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3.3 探索与表达规律基础课时卷-北师大版数学七年级上册
一、选择题
1．（2024七上·龙华月考）下面一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…，第2024个数应是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024七上·温州期中）《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第4天截取后木棍剩余的长度是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024七上·鄞州月考）如图，边长为1的正方形，沿数轴顺时针连读滚动，起点和重合，则滚动2022次后，点在数轴上对应的数是（　　）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
4．（2024七上·浙江期中）有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入的值是，可发现第次输出的结果是，第次输出的结果是，第次输出的结果是．依次继续下去，第次输出的结果是（　　）
A．8 B．4 C．2 D．1
5．（2024七上·游仙期末）将一张长方形的纸对折，如图，对折1次可得到1条折痕（图中虚线），连续对折3次（对折时每次折痕与上次折痕保持平行），可以得到7条折痕；那么连续对折5次后，可以得到的折痕的条数是（　　）
A．31条 B．32条 C．33条 D．34条
6．（2024七上·金沙月考）用棋子摆出如图所示的一组“口”字，照样子摆下去，摆第n个“口”字需用棋子（　　）
A．枚 B．枚 C．枚 D．枚
7．（2018七上·杜尔伯特期末）已知下列一组数：1， ，…；用代数式表示第n个数，则第n个数是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024七上·珠海期中）符号“”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1）…；
（2）…．
利用以上规律计算：等于（　　）
A． B． C．2023 D．2024
二、填空题
9．（2020七上·盐城期中）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子出生后的天数为　 　个.
10．（2023七上·云梦期中）观察下列单项式：，，，，…，按此规律，第10个单项式是　 　.
11．（2024七上·成都期中）已知有理数，我们把称为a的差倒数，例如2的差倒数是，的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，那么的值是　 　．
12．（2024七上·南沙期中）将从1开始的自然数按如图规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则根据此规律可知第40行、第3列的数是　 　．
13．（2024七上·长兴期中）我国在数的发展上有辉煌的成就，中国古代的算筹计数法可追溯到公元前五世纪，算筹是竹制的小棍，摆法有纵式和横式两种（如图）．以算筹计数的方法是：摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横…，这样纵横依次交替，零以空格表示．如3257表示成“”．算筹“”所表示的数是　 　．
三、解答题
14．（2024七上·花都期中）李老师在黑板上写出三个等式：；；；王华接着又写了两个具有同样规律的算式：，
（1）请你写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；______；______
（2）用字母和表示上述规律．______
15．（2024七上·从江期中）阅读理解：蕊蕊是一个勤奋好学的学生，她常常通过书籍、网络等渠道主动学习各种知识．下面是她从网络搜到的两位数乘的速算法，其口诀是：“头尾一拉，中间相加，满十进一”，例如：①．计算过程：两数拉开，中间相加，即，最后结果；②．计算过程：两数分开，中间相加，即，满十进一，最后结果．
（1）计算：①______，②______；
（2）若某个两位数十位数字是a，个位数字是b（），将这个两位数乘，得到一个三位数，则根据上述的方法可得，该三位数百位数字是______，十位数字是______，个位数字是______；（用含a、b的代数式表示）
（3）请你结合（2），利用所学的知识解释其中原理．
16．（北师大版数学七年级上册第3章 3.3整式课时作业）观察右边一组单项式：x，-3x2，9x3，-27x4，…
（1）你发现了什么规律？
（2）根据你发现的规律写出第8个单项式；
（3）当x=1和x=-1时分别求出前8项的和．
17．（2018七上·沧州期末）观察图，解答下列问题．
（1）图中的小圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1个小圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈，…，第六层有11个圆圈．如果要你继续画下去，那么第八层有几个小圆圈？第n层呢？
（2）某一层上有65个圆圈，这是第几层？
（3）数图中的圆圈个数可以有多种不同的方法．
比如：前两层的圆圈个数和为（1+3）或22，
由此得，1+3=22．
同样，
由前三层的圆圈个数和得：1+3+5=32．
由前四层的圆圈个数和得：1+3+5+7=42．
由前五层的圆圈个数和得：1+3+5+7+9=52．
…
根据上述请你猜测，从1开始的n个连续奇数之和是多少？用公式把它表示出来．
（4）计算：1+3+5+…+99的和；
（5）计算：101+103+105+…+199的和．
18．（2018七上·瑶海期末）观察图形，解答问题：
（1）按下表已填写的形式填写表中的空格：
图① 图② 图③
三个角上三个数的积 1×（﹣1）×2=﹣2 （﹣3）×（﹣4）×（﹣5）=﹣60
三个角上三个数的和 1+（﹣1）+2=2 （﹣3）+（﹣4）+（﹣5）=﹣12
积与和的商 ﹣2÷2=﹣1
（2）请用你发现的规律求出图④中的数y和图⑤中的数x．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题知，因为1，，，，，…，
所以第n个数可表示为：（n为正整数），
当时，
，
即第2024个数是．
故答案为：A．
【分析】本题聚焦数字规律探索，解题关键在于观察数列中数与数的关联，归纳出通用表达式。先分析已知数：，， ， ， ，可发现规律——第个数为（为正整数 ），明确规律后，将代入表达式，即可求出第个数，核心是从特殊数归纳一般规律并应用.
2．【答案】D
【知识点】探索数与式的规律；有理数乘方的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得，第一次截取后剩余长度为，
第二次截取后剩余长度为，
第三次截取后剩余长度为，
，
第次截取后剩余长度为，
第四次截取后剩余长度为，
故答案为：D．
【分析】先根据题意列出式子，再根据分数乘法的意义进行化简即可.
3．【答案】D
【知识点】探索数与式的规律；有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：次，即C滚动505次落在数轴上，因此点所表示的数为，
故答案为：D．
【分析】将起点和重合的正方形，沿着数轴顺时针滚动2次，此时点第1次落在数轴上的原点。以后每滚动4次，点会落在数轴上的某一点，这样滚动2022次，点第505次落在数轴上，因此点所表示的数为2020.
4．【答案】D
【知识点】探索数与式的规律；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：第1次输出结果是16，
第2次输出结果是8，
第3次输出结果是4，
第4次输出结果是，
第5次输出结果是，
第6次输出结果是，
……，
从第3次开始，输出结果每3个数一个循环，分别是4、2、1，
，
∴第2024次输出结果是1．
故答案为：D．
【分析】根据流程图求出前几次的输出结果，发现从第3次开始，输出结果按4、2、1每3个数一个循环组依次循环，从而用2024减去2的差除以3，看余数是几，输出的数就与循环组中的第几个一致.
5．【答案】A
【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】由题可得：对折1次
对折2次
对折3次
以此类推可得
对折n次可得条虚线，
当n=5时，条，
故答案为：A.
【分析】先根据前面对折得到的虚线条数找到规律：虚线条数为，将n=5代入即可求解.
6．【答案】A
【知识点】探索图形规律；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】由题可得：第一个“口”有14=4枚旗子；
第2个“口”有枚旗子；
第3个“口”有枚旗子；
摆第n个“口”字需用 枚 棋子，
故答案为：A.
【分析】根据摆前面的几个口所需的棋子数得到规律，进而得到摆第n个口所需的棋子数，从而求解.
7．【答案】B
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵1= ； ； ；∴第n个数是： ．故答案为：B．
【分析】根据给出的数可知：分子是连续奇数，分母是连续正整数的平方可写出第n个数。
8．【答案】D
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵，，，…；
，，…．
∴，，n为正整数，
∴．
故答案为：D．
【分析】从已知（1）和（2）可得，n为正整数时，，，然后代入计算即可得出式子的值．
9．【答案】552
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：孩子出生后的天数为1×73+4×72+1×7+6=552
故答案为552.
【分析】类比现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：千位上的数×73+百位上的数×72+十位上的数×7+个位上的数.
10．【答案】-101a20
【知识点】用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】解：已知单项式的系数为2、-5、10、-17；未知数的指数为2、4、6、8；
按此规律，可得第n个单项式为；
当n=10时，单项式为-101.
故答案为：-101a20.
【分析】根据所给单项式，得出第n个单项式的表达式，求出当n为10时的单项式即可.
11．【答案】33
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意可得：，
，
，
，
…
∴这列数依次以，2，循环出现，
∴，
，
∴．
故答案为：33．
【分析】根据差倒数定义求出这列数的前几项，从而可以发现数字的变化特点：这列数依次以，2，循环出现，从而算出一个循环组的和，进而用前66项中循环组的个数乘以一个循环组的和，即可求出待求式子的值.
12．【答案】1598
【知识点】探索数与式的规律；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：由题知，第n行的第1列数为．当时，
，
即第40行的第1列数是1600，
∴第40行、第3列的数是．
故答案为：．
【分析】根据已有数据归纳数字的排列规律：每行的第一列数是对应行数的平方，再根据排列规律得出答案即可。
13．【答案】875
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据题意，
∴个位数为：5，十位数为：7，百为数为：8，
故这个数为：，
故答案为：875．
【分析】根据摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横以及图标横竖式代表的数值分别得出个位，十位，百位数字即可得出答案．
14．【答案】（1），（答案不唯一）
（2）
【知识点】用字母表示数；乘方的相关概念；探索数与式的规律；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：（1）由题意得：
，；
故答案为：，；
（2）∵；；；，；
∴由上述等式可知规律为；
故答案为：．
【分析】
（1）根据题目中的算式，可以发现任意两个数的平方差都等于这两个数的和与差的积，从而可以写出符合规律的两个算式，注意写出的算式只要符合题意即可，不唯一；
（2）根据（1）中所发现规律可直接进行求解即可解答．
（1）解：由题意得：
，；
故答案为，；
（2）解：∵；；；，；
∴由上述等式可知规律为；
故答案为．
15．【答案】（1）①；②；
（2）a，，b；
（3）解：两位数乘以可以看成这个两位数乘以再加上这个两位数，若两位数的十位数为a，个位数为b，则这个数为：
则
根据上述代数式，总结出规律口诀：头尾一拉，中间相加，满十进一．
【知识点】整式的加减运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：，
计算过程：两数拉开，中间相加，即，最后结果；
，
计算过程：两数拉开，中间相加，即，满十进一，最后结果；
故答案为：①；②；
（2）
某个两位数十位数字是a，个位数字是b（），
则根据数拉开，中间相加得到：百位数字是：a，十位数字是，个位数字是：b；
故答案为：a，，b；
【分析】
（1）直接根据口诀解题即可；
（2）总结规律即可；
（3）根据整式的运算化简得到结论．
（1）解：，
计算过程：两数拉开，中间相加，即，最后结果；
，
计算过程：两数拉开，中间相加，即，满十进一，最后结果；
故答案为：①；②；
（2）某个两位数十位数字是a，个位数字是b（），
则根据数拉开，中间相加得到：百位数字是：a，十位数字是，个位数字是：b；
故答案为：a，，b；
（3）两位数乘以可以看成这个两位数乘以再加上这个两位数，若两位数的十位数为a，个位数为b，则这个数为：
则
根据上述代数式，总结出规律口诀：头尾一拉，中间相加，满十进一．
16．【答案】（1）（-3）n-1xn解答：（1）n为奇数时，单项式为正数．x的指数为n时，-3的指数为（n-1），
第n个单项式为（-3）n-1xn．
（2）（-3）7x8
解答：第8个单项式为（-3）7x8；
（3）当x=1时，前8项的和为1-3+9-27+81-243+729-2187=-1640
当x=-1时，前8项的和为-1-3-9-27-81-243-729-2187=-4920
【知识点】单项式的概念；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）通过观察题意可得：n为奇数时，单项式为正数．x的指数为n时，-3的指数为（n-1）。（2）根据第一题得到的规律即可写出第八个单项式；（3）计算当x=1和x=-1时每一项的值然后相加即可．
17．【答案】（1）解：第八层有15个小圆圈，第n层有（2n﹣1）个小圆圈
（2）解：令2n﹣1=65，
得，n=33．
所以，这是第33层
（3）解：1+3+5+…+（2n﹣1）=n2
（4）解：1+3+5+…+99=502=2500
（5）解：101+103+105+…+199=（1+3+5+…+199）﹣（1+3+5+…+99）
=1002﹣502
=7500
【知识点】探索图形规律
【解析】【分析】（1）根据题意可知每一层圆圈个数是连续奇数，则第n层为2n+1；（2）由（1）和已知条件某一层上有65个圆圈可列方程求解；（3）根据已知条件可得1+3+5+…+（2n﹣1）=n2；（4）由（3）可得1+3+5+…+99=502；（5）将101+103+105+…+199转化成（1+3+5+…+199）﹣（1+3+5+…+99）求解即可。
18．【答案】（1）解：图②：（﹣60）÷（﹣12）=5，
图③：（﹣2）×（﹣5）×17=170，
（﹣2）+（﹣5）+17=10，
170÷10=17．
图① 图② 图③
三个角上三个数的积 1×（﹣1）×2=﹣2 （﹣3）×（﹣4）×（﹣5）=﹣60 （﹣2）×（﹣5）×17=170
三个角上三个数的和 1+（﹣1）+2=2 （﹣3）+（﹣4）+（﹣5）=﹣12 （﹣2）+（﹣5）+17=10
积与和的商 ﹣2÷2=﹣1， （﹣60）÷（﹣12）=5， 170÷10=17
（2）解：图④：5×（﹣8）×（﹣9）=360，
5+（﹣8）+（﹣9）=﹣12，
y=360÷（﹣12）=﹣30，
图⑤： =﹣3，
解得x=﹣2；
经检验x=﹣2是原方程的根，
∴图⑤中的数为﹣2
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）根据要求求出三个角上三个数的积和三个角上三个数的和，再求积与和的商即可；（2）y=积与和的商，图⑤中，和=1+3+x，积=13x，再根据积与和的商=-3可得关于x的方程，解这个方程即可。
1 / 13.3 探索与表达规律基础课时卷-北师大版数学七年级上册
一、选择题
1．（2024七上·龙华月考）下面一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…，第2024个数应是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题知，因为1，，，，，…，
所以第n个数可表示为：（n为正整数），
当时，
，
即第2024个数是．
故答案为：A．
【分析】本题聚焦数字规律探索，解题关键在于观察数列中数与数的关联，归纳出通用表达式。先分析已知数：，， ， ， ，可发现规律——第个数为（为正整数 ），明确规律后，将代入表达式，即可求出第个数，核心是从特殊数归纳一般规律并应用.
2．（2024七上·温州期中）《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第4天截取后木棍剩余的长度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】探索数与式的规律；有理数乘方的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得，第一次截取后剩余长度为，
第二次截取后剩余长度为，
第三次截取后剩余长度为，
，
第次截取后剩余长度为，
第四次截取后剩余长度为，
故答案为：D．
【分析】先根据题意列出式子，再根据分数乘法的意义进行化简即可.
3．（2024七上·鄞州月考）如图，边长为1的正方形，沿数轴顺时针连读滚动，起点和重合，则滚动2022次后，点在数轴上对应的数是（　　）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
【答案】D
【知识点】探索数与式的规律；有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：次，即C滚动505次落在数轴上，因此点所表示的数为，
故答案为：D．
【分析】将起点和重合的正方形，沿着数轴顺时针滚动2次，此时点第1次落在数轴上的原点。以后每滚动4次，点会落在数轴上的某一点，这样滚动2022次，点第505次落在数轴上，因此点所表示的数为2020.
4．（2024七上·浙江期中）有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入的值是，可发现第次输出的结果是，第次输出的结果是，第次输出的结果是．依次继续下去，第次输出的结果是（　　）
A．8 B．4 C．2 D．1
【答案】D
【知识点】探索数与式的规律；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：第1次输出结果是16，
第2次输出结果是8，
第3次输出结果是4，
第4次输出结果是，
第5次输出结果是，
第6次输出结果是，
……，
从第3次开始，输出结果每3个数一个循环，分别是4、2、1，
，
∴第2024次输出结果是1．
故答案为：D．
【分析】根据流程图求出前几次的输出结果，发现从第3次开始，输出结果按4、2、1每3个数一个循环组依次循环，从而用2024减去2的差除以3，看余数是几，输出的数就与循环组中的第几个一致.
5．（2024七上·游仙期末）将一张长方形的纸对折，如图，对折1次可得到1条折痕（图中虚线），连续对折3次（对折时每次折痕与上次折痕保持平行），可以得到7条折痕；那么连续对折5次后，可以得到的折痕的条数是（　　）
A．31条 B．32条 C．33条 D．34条
【答案】A
【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】由题可得：对折1次
对折2次
对折3次
以此类推可得
对折n次可得条虚线，
当n=5时，条，
故答案为：A.
【分析】先根据前面对折得到的虚线条数找到规律：虚线条数为，将n=5代入即可求解.
6．（2024七上·金沙月考）用棋子摆出如图所示的一组“口”字，照样子摆下去，摆第n个“口”字需用棋子（　　）
A．枚 B．枚 C．枚 D．枚
【答案】A
【知识点】探索图形规律；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】由题可得：第一个“口”有14=4枚旗子；
第2个“口”有枚旗子；
第3个“口”有枚旗子；
摆第n个“口”字需用 枚 棋子，
故答案为：A.
【分析】根据摆前面的几个口所需的棋子数得到规律，进而得到摆第n个口所需的棋子数，从而求解.
7．（2018七上·杜尔伯特期末）已知下列一组数：1， ，…；用代数式表示第n个数，则第n个数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵1= ； ； ；∴第n个数是： ．故答案为：B．
【分析】根据给出的数可知：分子是连续奇数，分母是连续正整数的平方可写出第n个数。
8．（2024七上·珠海期中）符号“”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1）…；
（2）…．
利用以上规律计算：等于（　　）
A． B． C．2023 D．2024
【答案】D
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵，，，…；
，，…．
∴，，n为正整数，
∴．
故答案为：D．
【分析】从已知（1）和（2）可得，n为正整数时，，，然后代入计算即可得出式子的值．
二、填空题
9．（2020七上·盐城期中）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子出生后的天数为　 　个.
【答案】552
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：孩子出生后的天数为1×73+4×72+1×7+6=552
故答案为552.
【分析】类比现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：千位上的数×73+百位上的数×72+十位上的数×7+个位上的数.
10．（2023七上·云梦期中）观察下列单项式：，，，，…，按此规律，第10个单项式是　 　.
【答案】-101a20
【知识点】用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】解：已知单项式的系数为2、-5、10、-17；未知数的指数为2、4、6、8；
按此规律，可得第n个单项式为；
当n=10时，单项式为-101.
故答案为：-101a20.
【分析】根据所给单项式，得出第n个单项式的表达式，求出当n为10时的单项式即可.
11．（2024七上·成都期中）已知有理数，我们把称为a的差倒数，例如2的差倒数是，的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，那么的值是　 　．
【答案】33
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意可得：，
，
，
，
…
∴这列数依次以，2，循环出现，
∴，
，
∴．
故答案为：33．
【分析】根据差倒数定义求出这列数的前几项，从而可以发现数字的变化特点：这列数依次以，2，循环出现，从而算出一个循环组的和，进而用前66项中循环组的个数乘以一个循环组的和，即可求出待求式子的值.
12．（2024七上·南沙期中）将从1开始的自然数按如图规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则根据此规律可知第40行、第3列的数是　 　．
【答案】1598
【知识点】探索数与式的规律；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：由题知，第n行的第1列数为．当时，
，
即第40行的第1列数是1600，
∴第40行、第3列的数是．
故答案为：．
【分析】根据已有数据归纳数字的排列规律：每行的第一列数是对应行数的平方，再根据排列规律得出答案即可。
13．（2024七上·长兴期中）我国在数的发展上有辉煌的成就，中国古代的算筹计数法可追溯到公元前五世纪，算筹是竹制的小棍，摆法有纵式和横式两种（如图）．以算筹计数的方法是：摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横…，这样纵横依次交替，零以空格表示．如3257表示成“”．算筹“”所表示的数是　 　．
【答案】875
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据题意，
∴个位数为：5，十位数为：7，百为数为：8，
故这个数为：，
故答案为：875．
【分析】根据摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横以及图标横竖式代表的数值分别得出个位，十位，百位数字即可得出答案．
三、解答题
14．（2024七上·花都期中）李老师在黑板上写出三个等式：；；；王华接着又写了两个具有同样规律的算式：，
（1）请你写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；______；______
（2）用字母和表示上述规律．______
【答案】（1），（答案不唯一）
（2）
【知识点】用字母表示数；乘方的相关概念；探索数与式的规律；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：（1）由题意得：
，；
故答案为：，；
（2）∵；；；，；
∴由上述等式可知规律为；
故答案为：．
【分析】
（1）根据题目中的算式，可以发现任意两个数的平方差都等于这两个数的和与差的积，从而可以写出符合规律的两个算式，注意写出的算式只要符合题意即可，不唯一；
（2）根据（1）中所发现规律可直接进行求解即可解答．
（1）解：由题意得：
，；
故答案为，；
（2）解：∵；；；，；
∴由上述等式可知规律为；
故答案为．
15．（2024七上·从江期中）阅读理解：蕊蕊是一个勤奋好学的学生，她常常通过书籍、网络等渠道主动学习各种知识．下面是她从网络搜到的两位数乘的速算法，其口诀是：“头尾一拉，中间相加，满十进一”，例如：①．计算过程：两数拉开，中间相加，即，最后结果；②．计算过程：两数分开，中间相加，即，满十进一，最后结果．
（1）计算：①______，②______；
（2）若某个两位数十位数字是a，个位数字是b（），将这个两位数乘，得到一个三位数，则根据上述的方法可得，该三位数百位数字是______，十位数字是______，个位数字是______；（用含a、b的代数式表示）
（3）请你结合（2），利用所学的知识解释其中原理．
【答案】（1）①；②；
（2）a，，b；
（3）解：两位数乘以可以看成这个两位数乘以再加上这个两位数，若两位数的十位数为a，个位数为b，则这个数为：
则
根据上述代数式，总结出规律口诀：头尾一拉，中间相加，满十进一．
【知识点】整式的加减运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：，
计算过程：两数拉开，中间相加，即，最后结果；
，
计算过程：两数拉开，中间相加，即，满十进一，最后结果；
故答案为：①；②；
（2）
某个两位数十位数字是a，个位数字是b（），
则根据数拉开，中间相加得到：百位数字是：a，十位数字是，个位数字是：b；
故答案为：a，，b；
【分析】
（1）直接根据口诀解题即可；
（2）总结规律即可；
（3）根据整式的运算化简得到结论．
（1）解：，
计算过程：两数拉开，中间相加，即，最后结果；
，
计算过程：两数拉开，中间相加，即，满十进一，最后结果；
故答案为：①；②；
（2）某个两位数十位数字是a，个位数字是b（），
则根据数拉开，中间相加得到：百位数字是：a，十位数字是，个位数字是：b；
故答案为：a，，b；
（3）两位数乘以可以看成这个两位数乘以再加上这个两位数，若两位数的十位数为a，个位数为b，则这个数为：
则
根据上述代数式，总结出规律口诀：头尾一拉，中间相加，满十进一．
16．（北师大版数学七年级上册第3章 3.3整式课时作业）观察右边一组单项式：x，-3x2，9x3，-27x4，…
（1）你发现了什么规律？
（2）根据你发现的规律写出第8个单项式；
（3）当x=1和x=-1时分别求出前8项的和．
【答案】（1）（-3）n-1xn解答：（1）n为奇数时，单项式为正数．x的指数为n时，-3的指数为（n-1），
第n个单项式为（-3）n-1xn．
（2）（-3）7x8
解答：第8个单项式为（-3）7x8；
（3）当x=1时，前8项的和为1-3+9-27+81-243+729-2187=-1640
当x=-1时，前8项的和为-1-3-9-27-81-243-729-2187=-4920
【知识点】单项式的概念；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）通过观察题意可得：n为奇数时，单项式为正数．x的指数为n时，-3的指数为（n-1）。（2）根据第一题得到的规律即可写出第八个单项式；（3）计算当x=1和x=-1时每一项的值然后相加即可．
17．（2018七上·沧州期末）观察图，解答下列问题．
（1）图中的小圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1个小圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈，…，第六层有11个圆圈．如果要你继续画下去，那么第八层有几个小圆圈？第n层呢？
（2）某一层上有65个圆圈，这是第几层？
（3）数图中的圆圈个数可以有多种不同的方法．
比如：前两层的圆圈个数和为（1+3）或22，
由此得，1+3=22．
同样，
由前三层的圆圈个数和得：1+3+5=32．
由前四层的圆圈个数和得：1+3+5+7=42．
由前五层的圆圈个数和得：1+3+5+7+9=52．
…
根据上述请你猜测，从1开始的n个连续奇数之和是多少？用公式把它表示出来．
（4）计算：1+3+5+…+99的和；
（5）计算：101+103+105+…+199的和．
【答案】（1）解：第八层有15个小圆圈，第n层有（2n﹣1）个小圆圈
（2）解：令2n﹣1=65，
得，n=33．
所以，这是第33层
（3）解：1+3+5+…+（2n﹣1）=n2
（4）解：1+3+5+…+99=502=2500
（5）解：101+103+105+…+199=（1+3+5+…+199）﹣（1+3+5+…+99）
=1002﹣502
=7500
【知识点】探索图形规律
【解析】【分析】（1）根据题意可知每一层圆圈个数是连续奇数，则第n层为2n+1；（2）由（1）和已知条件某一层上有65个圆圈可列方程求解；（3）根据已知条件可得1+3+5+…+（2n﹣1）=n2；（4）由（3）可得1+3+5+…+99=502；（5）将101+103+105+…+199转化成（1+3+5+…+199）﹣（1+3+5+…+99）求解即可。
18．（2018七上·瑶海期末）观察图形，解答问题：
（1）按下表已填写的形式填写表中的空格：
图① 图② 图③
三个角上三个数的积 1×（﹣1）×2=﹣2 （﹣3）×（﹣4）×（﹣5）=﹣60
三个角上三个数的和 1+（﹣1）+2=2 （﹣3）+（﹣4）+（﹣5）=﹣12
积与和的商 ﹣2÷2=﹣1
（2）请用你发现的规律求出图④中的数y和图⑤中的数x．
【答案】（1）解：图②：（﹣60）÷（﹣12）=5，
图③：（﹣2）×（﹣5）×17=170，
（﹣2）+（﹣5）+17=10，
170÷10=17．
图① 图② 图③
三个角上三个数的积 1×（﹣1）×2=﹣2 （﹣3）×（﹣4）×（﹣5）=﹣60 （﹣2）×（﹣5）×17=170
三个角上三个数的和 1+（﹣1）+2=2 （﹣3）+（﹣4）+（﹣5）=﹣12 （﹣2）+（﹣5）+17=10
积与和的商 ﹣2÷2=﹣1， （﹣60）÷（﹣12）=5， 170÷10=17
（2）解：图④：5×（﹣8）×（﹣9）=360，
5+（﹣8）+（﹣9）=﹣12，
y=360÷（﹣12）=﹣30，
图⑤： =﹣3，
解得x=﹣2；
经检验x=﹣2是原方程的根，
∴图⑤中的数为﹣2
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）根据要求求出三个角上三个数的积和三个角上三个数的和，再求积与和的商即可；（2）y=积与和的商，图⑤中，和=1+3+x，积=13x，再根据积与和的商=-3可得关于x的方程，解这个方程即可。
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