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第三节　生活中的圆周运动
[模型构建] (1)防止汽车超速引起侧滑.
(2)由汽车所受重力和支持力的合力提供部分向心力,使汽车高速安全通过弯道.
例1　D　[解析] 汽车做匀速圆周运动,根据F=m可知,汽车所受的合力不可能为零,A错误;汽车在竖直方向没有运动,故重力和路面支持力的合力为零,汽车受到的静摩擦力提供向心力,B、C错误;最大静摩擦力提供向心力时,汽车的速度最大,有mg=m,代入数据解得vmax=20 m/s,D正确.
例2　B　[解析] 设路面的倾角为θ,根据牛顿第二定律得mgtan θ=m,又tan θ=,联立解得v=,选项B正确.
[教材链接] 高于　支持力　重力　重力　支持力
[模型建构] (1)火车转弯处的外轨略高于内轨,火车转弯时,当向心力由重力和支持力的合力提供时,由F合=mgtan θ=m,可得v0=.
(2)速度过大会对外侧轨道有压力,速度过小会对内侧轨道有压力.
例3　0.19 m
[解析] 重力和支持力的合力提供向心力时,火车拐弯时不侧向挤压车轮轮缘.对火车受力分析如图所示.将火车看成质点,其运动看成匀速圆周运动,根据牛顿第二定律得mgtan θ=m,因为θ很小,有tan θ≈sin θ=,联立解得h== m≈0.19 m.
例4　A　[解析] 路面的倾角为θ,作出汽车的受力图,如图所示,根据牛顿第二定律,得mgtan θ=m,又由几何关系得到tan θ=,联立解得R==120 m,故A正确.
[科学思维] G-FN　FN-G　小于　越小　大于　越大
例5　(1)10 m/s　(2)1.0×105 N
[解析] 对汽车受力分析,如图所示.
(1)汽车在凹形桥的底部时,由牛顿第三定律可知,桥面对汽车的支持力FN1=3.0×105 N,根据牛顿第二定律得FN1-mg=m
解得v=10 m/s.
(2)汽车在凸形桥的顶部时,由牛顿第二定律得mg-FN2=m
解得FN2=1.0×105 N
由于FN2>0,故汽车不会离开桥面
由牛顿第三定律得,在凸形桥顶部时汽车对桥面的压力最小,为1.0×105 N.
例6　AD　[解析] 由圆周运动知识可知,小汽车通过桥顶时,其加速度方向向下,由牛顿第二定律得mg-FN=m,解得FN=mg-m随堂巩固
1.AC　[解析] 汽车在弯道上行驶时,若按规定速度转弯,则由重力和路面弹力的合力提供向心力,设弯道倾角为θ,转弯半径为r,根据牛顿第二定律有mgtan θ=m,得v=,可见,若要提高最高限速,可以通过增大转弯半径、增大弯道的倾斜程度等方式实现,故A正确,B错误;汽车以某临界速度过拱形桥最高点时,所受支持力恰好等于零,由重力提供向心力,根据牛顿第二定律有mg=m,得v=,可见,若要增大临界速度,需增大拱形桥的曲率半径,故C正确,D错误.
2.D　[解析] 如果弯道是水平的,则“无人驾驶”汽车在拐弯时受到重力、支持力和摩擦力,不会受到向心力,向心力是效果力,由物体受到的力提供,故A错误;如果弯道是水平的,由静摩擦力提供向心力,有f=m,可知速度越大,所需要的向心力越大,当需要的向心力大于最大静摩擦力时,汽车将侧滑,所以“无人驾驶”汽车在拐弯时收到的指令是让车速小一点,防止汽车侧翻,故B错误;如果弯道是倾斜的,重力和支持力的合力可以提供向心力,而向心力指向圆心,所以道路应为外(西南)高内(东北)低,故C错误,D正确.
3.C　[解析] 由牛顿第二定律得F合=m,解得F合=mgtan θ,此时火车仅受重力和铁路轨道的支持力作用,如图所示,则FNcos θ=mg,解得FN=,内、外轨道对火车车轮的轮缘均无侧压力,故C正确,A、B、D错误.
4.B　[解析] 车中间一个质量为6 kg的大西瓜受到周围西瓜对它的作用力和重力的作用,其合力提供其做圆周运动的向心力,即F-mg=m,所以F=mg+m=75 N,选项A、C、D错误,B正确.第三节　生活中的圆周运动
1.B　[解析] 匀速转弯需要向心加速度,且向心加速度大小不变,故向心力大小不变,A错误,B正确;地面对自行车的作用力为摩擦力和支持力,支持力方向竖直向上,摩擦力方向不是竖直向上,C错误;由于存在指向轨迹凹侧的摩擦力,故D错误.
2.C　[解析] 汽车做曲线运动,所受合力不为零,A错误;向心力是效果力,不是汽车受到的力,B错误;根据fmax=m,最大静摩擦力不变,外侧行驶半径较大,则临界速度较大,C正确;根据f=mω2r,A车运动半径小,则受到的摩擦力小,D错误.
3.C　[解析] 设火车以速度v转弯时,若内、外轨道均不受侧压力作用,则由牛顿第二定律得mgtan θ=m,解得v=,即若速度为,则火车只受重力、支持力,重力和支持力的合力提供向心力,内、外轨道均不受侧压力作用,所受支持力FN的竖直分量的大小等于重力G,A错误;向心力在水平方向上,所受支持力FN的水平分量提供向心力,B错误,C正确;在垂直于轨道方向上有向心加速度的分量,其方向垂直于轨道向上,故所受重力G在垂直于轨道方向上的分量小于支持力FN,D错误.
4.BD　[解析] 火车转弯时为减小外轨所受压力,可使外轨略高于内轨,使轨道形成斜面,若火车速度合适,内外轨均不受挤压,此时,重力与支持力的合力提供向心力,如图,F向=mgtan θ=m,v=,当火车速度增大时,应适当增大转弯半径或增加内、外轨道的高度差.故选B、D.
5.C　[解析] 玩具车静止在拱桥顶端时对拱桥的压力等于玩具车的重力,当玩具车以一定的速度通过最高点时,由合力提供向心力,根据牛顿第二定律得mg-FN=m,解得FN=mg-m6.D　[解析] 在凹形路面的最低点,加速度向上,汽车超重,选项A错误;在凸形路面的最高点,加速度向下,汽车失重,汽车不容易爆胎,选项B错误;速度过快时,容易爆胎或飞出路面,所以为保证安全,可减速通过这段路面,选项C错误,D正确.
7.BC　[解析] 对雪板与运动员整体进行受力分析如图所示,可得FN=,因此A错误,B正确;运动员在通过弯道过程中支持力和重力的合力提供向心力,有mgtan θ=m,解得v=,C正确,D错误.
8.BD　[解析] 火车运动的圆周平面为水平面,为乙图中的b,故A错误,B正确;由重力与支持力的合力提供向心力,可知mgtan θ=,可得在该转弯处规定行驶的速度为v=,故C错误;由C项分析可知,适当增大内、外轨高度差,可以适当增大倾角θ,可以对火车进行有效安全的提速,故D正确.
9.ABD　[解析] 飞机盘旋时,飞机自身重力与机翼升力的合力提供其圆周运动的向心力,由牛顿第二定律有mgtan θ=m=mR,解得R=,T=,可知若飞行速率v不变,θ增大,则半径R减小,周期T减小;若θ不变,飞行速率v增大,则半径R增大;若飞行速率v增大,θ增大,则周期T可能不变,故选A、B、D.
10.A　[解析] 在水平路面上转弯,向心力由沿半径方向的摩擦力f提供,在竖直方向上支持力与重力平衡,FN=mg,支持力与摩擦力的合力沿车身方向,所以F向=,故A正确.
11.C　[解析] 汽车行驶过程中,做圆周运动,根据牛顿第二定律有mg-FN=m,根据牛顿第三定律可知,汽车对地面的压力与其所受支持力等大反向,有FN'=FN=mg-m,可知汽车的速度越大,则汽车对地面的压力越小,故A错误;从上面选项分析,可知驾驶员对座椅压力大小与汽车的速度有关,且只要汽车行驶,驾驶员对座椅压力都小于他自身的重力,故B错误,C正确;若某时刻速度增大到使汽车对地面压力为零,则此时驾驶员只受重力作用,处于完全失重状态,此时驾驶员会有失重的感觉,故D错误.
12.(1)5000 N　(2)4640 N　(3)10 m/s
[解析] (1)根据题意得G=mg=500×10 N=5000 N
根据平衡条件可知FN=G=5000 N
由牛顿第三定律可知,汽车对圆弧形拱桥的压力是5000 N
(2)由牛顿第二定律得mg-F支=m
解得F支=mg-m=4640 N
由牛顿第三定律可知,汽车对圆弧形拱桥的压力是4640 N
(3)由于只受重力,故有mg=m
解得v'==10 m/s第三节　生活中的圆周运动
学习任务一　公路弯道
[模型构建] 阅读教材,回答下列问题.
(1)如图1所示在公路的弯道处,为什么会挂有减速标志


(2)如图2所示在部分公路弯道处,采用外高内低的斜坡式设计,原因是什么


例1 如图所示,汽车在某一水平路面上做匀速圆周运动,已知汽车做圆周运动的轨道半径约为50 m,假设汽车受到的最大静摩擦力等于车重的,则运动的汽车(g取10 m/s2) (　)
A.所受的合力可能为零
B.只受重力和路面支持力作用
C.所需的向心力由重力和支持力的合力提供
D.速度不能超过20 m/s
[反思感悟]

例2 在高速公路的拐弯处,通常路面都是外高内低.如图所示,在某路段汽车向左拐弯,司机左侧的路面比右侧的路面低一些.汽车的运动可看作是半径为R的圆周运动.设内、外路面高度差为h,路基的水平宽度为d,路面的宽度为L.已知重力加速度为g.要使车轮与路面之间的横向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零,则汽车转弯时的车速应等于 (　)
A.　B.　C.　D.
【要点总结】
1.水平公路弯道
(1)向心力由车轮与路面间的静摩擦力f来提供,有F=f=m,解得v=.
(2)从上式可知,急转弯处半径r较小,雨天路滑使最大静摩擦力fmax减小,汽车质量m过大,转弯时都需要控制速度,以防侧滑.
2.倾斜公路弯道
(1)向心力由重力和支持力的合力提供,有F=mgtan θ=m,解得v=.
(2)当汽车转弯速度的大小v=时,此时汽车不受侧向的摩擦力.
(3)当汽车转弯的速度v>时,汽车将受到侧向(指向内侧)的摩擦力.
(4)当汽车转弯的速度v<时,汽车将受到侧向(指向外侧)的摩擦力.
学习任务二　铁路弯道
[教材链接] 阅读教材,完成下列填空:
工程师们在设计铁路时,让弯道处铁轨的外轨略　　　　内轨( 如图所示),与汽车在倾斜路面上转弯的原理相似,巧妙地借助火车受到的　　　　和　　　　的合力提供部分向心力,减轻轮缘对外轨的 挤压.修筑铁路时,根据弯道的半径和规定的行驶速度,适当选择内外轨的高度差,可以使火车转弯时所需的向心力几乎完全由　　　　和　　　　的合力来提供.
注意:火车转弯的旋转平面在水平面上而不是沿着铁轨所处的平面.
[模型建构] 如图所示为火车轨道的构造及火车转弯时的情景,设火车转弯时的运动是匀速圆周运动,观察图片并思考:
(1)火车在转弯处速度为多大时,火车对轨道没有侧向作用力


(2)火车速度过大或过小,会对哪侧轨道有侧压力



例3 [2024·深圳中学月考] 修铁路时,两轨间距是1435 mm,某处铁路转弯的半径是300 m.若规定火车通过这里的速度是72 km/h.如图所示,两轨所在平面与水平面的夹角为θ,请你用学过的知识计算一下,要想使内外轨均不受轮缘的挤压,内外轨的高度差应是多大 (当角度θ很小时,可认为tan θ ≈sin θ,g取10 m/s2,结果保留两位有效数字)
例4 [2024·广州六中月考] 和火车转弯类似,在高速公路的转弯处,路面通常都是外高内低.在某路段一汽车向左转弯,公路的竖直截面如图所示,图中h=0.5 m,x=6 m.汽车转弯时若以设计速度驶过弯道,车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零,已知转弯的设计速度为10 m/s,重力加速度g取10 m/s2,则该路段设计的汽车转弯的半径为 (　)
A.120 m　 B.10 m　 C.12 m　 D.6 m
[反思感悟]

【要点总结】
假设火车转弯处规定行驶速度为v0,火车以不同速度v行驶时,轮缘所受侧向(沿轨道平面)压力不同.
(1)当火车行驶速度v=v0时,内、外轨对轮缘均无侧向压力.
(2)当火车行驶速度v>v0时,外轨对轮缘有向里的侧向压力.
(3)当火车行驶速度v学习任务三 　拱形与凹形路面
[科学思维]
汽车过拱形路面 汽车过凹形路面
受力分析
向心力 F=　　　　=m F=　　　　=m
对路面的 压力 FN'=FN =G-m FN'=FN =G+m
结论 汽车对路面的压力　　　　汽车的重力,而且汽车的速度越大,对路面的压力　　　　 汽车对路面的压力　　　　汽车的重力,而且速度越大,汽车对路面的压力　　　　
例5 质量m=2.0×104 kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面,两桥面的圆弧半径均为60 m.若桥面承受的压力不得超过3.0×105 N,重力加速度g取10 m/s2,则:
(1)汽车允许的最大速率是多少
(2)当以(1)问所求速率行驶时,汽车对凸形桥面的最小压力是多少
例6 (多选)[2024·广雅中学月考] 城市中为了解决交通问题,修建了许多立交桥.如图所示,桥面是半径为R的圆弧形的立交桥AB横跨在水平路面上,一辆质量为m的小汽车在A端冲上该立交桥,小汽车到达桥顶时的速度大小为v1,若小汽车在上桥过程中保持速率不变,重力加速度为g,则　　　 (　)
A.小汽车通过桥顶时处于失重状态
B.小汽车通过桥顶时处于超重状态
C.小汽车在上桥过程中受到桥面的支持力大小为FN=mg-m
D.小汽车到达桥顶时的速度必须小于
[反思感悟]

【要点总结】
汽车过桥中的超重与失重
研究状态 汽车过拱形桥 最高点 汽车过凹形桥 最低点
图示及 受力 情况
(续表)
动力学 方程 G-FN=m FN-G=m
汽车所受 支持力 FN=G-mG
结论 汽车运动到拱形桥的最高点时处于失重状态 汽车运动到凹形桥的最低点时处于超重状态　
1.(公路弯道)(多选)经过近两年的改造,原“佛山一环”被改造成了封闭管理的高速公路,但最高限速仍然为100 km/h.如果要将最高限速提高到120 km/h,则必须对道路主干道进行哪些改造 (　)
A.增大弯道的转弯半径
B.减小弯道路面向内侧倾斜的程度
C.增大沿线各拱形桥梁的曲率半径
D.减小沿线各拱形桥梁的曲率半径
2.(公路弯道)[2024·汕头金山中学期末] 3D地图技术能够为无人驾驶汽车分析数据,提供操作的指令.如图所示为一段公路拐弯处的地图,则 (　)
A.若弯道是水平的,汽车拐弯时受到重力、支持力、摩擦力和向心力
B.若弯道是水平的,为防止汽车侧滑,汽车拐弯时收到的指令是让车速大一点
C.若弯道是倾斜的,为了防止汽车侧滑,道路应为内(东北)高外(西南)低
D.若弯道是倾斜的,为了防止汽车侧滑,道路应为外(西南)高内(东北)低
3.(铁路弯道)[2024·中山一中期中] 铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的,已知内外轨道平面与水平面的夹角为θ,如图所示,弯道处的圆弧半径为R,若质量为m的火车转弯时速度等于(g为重力加速度),则 (　)
A.内轨对内侧车轮的轮缘有挤压
B.外轨对外侧车轮的轮缘有挤压
C.这时铁轨对火车的支持力等于
D.这时铁轨对火车的支持力大于
4.(拱形与凹形路面)如图所示,有一运输西瓜的汽车,以5 m/s的速率通过一个半径为r=10 m的凹形路面,车经凹形路面最低点时,车中间一个质量为6 kg的大西瓜受到周围西瓜对它的作用力的大小为(g取10 m/s2) (　)
A.60 N　　　　　　 B.75 N
C.45 N D.0 N第三节　生活中的圆周运动建议用时:40分钟
◆ 知识点一　公路弯道
1.[2024·珠海一中月考] 单车骑行受到越来越多的人喜爱.如图所示为骑行者在水平路面上匀速转弯,轨迹近似圆弧形,下列关于转弯过程中说法正确的是 (　)
A.骑行者的加速度为零
B.骑行者所受到的向心力大小不变
C.地面对自行车的作用力竖直向上
D.自行车仅受到与运动方向相反的摩擦力
2.[2024·汕头期末] 假定某水平圆形环岛路面如图甲, 汽车受到的最大静摩擦力与重力的比值恒定不变,则当汽车匀速率地通过环形路段时,汽车的侧向摩擦力达到最大时的最大速度称为临界速度,下列说法正确的是 (　)
A.汽车所受的合力为零
B.汽车受重力、弹力、摩擦力和向心力的作用
C.汽车在环岛路外侧行驶时,其临界速度增大
D.图乙中质量相等的两辆车以相等的角速度绕环岛中心转,A车受到指向轨道圆心的摩擦力比B车的大
◆ 知识点二　铁路弯道
3.如图所示为火车在水平路基上拐弯处的截面示意图,弯道的半径为R,轨道的外轨略高于内轨,轨道平面倾角为θ(θ很小), 重力加速度为g.当火车以大小为的速度通过此弯道时,火车 (　)
A.所受支持力FN的竖直分量大于重力G
B.所受重力G在平行于轨道平面方向上的分量提供向心力
C.所受支持力FN的水平分量提供向心力
D.所受重力G在垂直于轨道平面方向上的分量与支持力FN平衡
4.(多选)[2024·珠海实验中学月考] 为适应国民经济发展的需要,我国铁路正式实施第七次提速.火车转弯可以看成是做匀速圆周运动,火车速度提高易使外轨受损.为避免火车高速转弯时外轨受损,你认为理论上可行的措施是 (　)
A.仅减小弯道半径
B.仅增大弯道半径
C.仅适当减小内、外轨道的高度差
D.仅适当增加内、外轨道的高度差
◆ 知识点三 　拱形与凹形路面
5.用三合板模拟拱形桥来研究汽车通过桥的最高点时对桥的压力.在拱桥上表面事先铺上一层牛仔布以增加摩擦,这样玩具车就可以在桥面上跑起来了.把这套系统放在电子秤上,关于电子秤的示数,下列说法正确的是 (　 )
A.玩具车静止在拱桥顶端时,电子秤示数小一些
B.玩具车运动通过拱桥顶端时,电子秤示数大一些
C.玩具车运动通过拱桥顶端时处于失重状态
D.玩具车运动通过拱桥顶端时的速度越大(未离开拱桥),则电子秤示数越大
6.[2024·河北石家庄二中月考] 如图所示,汽车先后驶过凸形路面与凹形路面,则下列说法正确的是 (　)
A.在凹形路面的最低点时,汽车失重
B.在凸形路面的最高点时,汽车更容易爆胎
C.为保证安全,可加速通过这段路面
D.为保证安全,要减速通过这段路面
7.(多选)质量为m(包含雪板)的单板滑雪运动员在安全速降过程获得的最大速度为v,为了顺利通过水平面上半径为R的旗门弯道,运动员利用身体倾斜将雪板插入雪中.如图所示,雪板A底面与水平面夹角为θ、所受支持力大小为FN,雪板A侧面不受力,回转半径R远大于运动员B的身高,重力加速度大小为g,不计空气与摩擦阻力影响,下列说法正确的是 (　 )
A.FN=
B.FN=
C.v=
D.v=
8.(多选)[2024·佛山期中] 在修筑铁路时,为了消除轮缘与铁轨间的挤压,要根据弯道的半径和规定的行驶速度,设计适当的倾斜轨道,即两侧轨道存在一定的高度差.火车轨道在某转弯处其轨道平面倾角为θ,转弯半径为r,在该转弯处规定行驶的速度为v,则下列说法中正确的是 (　)
A.火车运动的圆周平面为乙图中的a
B.火车运动的圆周平面为乙图中的b
C.在该转弯处规定行驶的速度为v=
D.适当增大内、外轨高度差可以对火车进行有效安全的提速
9.(多选)飞机飞行时除受到发动机的推力和空气阻力外,还受到重力和机翼的升力,机翼的升力垂直于机翼所在平面向上,当飞机在空中盘旋时机翼倾斜(如图所示),以保证重力和机翼升力的合力提供向心力.设飞机以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动时机翼与水平面成θ角,飞行周期为T.则下列说法正确的是 (　)
A.若飞行速率v不变,θ增大,则半径R减小
B.若飞行速率v不变,θ增大,则周期T减小
C.若θ不变,飞行速率v增大,则半径R减小
D.若飞行速率v增大,θ增大,则周期T可能不变
10.[2024·湖南长沙一中月考] 摩托车转弯时容易发生侧滑(速度过大)或侧翻(车身倾斜角度不当),所以除了控制速度外车手要将车身倾斜一个适当角度,使车轮受到水平路面沿转弯半径方向的摩擦力与路面对车支持力的合力沿车身(过重心).某摩托车沿水平路面以恒定速率转弯过程中车身与路面间的夹角为θ,已知人与摩托车的总质量为m,轮胎与路面间的动摩擦因数为μ,重力加速度大小为g.则此次转弯中的向心力大小为(　)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.
B.mgtan θ
C.μmgtan θ
D.
11.[2024·珠海二中月考] 如图所示,从宇宙角度,地球可以看成一个巨大的拱形桥,桥面半径R=6400 km,地面上行驶的汽车中驾驶员的质量m=80 kg,g取10 m/s2,在汽车不离开地面的前提下,下列分析中正确的是(　)
A.汽车的速度越大,则汽车对地面的压力也越大
B.不论汽车的行驶速度如何,驾驶员对座椅压力大小都等于800 N
C.只要汽车行驶,驾驶员对座椅压力都小于他自身的重力
D.若某时刻速度增大到使汽车对地面压力为零,则此时驾驶员会有超重的感觉
12.如图所示,一辆质量为500 kg的汽车静止在一座半径为50 m的圆弧形拱桥顶部.(g取10 m/s2)
(1)此时汽车对圆弧形拱桥的压力为多少
(2)若汽车以6 m/s的速度经过拱桥的顶部,则汽车对圆弧形拱桥的压力为多少
(3)汽车以多大的速度经过拱桥的顶部时,汽车对圆弧形拱桥的压力恰好为零 (共48张PPT)
第三节 生活中的圆周运动
学习任务一 公路弯道
学习任务二 铁路弯道
学习任务三 拱形与凹形路面
随堂巩固
备用习题
练习册
◆
学习任务一 公路弯道
［模型构建］ 阅读教材，回答下列问题.
(1) 如图1所示在公路的弯道处，为什么会挂有减速标志？
[答案] 防止汽车超速引起侧滑.
(2) 如图2所示在部分公路弯道处，采用外高内低的斜坡式设计，原因是什么？
[答案] 由汽车所受重力和支持力的合力提供部分向心力，使汽车高速安全通过弯道.
例1 如图所示，汽车在某一水平路面上做匀速圆周运动，已知汽车做圆周运动的轨道半径约为，假设汽车受到的最大静摩擦力等于车重的，则运动的汽车取( )
D
A.所受的合力可能为零 B.只受重力和路面支持力作用
C.所需的向心力由重力和支持力的合力提供 D.速度不能超过
[解析] 汽车做匀速圆周运动，根据可知，汽车所受的合力不可能为零，A错误；汽车在竖直方向没有运动，故重力和路面支持力的合力为零，汽车受到的静摩擦力提供向心力，B、C错误；最大静摩擦力提供向心力时，汽车的速度最大，有，代入数据解得，D正确.
例2 在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低.如图所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些.汽车的运动可看作是半径为的圆周运动.设内、外路面高度差为，路基的水平宽度为，路面的宽度为.已知重力加速度为.要使车轮与路面之间的横向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零，则汽车转弯时的车速应等于( )
B
A. B. C. D.
[解析] 设路面的倾角为 ，根据牛顿第二定律得，又，联立解得
，选项B正确．
【要点总结】
1.水平公路弯道
(1)向心力由车轮与路面间的静摩擦力来提供，有，解得.
(2)从上式可知，急转弯处半径较小，雨天路滑使最大静摩擦力减小，汽车质量过大，转弯时都需要控制速度，以防侧滑.
2.倾斜公路弯道
(1)向心力由重力和支持力的合力提供，有，解得.
(2)当汽车转弯速度的大小时，此时汽车不受侧向的摩擦力.
(3)当汽车转弯的速度时，汽车将受到侧向(指向内侧)的摩擦力.
(4)当汽车转弯的速度时，汽车将受到侧向(指向外侧)的摩擦力.
学习任务二 铁路弯道
［教材链接］ 阅读教材，完成下列填空：
工程师们在设计铁路时，让弯道处铁轨的外轨略______内轨( 如图所示)，与汽车在倾斜路面上转弯的原理相似，巧妙地借助火车受到的________和______的合力提供部分向心力，减轻轮缘对外轨的挤压.修筑铁路时，根据弯道的半径和规定的行驶速度，适当选择内外轨的高度差，可以使火车转弯时所需的向心力几乎完全由______和________的合力来提供.
高于
支持力
重力
重力
支持力
注意：火车转弯的旋转平面在水平面上而不是沿着铁轨所处的平面.
［模型建构］ 如图所示为火车轨道的构造及火车转弯时的情景，设火车转弯时的运动是匀速圆周运动，观察图片并思考：
(1) 火车在转弯处速度为多大时，火车对轨道没有侧向作用力
[答案] 火车转弯处的外轨略高于内轨，火车转弯时，当向心力由重力和支持力的合力提供时，由，可得.
(2) 火车速度过大或过小，会对哪侧轨道有侧压力
[答案] 速度过大会对外侧轨道有压力，速度过小会对内侧轨道有压力.
例3 [2024·深圳中学月考] 修铁路时，两轨间距是，某处铁路转弯的半径是.若规定火车通过这里的速度是.如图所示，两轨所在平面与水平面的夹角为 ，请你用学过的知识计算一下，要想使内外轨均不受轮缘的挤压，内外轨的高度差应是多大？(当角度 很小时，可认为 ，取，结果保留两位有效数字)
[答案]
[解析] 重力和支持力的合力提供向心力时，火车拐弯时不侧向挤压车轮轮缘.对火车受力分析如图所示.将火车看成质点，其运动看成匀速圆周运动，根据牛顿第二定律得，因为 很小，有，联立解得.
例4 [2024·广州六中月考] 和火车转弯类似，在高速公路的转弯处，路面通常都是外高内低.在某路段一汽车向左转弯，公路的竖直截面如图所示，图中，.汽车转弯时若以设计速度驶过弯道，车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零，已知转弯的设计速度为，重力加速度取，则该路段设计的汽车转弯的半径为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 路面的倾角为 ，作出汽车的受力图，如图所示，根据牛顿第二定律，得，又由几何关系得到，联立解得，故A正确.
【要点总结】
假设火车转弯处规定行驶速度为，火车以不同速度行驶时，轮缘所受侧向(沿轨道平面)压力不同.
(1)当火车行驶速度时,内、外轨对轮缘均无侧向压力.
(2)当火车行驶速度时,外轨对轮缘有向里的侧向压力.
(3)当火车行驶速度时,内轨对轮缘有向外的侧向压力.
学习任务三 拱形与凹形路面
［科学思维］
汽车过拱形路面 汽车过凹形路面
受力分析 _________________________________________________________________ ________________________________________________________________
向心力
对路面的压力
结论 汽车对路面的压力______汽车的重力，而且汽车的速度越大，对路面的压力______ 汽车对路面的压力______汽车的重力，而且速度越大，汽车对路面的压力______
小于
越小
大于
越大
例5 质量的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面,两桥面的圆弧半径均为.若桥面承受的压力不得超过,重力加速度取,则：
(1) 汽车允许的最大速率是多少
[答案]
[解析] 汽车在凹形桥的底部时,由牛顿第三定律可知,桥面对汽车的支持力,根据牛顿第二定律得
解得.
(2) 当以(1)问所求速率行驶时,汽车对凸形桥面的最小压力是多少
[答案]
[解析] 对汽车受力分析,如图所示.
汽车在凸形桥的顶部时,由牛顿第二定律得
解得
由于,故汽车不会离开桥面
由牛顿第三定律得,在凸形桥顶部时汽车对桥面的压力最小，为.
例6 (多选)[2024·广雅中学月考] 城市中为了解决交通问题，修建了许多立交桥.如图所示，桥面是半径为的圆弧形的立交桥横跨在水平路面上，一辆质量为的小汽车在端冲上该立交桥，小汽车到达桥顶时的速度大小为，若小汽车在上桥过程中保持速率不变，重力加速度为,则 ( )
AD
A.小汽车通过桥顶时处于失重状态
B.小汽车通过桥顶时处于超重状态
C.小汽车在上桥过程中受到桥面的支持力大小为
D.小汽车到达桥顶时的速度必须小于
[解析] 由圆周运动知识可知，小汽车通过桥顶时，其加速度方向向下，由牛顿第二定律得，解得，故其处于失重状态，选项A正确，B错误；表达式只在小汽车通过桥顶时成立，而其上桥过程中的受力情况较为复杂，选项C错误；由可知，当时，，故当时会出现飞车现象，选项D正确.
【要点总结】
汽车过桥中的超重与失重
研究状态 汽车过拱形桥最高点 汽车过凹形桥最低点
图示及受力情况 _________________________________________________ _________________________________________________
动力学方程
汽车所受支持力
结论 汽车运动到拱形桥的最高点时处于失重状态 汽车运动到凹形桥的最低点时处于超重状态
1.(多选)如图所示为赛车场的一个水平“”形弯道,转弯处为圆心在点的半圆,内、外半圆半径分别为和.一辆质量为的赛车通过线经弯道到达线,有如图所示的①、②、③三条路线,其中路线③是以为圆心的半圆,.赛车沿圆弧路线行驶时,路面对轮胎的最大径向静摩擦力为.选择路线,赛车以不打滑的最大速率通过弯道,则(在所选路线内赛车速率不变,发动机功率足够大)( )
A.选择路线①,赛车经过的路程最短
B.选择路线②,赛车的速率最小
C.选择路线③,赛车所用时间最短
D.在①、②、③三条路线的圆弧上,赛车的向心加速度大小相等
[解析] 由平面几何关系可分别算出三个路线的路程，即,,,故选项A正确.由,可分别算出三条路线的最大速度，即,,,故选项B错误.由,把各条路线的和分别代入,可分别算出运动时间,选项C正确.由,可得出三条路线上赛车的向心加速度大小相等,选项D正确.
√
√
√
2.如图所示，照片中的汽车做匀速圆周运动通过水平弯道，假设汽车受到的最大静摩擦力等于车重力大小的，水平弯道路面的半径为，取，则该汽车( )
D
A.受到重力、支持力、摩擦力和向心力的作用
B.所受的作用力的合力可能为零
C.在做匀速圆周运动时，速度不变
D.最大速度不能超过
[解析] 运动的汽车受到重力、支持力、摩擦力，故A错误；汽车在做圆周运动，所受的作用力的合力不可能为零，故B错误；汽车在做匀速圆周运动时，速度的大小不变，方向在时刻发生改变，而速度是矢量，故C错误；汽车受到的最大静摩擦力等
于车重力大小的，根据牛顿第二定律有，代入数据解得，故D正确.
1.(公路弯道)(多选)经过近两年的改造，原“佛山一环”被改造成了封闭管理的高速公路，但最高限速仍然为.如果要将最高限速提高到，则必须对道路主干道进行哪些改造( )
AC
A.增大弯道的转弯半径 B.减小弯道路面向内侧倾斜的程度
C.增大沿线各拱形桥梁的曲率半径 D.减小沿线各拱形桥梁的曲率半径
[解析] 汽车在弯道上行驶时，若按规定速度转弯，则由重力和路面弹力的合力提供向心力，设弯道倾角为 ，转弯半径为，根据牛顿第二定律有，得，可见，若要提高最高限速，可以通过增大转弯半径、增大弯道的倾斜程度等方式实现，故A正确，B错误；汽车以某临界速度过拱形桥最高点时，所受支持力恰好等于零，由重力提供向心力，根据牛顿第二定律有，得，可见，若要增大临界速度，需增大拱形桥的曲率半径，故C正确，D错误.
2.(公路弯道)[2024·汕头金山中学期末] 地图技术能够为无人驾驶汽车分析数据，提供操作的指令.如图所示为一段公路拐弯处的地图，则( )
D
A.若弯道是水平的，汽车拐弯时受到重力、支持力、摩擦力和向心力
B.若弯道是水平的，为防止汽车侧滑，汽车拐弯时收到的指令是让车速大一点
C.若弯道是倾斜的，为了防止汽车侧滑，道路应为内(东北)高外(西南)低
D.若弯道是倾斜的，为了防止汽车侧滑，道路应为外(西南)高内(东北)低
[解析] 如果弯道是水平的，则“无人驾驶”汽车在拐弯时受到重力、支持力和摩擦力，不会受到向心力，向心力是效果力，由物体受到的力提供，故A错误；如果弯道是水平的，由静摩擦力提供向心力，有，可知速度越大，所需要的向心力越大，当需要的向心力大于最大静摩擦力时，汽车将侧滑，所以“无人驾驶”汽车在拐弯
时收到的指令是让车速小一点，防止汽车侧翻，故B错误；如果弯道是倾斜的，重力和支持力的合力可以提供向心力，而向心力指向圆心，所以道路应为外(西南)高内(东北)低，故C错误，D正确.
3.(铁路弯道)[2024·中山一中期中] 铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面与水平面的夹角为 ，如图所示，弯道处的圆弧半径为，若质量为的火车转弯时速度等于为重力加速度，则( )
C
A.内轨对内侧车轮的轮缘有挤压 B.外轨对外侧车轮的轮缘有挤压
C.这时铁轨对火车的支持力等于 D.这时铁轨对火车的支持力大于
[解析] 由牛顿第二定律得，解得，此时火车仅受重力和铁路轨道的支持力作用，如图所示，则，解得，内、外轨道对火车车轮的轮缘均无侧压力，故C正确，A、B、D错误.
4.(拱形与凹形路面)如图所示，有一运输西瓜的汽车，以的速率通过一个半径为的凹形路面，车经凹形路面最低点时，车中间一个质量为的大西瓜受到周围西瓜对它的作用力的大小为取( )
B
A. B. C. D.
[解析] 车中间一个质量为的大西瓜受到周围西瓜对它的作用力和重力的作用，其合力提供其做圆周运动的向心力，即，所以，选项A、C、D错误，B正确.
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知识点一 公路弯道
1.[2024·珠海一中月考] 单车骑行受到越来越多的人喜爱.如图所示为骑行者在水平路面上匀速转弯，轨迹近似圆弧形，下列关于转弯过程中说法正确的是( )
B
A.骑行者的加速度为零 B.骑行者所受到的向心力大小不变
C.地面对自行车的作用力竖直向上 D.自行车仅受到与运动方向相反的摩擦力
[解析] 匀速转弯需要向心加速度，且向心加速度大小不变，故向心力大小不变，A错误，B正确；地面对自行车的作用力为摩擦力和支持力，支持力方向竖直向上，摩擦力方向不是竖直向上，C错误；由于存在指向轨迹凹侧的摩擦力，故D错误.
2.[2024·汕头期末] 假定某水平圆形环岛路面如图甲，汽车受到的最大静摩擦力与重力的比值恒定不变，则当汽车匀速率地通过环形路段时，汽车的侧向摩擦力达到最大时的最大速度称为临界速度，下列说法正确的是( )
A.汽车所受的合力为零
B.汽车受重力、弹力、摩擦力和向心力的作用
C.汽车在环岛路外侧行驶时，其临界速度增大
D.图乙中质量相等的两辆车以相等的角速度绕环岛中心转，车受到指向轨道圆心的摩擦力比车的大
[解析] 汽车做曲线运动，所受合力不为零，A错误；向心力是效果力，不是汽车受到的力，B错误；根据，最大静摩擦力不变，外侧行驶半径较大，则临界速度较大，C正确；根据，A车运动半径小，则受到的摩擦力小，D错误.
√
知识点二 铁路弯道
3.如图所示为火车在水平路基上拐弯处的截面示意图，弯道的半径为，轨道的外轨略高于内轨，轨道平面倾角为 很小，重力加速度为.当火车以大小为的速度通过此弯道时，火车( )
C
A.所受支持力的竖直分量大于重力
B.所受重力在平行于轨道平面方向上的分量提供向心力
C.所受支持力的水平分量提供向心力
D.所受重力在垂直于轨道平面方向上的分量与支持力平衡
[解析] 设火车以速度转弯时，若内、外轨道均不受侧压力作用，则由牛顿第二定律得，解得，即若速度为，则火车只受重力、支持力，重力和支持力的合力提供向心力，内、外轨道均不受侧压力作用，所受支持力的竖直分量的大小等于重力，A错误；向心力在水平方向上，所受支持力的水平分量提供向心力，B错误，C正确；在垂直于轨道方向上有向心加速度的分量，其方向垂直于轨道向上，故所受重力在垂直于轨道方向上的分量小于支持力，D错误.
4.(多选)[2024·珠海实验中学月考] 为适应国民经济发展的需要，我国铁路正式实施第七次提速.火车转弯可以看成是做匀速圆周运动，火车速度提高易使外轨受损.为避免火车高速转弯时外轨受损，你认为理论上可行的措施是( )
BD
A.仅减小弯道半径 B.仅增大弯道半径
C.仅适当减小内、外轨道的高度差 D.仅适当增加内、外轨道的高度差
[解析] 火车转弯时为减小外轨所受压力，可使外轨略高于内轨，使轨道形成斜面，若火车速度合适，内外轨均不受挤压，此时，重力与支持力的合力提供向心力，如图，，，当火车速度增大时，应适当增大转弯半径或增加内、外轨道的高度差.故选B、D.
知识点三 拱形与凹形路面
5.用三合板模拟拱形桥来研究汽车通过桥的最高点时对桥的压力.在拱桥上表面事先铺上一层牛仔布以增加摩擦，这样玩具车就可以在桥面上跑起来了.把这套系统放在电子秤上，关于电子秤的示数，下列说法正确的是( )
C
A.玩具车静止在拱桥顶端时，电子秤示数小一些
B.玩具车运动通过拱桥顶端时，电子秤示数大一些
C.玩具车运动通过拱桥顶端时处于失重状态
D.玩具车运动通过拱桥顶端时的速度越大(未离开拱桥)，则电子秤示数越大
[解析] 玩具车静止在拱桥顶端时对拱桥的压力等于玩具车的重力，当玩具车以一定的速度通过最高点时，由合力提供向心力，根据牛顿第二定律得，解得，所以玩具车运动通过拱桥顶端时电子秤示数会小一些，故A、B错误；玩具车运动通过拱桥顶端时，加速度方向向下，处于失重状态，故C正确；根据可知，玩具车运动通过拱桥顶端时，速度越大(未离开拱桥)，则电子秤示数越小，故D错误.
6.[2024·河北石家庄二中月考] 如图所示，汽车先后驶过凸形路面与凹形路面，则下列说法正确的是( )
D
A.在凹形路面的最低点时，汽车失重 B.在凸形路面的最高点时，汽车更容易爆胎
C.为保证安全，可加速通过这段路面 D.为保证安全，要减速通过这段路面
[解析] 在凹形路面的最低点，加速度向上，汽车超重，选项A错误；在凸形路面的最高点，加速度向下，汽车失重，汽车不容易爆胎，选项B错误；速度过快时，容易爆胎或飞出路面，所以为保证安全，可减速通过这段路面，选项C错误，D正确.
7.(多选)质量为(包含雪板)的单板滑雪运动员在安全速降过程获得的最大速度为，为了顺利通过水平面上半径为的旗门弯道，运动员利用身体倾斜将雪板插入雪中.如图所示，雪板底面与水平面夹
BC
A. B. C. D.
[解析] 对雪板与运动员整体进行受力分析如图所示，可得，因此A错误，B正确；运动员在通过弯道过程中支持力和重力的合力提供向心力，有，解得，C正确，D错误.
角为 、所受支持力大小为，雪板侧面不受力，回转半径远大于运动员的身高，重力加速度大小为，不计空气与摩擦阻力影响，下列说法正确的是( )
8.(多选)[2024·佛山期中] 在修筑铁路时，为了消除轮缘与铁轨间的挤压，要根据弯道的半径和规定的行驶速度，设计适当的倾斜轨道，即两侧轨道存在一定的高度差.火车轨道在某转弯处其轨道平面倾角为 ，转弯半径为，在该转弯处规定行驶的速度为，则下列说法中正确的是( )
BD
A.火车运动的圆周平面为乙图中的
B.火车运动的圆周平面为乙图中的
C.在该转弯处规定行驶的速度为
D.适当增大内、外轨高度差可以对火车进行有效安全的提速
[解析] 火车运动的圆周平面为水平面，为乙图中的，故A错误，B正确；由重力与支持力的合力提供向心力，可知，可得在该转弯处规定行驶的速度为，故C错误；由C项分析可知，适当增大内、外轨高度差，可以适当增大倾角 ，可以对火车进行有效安全的提速，故D正确.
9.(多选)飞机飞行时除受到发动机的推力和空气阻力外，还受到重力和机翼的升力，机翼的升力垂直于机翼所在平面向上，当飞机在空中盘旋时机翼倾斜(如图所示)，以保证重力和机翼升力的合力提供向心
ABD
A.若飞行速率不变， 增大，则半径减小
B.若飞行速率不变， 增大，则周期减小
C.若 不变，飞行速率增大，则半径减小
D.若飞行速率增大， 增大，则周期可能不变
力.设飞机以速率在水平面内做半径为的匀速圆周运动时机翼与水平面成 角，飞行周期为.则下列说法正确的是( )
[解析] 飞机盘旋时，飞机自身重力与机翼升力的合力提供其圆周运动的向心力，由牛顿第二定律有，解得，，可知若飞行速率不变， 增大，则半径减小，周期减小；若 不变，飞行速率增大，则半径增大；若飞行速率增大， 增大，则周期可能不变，故选A、B、D.
10.[2024·湖南长沙一中月考] 摩托车转弯时容易发生侧滑(速度过大)或侧翻(车身倾斜角度不当)，所以除了控制速度外车手要将车身倾斜一个适当角度，使车轮受到水平路面沿转弯半径方向的摩擦力与路面对车支持力的合力沿车身(过重心).某摩托车沿水平路面以恒定速率转弯过程中车身与路面间的夹角为 ，已知人与摩托车的总质量为，轮胎与路面间的动摩擦因数为 ，重力加速度大小为.则此次转弯中的向心力大小为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 在水平路面上转弯，向心力由沿半径方向的摩擦力提供，在竖直方向上支持力与重力平衡，，支持力与摩擦力的合力沿车身方向，所以，故A正确.
11.[2024·珠海二中月考] 如图所示，从宇宙角度，地球可以看成一个巨大的拱形桥，桥面半径，地面上行驶的汽车中驾驶员的质量，取，在汽车不离开地面的前提下，下列分析中正确的是( )
C
A.汽车的速度越大，则汽车对地面的压力也越大
B.不论汽车的行驶速度如何，驾驶员对座椅压力大小都等于
C.只要汽车行驶，驾驶员对座椅压力都小于他自身的重力
D.若某时刻速度增大到使汽车对地面压力为零，则此时驾驶员会有超重的感觉
[解析] 汽车行驶过程中，做圆周运动，根据牛顿第二定律有，根据牛顿第三定律可知，汽车对地面的压力与其所受支持力等大反向，有，可知汽车的速度越大，则汽车对地面的压力越小，故A错误；从上面选项分析，可知驾驶员对座椅压力大小与汽车的速度有关，且只要汽车行驶，驾驶员对座椅压力都小于他自身的重力，故B错误，C正确；若某时刻速度增大到使汽车对地面压力为零，则此时驾驶员只受重力作用，处于完全失重状态，此时驾驶员会有失重的感觉，故D错误.
12.如图所示，一辆质量为的汽车静止在一座半径为的圆弧形拱桥顶部.取
(1) 此时汽车对圆弧形拱桥的压力为多少？
[答案]
[解析] 根据题意得
根据平衡条件可知
由牛顿第三定律可知，汽车对圆弧形拱桥的压力是
(2) 若汽车以的速度经过拱桥的顶部，则汽车对圆弧形拱桥的压力为多少？
[答案]
[解析] 由牛顿第二定律得
解得
由牛顿第三定律可知，汽车对圆弧形拱桥的压力是
(3) 汽车以多大的速度经过拱桥的顶部时，汽车对圆弧形拱桥的压力恰好为零？
[答案]
[解析] 由于只受重力，故有
解得

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