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(共80张PPT)
8.2 离散型随机变量及其分布列
8.2.1 随机变量及其分布列
第2课时 离散型随机变量的概率分布
探究点一 离散型随机变量的概率分布
探究点二 分布列的性质及其应用
探究点三 两点分布
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.通过具体实例，理解随机变量的概率分布的概念.
2.掌握离散型随机变量分布列的表示方法及性质.
3.会求某些简单的离散型随机变量的分布列，理解两点分布.
知识点一 随机变量 的概率分布
1.概念：一般地，随机变量有个不同的取值，它们分别是， ，
， ，且________________________________①，称①为随机变量
的概率分布列，简称为 的分布列.①也可以用下表的形式来表示.
…
…
我们将上表称为随机变量的____________.它和①都叫作随机变量
的__________.
，，2， ，
概率分布表
概率分布
2.性质：①___0，，2， ， ；
② ___.
1
【解读】对性质的理解
（1）表示的是事件 发生的概率，因此每一
个 都是非负数；
（2）因为分布列给出了随机变量能取的每一个值，而且随机变量取
不同的值时的事件是互斥的，所以 ；另一方面，
由此可以得出随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围
内各个值的概率之和.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）在离散型随机变量的分布列中，每一个可能值对应的概率可以
为任意的实数.( )
×
（2）在离散型随机变量的分布列中，在某一范围内取值的概率等于
它取这个范围内各个值的概率之积.( )
×
（3）随机变量的概率分布给出了随机试验所有基本事件对应的概率.
( )
√
知识点二 两点分布
1.随机变量 只取两个可能值___和___，这一类概率分布称为______
_____或两点分布，并记为______________或 两点分布.此处“~”
表示“______”.
0
1
分布
分布
服从
2.两点分布的概率分布表如下：
0 1
______ ___
注意：其中 称为成功概率.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）在两点分布的分布列中， .( )
√
（2）在两点分布的分布列中， .( )
√
（3）新生婴儿的性别、投篮是否命中、买到的商品是否为正品，都
可以用两点分布研究.( )
√
探究点一 离散型随机变量的概率分布
例1 ［2024·江苏盐城高二期末］某校开展“学党史”知识竞赛活动，
甲老师从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回抽取4个问题作答.已
知这6个问题中，甲老师能正确回答其中的4个问题，且甲老师对每
个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的.
（1）求甲老师答对两个问题的概率；
解：设甲老师答对两个问题为事件，则 ，
所以甲老师答对两个问题的概率为 .
例1 ［2024·江苏盐城高二期末］某校开展“学党史”知识竞赛活动，
甲老师从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回抽取4个问题作答.已
知这6个问题中，甲老师能正确回答其中的4个问题，且甲老师对每
个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的.
（2）若答对一个问题得2分，答错得0分，设随机变量 表示甲老师
的得分，求 的分布列.
解： 的所有可能取值为4，6，8，
， ，
，
所以 的分布列为
4 6 8
变式 ［2025·辽宁抚顺高二期末］某地要从2名男运动员、4名女运
动员中随机选派3人外出比赛.
（1）若选派的3人中恰有1名男运动员和2名女运动员，则共有多少
种选派方法？
解：共有 （种）选派方法.
变式 ［2025·辽宁抚顺高二期末］某地要从2名男运动员、4名女运
动员中随机选派3人外出比赛.
（2）设选派的3人中男运动员与女运动员的人数之差为，求 的分
布列.
解：由题意知，的所有可能取值为, ,1，
,
,
，
所以 的分布列为
1
［素养小结］
求离散型随机变量的分布列的关键为：（1）随机变量的所有取值；
（2）每一个取值所对应的概率；（3）用随机变量取每一个值的概
率之和是否为1来检验.
探究点二 分布列的性质及其应用
例2（1）［2025·辽宁沈阳高二期末］设，随机变量 的分
布列为
5 8 9
则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得 .故选D.
√
（2）［2025·山东滨州高二期中］某射击运动员射击一次所得环数
的分布列如下表所示.
4 5 6 7 8 9 10
0.03 0.05 0.07 0.08 0.26 0.23
则 ( )
A.0.72 B.0.75 C.0.85 D.0.90
[解析] 由题意知 ，
解得
.故选C.
√
变式（1）［2025·吉林长春高二期中］设随机变量 的分布列为
，,2,3，则 的值为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得，解得 .故选A.
√
（2）［2025·江苏南通高二联考］设随机变量 的分布列为
0 1 2 3 4
0.15 0.15 0.15 0.25
若随机变量，则 等于( )
A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7
[解析] 由，得 ，
所以 .故选A.
√
［素养小结］
分布列的性质及其应用
（1）利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，
以保证每个概率值均为非负数.
（2）求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围
内各随机变量的取值对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概
率加法公式.
探究点三 两点分布
例3（1）（多选题）［2025·江苏南京高二期中］下列选项中的随机
变量 服从两点分布的是( )
A.抛掷一枚质地均匀的骰子，所得点数为
B.某运动员罚球命中的概率为，命中得1分，不中得0分， 为罚
球一次的得分
C.从装有除颜色外完全相同的5个红球、3个白球的袋中任取1个球，
D.从含有3件次品的100件产品中随机抽取一件， 为抽到的次品件数
√
√
√
[解析] 对于A， 的所有可能取值为1，2，3，4，5，6，所以不属于
两点分布；
对于B， 的所有可能取值为0，1，属于两点分布；
对于C， 的所有可能取值为0，1，属于两点分布；
对于D，从含有3件次品的100件产品中随机抽取一件，则该产品为正
品或为次品，故 的所有可能取值为0，1，属于两点分布.
故选 .
（2）已知一批200件的待出厂产品中，有1件次品，现从中任意抽取
2件进行检查，若用随机变量 表示抽取的2件产品中的次品件数，求
的分布列.
解：由题意知， 服从两点分布，
，所以 ，
所以随机变量 的分布列为
0 1
变式（1）［2025·山东聊城高二期末］已知随机变量 服从两点分布，
且，，那么实数 __.
[解析] 由题意可知，
解得 或，因为，所以 .
（2）［2025·江苏启东中学高二月考］袋中装有除颜色外完全相同
的10个红球，5个白球，从中随机摸出2个球，如果只关心摸出2个红
球的情形，问如何定义随机变量，才能使 满足两点分布，并求随
机变量 的分布列.
解：从含有10个红球，5个白球的袋中随机摸出2个球，有一红一白、
两红、两白三种情况，为此我们定义随机变量如下：
当时，2个球不全是红球；当 时，2个球均是红球.
则显然服从两点分布，且 ，
.
的分布列为
0 1
［素养小结］
两点分布的两个特点
（1）两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的.
（2）.
1.离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，
而且能看出取每一个值的概率的大小.求离散型随机变量的分布列的
步骤：
（1）确定的可能取值 ；
（2）求出相应的概率 ；
（3）列成表格的形式；
（4）用所有概率和是否为1来检验.
2.分布列的图形直观表示：
【解读】
（1）离散型随机变量的分布列类似于函数，也有三种表示形式，
即解析式、表格和图象，但离散型随机变量的分布列多是表格表示；
（2）由离散型随机变量的分布列能一目了然地看出随机变量
的取值范围及取这些值的概率，可以全面了解随机变量 在随机试验
中取值的概率分布情况，是进一步研究随机变量数字特征的基础.
3.两点分布的四个特点：
（1）两点分布中只有两个结果，且两结果是对立的；
（2）两点分布中的两结果一个对应1，另一个对应0；
（3）由对立事件的概率求法可知，已知 （或
），便可求出（或 ）；
（4）在有多个结果的随机试验中，如果我们只关心一个随机事
件是否发生，那么就可以利用两点分布来研究它.
1.离散型随机变量的分布列
说明：①在求概率 时，要用到互斥事件的概率、排列、组合、分
类计数原理、分步计数原理等知识和方法，因此对学过的内容要多
加复习；
②在求概率 时，要充分运用分布列的性质，一是可减少运算量，
二是可验证所求的分布列是否正确.
例1 抛掷一枚质地均匀的硬币3次，设正面朝上的次数为 .
（1）说明表示的是什么事件，并求出 ；
解： 表示的事件是“恰有2次正面朝上”.
因为抛掷一枚质地均匀的硬币3次的样本空间共包含
（个）样本点，其中事件“恰有2次正面朝上”包含的样本点有
（个），所以 .
例1 抛掷一枚质地均匀的硬币3次，设正面朝上的次数为 .
（2）求 的分布列.
解：根据题意可知， 的可能取值是0，1，2，3，
且，，， .
因此 的分布列为
X 0 1 2 3
P
2.随机变量的分布列与独立事件的概率
例2 ［2025·江苏扬州高二期中］甲、乙两人轮流投篮，每人每次投
一次篮，先投中者获胜.投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结
束.设甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为 ，且各
次投篮互不影响.现由甲先投.
（1）求甲获胜的概率；
解：设事件表示“甲在第次投篮投中”，其中 ,2,3.
设事件表示“乙在第次投篮投中”，其中 ,2,3.
则，，其中 ,2,3.
记“甲获胜”为事件 ， ，
事件，事件，事件 彼此互斥，
则
，
故甲获胜的概率为 .
例2 ［2025·江苏扬州高二期中］甲、乙两人轮流投篮，每人每次投
一次篮，先投中者获胜.投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结
束.设甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为 ，且各
次投篮互不影响.现由甲先投.
（2）求投篮结束时甲的投篮次数 的分布列.
解：由题意知，投篮结束时甲的投篮次数 的可能取值为1,2,3.
，
，
.
所以 的分布列为
X 1 2 3
P
例3 学校羽毛球社团中的甲、乙、丙三名社员进行羽毛球比赛，约
定如下：先从甲、乙、丙三人中随机选择两人打第一局，获胜者与
第三人进行下一局的比赛，率先获胜两局者为优胜者，比赛结束，
且每局比赛均无平局.已知甲赢乙的概率为，乙赢丙的概率为 ，
丙赢甲的概率为0.7.
3.随机变量的分布列与条件概率
（1）若甲、乙二人率先开局比赛，求比赛局数 的分布列；
解：比赛局数 的可能取值为2,3,4.
比赛两局结束，则甲连胜两局或乙连胜两局，所以
，
比赛三局结束，则第二局、第三局丙连胜，所以
，
所以 ，
所以 的分布列为
X 2 3 4
P 0.44 0.35 0.21
例3 学校羽毛球社团中的甲、乙、丙三名社员进行羽毛球比赛，约
定如下：先从甲、乙、丙三人中随机选择两人打第一局，获胜者与
第三人进行下一局的比赛，率先获胜两局者为优胜者，比赛结束，
且每局比赛均无平局.已知甲赢乙的概率为，乙赢丙的概率为 ，
丙赢甲的概率为0.7.
（2）求甲成为优胜者的概率.
解：记甲、乙率先开局比赛为事件，甲、丙率先开局比赛为事件 ，
乙、丙率先开局比赛为事件，甲成为优胜者为事件 .
第一局比赛双方可能是甲乙，甲丙，乙丙共三种情况，
则 ，
所以 ，
,
.
所以
.
所以甲成为优胜者的概率为0.132.
4.离散型随机变量的分布列具有如下性质：（1）， ，2，
，；（2） .
说明：①因为随机变量的各个可能取值之间彼此互斥，所以随机变
量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.
②分布列的性质（2）可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可
以用来求分布列中的某些参数.
例4 ［2024·河北秦皇岛高二期中］设离散型随机变量 的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3
（1）求 的分布列；
解：由题得，解得 .
Y的可能取值为0，1，2，3，
，
，
， ，
故 的分布列为
Y 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
例4 ［2024·河北秦皇岛高二期中］设离散型随机变量 的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3
（2）求 .
解：由，可得 ，
故 .
例5 从由正数组成的集合中随机选出数的概率为 ，
给出下面四个集合：； ；
；.其中满足集合 要求的为________
（填上所有符合要求的集合的序号）.
②③④
[解析] .
对于①，假设①符合题意，因为
，所以假设不成立，故①不符合题意；
同理，对于②，因为 ，故②
符合题意；
对于③，因为 ，故③符合题
意；
对于④，因为 ，故
④符合题意.
故填②③④.
练习册
1.下表是离散型随机变量的分布列，则常数 的值是( )
3 4 5
A. B. C. D.
[解析] 由题可得，解得 .故选A.
√
2.已知离散型随机变量的分布列为 ，则
( )
A. B. C. D.1
[解析] 根据题意，离散型随机变量 的分布列为
，则
.故选C.
√
3.已知离散型随机变量的分布列为 ，
则 ( )
A.1 B. C. D.
[解析] 由分布列的性质得， ，解得
，，或 ，
.故选C.
√
4.已知离散型随机变量 的分布列为
0 1 2 3
若离散型随机变量，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由分布列的性质可知，解得 ，
由，，可得，所以 .故选A.
√
5.一袋中装有除颜色外完全相同的4个白球和2个红球，现从袋中往外
取球，每次任取1个不放回，取出后记下颜色，若为红球则停止抽取，
若为白球则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量
，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题可知，, ,
，故
.故选A.
√
6.（多选题）［2025·江苏苏州高二期中］已知随机变量 的分布列为
2 4 6
其中，且 ，则( )
A. B. C. D.
√
√
√
[解析] 由题可得解得故选 .
7.已知随机变量服从两点分布，且 ，
则 __.
[解析] 因为服从两点分布，所以 ，
又 ，所以
，所以，所以 .
8.若随机变量 的分布列为
0 1 2 3
0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当时，实数 的取值范围是______.
[解析] 由随机变量的分布列可知，若 ，
则，即实数的取值范围是 .
9.（13分）［2025·江苏南通海门中学高二月考］已知随机变量 的
分布列为
1 2 3 4 5 6
求随机变量 的分布列.
解：因为，所以当，5时， ；
当，4，6时，；当时， .
则 ，
，
，
所以随机变量 的分布列为
1 0
10.（13分）［2025·山东德州高二期末］一台设备由三个部件构成，
假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为 ，
， ，各部件的状态相互独立.
（1）求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率；
解：设备在一天的运转中，部件1，2都不需要调整的概率为
，
则设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率
.
10.（13分）［2025·山东德州高二期末］一台设备由三个部件构成，
假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为 ，
， ，各部件的状态相互独立.
（2）记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为 ，求随机变量
的分布列.
解：由题意知， 的所有可能取值为0，1，2，3，
且 ，
0 1 2 3
0.576 0.352 0.068 0.004
，
，
，
所以 的分布列为
11.［2025·山东德州高二期末］离散型随机变量 的分布列中部分数
据丢失，丢失数据以， 代替，分布列如下：
1 2 3 4 5 6
0.21 0.20 0.10 0.10
则 ( )
A.0.35 B.0.45 C.0.55 D.0.65
√
[解析] 由题意得
，化简得
，
又,且,，所以, ，
所以 .
故选B.
12.［2025·山东德州高二期中］算盘是中国
古代劳动人民创造发明的一种简便的计算工
具，如图，算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗
算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5
A. B. C. D.
颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，记上珠的个数为 ，则
( )
√
[解析] 方法一：由题意可知， 的所有可能
取值为0，1，2，则
方法二：由题意可知， 的所有可能取值为0，1，2，则
.故
选A.
.
13.（多选题）［2025·江苏淮安淮阴中学高二期中］一个盒子里放着
大小、形状完全相同的1个黑球、2个白球、2个红球，现不放回地随
机从盒子中取球，每次取1个，直到取到黑球为止，记取到白球的个
数为随机变量 ，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 对于A， 表示第一次即取到黑球，或第一次取到红球，
第二次取到黑球，或前两次均取到红球，第三次取到黑球，故
，故A错误；
对于B，C， 表示第一次取到白球，第二次取到黑球，或前两次
中一次取到红球，一次取到白球，第三次取到黑球，或前三次中有两
次取到红球，一次取到白球，第四次取到黑球，故
，故B错误，C正确；
对于D， 的所有可能取值有0,1,2，则
，故D正确.
故选 .
14.环保部门记录了某地区7天的空气质量情况，其中，有4天空气质
量为优，有2天空气质量为良，有1天空气质量为轻度污染.现工作人
员从这7天中随机抽取3天进行某项研究，则抽取的3天中至少有1天
空气质量为良的概率为__；记 表示抽取的3天中空气质量为优的天
数，则 ___.
[解析] 设事件 表示“抽取的3天中至少有一天空气质量为良”，事件
表示“抽取的3天空气质量都不为良”，则事件与事件 互为对立事
件，所以.
由已知得 表示抽取的3天中只有1天空气质量为优，
故空气质量不为优的有2天，所以 .
15.（15分）袋中装有除颜色外完全相同的黑球和白球共7个，从中任
取2个球都是白球的概率为 ，现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1个球，
甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人
取到白球时停止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用
表示取球终止时所需要的取球次数.
（1）求袋中原有白球的个数；
解：设袋中原有 个白球，
由题意知，，解得舍去 ，即袋
中原有3个白球.
15.（15分）袋中装有除颜色外完全相同的黑球和白球共7个，从中任
取2个球都是白球的概率为 ，现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1个球，
甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人
取到白球时停止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用
表示取球终止时所需要的取球次数.
（2）求随机变量 的分布列.
解：由题意知， 的可能取值为1，2，3，4，5.
， ，
， ，
.
故取球次数 的分布列为
1 2 3 4 5
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.，，2， ， 概率分布表 概率分布
2. 1 【诊断分析】（1）× （2）× （3）√
知识点二 1.0 1 分布 分布 服从 2.
【诊断分析】 （1）√ （2）√ （3）√
课中探究 例1 （1）（2）略种 （2）略
例2 （1）D （2）C 变式 （1）A （2）A
例3 （1）BCD （2）略 变式 （1） （2）略
快速核答案（练习册）
1.A 2.C 3.C 4.A 5.A 6.ABD 7. 8.
9.略 10.（1）（2）略
11.B 12.A 13.CD 14.
15.（1）3
（2）
1 2 3 4 5第2课时　离散型随机变量的概率分布
【课前预习】
知识点一
1.P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n　概率分布表　概率分布
2.①≥　②1
诊断分析
(1)×　(2)×　(3)√
知识点二
1.0　1　0-1分布　X~0-1分布　服从
2.1-p　p
诊断分析
(1)√　(2)√　(3)√
【课中探究】
探究点一
例1　解:(1)设甲老师答对两个问题为事件B,则P(B)===,
所以甲老师答对两个问题的概率为.
(2)X的所有可能取值为4,6,8,
P(X=4)===,P(X=6)==,
P(X=8)==,所以X的分布列为
X 4 6 8
P
变式　解:(1)共有=12(种)选派方法.
(2)由题意知,X的所有可能取值为-3,-1,1,
P(X=-3)==,
P(X=-1)==,
P(X=1)==,
所以X的分布列为
X -3 -1 1
P
探究点二
例2　(1)D　(2)C　[解析] (1)由++=1,得p=.故选D.
(2)由题意知0.03+0.05+0.07+0.08+0.26+a+0.23=1,解得a=0.28.∴P(ξ>6)=P(ξ=7)+P(ξ=8)+P(ξ=9)+P(ξ=10)=0.08+0.26+0.28+0.23=0.85.故选C.
变式　(1)A　(2)A　[解析] (1)由题意得a=1,解得a=.故选A.
(2)由0.15+0.15+0.15+0.25+m=1,得m=0.3,所以P(Y=2)=P(X=4)=0.3.故选A.
探究点三
例3　(1)BCD　[解析] 对于A,X的所有可能取值为1,2,3,4,5,6,所以不属于两点分布;对于B,X的所有可能取值为0,1,属于两点分布;对于C,X的所有可能取值为0,1,属于两点分布;对于D,从含有3件次品的100件产品中随机抽取一件,则该产品为正品或为次品,故X的所有可能取值为0,1,属于两点分布.故选BCD.
(2)解:由题意知,X服从两点分布,
P(X=0)==,所以P(X=1)=1-=,
所以随机变量X的分布列为
X 0 1
P
变式　(1)　[解析] 由题意可知P(X=0)+P(X=1)=2a2+a=1,解得a=或a=-1,因为a>0,所以a=.
(2)解:从含有10个红球,5个白球的袋中随机摸出2个球,有一红一白、两红、两白三种情况,为此我们定义随机变量如下:
当X=0时,2个球不全是红球;当X=1时,2个球均是红球.
则X显然服从两点分布,且P(X=1)==,
∴P(X=0)=1-=.
∴X的分布列为
X 0 1
P第2课时　离散型随机变量的概率分布
1.A　[解析] 由题可得+a+=1,解得a=.故选A.
2.C　[解析] 根据题意,离散型随机变量X的分布列为P(X=i)=(i=1,2,3),则P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=+=.故选C.
3.C　[解析] 由分布列的性质得,a+2a+3a+4a+5a=1,解得a=,∵4.A　[解析] 由分布列的性质可知a++5a+=1,解得a=,由Y=2X+1,Y≥5,可得X≥2,所以P(X≥2)=+=.故选A.
5.A　[解析] 由题可知,P(X=0)==,P(X=1)=×=,P(X=2)=××=,故P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=++=.故选A.
6.ABD　[解析] 由题可得解得故选ABD.
7.　[解析] 因为X服从两点分布,所以P(X=0)+P(X=1)=1,又P(X=0)=2-5P(X=1)=a,所以P(X=0)=2-5[1-P(X=0)],所以P(X=0)=,所以a=.
8.(0,1]　[解析] 由随机变量X的分布列可知,若P(X9.解:因为Y=sinX,所以当X=1,5时,Y=1;
当X=2,4,6时,Y=0;当X=3时,Y=-1.
则P(Y=1)=P(X=1)+P(X=5)=+=,
P(Y=0)=P(X=2)+P(X=4)+P(X=6)=++=,P(Y=-1)=P(X=3)=,
所以随机变量Y的分布列为
Y 1 0 -1
P
10.解:(1)设备在一天的运转中,部件1,2都不需要调整的概率为(1-0.1)×(1-0.2)=0.72,
则设备在一天的运转中,部件1,2中至少有1个需要调整的概率P=1-0.72=0.28.
(2)由题意知,X的所有可能取值为0,1,2,3,
且P(X=0)=0.9×0.8×0.8=0.576,
P(X=1)=0.1×0.8×0.8+0.9×0.2×0.8+0.9×0.8×0.2=0.352,
P(X=2)=0.1×0.2×0.8+0.1×0.8×0.2+0.9×0.2×0.2=0.068,
P(X=3)=0.1×0.2×0.2=0.004,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.576 0.352 0.068 0.004
11.B　[解析] 由题意得0.21+0.20+0.05++0.10+0.10++0.10=1,化简得10x+y=24,又x,y∈N且x,y∈[0,9],所以x=2,y=4,所以P=P(X=2)+P(X=3)=0.20+0.25=0.45.故选B.
12.A　[解析] 方法一:由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,则P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=+=.
方法二:由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,则P(X≤1)=1-P(X=2)=1-=.故选A.
13.CD　[解析] 对于A,ξ=0表示第一次即取到黑球,或第一次取到红球,第二次取到黑球,或前两次均取到红球,第三次取到黑球,故P(ξ=0)=+×+××=,故A错误;对于B,C,ξ=1表示第一次取到白球,第二次取到黑球,或前两次中一次取到红球,一次取到白球,第三次取到黑球,或前三次中有两次取到红球,一次取到白球,第四次取到黑球,故P(ξ=1)=×+2×××+3××××=,故B错误,C正确;对于D,ξ的所有可能取值有0,1,2,则P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)=,故D正确.故选CD.
14.　　[解析] 设事件A表示“抽取的3天中至少有一天空气质量为良”,事件B表示“抽取的3天空气质量都不为良”,则事件A与事件B互为对立事件,所以P(A)=1-P(B)=1-=1-=.由已知得X=1表示抽取的3天中只有1天空气质量为优,故空气质量不为优的有2天,所以P(X=1)===.
15.解:(1)设袋中原有n个白球,
由题意知,===,解得n=3(n=-2舍去),即袋中原有3个白球.
(2)由题意知,ξ的可能取值为1,2,3,4,5.
P(ξ=1)=,P(ξ=2)==,
P(ξ=3)==,P(ξ=4)==,
P(ξ=5)==.
故取球次数ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4 5
P第2课时　离散型随机变量的概率分布
【学习目标】
　　1.通过具体实例,理解随机变量的概率分布的概念.
　　2.掌握离散型随机变量分布列的表示方法及性质.
　　3.会求某些简单的离散型随机变量的分布列,理解两点分布.
◆ 知识点一　随机变量X的概率分布
1.概念:一般地,随机变量X有n个不同的取值,它们分别是x1,x2,…,xn,且　　　　　　　　　　①,称①为随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列.①也可以用下表的形式来表示.
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
我们将上表称为随机变量X的　　　　　　.它和①都叫作随机变量X的　　　　.
2.性质:①pi　　　　0,i=1,2,…,n;
②p1+p2+…+pn=　　　　.
【解读】对性质的理解
(1)pi(i=1,2,…,n)表示的是事件{X=xi}发生的概率,因此每一个pi都是非负数;
(2)因为分布列给出了随机变量能取的每一个值,而且随机变量取不同的值时的事件是互斥的,所以p1+p2+…+pn=1;另一方面,由此可以得出随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在离散型随机变量的分布列中,每一个可能值对应的概率可以为任意的实数. (　 )
(2)在离散型随机变量的分布列中,在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之积. (　 )
(3)随机变量的概率分布给出了随机试验所有基本事件对应的概率. (　 )
◆ 知识点二　两点分布
1.随机变量X只取两个可能值　　　和　　　,这一类概率分布称为　　　　或两点分布,并记为　　　　或X~两点分布.此处“~”表示“　　　　”.
2.两点分布的概率分布表如下:
X 0 1
P 　　　 　　　
注意:其中p=P(X=1)称为成功概率.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在两点分布的分布列中,P(X=0)=1-P(X=1). (　 )
(2)在两点分布的分布列中,P(0≤X≤1)=1.(　 )
(3)新生婴儿的性别、投篮是否命中、买到的商品是否为正品,都可以用两点分布研究. (　 )
◆ 探究点一　离散型随机变量的概率分布
例1 [2024·江苏盐城高二期末] 某校开展“学党史”知识竞赛活动,甲老师从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回抽取4个问题作答.已知这6个问题中,甲老师能正确回答其中的4个问题,且甲老师对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的.
(1)求甲老师答对两个问题的概率;
(2)若答对一个问题得2分,答错得0分,设随机变量X表示甲老师的得分,求X的分布列.
变式 [2025·辽宁抚顺高二期末] 某地要从2名男运动员、4名女运动员中随机选派3人外出比赛.
(1)若选派的3人中恰有1名男运动员和2名女运动员,则共有多少种选派方法
(2)设选派的3人中男运动员与女运动员的人数之差为X,求X的分布列.
[素养小结]
求离散型随机变量的分布列的关键为:(1)随机变量的所有取值;(2)每一个取值所对应的概率;(3)用随机变量取每一个值的概率之和是否为1来检验.
◆ 探究点二　分布列的性质及其应用
例2 (1)[2025·辽宁沈阳高二期末] 设0ξ 5 8 9
P
则p= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.
C. D.
(2)[2025·山东滨州高二期中] 某射击运动员射击一次所得环数ξ的分布列如下表所示.
ξ 4 5 6 7 8 9 10
P 0.03 0.05 0.07 0.08 0.26 a 0.23
则P(ξ>6)= (　 )
A.0.72 B.0.75
C.0.85 D.0.90
变式 (1)[2025·吉林长春高二期中] 设随机变量X的分布列为P(X=i)=a,i=1,2,3,则a的值为 (　 )
A. B.
C. D.
(2)[2025·江苏南通高二联考] 设随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.15 0.15 0.15 0.25 m
若随机变量Y=X-2,则P(Y=2)等于 (　 )
A.0.3 B.0.4
C.0.6 D.0.7
[素养小结]
分布列的性质及其应用
(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值,此时要注意检验,以保证每个概率值均为非负数.
(2)求随机变量在某个范围内的概率时,根据分布列,将所求范围内各随机变量的取值对应的概率相加即可,其依据是互斥事件的概率加法公式.
◆ 探究点三　两点分布
例3 (1)(多选题)[2025·江苏南京高二期中] 下列选项中的随机变量X服从两点分布的是(　 )
A.抛掷一枚质地均匀的骰子,所得点数为X
B.某运动员罚球命中的概率为0.8,命中得1分,不中得0分,X为罚球一次的得分
C.从装有除颜色外完全相同的5个红球、3个白球的袋中任取1个球,X=
D.从含有3件次品的100件产品中随机抽取一件,X为抽到的次品件数
(2)已知一批200件的待出厂产品中,有1件次品,现从中任意抽取2件进行检查,若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品件数,求X的分布列.
变式 (1)[2025·山东聊城高二期末] 已知随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=2a2,P(X=1)=a,那么实数a=　　　　.
(2)[2025·江苏启东中学高二月考] 袋中装有除颜色外完全相同的10个红球,5个白球,从中随机摸出2个球,如果只关心摸出2个红球的情形,问如何定义随机变量X,才能使X满足两点分布,并求随机变量X的分布列.
[素养小结]
两点分布的两个特点
(1)两点分布中只有两个对应结果,且两个结果是对立的.
(2)P(X=0)+P(X=1)=1.第2课时　离散型随机变量的概率分布
1.下表是离散型随机变量X的分布列,则常数a的值是 (　 )　
X 3 4 5
P a
A. B.
C. D.
2.已知离散型随机变量X的分布列为P(X=i)=(i=1,2,3),则P(X≥2)= (　 )
A. B.
C. D.1
3.已知离散型随机变量X的分布列为P=ak(k=1,2,3,4,5),则P= (　 )
A.1 B.
C. D.
4.已知离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P a 5a
若离散型随机变量Y=2X+1,则P(Y≥5)= (　 )
A. B. C. D.
5.一袋中装有除颜色外完全相同的4个白球和2个红球,现从袋中往外取球,每次任取1个不放回,取出后记下颜色,若为红球则停止抽取,若为白球则继续抽取,停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量X,则P(X≤2)= (　 )
A. B. C. D.
6.(多选题)[2025·江苏苏州高二期中] 已知随机变量X的分布列为
X 2 4 6
P a b c
其中2b=a+c,且c=ab,则 (　 )
A.a+b+c=1 B.a=
C.b= D.c=
7.已知随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=2-5P(X=1)=a,则a=　　　　.
8.若随机变量X的分布列为
X -2 -1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P(X9.(13分)[2025·江苏南通海门中学高二月考] 已知随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4 5 6
P
求随机变量Y=sinX的分布列.
10.(13分)[2025·山东德州高二期末] 一台设备由三个部件构成,假设在一天的运转中,部件1,2,3需要调整的概率分别为0.1,0.2,0.2,各部件的状态相互独立.
(1)求设备在一天的运转中,部件1,2中至少有1个需要调整的概率;
(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X,求随机变量X的分布列.
11.[2025·山东德州高二期末] 离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失,丢失数据以x,y(x,y∈N)代替,分布列如下:
X 1 2 3 4 5 6
P 0.21 0.20 0.x5 0.10 0.1y 0.10
则P= (　 )
A.0.35 B.0.45
C.0.55 D.0.65
12.[2025·山东德州高二期中] 算盘是中国古代劳动人民创造发明的一种简便的计算工具,如图,算盘每个档(挂珠的杆)上有7颗算珠,用梁隔开,梁上面2颗叫上珠,下面5颗叫下珠,若从某一档的7颗算珠中任取3颗,记上珠的个数为X,则P(X≤1)= (　 )
A. B. C. D.
13.(多选题)[2025·江苏淮安淮阴中学高二期中] 一个盒子里放着大小、形状完全相同的1个黑球、2个白球、2个红球,现不放回地随机从盒子中取球,每次取1个,直到取到黑球为止,记取到白球的个数为随机变量ξ,则下列结论正确的是 (　 )
A.P(ξ=0)= B.P(ξ=1)= C.P(ξ=1)= D.P(ξ=2)=
14.环保部门记录了某地区7天的空气质量情况,其中,有4天空气质量为优,有2天空气质量为良,有1天空气质量为轻度污染.现工作人员从这7天中随机抽取3天进行某项研究,则抽取的3天中至少有1天空气质量为良的概率为　　　　;记X表示抽取的3天中空气质量为优的天数,则P(X=1)=　　　　.
15.(15分)袋中装有除颜色外完全相同的黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为,现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1个球,甲先取,乙后取,然后甲再取……取后不放回,直到两人中有一人取到白球时停止,每个球在每一次被取出的机会是等可能的,用ξ表示取球终止时所需要的取球次数.
(1)求袋中原有白球的个数;
(2)求随机变量ξ的分布列.

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