资源简介

同步基础 A 本@第 28 章锐角三角函数
28.2 解直角三角形及其应用
课时 3 应用举例（2）
知识点 1 方向角问题
1.[2025上海期中]如图，一艘货轮向正北方向航行，在点 处测得灯塔 在北偏西40 方向，
货轮以每小时 20海里的速度航行 48分钟后正好到达灯塔 的正东方向 处，问此时货轮与灯
塔 的距离为( )
A.960tan 40 海里 B. 960 海里
sin 40
C.16tan 40 16海里 D. 海里
cos 40
答案：C
解析： 根据题意，得∠ = 90 ，∠ = 40 ， = 20 × 48 = 16 （海里），∴ =
60
tan 40 = 16tan 40 海里，∴ 此时货轮与灯塔 的距离为 16tan 40 海里.
2.[2025泰安二模]如图，一艘轮船位于灯塔 的南偏东60 方向，距离灯塔 45海里的 处，
它沿北偏东30 方向航行一段时间后，到达位于灯塔 的北偏东67 方向上的 处，此时与灯塔
3 4 3的距离约为（参考数据:sin 37 ≈ ，cos 37 ≈ ，tan 37 ≈ ）( )
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A.27海里 B.50海里 C.75海里 D.15 3 海里
答案：C
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同步基础 A 本@第 28 章锐角三角函数
解析： 如图， 过点 作 // 交 于点 ，由题意，得∠ =
∠ = 60 ，∠ = 67 ，∠ = 30 ， = 45 海里，∴ ∠ = ∠ + ∠ =
60 + 30 = 90 ，∠ = 180 67 60 = 53 ，∴ ∠ = 90 ∠ = 90 53 =
37 .在 Rt △ 中，sin = ，即 sin 37 = 45，∴ = 45 ≈ 75 （海里）. sin 37
3.教材变式，如图，码头 在码头 的正东方向，一货船由码头 出发，沿北偏东45 方向航
行到达小岛 处，此时测得码头 在南偏西60 方向，已知码头 与小岛 的距离是 20海里，
求码头 与小岛 的距离.（结果保留根号）
解：如图， 过点 作 ⊥ 交 的延长线于点 ，则∠ =
.由题意，知∠ = ，∠ = ∠ = ，在 △ 中， = 海里，
∠ = ，∴ = = × = （海里），在 △ 中，

∠ = ，∴ = = = （海里），∴ 码头 与小岛 的距离为

海里.
知识点 2 坡度、坡角问题
4.[2025杭州期中]如图，大坝的横截面是梯形 ， // ，坝顶宽 = 4 m，坝高 =
6 m，斜坡 的坡度 = 1: 3，斜坡 的坡角∠ = 45 ，那么坝底 的长是( )
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同步基础 A 本@第 28 章锐角三角函数
A.6 3 m B.(6 3 + 4)m C.10 m D.(6 3 + 10)m
答案：D
解析： 如图，过点 作 ⊥ 于点 ，易得四边形 为矩形，∴ = = 6 m，
= = 4 m.∵ 斜坡 的坡度 = 1: 3 ，∴ : = 1: 3，∴ = 6 3 m.∵ ∠ = 45 ，
∴△ 为等腰直角三角形，∴ = = 6 m .
∴ = + + = 6 3 + 4 + 6 = (6 3 + 10)(m) .
5.[2025绥化中考]如图，某水库堤坝横断面迎水坡 的斜面坡度 = 1: 2 （斜面坡度是指坡
面的铅直高度 与水平宽度 的比），堤坝高 = 15 m ，则迎水坡面 的长度是_____.
答案：
解析： ∵ 迎水坡 的斜面坡度 = 1: 2，∴ : = 1: 2 ，
∵ = 15 m，∴ = 15 2 m ，由勾股定理，得
= 2 + 2 = 152 + (15 2)2 = 15 3(m) .
6.[2025铜陵三模]如图，一电线杆 用拉绳 固定，点 在斜坡 的顶端，斜坡 = 6.5 m，
斜坡的坡度为 5: 12 ，测得拉绳 与水平线 的夹角∠ = 56 ，求拉绳 的长和电线杆
的高.（参考数据：sin 56 ≈ 0.83 ，cos 56 ≈ 0.56，tan 56 ≈ 1.48，结果保留 0.1 m ）
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同步基础 A 本@第 28 章锐角三角函数
解：如图， 过点 作 ⊥ 于点 ，延长 交 于点 ，
则∠ = ∠ = ，∴ = , = .
∵ 斜坡 的坡度为 : ，∴ = .

设 = ， = ，
∴ = + = = . ( )，解得 = . ，
∴ = = . ， = = .
在 △ 中， ∠ = ， ∠ = ，

∴ = ≈ ≈ . ( ) ， = ≈ × . ≈ . ( ) . .
∴ = + = . + . = . ( ) .
答：拉绳 的长约是 . ，电线杆 的高约是 . .
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28.2 解直角三角形及其应用
课时 3 应用举例（2）
知识点 1 方向角问题
1.[2025上海期中]如图，一艘货轮向正北方向航行，在点 处测得灯塔 在北偏西40 方向，
货轮以每小时 20海里的速度航行 48分钟后正好到达灯塔 的正东方向 处，问此时货轮与灯
塔 的距离为( )
A.960tan 40 960海里 B. 海里 C.16tan 40 D.
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海里 海里
sin 40 cos 40
2.[2025泰安二模]如图，一艘轮船位于灯塔 的南偏东60 方向，距离灯塔 45海里的 处，
它沿北偏东30 方向航行一段时间后，到达位于灯塔 的北偏东67 方向上的 处，此时与灯塔
3 4 3的距离约为（参考数据:sin 37 ≈ ，cos 37 ≈ ，tan 37 ≈ ）( )
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A.27海里 B.50海里 C.75海里 D.15 3 海里
3.教材变式，如图，码头 在码头 的正东方向，一货船由码头 出发，沿北偏东45 方向航
行到达小岛 处，此时测得码头 在南偏西60 方向，已知码头 与小岛 的距离是 20海里，
求码头 与小岛 的距离.（结果保留根号）
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同步基础 A 本@第 28 章锐角三角函数
知识点 2 坡度、坡角问题
4.[2025杭州期中]如图，大坝的横截面是梯形 ， // ，坝顶宽 = 4 m，坝高 =
6 m，斜坡 的坡度 = 1: 3，斜坡 的坡角∠ = 45 ，那么坝底 的长是( )
A.6 3 m B.(6 3 + 4)m C.10 m D.(6 3 + 10)m
5.[2025绥化中考]如图，某水库堤坝横断面迎水坡 的斜面坡度 = 1: 2 （斜面坡度是指坡
面的铅直高度 与水平宽度 的比），堤坝高 = 15 m ，则迎水坡面 的长度是_____.
6.[2025铜陵三模]如图，一电线杆 用拉绳 固定，点 在斜坡 的顶端，斜坡 = 6.5 m，
斜坡的坡度为 5: 12 ，测得拉绳 与水平线 的夹角∠ = 56 ，求拉绳 的长和电线杆
的高.（参考数据：sin 56 ≈ 0.83 ，cos 56 ≈ 0.56，tan 56 ≈ 1.48，结果保留 0.1 m ）
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