D
【分析】由两年前及现在生产1吨甲种药品的成本，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意，得：5000（1﹣x）2＝3000．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．（2025春 温州期末）温州市2022年GDP（国内生产总值）约为8030亿元，2024年GDP约为9719亿元．设这两年温州市的GDP平均增长率为x，则可列出方程（　　）
A．8030（1+x）2＝9719 B．8030x2＝9719
C．8030（1+x2）＝9719 D．8030（1+2x）＝9719
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】根据该市2022年及2024年温州市的GDP，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：8030（1+x）2＝9719．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．（2025春 滁州期末）电影《哪吒2》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元．将增长率记为x，则方程可以为（　　）
A．2+2x+2x2＝18
B．2（1+x）2＝18
C．（2+x）2＝18
D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝18
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】D
【分析】第一天为2，根据增长率为x得出第二天为2（1+x），第三天为2（1+x）2，根据三天累计为18亿元，即可得出关于x的一元二次方程．
【解答】解：设平均每天票房的增长率为x，根据增长率为x得出第二天为2（1+x），第三天为2（1+x）2，
根据题意得：2+2（1+x）+2（1+x）2＝18．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．（2025春 兰溪市期末）为更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块面积为480m2的长方形场地作为劳动基地．若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边由总长为70m的篱笆围成，并且在平行于墙的边上设置两个开口宽为1m的进出门（如图），设靠墙的长方形边长为x（m），则下列方程正确的是（　　）
A．x（72﹣2x）＝480 B．x（68﹣2x）＝480
C．x（72﹣x）＝480 D．x（68﹣x）＝480
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】设靠墙的长方形边长为x（m），根据矩形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：设靠墙的长方形边长为x（m），
根据题意得x（72﹣2x）＝480，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．（2025春 凤阳县期末）流行性感冒是一种由流感病毒引起的传染病，人群普遍易感．若有一人患了流感，经过两轮传染后，假设共有100人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，则下列结论错误的是（　　）
A．1轮后有（x+1）人患了流感
B．2轮后有（x+1）x个人患了流感
C．依题意可得方程（x+1）2＝100
D．经过三轮一共会有1000人感染
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】设每轮传染中平均每人传染了x人．开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x人，则第一轮后共有（x+1）人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x人，则第二轮后共有1+x+x（x+1）人患了流感，而此时患流感人数为100，根据这个等量关系列出方程，再进行一一判断即可．
【解答】解：设每轮传染中平均每人传染了x人．
则第一轮后共有（x+1）人患了流感，故A正确，不符合题意；
第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x人，
第2轮又增加（x+1） x个人患流感，
2轮后共有1+x+x（x+1）个人患流感，故B错误，符合题意；
依题意，得1+x+x（x+1）＝100，即（x+1）2＝100，故C正确，不符合题意；
解方程，得x1＝9，x2＝﹣11（舍去）．
∴每轮传染中平均每人传染了9人．
∴经过三轮一共会有103＝1000人感染，故D正确，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，列出第二轮患病人数的代数式是关键．
7．（2024秋 徐水区期末）如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（图中单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．设观花道的直角边（如图所示）为x m，则x的值为（　　）
A． B． C．1 D．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】直接利用直角三角形面积的求法列出方程即可求解．
【解答】解：根据题意，利用直角三角形面积得：，
即（6﹣x）（5﹣x）＝20，
解得x＝1或x＝10（不符合题意，舍去），
所以x的值为1，
故选：C．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意弄清图形间的面积关系是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
8．（2025春 高青县期末）在2024年12月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为513，则这个最小数为　19　 ．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】19．
【分析】设这个最小数为x，则另外三个数分别为x+1，x+7，x+8，根据最小数与最大数的乘积为513，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设这个最小数为x，则另外三个数分别为x+1，x+7，x+8，
根据题意得：x（x+8）＝513，
整理得：x2+8x﹣513＝0，
解得：x1＝19，x2＝﹣27（不符合题意，舍去），
∴这个最小数为19．
故答案为：19．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．（2025 西宁二模）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知6、7月的增长率相同，则增长率为 　20%　 ．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据该公司6、7两个月营业额的月均增长率为x，结合5月、7月营业额即可得出关于x的一元二次方程，解此方程即可得解．
【解答】解：设该公司6、7两个月营业额的月均增长率为x，
根据题意得，25（1+x）2＝36，
解得，x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去），
所以，增长率为20%．
故答案为：20%．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
10．（2025春 田阳区期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝5cm，点E从A点出发，沿射线AB运动，速度为2cm/s，点F从点C出发，沿线段CA运动，速度为1cm/s，连接EF．E、F两点同时出发，当点F到达点A时，点E也停止运动，请问经过 　4或6　 s后，△AEF的面积恰为12cm2．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；几何直观；应用意识．
【答案】4或6．
【分析】过E作EH⊥AC于H，设运动时间为t s，根据△AEF的面积恰为12cm2，得t（10﹣t）＝12，即可解得答案．
【解答】解：过E作EH⊥AC于H，如图：
设运动时间为t s，
∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝5cm，
∴AC＝2BC＝10cm，
根据题意得：AE＝2t cm，CF＝t cm，
∴AF＝（10﹣t）cm，EHAE＝t cm，
∵△AEF的面积恰为12cm2，
∴t（10﹣t）＝12，
解得t＝4或t＝6，
∴经过4s或6s后，△AEF的面积恰为12cm2．
故答案为：4或6．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示相关线段的长度．
11．（2025 李沧区校级三模）一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗．园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，在一定范围内，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价降低0.5元．若该校最终向园林公司支付树苗款8800元，设该校共购买了x棵树苗，则可列出方程　x[120﹣0.5（x﹣60）]＝8800　 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据设该校共购买了x棵树苗，由题意得：x[120﹣0.5（x﹣60）]＝8800．
【解答】解：设该校共购买了x棵树苗，由题意得：
x[120﹣0.5（x﹣60）]＝8800，
故答案为：x[120﹣0.5（x﹣60）]＝8800．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知“如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元”是得出方程的关键．
12．（2025 重庆校级二模）随着夏季到来，西瓜进入丰收季，某地西瓜的供应量持续增加，导致市场价格两次降低，每次降低的百分率相同．已知西瓜原价为每千克12.5元，经过两次降价后现价为每千克8元，则每次降低的百分率是 　20%　 ．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】20%．
【分析】先设每次降价的百分率是x，再根据“西瓜原价为每千克12.5元，经过两次降价后现价为每千克8元”，进行列式计算，即可作答．
【解答】解：设每次降低的百分率是x，
∵市场价格两次降低，每次降低的百分率相同．已知西瓜原价为每千克12.5元，经过两次降价后现价为每千克8元，
∴12.5×（1﹣x）2＝8，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（舍），
∴每次降低的百分率是20%，
故答案为：20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的“增长率”问题，正确列出方程是解题的关键．
三．解答题（共3小题）
13．（2025春 淮阴区期末）市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，4月份售出150个，6月份售出216个．
（1）求该品牌头盔月销售量的月平均增长率；
（2）此种品牌头盔每个进货价为30元，调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】（1）该品牌头盔月销售量的月平均增长率为20%；
（2）该品牌头盔的销售价应定为50元．
【分析】（1）设该品牌头盔月销售量的月平均增长率为x，利用该品牌头盔6月份的销售量＝该品牌头盔4月份的销售量×（1+该品牌头盔月销售量的月平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设该品牌头盔的销售价应定为y元，则该品牌头盔每个的销售利润为（y﹣30）元，月均销售量为（1000﹣10y）个，利用总利润＝该品牌头盔每个的销售利润×月均销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论．
【解答】解：（1）设该品牌头盔月销售量的月平均增长率为x，
根据题意得：150（1+x）2＝216，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．
答：该品牌头盔月销售量的月平均增长率为20%；
（2）设该品牌头盔的销售价应定为y元，则该品牌头盔每个的销售利润为（y﹣30）元，月均销售量为600﹣10（y﹣40）＝（1000﹣10y）个，
根据题意得：（y﹣30）（1000﹣10y）＝10000，
整理得：y2﹣130y+4000＝0，
解得：y1＝50，y2＝80，
又∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴y＝50．
答：该品牌头盔的销售价应定为50元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．（2025春 兰溪市期末）五一假期，某著名景区在5月1日至3日期间的游客人数逐日增加，5月4日至5日游客人数大幅减少．据统计，5月1日的游客人数为1.5万人，5月3日的游客人数为2.16万人．
（1）求5月1日至3日到该景区的游客人数的日平均增长率；
（2）5月4日至5日这两天到该景区的游客总人数不会超过5月1日至3日游客总人数的，求5月4日至5日到该景区的游客人数平均每天最多是多少万人？
【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】一元二次方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）20%；
（2）0.91万人．
【分析】（1）设5月1日至3日到该景区的游客人数的日平均增长率为x，利用5月3日的游客人数＝5月1日的游客人数×（1+5月1日至3日到该景区的游客人数的日平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设5月4日至5日到该景区的游客人数平均每天是m万人，根据5月4日至5日这两天到该景区的游客总人数不会超过5月1日至3日游客总人数的，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设5月1日至3日到该景区的游客人数的日平均增长率为x，
根据题意得：1.5（1+x）2＝2.16，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．
答：5月1日至3日到该景区的游客人数的日平均增长率为20%；
（2）设5月4日至5日到该景区的游客人数平均每天是m万人，
根据题意得：2m[1.5+1.5×（1+20%）+2.16]，
解得：m≤0.91，
∴m的最大值为0.91．
答：5月4日至5日到该景区的游客人数平均每天最多是0.91万人．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
15．（2025春 镇海区期末）如图，学校为美化环境，准备用总长为29m的篱笆，在靠墙的一侧设计一块矩形花圃ABCD，其中墙长19m，花圃三边外围用篱笆围起，并在边BC上留一个1m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．
（1）若花圃的面积为100m2，求花圃的一边AB的长；
（2）花圃的面积能达到120m2吗？如果能，请你给出设计方案，如果不能，请说明理由．
【考点】一元二次方程的应用；根的判别式．
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】（1）花圃的一边AB的长为10m；
（2）花圃的面积不能达到120m2，理由见解答．
【分析】（1）设AB＝x m，则BC＝（29+1﹣2x）m，根据花圃的面积为100m2，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合墙长19m，即可确定结论；
（2）假设花圃的面积能达到120m2，设AB＝y m，则BC＝（29+1﹣2y）m，根据花圃的面积为120m2，可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣15＜0，可得出原方程无实数根，进而可得出假设不成立，即花圃的面积不能达到120m2．
【解答】解：（1）设AB＝x m，则BC＝（29+1﹣2x）m，
根据题意得：x（29+1﹣2x）＝100，
整理得：x2﹣15x+50＝0，
解得：x1＝5，x2＝10，
当x＝5时，29+1﹣2x＝29+1﹣2×5＝20＞19，不符合题意，舍去；
当x＝10时，29+1﹣2x＝29+1﹣2×10＝10＜19，符合题意．
答：花圃的一边AB的长为10m；
（2）花圃的面积不能达到120m2，理由如下：
假设花圃的面积能达到120m2，设AB＝y m，则BC＝（29+1﹣2y）m，
根据题意得：y（29+1﹣2y）＝120，
整理得：y2﹣15y+60＝0，
∵Δ＝（﹣15）2﹣4×1×60＝﹣15＜0，
∴原方程无实数根，
∴假设不成立，即花圃的面积不能达到120m2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

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