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山东省青岛第三十九中学2025-2026学年上学期期初质量检测九年级数学试题
一、单选题
1．在平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆中，既是中心对称图形又是轴对称图形的图形个数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（ ）
A． B． C． D．
3．矩形不具有的性质是（ ）
A．四个角都相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
4．根据关于x的一元二次方程可列表如下：
x 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3
-15 -8.75 -2 -0.59 0.84 2.29
则一元二次方程的正整数解满足（ ）
A．解的整数部分是0，十分位是5 B．解的整数部分是0，十分位是8
C．解的整数部分是1，十分位是1 D．解的整数部分是1，十分位是2
5．用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．方程的解是（ ）
A． B． C．， D．，
7．顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是( )
A．平行四边形 B．对角线相等的四边形
C．矩形 D．对角线互相垂直的四边
8．关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
9．如图，长方形花圃面积为，它的一边利用已有的围墙（围墙足够长），另外三边所围的栅栏的总长度是．处开一门，宽度为．设的长度是，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．对于实数，定义一种新运算“”：当时，；当时，．若，则实数（　　）
A．10 B．4 C．4或 D．4或或10
11．如图，在正方形中，，，分别为边，的中点，连接，，，分别为，的中点，连接，则的长为（　　）
A． B．1.5 C． D．2
12．在平面直角坐标系中，正方形，按如图所示的方式放置，其中点在轴上，点在轴上，已知正方形的边长为，，则正方形的边长是（　　）
A． B． C． D．
13．如图，在正方形中，，E为对角线上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．的最小值为3
二、多选题
14．下列结论中，不正确的是（　　）
A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．菱形的面积等于对角线乘积的一半
D．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形
15．下列一元二次方程中有两个相等的实数根的是（　　）
A． B． C． D．
16．如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，下列结论正确的有（　　）
A． B． C． D．
三、填空题
17．将一元二次方程(x-2)(2x+1)=x2-4化为一般形式是 .
18．如图，在平行四边形 ABCD中，尺规作图：以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AD于点F，分别以点B，F为圆心，以大于BF的长为半径画弧交于点P，作射线AP交BC与点E，若BF = 12，AB = 10，则AE的长为 ．
19．已知直角三角形的三边长恰好是三个连续的偶数，则这个直角三角形的斜边长是 ．
20．正方形的对角线长为10 cm，则正方形的周长是
21．关于x的一元二次方程的两根之和为 ．
22．如图，在正方形中，对角线与交于点，点在的延长线上，连接，点是的中点，连接交于点．若，则点到的距离为 ．
四、解答题
23．按要求解下列方程：
(1)用配方法解方程：．
(2)公式法解方程：．
24．如图，在矩形中，，．动点、分别从点、以2cm/s的速度同时出发．动点沿向终点运动，动点沿向终点运动，连结交对角线于点．设点的运动时间为．

(1)当四边形是矩形时，求出的值．
(2)当四边形是菱形时，求的值．
(3)当是等腰三角形时，写出的值．
25．某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同．
(1)求该公司销售A产品每次的增长率；
(2)若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套．为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降2万元，公司平均每月可多售出80套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？
26．已知正方形与正方形，点是的中点，连接，．
(1)如图1，点在上，点在的延长线上，请判断，的数量关系与位置关系，并直接写出结论；
(2)如图2，点在的延长线上，点在上，请判断，的数量关系与位置关系，并直接写出结论：
(3)将图1中的正方形绕点旋转，使，，三点在一条直线上，若，，请直接写出的长______．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C C D C B C B B
题号 11 12 13 14 15 16
答案 C A ABC BD BC ACD
1．D
【详解】解：平行四边形只是中心对称图形，菱形、矩形、正方形、圆既是中心对称图形又是轴对称图形，
故选D．
2．B
【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，不合题意；
B、是一元二次方程，故本选项符合题意；
C、分母中含有未知数，不是整式方程，故本选项不符合题意；
D、当时不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．C
【详解】解：A、四个角都相等是矩形的基本性质，故不符合题意；
B、对角线相等是矩形的基本性质，菱形不具有，故不符合题意；
C、对角线互相垂直是菱形的基本性质，矩形不具有，符合题意；
D、对角线互相平分是平行四边形的基本性质，菱形和矩形都具有，故不符合题意．
故选：C．
4．C
【详解】解：根据表中函数的增减性，可以确定函数值是0时，x应该是大于1.1而小于1.2．
所以解的整数部分是1，十分位是1．
故选C．
5．D
【详解】解：
移项：
左右两边加上一次项系数一半的平方：
化简：
故选：D
6．C
【详解】解：移项得，
提公因式得，
解得，，
故选：C．
7．B
【详解】解：四边形是菱形，
，
故AC．
故选：B．
8．C
【详解】解：当时，方程化为，解得；
当时，则，解得且，
综上所述，的取值范围为．
故选：C．
9．B
【详解】解：设的长度是，则的长度是，
列出方程为：，
故选：B．
10．B
【详解】解：∵当时，则，当时，，
∴当时，
解得，不符合题意，舍去；
当时，则，
∴，
∴，
解得：，（舍去），
∴，
综上，，
故选：B．
11．C
【详解】解：如图，过点作于点，连接，
∵在正方形中，，
∴，，
∵，分别为边，的中点，
∴，
又∵，，
∴四边形是矩形，
∴，对角线与互相平分，
∵为的中点，
∴也是的中点，
又∵为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
故选：C．
12．A
【详解】解：正方形的边长为1，，，
四边形、、、都是正方形，
，，每个内角都为，
∴，
，,
则,
∵即
则，
同理可得：，
故正方形的边长是：，
则正方形的边长为：，
故选：A．
13．ABC
【详解】解：如图，延长，交于点，交于点，连接，交于点，
∵四边形是正方形，，
∴，，，
在和中，，
∴，
∴，，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，即选项A正确；
∵，
∴，
∴，即选项C正确；
∵，
∴，
∴，
∴，即，B选项正确；
由垂线段最短可知，当时，取得最小值，
此时在中，，
又∵，
∴的最小值与的最小值相等，即为，D选项错误；
故选：．
14．BD
【详解】解：A、根据菱形的判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，该选项正确．
B、对角线相等的平行四边形才是矩形，仅对角线相等的四边形不一定是矩形，比如等腰梯形对角线也相等，但它不是矩形，该选项错误．
C、菱形的面积等于对角线乘积的一半，这是菱形面积的计算公式，该选项正确．
D、一组对边平行，一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，比如等腰梯形，它有一组对边平行，另一组对边相等，但不是平行四边形，该选项错误．
所以，不正确的结论是BD．
故选：BD．
15．BC
【详解】解：A、，
该方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
B、，且，
该方程有两个相等的实数根，符合题意；
C、，
该方程有两个相等的实数根，符合题意；
D、，即，
，
该方程有两个不相等的实数根，不符合题意．
故选：BC．
16．ACD
【详解】解：∵，
∴，
∵在矩形中，平分，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，故项正确；
∵，（对顶角相等），
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，故错误；
∵，，
∴
∴，
在和中，

∴（），
∴，，
∵，
∴，
∴,
∴
故正确；
故选∶ACD．
17．x2-3x+2=0
【详解】解：(x-2)(2x+1)=x2-4，
去括号得2x2+x-4x-2= x2-4，
移项得2x2+x-4x-2- x2+4=0，
合并同类项得x2-3x+2=0．
故答案为：x2-3x+2=0．
18．16
【详解】解：由题意可知：AB=AF，AE⊥BF，
∴OB=OF，∠BAE=∠EAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAF=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=AF，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴OA=OE，OB=OF=BF=6，
在Rt△AOB中，OA==8，
∴AE=2OA=16．
故答案为：16．
19．
【详解】解：设较小的边长为，则另一边长为，斜边长为，
∴，
解得（不合题意，舍去），，
故斜边长为，
故答案为：10．
20．cm
【详解】解：设正方形的边长是xcm，
x2+x2=102
解得x=5．
周长为：4×5=20cm．
故答案为：20cm．
21．
【详解】解：，
，
故答案为：．
22．
【详解】解：如图，连接，
∵ 四边形是正方形，
∴ ，，
∵ 点是的中点，
∴ 是的中位线，
∴
∵ ，
∴ ，
∴
在中，，，
由勾股定理得
∵ 点是的中点，，
∴
设点到的距离为，
，
即，
解得
故答案为：
23．(1)
(2)；
【详解】（1）解：
开方可得．
解得；
（2）解：
，说明方程有两个不相等的实数根．
根据求根公式，可得．
；．
24．(1)
(2)
(3)或或．
【详解】（1）解：由题意可知，，，四边形是矩形时，，
则，解得；
（2）解：如图，当四边形是菱形时，．

．
在中，，
由勾股定理，得．
．
解得．
当时，四边形是菱形；
（3）
解：四边形是矩形，．
，．
在中，，
由勾股定理，得，
，
．
；
点O是的中点，取的中点H，连接，

则是的中位线，则，，，
∴，
由题意得：，
在中，，
当时，即，解得；
当时，，解得，
当时，则点P与点B重合，故，解得，
综上，或或．
25．(1)该公司销售A产品每次的增长率为50%
(2)每套A产品需降价1万元
【详解】（1）解：设该公司销售A产品每次的增长率为x，
依题意，得：20（1＋x）2＝45，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝－2.5（不合题意，舍去）．
答：该公司销售A产品每次的增长率为50%．
（2）解：设每套A产品需降价y万元，则平均每月可售出（30＋）套，
依题意，得：（2－y）（30＋）＝70，
整理，得：4y2－5y＋1＝0，
解得：y1＝，y2＝1，
∵尽量减少库存，
∴y＝1．
答：每套A产品需降价1万元．
26．(1)
(2)
(3)或
【详解】（1）解：．
如图，延长，交于点，
∵四边形与四边形都是正方形，
∴，，，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
又∵，
∴．
（2）解：．
如图，延长，交延长线于点，
同理可证：，
∴，，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
又∵，
∴．
（3）解：①当点在线段上时，
如图，连接，过点作于点，延长至点，使得，连接，
∵四边形与四边形都是正方形，，，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
又∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴在中，；
②当点在线段上时，
如图，过点作于点，
同理可得：，，
∴，
∴在中，；
综上，的长为或，
故答案为：或．

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