资源简介

3.3 探索与表达规律提升课时卷-北师大版数学七年级上册
一、选择题
1．（2024七上·夷陵期中）在数列a1，a2，a3，…an中，，且任意相邻的三个数的乘积都相等，若前n个数的乘积等于64，则n可能是（　　）
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∵a1，a2，a3，…an中任意相邻的三个数的乘积都相等，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，共6个相乘，
∴
故选：C.
【分析】本题考查了数字的变化类，根据数字的变化每三个为一组，得到，得到数列的规律，，，结合，再由，即可得到答案.
2．（2024七上·南宁期中）如图所示，观察下列图形它们是按一定规律构造的，依照此规律，第个图形中共有（　　）个三角形．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：观察所给图形可知：
第1个图形中有3个三角形，，
第2个图形中有7个三角形，，
第3个图形中有11个三角形，，
……
因此第个图形中共有个三角形．
故选：C．
【分析】本题考查了用代数式表示图形的规律，根据题意，分别求得第1个图形，第2个图形和第3个图形中三角形的个数，得到第个图形中共有个三角形，进而得到答案.
3．（2024七上·南宁期中）如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有2个空心菱形，第②个图形中一共有5个空心菱形，第③个图形中一共有11个空心菱形，…，按此规律排列下去，第⑧个图形中空心菱形的个数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解∶ 设第个图形中有个空心菱形（为正整数），
，，，，，
，，
当，时，，
故选：C．
【分析】本题考查了图形的变化类-规律型，设第个图形中有个空心菱形，得到，，，，，得到计算规律：，，进而求得 第⑧个图形中空心菱形的个数 ，得到答案．
4．（2023七上·隆化期末）如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为81，我们看到第一次输出的结果为27．第二次输出的结果为9，…，第10次输出的结果为（　　）
A．1 B．3 C．9 D．27
【答案】A
【知识点】探索数与式的规律；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】
解：第1次，，第2次，，
第3次，，
第4次，，
第5次，，
第6次，，
，
依此类推，从第3次开始以3，1循环，
∵，
∴第10次输出的结果为．
故答案为：A.
【分析】首先求代数式的值，然后观察结果从第3次开始以3，1循环，再根据，正好整除，故而得出输出结果为1.
5．（2024七上·南宁期中）“数形结合”是一种重要的数学思想，观察下面的图形和算式：请用下面得到的规律计算：（　　）
A．81 B．100 C．121 D．144
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：由，
，
，
，
，
，
故．
故选：B．
【分析】本题考查了数的规律的探索，根据题设中的算式，得出计算规律，结合运算规律，进行计算，即可得到答案.
6．（2022七上·婺城期中）意大利数学家列昂纳多·斐波那契在1202年所著的《算盘书》中提出以下问题：如果每对兔子每月能繁殖一对子兔，而子兔在出生后第二个月就有生殖能力，第三个月就生产一对兔子，以后每个月生产一对，假设每对兔子都是一雌一雄、试问一对兔子一年能繁殖多少对兔子？我们记第n个月兔子数为，则得到一系列斐波那契数，…我们利用斐波那契数可以构造以下一系列连分数：（a，d为正整数，b，c为分数，则d的值是（　　）
A．233 B．843 C．987 D．975
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解∶ ∵ 斐波那契数列中每个数字是前两个数字的和，
∴数列的前几项为，……，
∵，
∴，
∴后的三个数为，
∴．
故答案为：C.
【分析】 由于斐波那契数列中每个数字是前两个数字的和，故可写出该数列的前几项；通过观察发现，后一个数的分子是前两个数的分子之和，后一个数的分母是前一个数的分子，由此进行计算即可．
7．（2024七上·南宁期中）“杨辉三角”两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式中各代数式前面数字的规律（按的指数由大到小的顺序依次排列，的指数由小到大的顺序依次排列）．观察这些数字的规律，求出的展开式中各代数式前面数字的和为（　　）
A．32 B．64 C．128 D．136
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∵当时，多项式展开式的各项系数之和为：，
当时，多项式展开式的各项系数之和为：，
当时，多项式展开式的各项系数之和为：，
当时，多项式展开式的各项系数之和为：，
…
∴多项式展开式的各项系数之和．
故选：C．
【分析】本题考查了杨辉三角在二项式展开式中的相关规律及其应用，按照杨辉三角图表，分别计算当，，和时，多项式展开式的各项系数之和，得出运算规律，结合预算规律，即可求解.
8．（2024七上·温州月考）有一根起点为0且标有单位长度的射线，现有同学将它进行弯折，如图所示．弯折后落在虚线上的点，从下往上第一个数是0，第二个数是12，第三个数是42，…，依此规律，落在虚线上的第六个点对应的数是（　　）
A．150 B．156 C．238 D．240
【答案】D
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：第个数为，
第个数为：，
第个数为：，
第个数为：，
第个数为：．
第个数为：．
故答案为：D．
【分析】通过观察计算前几个点所表示的数，发现第二点开始，每个点对应的数等于前面的点对应的数再加上连续的三个偶数，且每组连续3个偶数的起始数依次为2、8、14、20……，相邻两组起始数的差值为6，据此解答即可.
二、填空题
9．观察“田”字中各数之间的关系：
则c=　 　.
【答案】270
【知识点】有理数混合运算的实际应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：“田”字左上角的数=2n-1，左下角的数=2"，由2n-1=15，得 15+a=271，c=271-1=270.
故答案为：270.
【分析】先归纳 “田” 字中左上角、左下角数的规律表达式，利用已知左上角数15求出n，再依次算出左下角、右下角数，最后根据右下角与右上角数的关系得c.
10．（2025七上·三台期末）下列单项式中，相同未知数的次数依次有规律变化：， 你认为第20个单项式为　 　．
【答案】
【知识点】探索数与式的规律；单项式的次数与系数
【解析】【解答】解：观察每个单项式，
第1个：xy（即x1y1）
第2个：x2y3
第3个：x3y5
第4个：x4y7
可以看出：
对于x的次数：1， 2， 3， 4， ...，与序列位置相等，
对于y的次数：1， 3， 5， 7， ...，随着序列位置以2的增量增加，且从1开始，
所以第20个单项式中，x的次数为n=20；第20个单项式中，y的次数为2n 1=2*20 1=39.
故第20个单项式是x20y39.
故答案为：x20y39．
【分析】本题考查单项式中的规律探究，观察给定的单项式序列，尝试找出未知数x和y的次数与序列位置之间的关系， 观察可知，的指数为从1开始连续的整数，的指数为从1开始连续的奇数，算出第20项即可．
11．（2024七上·南宁期中）如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，……，则第n（n为正整数）个图案由　 　个▲组成．
【答案】（3n+1）
【知识点】用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：观察发现：
第一个图形有3×2﹣3+1=4个三角形；
第二个图形有3×3﹣3+1=7个三角形；
第三个图形有3×4﹣3+1=10个三角形；
…
第n个图形有3（n+1）﹣3+1=3n+1个三角形；
故答案为3n+1．
【分析】本题主要考查了图形变换规律，根据题意，分别求得第一个图形，第二个图形和第三个图形中三角形的个数的计算式，总结、归纳得到第n个图形有3n+1个三角形，进而得到答案.
12．（2023七上·呼和浩特期中）某校园学子餐厅把WIFI密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了一会，输入密码，顺利地连接到了学子餐厅的网络，那么他输入的密码是　 　．
【答案】143549
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：532=5×3×10000+5×2×100+5×（2+3）=151025
924=9×2×10000+9×4×100+9×（2+4）=183654，
863=8×6×10000+8×3×100+8×（3+6）=482472，
∴725=7×2×10000+7×5×100+7×（2+5）=143549.
故答案为：143549.
【分析】通过分析给出的三个等式，发现每个等式的结果由三个部分组成：①左边第一个数与第二个数的乘积作为了右边数从左至右的第一位与第二位，②左边第一个数与第三个数的乘积作为了右边数从左至右的第三位与第四位，③第一个数与第二个数、第三个数之和的乘积作为了右边数从左至右的第五位与第六位，据此结合各个数位上数字代表的意义，列式计算可得答案.
13．（2024七上·三水期末）如图，将一个圆平均分成三个大小形状一样的扇形．取其中一个扇形，将它等分成三个小扇形．再取其中一个小扇形，将它等分成三个小扇形…如此继续分割下去．第　 　次分割后总共得到2025个扇形．
【答案】1012
【知识点】探索数与式的规律；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：由题知，
第1次分割后，扇形的总个数为：；
第2次分割后，扇形的总个数为：；
第3次分割后，扇形的总个数为：；
…，
所以第n次分割后，扇形的总个数为个．
令，
解得，
即第1012次分割后，扇形的总个数为2025个．
故答案为：
【分析】本题主要考查了图形变化的规律，根据所给分割方式，依次求出第1次，第2次，第3次分割后，扇形的总个数，总结规律，得到第n次分割后，扇形的总个数为个，结合，求得n的值，即可得到答案.
三、解答题
14．（2024七上·肇源月考）已知，，，…，按照这个规律完成下列问题：
（1） ______．
（2）猜想： ．
（3）利用（2）中的结论计算：（写出计算过程）．
【答案】（1）225，5，6
（2）
（3）解：原式
．
【知识点】探索数与式的规律；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】解：（1）∵，，，
．
故答案为：225，5，6．
（2）根据题意，观察发现规律，可猜想：，
故答案为：．
【分析】（1）根据题意，观察发现即可得的结果．
（2）根据题意，观察发现规律，可猜想：．
（3）根据（2）的结论得：＝计算即可．
（1）解：∵，，，
故答案为：225，5，6；
（2）猜想：
故答案为：
（3）解：原式
．
15．（2024七上·东莞期中）仔细观察下列三组数：
第一组：，，，，，……
第二组：，，，，，……
第三组：，，，，，……
解答下列问题：
（1）第一组的第8个数是 ；
（2）如果第二组的第个数是，写出第一组的第个数是 ；
（3）取每组数的第10个数，计算它们的和．
【答案】（1）
（2）
（3）解：观察第三组数字的变化规律得：第个数是，
∴第三组数字的第10个数是：，
由（2）得：第一组的第ｎ个数字为：， 第二组的第个数是：，
∴第一组第10个数为，第二组第10个数为．
∴ 每组数的第10个数，计算它们的和 为：，
∴取每组数的第10个数，计算它们的和为1．
【知识点】探索数与式的规律；有理数的乘方法则；有理数的加法法则
【解析】解：（1）根据题意观察数据的变化规律得：
第一组的第ｎ个数字为：．
∴ 第一组的第8个数是 ：．
∴ 第一组的第8个数是-64．
故答案为：．
（2）根据（1）得：第一组的第ｎ个数字为：．
第二组的第ｎ个数字为：．
故答案为：．
【分析】（1）观察数字变化规律，可知第一组的第ｎ个数字为：，则可得第一组的第8个数是-64．
（2）根据（1）写出规律即可．
（3）先找出第三组数据的规律，求出第10个数，在根据第一、二组的规律分别求出它们的第10个数为为-100、-101，然后把三个数字相加计算即可得解．
（1）解：根据题意，第一组中第8个数是．
故答案为：；
（2）如果第二组的第个数是，写出第一组的第个数是．
故答案为：；
（3）结合题意，可知第三组的第个数是，
则第三组的第10个数是，
结合（2），可知第一组第10个数为，
第二组第10个数为，
，
所以，取每组数的第10个数，计算它们的和为1．
16．（2024七上·龙华月考）（1）观察下列点阵图，写出与第4个点阵相对应的等式；
，，，______；
（2）结合（1）观察下列点阵图，写出与第5个点阵相对应的等式．
，，，，______；
（3）写出（2）中与第个点阵相对应的等式：______．
【答案】（1）；（2）；（3）
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）前3个等式规律：
第1个：（左边1个数，右边对应公式 ）
第2个：（左边2个数，右边对应公式 ）
第3个：（左边3个数，右边对应公式 ）
第4个等式左边是（4个连续自然数相加 ），按规律右边为，即：
，
故答案为：.
（2）观察前式：
第1个：和为，对应数（ ）
第2个：和为，对应数（ ）、（ ）
第3个：和为，对应数（ ）、（ ）
第4个：和为，对应数（ ）、（ ）
所以第5个等式左边是（ ）和（ ）相加，右边是，即：
，
故答案为：.
（3）结合（1）（2），左边两数是连续的三角形数：
第个等式中，前一个数为（对应第个三角形数 ）
后一个数为（对应第个三角形数 ）
两数相加：
所以第个等式为：
故答案为： .
【分析】本题是找规律题型，需通过观察点阵图与等式的对应关系，归纳出通用规律，分三步突破：
（1）第4个点阵等式：观察前3个等式，左边是连续自然数相加（个数与点阵序号一致 ），右边是“”的形式，据此推导第4个等式.
（2）第5个点阵等式：分析前4个等式（如， ），左边是两数相加，数的规律与“三角形数”（ ）相关，右边是序号的平方，据此找第5个等式.
（3）第个点阵等式：结合（1）（2）的规律，将具体序号推广到，用含的式子表示左边两数和（基于三角形数公式 ）与右边的关系.
17．（2024七上·宣汉期末）如图所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，以此类推．
（1）图中的阴影部分面积是　 　；
（2）受此启发，得到　 　．
（3）进而计算：
【答案】（1）
（2）
（3）解：根据题目（2）中式子规律可得：
．
【知识点】探索数与式的规律；有理数乘方的实际应用
【解析】【解答】解：（1）根据图形变化规律可以得知，如图（1）中的阴影部分面积是，
故答案为：．
（2）利用正方形面积相等可以列出关系式：
．
故答案为：
【分析】（1）根据图形的变化规律结合题意即可求解；
（2）根据图形变化的规律结合题意即可得到，从而即可求解；
（3）根据（2）中的式子结合题意即可求解。
18．（2024七上·高州期末）综合与实践：
主题：制作一个无盖长方形盒子．
步骤1：按照如图所示的方式，将正方形纸片的四个角剪掉四个大小相同的小正方形．
步骤2：沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体盒子．
（1）【问题分析】
如果原正方形纸片的边长为a，剪去的正方形的边长为b，则折成的无盖长方体盒子的高、底面积、容积分别为　 　、　 　、　 　（请你用含a，b的代数式来表示）．
（2）【实践探索】
如果，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取，，，，，，，，，时，折成的无盖长方体的容积分别是下表数据，请求出m和n分别是多少？
剪去正方形的边长/ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
容积/ 324 512 m n 500 384 252 128 36 0
（3）【实践分析】
观察绘制的统计表，你发现，随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？并分析猜想当剪去图形的边长为多少时，所得的无盖长方体的容积最大，此时最大容积是多少？
【答案】（1）b；；
（2）解：当a=20，b=3时，b（a-2b）2=3×（20-2×3）2=588（cm3），
当a=20，b=4时，b（a-2b）2=4×（20-2×4）2=576（cm3），
∴m=588，n=576.
（3）解：由表中数据可知，随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积先增大后减小；由表中数据可知，当b=3时，容积最大为588cm3.
【知识点】探索数与式的规律；用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：（1） 如果原正方形纸片的边长为a，剪去的正方形的边长为b，则折成的无盖长方体盒子的高、底面积、容积分别 b、（a-2b）2、b（a-2b）2；
故答案为：b、（a-2b）2、b（a-2b）2；【分析】（1）通过折叠可知，折成的无盖长方体盒子的高为b，底面积是正方形，正方形的面积=边长×边长，而边长为（a-2b），所以底面正方形面积为（a-2b）2，再由长方体的体积=底面积×高，可以出长方体盒子的容积即体积；
（2）由表中数据可以明确，求m、n的值，就是分别求当a=20，b=3和b=4时长方体的体积，求出即可得到m、n的值；
（3）通过观察表中数据可以猜想随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化的规律；并分析猜想当剪去图形的边长为3时，所得的无盖长方体的容积最大，此时最大容积是588cm3.
19．（2023七上·吴兴期中）观察下列等式：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：．
请解答下列问题：
（1）按着以上的规律，可以写出第5个等式为：　 　；
（2）用含有n（n为正整数）代数式表示第n个等式：　 　；
（3）直接写出当时，n的值为　 　；
（4）求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）6
（4）∵，
∴
时， .
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）由题意得第5个等式为：
故答案为：；
（2）第个等式为：
故答案为：；
（3）当时，，即，
解得，
故答案为：6.
【分析】（1）由题意得
（2）根据已知规律归纳得出第n个等式；
（3）由（3）知，计算求解即可得解；
（4），，把代入，计算求解即可．
20．阅读材料：求 的值.
解：设 1
则 ②
②-①得， -3，所以 即
所以
以上方法我们称为“错位相减法”.仿照上述方法，解决下列问题：
（1）计算：
（2）填空：
【答案】（1）解：设①，
则有②，
②﹣①得：，
则，
∴
（2）解：
【知识点】探索数与式的规律；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）原式利用材料中的方法错位相减，计算求解即可；
（2），结合（1）的结论，即可求出答案．
1 / 13.3 探索与表达规律提升课时卷-北师大版数学七年级上册
一、选择题
1．（2024七上·夷陵期中）在数列a1，a2，a3，…an中，，且任意相邻的三个数的乘积都相等，若前n个数的乘积等于64，则n可能是（　　）
A．16 B．17 C．18 D．19
2．（2024七上·南宁期中）如图所示，观察下列图形它们是按一定规律构造的，依照此规律，第个图形中共有（　　）个三角形．
A． B． C． D．
3．（2024七上·南宁期中）如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有2个空心菱形，第②个图形中一共有5个空心菱形，第③个图形中一共有11个空心菱形，…，按此规律排列下去，第⑧个图形中空心菱形的个数为（　　）
A． B． C． D．
4．（2023七上·隆化期末）如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为81，我们看到第一次输出的结果为27．第二次输出的结果为9，…，第10次输出的结果为（　　）
A．1 B．3 C．9 D．27
5．（2024七上·南宁期中）“数形结合”是一种重要的数学思想，观察下面的图形和算式：请用下面得到的规律计算：（　　）
A．81 B．100 C．121 D．144
6．（2022七上·婺城期中）意大利数学家列昂纳多·斐波那契在1202年所著的《算盘书》中提出以下问题：如果每对兔子每月能繁殖一对子兔，而子兔在出生后第二个月就有生殖能力，第三个月就生产一对兔子，以后每个月生产一对，假设每对兔子都是一雌一雄、试问一对兔子一年能繁殖多少对兔子？我们记第n个月兔子数为，则得到一系列斐波那契数，…我们利用斐波那契数可以构造以下一系列连分数：（a，d为正整数，b，c为分数，则d的值是（　　）
A．233 B．843 C．987 D．975
7．（2024七上·南宁期中）“杨辉三角”两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式中各代数式前面数字的规律（按的指数由大到小的顺序依次排列，的指数由小到大的顺序依次排列）．观察这些数字的规律，求出的展开式中各代数式前面数字的和为（　　）
A．32 B．64 C．128 D．136
8．（2024七上·温州月考）有一根起点为0且标有单位长度的射线，现有同学将它进行弯折，如图所示．弯折后落在虚线上的点，从下往上第一个数是0，第二个数是12，第三个数是42，…，依此规律，落在虚线上的第六个点对应的数是（　　）
A．150 B．156 C．238 D．240
二、填空题
9．观察“田”字中各数之间的关系：
则c=　 　.
10．（2025七上·三台期末）下列单项式中，相同未知数的次数依次有规律变化：， 你认为第20个单项式为　 　．
11．（2024七上·南宁期中）如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，……，则第n（n为正整数）个图案由　 　个▲组成．
12．（2023七上·呼和浩特期中）某校园学子餐厅把WIFI密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了一会，输入密码，顺利地连接到了学子餐厅的网络，那么他输入的密码是　 　．
13．（2024七上·三水期末）如图，将一个圆平均分成三个大小形状一样的扇形．取其中一个扇形，将它等分成三个小扇形．再取其中一个小扇形，将它等分成三个小扇形…如此继续分割下去．第　 　次分割后总共得到2025个扇形．
三、解答题
14．（2024七上·肇源月考）已知，，，…，按照这个规律完成下列问题：
（1） ______．
（2）猜想： ．
（3）利用（2）中的结论计算：（写出计算过程）．
15．（2024七上·东莞期中）仔细观察下列三组数：
第一组：，，，，，……
第二组：，，，，，……
第三组：，，，，，……
解答下列问题：
（1）第一组的第8个数是 ；
（2）如果第二组的第个数是，写出第一组的第个数是 ；
（3）取每组数的第10个数，计算它们的和．
16．（2024七上·龙华月考）（1）观察下列点阵图，写出与第4个点阵相对应的等式；
，，，______；
（2）结合（1）观察下列点阵图，写出与第5个点阵相对应的等式．
，，，，______；
（3）写出（2）中与第个点阵相对应的等式：______．
17．（2024七上·宣汉期末）如图所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，以此类推．
（1）图中的阴影部分面积是　 　；
（2）受此启发，得到　 　．
（3）进而计算：
18．（2024七上·高州期末）综合与实践：
主题：制作一个无盖长方形盒子．
步骤1：按照如图所示的方式，将正方形纸片的四个角剪掉四个大小相同的小正方形．
步骤2：沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体盒子．
（1）【问题分析】
如果原正方形纸片的边长为a，剪去的正方形的边长为b，则折成的无盖长方体盒子的高、底面积、容积分别为　 　、　 　、　 　（请你用含a，b的代数式来表示）．
（2）【实践探索】
如果，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取，，，，，，，，，时，折成的无盖长方体的容积分别是下表数据，请求出m和n分别是多少？
剪去正方形的边长/ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
容积/ 324 512 m n 500 384 252 128 36 0
（3）【实践分析】
观察绘制的统计表，你发现，随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？并分析猜想当剪去图形的边长为多少时，所得的无盖长方体的容积最大，此时最大容积是多少？
19．（2023七上·吴兴期中）观察下列等式：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：．
请解答下列问题：
（1）按着以上的规律，可以写出第5个等式为：　 　；
（2）用含有n（n为正整数）代数式表示第n个等式：　 　；
（3）直接写出当时，n的值为　 　；
（4）求的值．
20．阅读材料：求 的值.
解：设 1
则 ②
②-①得， -3，所以 即
所以
以上方法我们称为“错位相减法”.仿照上述方法，解决下列问题：
（1）计算：
（2）填空：
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∵a1，a2，a3，…an中任意相邻的三个数的乘积都相等，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，共6个相乘，
∴
故选：C.
【分析】本题考查了数字的变化类，根据数字的变化每三个为一组，得到，得到数列的规律，，，结合，再由，即可得到答案.
2．【答案】C
【知识点】用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：观察所给图形可知：
第1个图形中有3个三角形，，
第2个图形中有7个三角形，，
第3个图形中有11个三角形，，
……
因此第个图形中共有个三角形．
故选：C．
【分析】本题考查了用代数式表示图形的规律，根据题意，分别求得第1个图形，第2个图形和第3个图形中三角形的个数，得到第个图形中共有个三角形，进而得到答案.
3．【答案】C
【知识点】用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解∶ 设第个图形中有个空心菱形（为正整数），
，，，，，
，，
当，时，，
故选：C．
【分析】本题考查了图形的变化类-规律型，设第个图形中有个空心菱形，得到，，，，，得到计算规律：，，进而求得 第⑧个图形中空心菱形的个数 ，得到答案．
4．【答案】A
【知识点】探索数与式的规律；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】
解：第1次，，第2次，，
第3次，，
第4次，，
第5次，，
第6次，，
，
依此类推，从第3次开始以3，1循环，
∵，
∴第10次输出的结果为．
故答案为：A.
【分析】首先求代数式的值，然后观察结果从第3次开始以3，1循环，再根据，正好整除，故而得出输出结果为1.
5．【答案】B
【知识点】探索数与式的规律；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：由，
，
，
，
，
，
故．
故选：B．
【分析】本题考查了数的规律的探索，根据题设中的算式，得出计算规律，结合运算规律，进行计算，即可得到答案.
6．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解∶ ∵ 斐波那契数列中每个数字是前两个数字的和，
∴数列的前几项为，……，
∵，
∴，
∴后的三个数为，
∴．
故答案为：C.
【分析】 由于斐波那契数列中每个数字是前两个数字的和，故可写出该数列的前几项；通过观察发现，后一个数的分子是前两个数的分子之和，后一个数的分母是前一个数的分子，由此进行计算即可．
7．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∵当时，多项式展开式的各项系数之和为：，
当时，多项式展开式的各项系数之和为：，
当时，多项式展开式的各项系数之和为：，
当时，多项式展开式的各项系数之和为：，
…
∴多项式展开式的各项系数之和．
故选：C．
【分析】本题考查了杨辉三角在二项式展开式中的相关规律及其应用，按照杨辉三角图表，分别计算当，，和时，多项式展开式的各项系数之和，得出运算规律，结合预算规律，即可求解.
8．【答案】D
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：第个数为，
第个数为：，
第个数为：，
第个数为：，
第个数为：．
第个数为：．
故答案为：D．
【分析】通过观察计算前几个点所表示的数，发现第二点开始，每个点对应的数等于前面的点对应的数再加上连续的三个偶数，且每组连续3个偶数的起始数依次为2、8、14、20……，相邻两组起始数的差值为6，据此解答即可.
9．【答案】270
【知识点】有理数混合运算的实际应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：“田”字左上角的数=2n-1，左下角的数=2"，由2n-1=15，得 15+a=271，c=271-1=270.
故答案为：270.
【分析】先归纳 “田” 字中左上角、左下角数的规律表达式，利用已知左上角数15求出n，再依次算出左下角、右下角数，最后根据右下角与右上角数的关系得c.
10．【答案】
【知识点】探索数与式的规律；单项式的次数与系数
【解析】【解答】解：观察每个单项式，
第1个：xy（即x1y1）
第2个：x2y3
第3个：x3y5
第4个：x4y7
可以看出：
对于x的次数：1， 2， 3， 4， ...，与序列位置相等，
对于y的次数：1， 3， 5， 7， ...，随着序列位置以2的增量增加，且从1开始，
所以第20个单项式中，x的次数为n=20；第20个单项式中，y的次数为2n 1=2*20 1=39.
故第20个单项式是x20y39.
故答案为：x20y39．
【分析】本题考查单项式中的规律探究，观察给定的单项式序列，尝试找出未知数x和y的次数与序列位置之间的关系， 观察可知，的指数为从1开始连续的整数，的指数为从1开始连续的奇数，算出第20项即可．
11．【答案】（3n+1）
【知识点】用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：观察发现：
第一个图形有3×2﹣3+1=4个三角形；
第二个图形有3×3﹣3+1=7个三角形；
第三个图形有3×4﹣3+1=10个三角形；
…
第n个图形有3（n+1）﹣3+1=3n+1个三角形；
故答案为3n+1．
【分析】本题主要考查了图形变换规律，根据题意，分别求得第一个图形，第二个图形和第三个图形中三角形的个数的计算式，总结、归纳得到第n个图形有3n+1个三角形，进而得到答案.
12．【答案】143549
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：532=5×3×10000+5×2×100+5×（2+3）=151025
924=9×2×10000+9×4×100+9×（2+4）=183654，
863=8×6×10000+8×3×100+8×（3+6）=482472，
∴725=7×2×10000+7×5×100+7×（2+5）=143549.
故答案为：143549.
【分析】通过分析给出的三个等式，发现每个等式的结果由三个部分组成：①左边第一个数与第二个数的乘积作为了右边数从左至右的第一位与第二位，②左边第一个数与第三个数的乘积作为了右边数从左至右的第三位与第四位，③第一个数与第二个数、第三个数之和的乘积作为了右边数从左至右的第五位与第六位，据此结合各个数位上数字代表的意义，列式计算可得答案.
13．【答案】1012
【知识点】探索数与式的规律；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：由题知，
第1次分割后，扇形的总个数为：；
第2次分割后，扇形的总个数为：；
第3次分割后，扇形的总个数为：；
…，
所以第n次分割后，扇形的总个数为个．
令，
解得，
即第1012次分割后，扇形的总个数为2025个．
故答案为：
【分析】本题主要考查了图形变化的规律，根据所给分割方式，依次求出第1次，第2次，第3次分割后，扇形的总个数，总结规律，得到第n次分割后，扇形的总个数为个，结合，求得n的值，即可得到答案.
14．【答案】（1）225，5，6
（2）
（3）解：原式
．
【知识点】探索数与式的规律；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】解：（1）∵，，，
．
故答案为：225，5，6．
（2）根据题意，观察发现规律，可猜想：，
故答案为：．
【分析】（1）根据题意，观察发现即可得的结果．
（2）根据题意，观察发现规律，可猜想：．
（3）根据（2）的结论得：＝计算即可．
（1）解：∵，，，
故答案为：225，5，6；
（2）猜想：
故答案为：
（3）解：原式
．
15．【答案】（1）
（2）
（3）解：观察第三组数字的变化规律得：第个数是，
∴第三组数字的第10个数是：，
由（2）得：第一组的第ｎ个数字为：， 第二组的第个数是：，
∴第一组第10个数为，第二组第10个数为．
∴ 每组数的第10个数，计算它们的和 为：，
∴取每组数的第10个数，计算它们的和为1．
【知识点】探索数与式的规律；有理数的乘方法则；有理数的加法法则
【解析】解：（1）根据题意观察数据的变化规律得：
第一组的第ｎ个数字为：．
∴ 第一组的第8个数是 ：．
∴ 第一组的第8个数是-64．
故答案为：．
（2）根据（1）得：第一组的第ｎ个数字为：．
第二组的第ｎ个数字为：．
故答案为：．
【分析】（1）观察数字变化规律，可知第一组的第ｎ个数字为：，则可得第一组的第8个数是-64．
（2）根据（1）写出规律即可．
（3）先找出第三组数据的规律，求出第10个数，在根据第一、二组的规律分别求出它们的第10个数为为-100、-101，然后把三个数字相加计算即可得解．
（1）解：根据题意，第一组中第8个数是．
故答案为：；
（2）如果第二组的第个数是，写出第一组的第个数是．
故答案为：；
（3）结合题意，可知第三组的第个数是，
则第三组的第10个数是，
结合（2），可知第一组第10个数为，
第二组第10个数为，
，
所以，取每组数的第10个数，计算它们的和为1．
16．【答案】（1）；（2）；（3）
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）前3个等式规律：
第1个：（左边1个数，右边对应公式 ）
第2个：（左边2个数，右边对应公式 ）
第3个：（左边3个数，右边对应公式 ）
第4个等式左边是（4个连续自然数相加 ），按规律右边为，即：
，
故答案为：.
（2）观察前式：
第1个：和为，对应数（ ）
第2个：和为，对应数（ ）、（ ）
第3个：和为，对应数（ ）、（ ）
第4个：和为，对应数（ ）、（ ）
所以第5个等式左边是（ ）和（ ）相加，右边是，即：
，
故答案为：.
（3）结合（1）（2），左边两数是连续的三角形数：
第个等式中，前一个数为（对应第个三角形数 ）
后一个数为（对应第个三角形数 ）
两数相加：
所以第个等式为：
故答案为： .
【分析】本题是找规律题型，需通过观察点阵图与等式的对应关系，归纳出通用规律，分三步突破：
（1）第4个点阵等式：观察前3个等式，左边是连续自然数相加（个数与点阵序号一致 ），右边是“”的形式，据此推导第4个等式.
（2）第5个点阵等式：分析前4个等式（如， ），左边是两数相加，数的规律与“三角形数”（ ）相关，右边是序号的平方，据此找第5个等式.
（3）第个点阵等式：结合（1）（2）的规律，将具体序号推广到，用含的式子表示左边两数和（基于三角形数公式 ）与右边的关系.
17．【答案】（1）
（2）
（3）解：根据题目（2）中式子规律可得：
．
【知识点】探索数与式的规律；有理数乘方的实际应用
【解析】【解答】解：（1）根据图形变化规律可以得知，如图（1）中的阴影部分面积是，
故答案为：．
（2）利用正方形面积相等可以列出关系式：
．
故答案为：
【分析】（1）根据图形的变化规律结合题意即可求解；
（2）根据图形变化的规律结合题意即可得到，从而即可求解；
（3）根据（2）中的式子结合题意即可求解。
18．【答案】（1）b；；
（2）解：当a=20，b=3时，b（a-2b）2=3×（20-2×3）2=588（cm3），
当a=20，b=4时，b（a-2b）2=4×（20-2×4）2=576（cm3），
∴m=588，n=576.
（3）解：由表中数据可知，随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积先增大后减小；由表中数据可知，当b=3时，容积最大为588cm3.
【知识点】探索数与式的规律；用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：（1） 如果原正方形纸片的边长为a，剪去的正方形的边长为b，则折成的无盖长方体盒子的高、底面积、容积分别 b、（a-2b）2、b（a-2b）2；
故答案为：b、（a-2b）2、b（a-2b）2；【分析】（1）通过折叠可知，折成的无盖长方体盒子的高为b，底面积是正方形，正方形的面积=边长×边长，而边长为（a-2b），所以底面正方形面积为（a-2b）2，再由长方体的体积=底面积×高，可以出长方体盒子的容积即体积；
（2）由表中数据可以明确，求m、n的值，就是分别求当a=20，b=3和b=4时长方体的体积，求出即可得到m、n的值；
（3）通过观察表中数据可以猜想随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化的规律；并分析猜想当剪去图形的边长为3时，所得的无盖长方体的容积最大，此时最大容积是588cm3.
19．【答案】（1）
（2）
（3）6
（4）∵，
∴
时， .
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）由题意得第5个等式为：
故答案为：；
（2）第个等式为：
故答案为：；
（3）当时，，即，
解得，
故答案为：6.
【分析】（1）由题意得
（2）根据已知规律归纳得出第n个等式；
（3）由（3）知，计算求解即可得解；
（4），，把代入，计算求解即可．
20．【答案】（1）解：设①，
则有②，
②﹣①得：，
则，
∴
（2）解：
【知识点】探索数与式的规律；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）原式利用材料中的方法错位相减，计算求解即可；
（2），结合（1）的结论，即可求出答案．
1 / 1

展开更多......

收起↑