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(共83张PPT)
8.3 正态分布
探究点一 正态密度曲线及其特点
探究点二 利用正态分布求概率
探究点三 正态分布的实际应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态密度曲
线的特征.
2.了解服从正态分布的随机变量落在区间 ，
， 内的概率大小.
3.会根据正态密度曲线的性质求随机变量在某一区间的概率.
知识点一 正态密度曲线
1.正态密度曲线
函数 称为正态密度函数，称它的图象为
______________.这里有两个参数 和 ，其中， .
正态密度曲线
2.正态密度曲线的特征
①当 时，曲线______；当 时，曲线______；当曲线向
左右两边无限延伸时，以 轴为渐近线.
②曲线关于直线______对称.
③ 越大，曲线越扁平； 越小，曲线越尖陡.
④在曲线下方和 轴上方范围内的区域面积为___.
注意参数 和 对正态密度曲线的形状的影响
上升
下降
（1） 为形状参数，参数 的大小决定了曲线的高低和胖瘦.当参数
取固定值， 取不同值时，对应的正态密度曲线的形状如图甲所示.
（2） 为位置参数.当参数 取固定值时，正态密度曲线的位置由
确定，且随着 的变化而沿 轴平移，如图乙.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）正态密度曲线可以关于 轴对称.( )
√
（2）正态密度曲线是单峰的，其与 轴之间的区域的面积是随参数
， 的变化而变化的.( )
×
[解析] 正态密度曲线是单峰的，其与 轴之间的区域的面积是1，不
随参数 ， 的变化而变化.
知识点二 正态分布
1.正态分布
设是一个随机变量，若对任给区间， 是正态密
度曲线下方和轴上 上方所围成的图形的面积（如图），则称
随机变量服从参数为 和 的正态分布，简记为____________.
2.随机变量在三个特殊区间内取值的概率
如图，若，则随机变量 取值
（1）落在区间 内的概率约为_______；
（2）落在区间 内的概率约为_______；
（3）落在区间 内的概率约为_______.
3.正态分布 称为标准正态分布.
注意：参数 是反映随机变量取值的平均水平的特征数（均值）；
是衡量随机变量总体波动大小的特征数（方差）.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）正态分布是由它的均值 和标准差 唯一决定的.( )
√
（2）若，则 ， .( )
√
（3）服从正态分布的随机变量是连续型随机变量.( )
√
（4）关于正态分布，随机变量落在区间长度为 的区间
之外是一个小概率事件.( )
×
[解析] 因为，所以
或 ，
所以随机变量落在 之外是一个小概率事件.
（5）若，则 .( )
√
探究点一 正态密度曲线及其特点
例1 （多选题）［2025·江苏无锡辅仁中学高二期中］甲、乙两类水
果的质量（单位：）分别服从正态分布， ，对
应的正态密度曲线如图所示，则下列说法正确的是( )
A.甲类水果的平均质量
B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平
均值左右
C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D.
√
√
√
[解析] 由题图可知，甲类水果的质量的正态密度
曲线关于直线 对称，乙类水果的质量的正
态密度曲线关于直线 对称，所以
，，且 ，故A，C正确；
因为甲类水果的质量的正态密度曲线比乙类水果的质量的正态密度
曲线更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平
均值左右，故B正确；
因为乙类水果的质量的正态密度曲线的最大值为，即，
所以 ，故D错误.
故选 .
变式 （多选题）设随机变量，，和
的正态密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是( )
A.
B.
C.当时，
D.当时，
√
√
[解析] 由题图可知， ，
所以 ，故A正确；
，故B错误；
当 时，由题图可知
，又 ，
,所以 ,故C正确,D错误.
故选 .
［素养小结］
利用正态密度曲线的特点求参数 ，
（1）正态密度曲线是单峰的，它关于直线 对称，由此性质结
合图象求 .
（2）正态密度函数在 处取得最大值，由此性质结合图象
可求 .
（3）由 的大小区分曲线的胖瘦.
探究点二 利用正态分布求概率
例2（1）［2024·福建三明高二期末］现实世界中的很多随机变量服
从正态分布，例如反复测量某一个物理量，其测量误差 通常被认为
服从正态分布.若某物理量做次测量，测量结果的误差 ，
要控制的概率不大于 ，则至少要测量的次数为( )
（参考数据： ）
A.288 B.188 C.72 D.12
√
[解析] 因为，所以， ，根据题意得
，则 ，即
，
因为 ，所以，所以，
所以，解得 ，所以至少要测量的次数为72.
故选C.
（2）［2025·江苏扬州月考］已知随机变量 ，且
，则 的值为____.
0.3
[解析] 由随机变量，且 ，
可得 ，根据正态密度曲线的对称性，
可得 .
变式（1）［2024·江苏徐州高二期末］已知某个地区的居民身高 大
致服从正态分布，单位： ．若该地区居民的身高在
内的概率为 ，则从该地区任选一人，其身高高于
的概率为( )
A.0.1 B.0.2 C.0.35 D.0.15
[解析] 因为该地区的居民身高大致服从正态分布 ，所以
正态密度曲线的对称轴为 ，
又因为该地区居民的身高在内的概率为 ，所以从该地区
任选一人，其身高高于的概率为 .
故选B.
√
（2）（多选题）［2025·河南郑州高二期中］已知随机变量
，随机变量，若, ，则
下列结论正确的是( )
A.
B.
C.若，则
D.若，则
√
√
[解析] 由题意知，, ，所
以,,故A错误,B正确；
因为 ，所以
，则
，所以C错误；
因为，所以 ，所以
，故D正确.
故选 .
［素养小结］
服从正态分布的变量在某个区间内取值概率的求解策略
（1）充分利用正态密度曲线的对称性和曲线与轴之间的区域的面
积为1.
（2）注意概率值的求解转化，关于直线 对称的区间上的概率
相等.
（3）熟记，，
的值.
（4）求解时，可画出正态密度曲线，结合图象解答.
探究点三 正态分布的实际应用
例3 ［2024·江苏徐州期中］某集团车间新研发了一台设备，集团对
新设备的具体要求是：零件内径（单位：）在 内
的产品为合格品，否则为次品，已知零件内径 .
（1）若该车间对新设备安装调试后，试生产了5个零件，测量其内
径（单位：）分别为，，，， ，
如果你是该车间的负责人，试根据 原则判断这台设备是否需要进
一步调试？并说明你的理由.
解：因为 ，
所以 ，
即 ，
所以五个零件的内径中恰有1个不在 内的概率为
，
又因为试产的5个零件中，有1个零件的内径不在 内，
所以小概率事件出现了，根据 原则，这台设备需要进一步调试.
例3 ［2024·江苏徐州期中］某集团车间新研发了一台设备，集团对
新设备的具体要求是：零件内径（单位：）在 内
的产品为合格品，否则为次品，已知零件内径 .
（2）若该设备符合集团的生产要求，现对该设备生产的10 000个零
件进行跟踪调查，则这10 000个零件中大约有多少个零件的内径可
以超过 ？
参考数据：若随机变量 ，则
， ，
，， .
解：因为， ，
所以 ，
易知生产的10 000个零件中内径超过 的件数
，
则 ，
则大约有230个零件的内径可以超过 .
变式 某汽车集团监控汽车零件的生产过程，从汽车零件中随机抽取
100个作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）
的样本数据如下表：
质量差（单位：毫克） 54 57 60 63 66
件数（单位：个） 2 14 68 14 2
（1）求样本质量差的平均数 ；
解：由题意可知，
.
变式 某汽车集团监控汽车零件的生产过程，从汽车零件中随机抽取
100个作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）
的样本数据如下表：
质量差（单位：毫克） 54 57 60 63 66
件数（单位：个） 2 14 68 14 2
（2）假设零件的质量差，其中，用作为 的近
似值，求 的值.
参考数据：若随机变量 ，则
， ，
.
解：由题可知 ，
所以 .
［素养小结］
服从正态分布的随机变量在指定区间上的概率的求解，通常利用转
化的思想，把普通的待求区间向，，
进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率.
1.正态密度曲线的特性：
①集中性：正态密度曲线的高峰位于正中央，即平均数所在的
位置.
②对称性：正态密度曲线以平均数为中心，左右对称，曲线两
端永远不与横轴相交.
③均匀变动性：正态密度曲线由平均数所在处开始，向左右两
侧逐渐均匀下降.
2.在服从正态分布的随机变量满足的公式中， 是反映随机变量
取值的平均水平的数字特征，可以用样本的均值去估计； 是衡量
随机变量 总体波动大小的数字特征，可以用样本的标准差去估计.
3.正态分布的特征
（1）当 一定时，曲线的位置由 确定，曲线随着 的变化
而沿轴平移，参数 反映了正态分布的集中位置.
（2）当 一定时，曲线的形状由 确定， 越小，曲线越“瘦
高”，表示总体的分布越集中； 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的
分布越分散. 反映了随机变量的分布相对于均值 的离散程度.
1.正态分布是自然界中常见的一种分布，在实际应用中主要包括测量
误差，考试成绩，人体的身高、体重，某农作物的产量，工厂产品
的尺寸（直径、长度、宽度、高度）等.
2.依据 原则来判断生产是否出现了问题： 原则是依据
,也就是说，产品数据在
之外的可能性约为 ，如果某种产品数据在
之外，这说明生产中出现了问题，应及时查找原因.
例1 某工厂生产的袋装食盐的质量（单位： ）服从正态分布
.检验员根据质量将产品分为合格品和不合格品，其中
的食盐为合格品，其他为不合格品，要使不合格率小
于，则 的最大值为___.附：（若 ，则
）
2
[解析] 由正态分布的性质可知，要使不合格率小于 ，则合格率
不低于，由 ，得
，由题意可知，
解得，故 的最大值为2.
例2 某工厂为检验车间一条生产线的工作是否
正常，从生产线中随机抽取一批零件样本，测
量它们的尺寸（单位： ）并绘成频率分布
直方图，如图所示，根据长期生产经验，可以
认为这条生产线正常状态下生产的零件尺寸
服从正态分布，其中 近似为零件样本平均数， 近似为
零件样本方差 .
（1）求这批零件样本的平均数和方差
（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
解： ，
.
例2 某工厂为检验车间一条生产线的工作是否正
常，从生产线中随机抽取一批零件样本，测量它
们的尺寸（单位： ）并绘成频率分布直方图，
如图所示，根据长期生产经验，可以认为这条生
产线正常状态下生产的零件尺寸 服从正态分布
（2）假设生产状态正常，求 ；
，其中 近似为零件样本平均数，近似为零件样本方差 .
解：由（1）知， ，从而
所以 .
，
，
（3）若从该生产线中任取一零件，测得其尺寸
为，根据 原则判断该生产线工作是否
正常.
附：；若 ，则
，
，
.
解：因为 ，
，
，
，
所以根据 原则判断该生产线工作不正常.
3.正态分布综合问题
例3 ［2024·福建福州模拟］甲企业生产线上生产的零件尺寸的误差
服从正态分布，规定 的零件为优等品，
的零件为合格品.
（1）从该生产线上随机抽取100个零件，估计抽到合格品但非优等
品的零件个数（精确到整数）.
解：依题意得，， ，所以一个零件为合格品的概率为
，
一个零件为优等品的概率为
，
所以一个零件为合格品但非优等品的概率约为 ，
所以从该生产线上随机抽取100个零件，估计抽到合格品但非优等品
的个数为 .
例3 ［2024·福建福州模拟］甲企业生产线上生产的零件尺寸的误差
服从正态分布，规定 的零件为优等品，
的零件为合格品.
（2）乙企业拟向甲企业购买这批零件，先对该批零件进行质量检测，
检测的方案是：从这批零件中任取2个进行检测，若这2个零件都是
优等品，则通过检测；若这2个零件中恰有1个为优等品，1个为合格
品但非优等品，则再从这批零件中任取1个进行检测，若为优等品，
则通过检测；其余情况都不通过检测.求这批零件通过检测时，检测
了2个零件的概率（精确到 ）.
附：若随机变量，则 ，
， .
解：设“从这批零件中任取2个进行检测，2个零件中有2个优等品”为
事件，“恰有1个优等品，1个合格品但非优等品”为事件 ，“从这批
零件中任取1个检测，该零件是优等品”为事件 ，“这批零件通过检
测”为事件，则，且与 互斥，所以
， ，
所以这批零件通过检测时，检测了2个零件的概率为
.
练习册
1.［2024·江苏无锡高二期中］设随机变量服从正态分布 ,
，则 等于( )
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
[解析] 因为，，所以 ，
所以 .故选C.
√
2.［2025·江苏苏州高二期末］已知一批砂糖桔的果实横径
单位：服从正态分布，其中果实横径落在
内的砂糖桔为优质品，则这批砂糖桔的优质品率约为 若
，则 ，
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为砂糖桔的果实横径单位：服从正态分布 ，
其中，，所以果实横径在 内的概率为
.故选B.
3.［2025·福建三明高二期中］红外体温计的工作原理是通过人体发
出的红外热辐射来测量体温，这种体温计测量的体温有一定误差.用
一款红外体温计测量一位体温为的人时，显示的体温 服从正
态分布，若的值在内的概率约为，则
的值为参考数据：若，则
( )
A.3 B.4 C.5 D.6
√
[解析] 因为体温服从正态分布，所以 ,，
因为的值在内的概率约为 ，
且 ，
所以 ，
则，解得，所以，解得 .
故选D.
4.［2025·江苏镇江高二期中］已知随机变量 ，
，且，，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，且，所以 .
因为，所以.因为，所以 ，
解得 .故选D.
√
5.已知某物理量的测量结果服从正态分布 ，则下列结论中
错误的是( )
A. 越小，该物理量在一次测量中结果在 内的概率越大
B.该物理量在一次测量中结果大于10的概率为0.5
C.该物理量在一次测量中结果小于9.99的概率与大于10.01的概率相等
D.该物理量在一次测量中结果落在 内的概率与落在
内的概率相等
√
[解析] 对于A， 越小，正态密度曲线越尖陡，数据在 附近
越集中，所以测量结果落在 内的概率越大，故A中结论正确；
对于B，由正态密度曲线的对称性可知，该物理量在一次测量中结果
大于10的概率为 ，故B中结论正确；
对于C，由正态密度曲线的对称性可知，该物理量在一次测量中结果
大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C中结论正确；
对于D，因为该物理量在一次测量中结果落在内的概率与落
在 内的概率不同，所以在一次测量中结果落在内
的概率与落在 内的概率不同，故D中结论错误.
故选D.
6.（多选题）［2025·山东烟台高二期末］随机变量 ,
，则下列说法中正确的是( )
A.若，则
B.随机变量的正态密度曲线比随机变量 的正态密度曲线更“矮胖”
C.
D.
√
√
√
[解析] 对于A，因为，所以 ，故A正确；
对于B,因为,所以随机变量的正态密度曲线比随机变量 的正态密度
曲线更“矮胖”，故B正确；
对于C， ，故C正确；
对于D，因 为 ,
，
，所以，故D错误.
故选 .
7.已知随机变量,，则
_____.
0.12
[解析] 因为的均值为2，所以 .
8.［2025·江苏启东中学高二期中］设随机变量 ，若
，则___， ______.
[解析] 由 可知，正态密度曲线关于
直线 对称（如图所示），又
，所以
，解得.
所以 .
9.（13分）［2025·安徽安庆高二期末］在一次联考中，经统计发现，
甲、乙两个学校的考生人数都为1000，数学平均分都为94，标准差
都为12，并且甲学校学生的数学分数服从正态分布，乙学校学生的
数学分数不服从正态分布.
（1）甲学校为关注基础薄弱学生的教学，准备从70分及以下的学生中
抽取10人进行访问，学生小 考了68分，求他被抽到的概率大约为多少；
解：由题意可知，甲学校学生的数学分数 ，
由 ，
可得 ，
则 ，
所以分数在70分及以下的学生约有 （人），
所以学生小被抽到的概率约为 .
9.（13分）［2025·安徽安庆高二期末］在一次联考中，经统计发现，
甲、乙两个学校的考生人数都为1000，数学平均分都为94，标准差
都为12，并且甲学校学生的数学分数服从正态分布，乙学校学生的
数学分数不服从正态分布.
（2）根据统计发现乙学校得分不低于130分的学生有25人，得分不
高于58分的学生有1人，试说明乙学校教学的特点.
本题参考数据：若，则 ，
， .
解：由 ，
可得 ，
所以甲学校学生的分数不低于130分的概率为 ，得分不
高于58分的概率为 ，
所以甲学校学生的分数不低于130分的有 （人），
得分不高于58分有 （人），
故乙学校教学质量高，130分以上学生更多，低分人数更少.
10.（13分）［2024·江苏徐州一中高二期中］某种香梨的重量
（单位：千克）服从正态分布 ，将该种香梨按照其重量
及对应的售价进行分拣，可分为4类，依次记为,,, .已知
，售价最高，为10元/千克；
，售价为8元/千克；
，售价为6元/千克；其余的为 ，售
价为5元/千克.
（1）任选1个香梨，求其重量大于或等于0.41千克的概率；
解：因为，所以， ，
所以 ，
即任选1个香梨，其重量大于或等于0.41千克的概率约为 .
（2）以表示香梨的售价（单位：元），写出 的分布列，并估计
该种香梨售价的均值.
附：若，则 ，
， .
解：由题意可知， 的所有可能取值为10，8，6，5，
则 ，
，
，
，
所以 的分布列为
10 8 6 5
0.683 0.271 0.043 0.003
所以 ，
即估计该种香梨售价的均值为9.271元/千克.
11.已知连续型随机变量与离散型随机变量 满足
，，若与 的方差相同，则
( )
A. B.0.5 C. D.
√
[解析] 由题可知，， ，
，,
，，则 ，
故 .
故选A.
12.（多选题）［2025· 江苏宿迁月考］设随机变量 ，
，其中 ，则下列说法正确的是( )
A.变量的方差为1，均值为0 B.
C.函数在上是增函数 D.
√
√
√
[解析] 由随机变量，得, ，故A正确；
，故B
错误；
因为随机变量 ，所以结合正态密度曲线易得函数在
上是增函数，故C正确；
正态密度曲线关于 对称，所以
，故D正确.
故选 .
13.（多选题）［2024· 新课标Ⅰ卷］为了解推动出口后的亩收入
（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收
入的样本均值,样本方差 ,已知该种植区以往的亩收
入服从正态分布,假设推动出口后的亩收入 服从正态分
布,则若随机变量服从正态分布 ,则
( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 由题可知， .
对于A，
,故A错误；
对于B， ，故B正确；
对于C， ,故C正确；
对于D， ,
故D错误.
故选 .
14.已知随机变量， 且
，则随机变量 的第80百分位数是____.
88
[解析] 因为随机变量，且 ，
所以，因此 ，
因为，
所以随机变量 的第80百分位数是88.
15.［2024·浙江台州高二期末］某省的高中数学学业水平考试，分为
，，，，五个等级，其中，等级的比例分别为 ，
.假设某次数学学业水平考试成绩服从正态分布 ，其
中王同学得了88分等级为，李同学得了85分等级为 .请写出一个符
合条件的 值______________________________________________.
参考数据：若，则 ，
7答案不唯一，只需要填区间内的任意一个值
[解析] 因为 ，
，所以，解得 .
16.（15分）［2025·江苏宿迁高二期末］单位面积穗数、穗粒数、千
粒重是影响小麦产量的主要因素，某小麦品种培育基地在一块试验
田种植了某小麦新品种，收获时随机选取了100个小麦穗，对每个小
麦穗上的小麦粒数进行统计得到如下统计表：
穗粒数
穗数 4 10 56 22 8
其中同一组中的数据用该组区间的中点值代表.从收获的小麦粒中随
机选取5组，每组1000粒，分别称重，得到这5组的质量单位： 分
别为38,46,42,40,44.
（1）根据检测，这块试验田的小麦亩穗数为40万，试估计这块试验
田的小麦亩产量结果四舍五入到 .
参考公式：亩产量亩穗数×样本平均穗粒数 .
解：该试验田样本平均穗粒数为
，
样本平均千粒重为 ，
所以这块试验田的小麦亩产量的估计值为
.
（2）已知该试验田穗粒数近似服从正态分布，其中 近
似为样本平均数， 近似为样本方差.若小麦穗粒数不低于28粒的穗
数超过总体的 ，则称该小麦品种为优质小麦品种，试判断该试
验田中的小麦品种是否为优质小麦品种.
参考数据：若近似服从正态分布 ，则
.
解：由（1）得 ，
,所以 ，
则，故 ，
所以该试验田中的小麦为优质小麦品种.
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.正态密度曲线 2.上升 下降
【诊断分析】 （1）√ （2）×
知识点二 1. 2.（1） （2） （3）
【诊断分析】 （1）√ （2）√ （3）√ （4）× （5）√
课中探究 例1 ABC 变式 AC 例2 （1）C （2）0.3 变式 （1）B （2）BD
例3 （1）这台设备需要进一步调试
（2）大约有230个零件的内径可以超过.
变式 （1） （2）

快速核答案（练习册）
1.C 2.B 3.D 4.D 5.D 6.ABC 7.0.12 8.
9.（1）（2）乙学校教学质量高，130分以上学生更多，低分人数更少
10.（1）（2）的分布列略，即估计该种香梨售价的均值为9.271元/千克
11.A 12.ACD 13.BC 14.88
15.7答案不唯一，只需要填区间内的任意一个值
16.（1）/m>（2）该试验田中的小麦为优质小麦品种8.3　正态分布
【课前预习】
知识点一
1.正态密度曲线
2.①上升　下降　②x=μ　④1
诊断分析
(1)√　(2)×　[解析] (2)正态密度曲线是单峰的,其与x轴之间的区域的面积是1,不随参数μ,σ的变化而变化.
知识点二
1.X~N(μ,σ2)
2.(1)68.3%　(2)95.4%　(3)99.7%
诊断分析
(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√　　[解析] (4)因为P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997,所以P(X>μ+3σ或X<μ-3σ)=1-P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈1-0.997=0.003,所以随机变量落在[μ-3σ,μ+3σ]之外是一个小概率事件.
【课中探究】
探究点一
例1　ABC　[解析] 由题图可知,甲类水果的质量的正态密度曲线关于直线x=0.4对称,乙类水果的质量的正态密度曲线关于直线x=0.8对称,所以μ1=0.4,μ2=0.8,且μ1<μ2,故A,C正确;因为甲类水果的质量的正态密度曲线比乙类水果的质量的正态密度曲线更“高瘦”,所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右,故B正确;因为乙类水果的质量的正态密度曲线的最大值为1.99,即=1.99,所以σ2≠1.99,故D错误.故选ABC.
变式　AC　[解析] 由题图可知μ1<0<μ2,0<σ1<σ2,所以P(Y≥μ2)P(X≤σ1),故B错误;当0≤t≤μ2时,由题图可知P(X≤t)>P(Y≤t),又P(X≤t)=1-P(X>t),P(Y≤t)=1-P(Y>t),所以P(X>t)t),故C正确,D错误.故选AC.
探究点二
例2　(1)C　(2)0.3　[解析] (1)因为X~N,所以μ=0,σ=,根据题意得P≤0.003,则P≥1-0.003=0.997,即P≥0.997,因为μ=0,所以P(-3σ≤X≤3σ)≈0.997,所以3σ≤,所以≤,解得n≥72,所以至少要测量的次数为72.故选C.
(2)由随机变量X~N(1,σ2),且P(X<3)=0.8,可得P(X≥3)=1-0.8=0.2,根据正态密度曲线的对称性,可得P(-1变式　(1)B　(2)BD　[解析] (1)因为该地区的居民身高X大致服从正态分布N(158,σ2),所以正态密度曲线的对称轴为x=158,又因为该地区居民的身高在(150,166)内的概率为0.6,所以从该地区任选一人,其身高高于166 cm的概率为×(1-0.6)=0.2.故选B.
(2)由题意知,μ=E(Y)=8,σ===2,所以P(X≤8)=0.5,P(4≤X≤8)+P(X≥12)=0.5,故A错误,B正确;因为P(X≥12)=P(X≥μ+2σ)=m,所以P(8≤X≤12)=P(μ≤X≤μ+2σ)=0.5-m,则P(4≤X≤8)=P(8≤X≤12)=0.5-m,所以C错误;因为P(X≤2a-1)=P(X≥2-a),所以2a-1+2-a=16,所以a=15,故D正确.故选BD.
探究点三
例3　解:(1)因为X~N(200,0.062),
所以P(200-3×0.06即P(199.82所以五个零件的内径中恰有1个不在(μ-3σ,μ+3σ)内的概率为(0.997)4×(1-0.997)≈0.014 82,
又因为试产的5个零件中,有1个零件的内径不在(μ-3σ,μ+3σ)内,所以小概率事件出现了,根据3σ原则,这台设备需要进一步调试.
(2)因为μ=200,σ=0.06,
所以P(X>200.12)=P(X>μ+2σ)≈=0.023,
易知生产的10 000个零件中内径超过200.12 mm的件数Y~B(10 000,0.023),
则E(Y)≈10 000×0.023=230,
则大约有230个零件的内径可以超过200.12 mm.
变式　解:(1)由题意可知,=×(54×2+57×14+60×68+63×14+66×2)=60.
(2)由题可知X~N(60,4),
所以P(621.C　[解析] 因为X~N(0,1),P(X>1)=0.2,所以P(X<-1)=0.2,所以P(-12.B　[解析] 因为砂糖桔的果实横径(单位:mm)服从正态分布N(45,52),其中μ=45,σ=5,所以果实横径在[40,55]内的概率为P(μ-σ≤x≤μ+2σ)=P(μ-2σ≤x≤μ+2σ)+P(μ-σ≤x≤μ+σ)≈0.477+0.341 5=0.818 5.故选B.
3.D　[解析] 因为体温X服从正态分布N,所以μ=36.8,σ2=,因为X的值在(36.6,37.0)内的概率约为0.954,且P(|X-μ|<2σ)≈0.954,所以P(36.8-2σ4.D　[解析] 因为X~N(μ,σ2),且P(X≥3)=,所以E(X)=μ=3.因为Y~B(6,p),所以E(Y)=6p.因为E(X)=E(Y),所以3=6p,解得p=.故选D.
5.D　[解析] 对于A,σ越小,正态密度曲线越尖陡,数据在μ=10附近越集中,所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大,故A中结论正确;对于B,由正态密度曲线的对称性可知,该物理量在一次测量中结果大于10的概率为0.5,故B中结论正确;对于C,由正态密度曲线的对称性可知,该物理量在一次测量中结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等,故C中结论正确;对于D,因为该物理量在一次测量中结果落在(9.9,10.0)内的概率与落在(10.2,10.3)内的概率不同,所以在一次测量中结果落在(9.9,10.2)内的概率与落在(10,10.3)内的概率不同,故D中结论错误.故选D.
6.ABC　[解析] 对于A,因为P(X≤27)=a,所以P(30≤X<33)=P(272,所以随机变量X的正态密度曲线比随机变量Y的正态密度曲线更“矮胖”,故B正确;对于C,P(X≤34)=P(X≤30)+P(30P(X≤30)=0.5=P(Y≤34),故C正确;对于D,因为P(X≤24)=0.5-P(30-6P(Y≤30),故D错误.故选ABC.
7.0.12　[解析] 因为X的均值为2,所以P(X≤1)==0.12.
8.2　0.954　[解析] 由X~N(2,9)可知,正态密度曲线关于直线x=2对称(如图所示),又P(X>1+c)=P(X9.解:(1)由题意可知,甲学校学生的数学分数X~N(94,122),
由P(μ-2σ可得P(70则P(X≤70)≈=0.025,
所以分数在70分及以下的学生约有1000×0.025=25(人),
所以学生小A被抽到的概率约为=0.4.
(2)由P(μ-3σ可得P(58所以甲学校学生的分数不低于130分的概率为=0.005,得分不高于58分的概率为=0.005,
所以甲学校学生的分数不低于130分的有1000×0.005=5(人),得分不高于58分有1000×0.005=5(人),
故乙学校教学质量高,130分以上学生更多,低分人数更少.
10.解:(1)因为m~N(0.4,0.012),所以μ=0.4,σ=0.01,
所以P(m≥0.41)=0.5-P(μ-σ≤m<μ+σ)≈0.5-×0.683=0.158 5,
即任选1个香梨,其重量大于或等于0.41千克的概率约为0.158 5.
(2)由题意可知,X的所有可能取值为10,8,6,5,
则P(X=10)=P(0.39≤m<0.41)=P(μ-σ≤m<μ+σ)≈0.683,
P(X=8)=P(0.38≤m<0.39)+P(0.41≤m<0.42)=P(μ-2σ≤m<μ+2σ)-P(μ-σ≤m<μ+σ)≈0.954-0.683=0.271,
P(X=6)=P(0.37≤m<0.38)+P(0.42≤m<0.43)=P(μ-3σ≤m<μ+3σ)-P(μ-2σ≤m<μ+2σ)≈0.997-0.954=0.043,
P(X=5)=1-P(μ-3σ≤m<μ+3σ)≈1-0.997=0.003,
所以X的分布列为
X 10 8 6 5
P 0.683 0.271 0.043 0.003
所以E(X)=10×0.683+8×0.271+6×0.043+5×0.003=9.271,
即估计该种香梨售价的均值为9.271元/千克.
11.A　[解析] 由题可知,D(X)=μ2,D(Y)=16××=4,∵D(X)=D(Y),∴μ2=4,∵μ>0,∴μ=2,则X~N(2,22),故P(X≤4)=P(X≤2)+P(2≤X≤4)=0.5+=0.841 5.故选A.
12.ACD　[解析] 由随机变量X~N(0,1),得σ2=1,μ=0,故A正确;P(|X|≤x)=P(-x≤X≤x)=1-2[1-f(x)]=2f(x)-1,故B错误;因为随机变量X~N(0,1),所以结合正态密度曲线易得函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,故C正确;正态密度曲线关于x=0对称,所以f(-x)=P(X≤-x)=P(X≥x)=1-f(x),故D正确.故选ACD.
13.BC　[解析] 由题可知X~N(1.8,0.12),Y~N(2.1,0.12).对于A,P(X>2)=P(X>μ+2σ)μ+σ)≈1-0.841 3=0.158 7,故A错误;对于B,P(X>2)1.8)=0.5,故B正确;对于C,P(Y>2)>P(Y>2.1)=0.5,故C正确;对于D,P(Y>2)=P(Y>μ-σ)=P(Y<μ+σ)≈0.841 3>0.8,故D错误.故选BC.
14.88　[解析] 因为随机变量X~N(μ,σ2),且P(X≥70)=P(X≤90),所以μ=80,因此P(80≤X≤88)=P(72≤X≤80)=0.3,因为P(X≤88)=0.5+P(80≤X≤88)=0.8,所以随机变量X的第80百分位数是88.
15.7(答案不唯一,只需要填区间[5,8)内的任意一个值)
[解析] 因为P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.341 5,0.5-0.341 5=0.158 5,所以85≤80+σ<88,解得5≤σ<8.
16.解:(1)该试验田样本平均穗粒数为15×+25×+35×+45×+55×=37,
样本平均千粒重为=42(g),
所以这块试验田的小麦亩产量的估计值为40×104×37×=621 600(g)≈622(kg).
(2)由(1)得μ=37,σ2=(15-37)2×+(25-37)2×+(35-37)2×+(45-37)2×+(55-37)2×=76,所以σ=<9,
则P(X≥28)>P(X>μ-σ)=P(μ-σ80%,
所以该试验田中的小麦为优质小麦品种.8.3　正态分布
【学习目标】
　　1.通过具体实例,借助频率分布直方图的几何直观,了解正态密度曲线的特征.
　　2.了解服从正态分布的随机变量落在区间(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)内的概率大小.
　　3.会根据正态密度曲线的性质求随机变量在某一区间的概率.
◆ 知识点一　正态密度曲线
1.正态密度曲线
函数P(x)=(x∈R)称为正态密度函数,称它的图象为　　　　　　　.这里有两个参数μ和σ,其中σ>0,μ∈R.
2.正态密度曲线的特征
①当x<μ时,曲线　　　　;当x>μ时,曲线　　　　;当曲线向左右两边无限延伸时,以x轴为渐近线.
②曲线关于直线　　　　对称.
③σ越大,曲线越扁平;σ越小,曲线越尖陡.
④在曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为　　　　.
注意参数σ和μ对正态密度曲线的形状的影响
(1)σ为形状参数,参数σ的大小决定了曲线的高低和胖瘦.当参数μ取固定值,σ取不同值时,对应的正态密度曲线的形状如图甲所示.
(2)μ为位置参数.当参数σ取固定值时,正态密度曲线的位置由μ确定,且随着μ的变化而沿x轴平移,如图乙.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)正态密度曲线可以关于y轴对称. (　 )
(2)正态密度曲线是单峰的,其与x轴之间的区域的面积是随参数μ,σ的变化而变化的. (　 )
◆ 知识点二　正态分布
1.正态分布
设X是一个随机变量,若对任给区间(a,b],P(a2.随机变量在三个特殊区间内取值的概率
如图,若X~N(μ,σ2),则随机变量X取值
(1)落在区间(μ-σ,μ+σ)内的概率约为　　　　;
(2)落在区间(μ-2σ,μ+2σ)内的概率约为　　　　　;
(3)落在区间(μ-3σ,μ+3σ)内的概率约为　　　　.
3.正态分布N(0,1)称为标准正态分布.
注意:参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数(均值);σ2是衡量随机变量总体波动大小的特征数(方差).
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)正态分布是由它的均值μ和标准差σ唯一决定的. (　 )
(2)若X~N(μ,σ2),则E(X)=μ,D(X)=σ2. (　 )
(3)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量. (　 )
(4)关于正态分布N(μ,σ2),随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件. (　 )
(5)若X~N(μ,σ2),则~N(0,1). (　 )
◆ 探究点一　正态密度曲线及其特点
例1 (多选题)[2025·江苏无锡辅仁中学高二期中] 甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别服从正态分布N(μ1,),N(μ2,),对应的正态密度曲线如图所示,则下列说法正确的是 (　 )
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.甲类水果的平均质量μ1=0.4 kg
B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D.σ2=1.99
变式 (多选题)设随机变量X~N(μ1,),Y~N(μ2,),X和Y的正态密度曲线如图所示,则下列结论中正确的是 (　 )
A.P(Y≥μ2)B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C.当0≤t≤μ2时,P(X≤t)>P(Y≤t)
D.当0≤t≤μ2时,P(X>t)>P(Y>t)
[素养小结]
利用正态密度曲线的特点求参数μ,σ
(1)正态密度曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称,由此性质结合图象求μ.
(2)正态密度函数在x=μ处取得最大值,由此性质结合图象可求σ.
(3)由σ的大小区分曲线的胖瘦.
◆ 探究点二　利用正态分布求概率
例2 (1)[2024·福建三明高二期末] 现实世界中的很多随机变量服从正态分布,例如反复测量某一个物理量,其测量误差X通常被认为服从正态分布.若某物理量做n次测量,测量结果的误差X~N,要控制|X|≥的概率不大于0.003,则至少要测量的次数为 (　 )
(参考数据:P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997)
A.288 B.188
C.72 D.12
(2)[2025·江苏扬州月考] 已知随机变量X~N(1,σ2),且P(X<3)=0.8,则P(-1变式 (1)[2024·江苏徐州高二期末] 已知某个地区的居民身高X大致服从正态分布N(158,σ2),单位:cm.若该地区居民的身高在(150,166)内的概率为0.6,则从该地区任选一人,其身高高于166 cm的概率为 (　 )
A.0.1 B.0.2
C.0.35 D.0.15
(2)(多选题)[2025·河南郑州高二期中] 已知随机变量X~N(μ,σ2),随机变量Y~B,若μ=E(Y),σ=,则下列结论正确的是(　 )
A.σ=4
B.P(4≤X≤8)+P(X≥12)=0.5
C.若P(X≥12)=m,则P(4≤X≤8)=1-2m
D.若P(X≤2a-1)=P(X≥2-a),则a=15
[素养小结]
服从正态分布的变量在某个区间内取值概率的求解策略
(1)充分利用正态密度曲线的对称性和曲线与x轴之间的区域的面积为1.
(2)注意概率值的求解转化,关于直线x=μ对称的区间上的概率相等.
(3)熟记P(μ-σ≤X≤μ+σ),P(μ-2σ≤X≤μ+2σ),P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)的值.
(4)求解时,可画出正态密度曲线,结合图象解答.
◆ 探究点三　正态分布的实际应用
例3 [2024·江苏徐州期中] 某集团车间新研发了一台设备,集团对新设备的具体要求是:零件内径(单位:mm)在(199.82,200.18)内的产品为合格品,否则为次品,已知零件内径X~N(200,0.003 6).
(1)若该车间对新设备安装调试后,试生产了5个零件,测量其内径(单位:mm)分别为199.87,199.91,199.99,200.13,200.19,如果你是该车间的负责人,试根据3σ原则判断这台设备是否需要进一步调试 并说明你的理由.
(2)若该设备符合集团的生产要求,现对该设备生产的10 000个零件进行跟踪调查,则这10 000个零件中大约有多少个零件的内径可以超过200.12 mm
参考数据:若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σ变式 某汽车集团监控汽车零件的生产过程,从汽车零件中随机抽取100个作为样本,测得质量差(零件质量与标准质量之差的绝对值)的样本数据如下表:
质量差(单位:毫克) 54 57 60 63 66
件数(单位:个) 2 14 68 14 2
(1)求样本质量差的平均数;
(2)假设零件的质量差X~N(μ,σ2),其中σ2=4,用作为μ的近似值,求P(62参考数据:若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σ[素养小结]
服从正态分布的随机变量在指定区间上的概率的求解,通常利用转化的思想,把普通的待求区间向(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)进行转化,然后利用上述区间的概率求出相应概率.8.3　正态分布
1.[2024·江苏无锡高二期中] 设随机变量X服从正态分布N(0,1),P(X>1)=0.2,则P(-1A.0.1 B.0.2
C.0.3 D.0.4
2.[2025·江苏苏州高二期末] 已知一批砂糖桔的果实横径(单位:mm)服从正态分布N(45,52),其中果实横径落在[40,55]内的砂糖桔为优质品,则这批砂糖桔的优质品率约为(若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤x≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤x≤μ+2σ)≈0.954) (　 )
A.0.682 7 B.0.818 5
C.0.841 3 D.0.954 5
3.[2025·福建三明高二期中] 红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温,这种体温计测量的体温有一定误差.用一款红外体温计测量一位体温为36.8 ℃的人时,显示的体温X服从正态分布N,若X的值在(36.6,37.0)内的概率约为0.954,则n的值为(参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|<2σ)≈0.954) (　 )
A.3 B.4
C.5 D.6
4.[2025·江苏镇江高二期中] 已知随机变量X~N(μ,σ2),Y~B(6,p),且P(X≥3)=,E(X)=E(Y),则p= (　 )
A. B.
C. D.
5.已知某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),则下列结论中错误的是 (　 )
A.σ越小,该物理量在一次测量中结果在(9.9,10.1)内的概率越大
B.该物理量在一次测量中结果大于10的概率为0.5
C.该物理量在一次测量中结果小于9.99的概率与大于10.01的概率相等
D.该物理量在一次测量中结果落在(9.9,10.2)内的概率与落在(10,10.3)内的概率相等
6.(多选题)[2025·山东烟台高二期末] 随机变量X~N(30,62),Y~N(34,22),则下列说法中正确的是 (　 )
A.若P(X≤27)=a,则P(30≤X<33)=0.5-a
B.随机变量X的正态密度曲线比随机变量Y的正态密度曲线更“矮胖”
C.P(X≤34)>P(Y≤34)
D.P(X≤24)7.已知随机变量X~N(2,σ2),P(1≤X<3)=0.76,则P(X≤1)=　　　　.
8.[2025·江苏启东中学高二期中] 设随机变量X~N(2,9),若P(X>1+c)=P(X9.(13分)[2025·安徽安庆高二期末] 在一次联考中,经统计发现,甲、乙两个学校的考生人数都为1000,数学平均分都为94,标准差都为12,并且甲学校学生的数学分数服从正态分布,乙学校学生的数学分数不服从正态分布.
(1)甲学校为关注基础薄弱学生的教学,准备从70分及以下的学生中抽取10人进行访问,学生小A考了68分,求他被抽到的概率大约为多少;
(2)根据统计发现乙学校得分不低于130分的学生有25人,得分不高于58分的学生有1人,试说明乙学校教学的特点.
本题参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ10.(13分)[2024·江苏徐州一中高二期中] 某种香梨的重量m(单位:千克)服从正态分布N(0.4,0.012),将该种香梨按照其重量及对应的售价进行分拣,可分为4类,依次记为m1,m2,m3,m4.已知m1∈[0.39,0.41),售价最高,为10元/千克;m2∈[0.38,0.39)∪[0.41,0.42),售价为8元/千克;m3∈[0.37,0.38)∪[0.42,0.43),售价为6元/千克;其余的为m4,售价为5元/千克.
(1)任选1个香梨,求其重量大于或等于0.41千克的概率;
(2)以X表示香梨的售价(单位:元),写出X的分布列,并估计该种香梨售价的均值.
附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X<μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤X<μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ≤X<μ+3σ)≈0.997.
11.已知连续型随机变量X与离散型随机变量Y满足X~N(μ,μ2)(μ>0),Y~B,若X与Y的方差相同,则P(X≤4)≈ (　 )
A.0.841 5 B.0.5
C.0.341 5 D.0.158 5
12.(多选题)[2025·江苏宿迁月考] 设随机变量X~N(0,1),f(x)=P(X≤x),其中x>0,则下列说法正确的是 (　 )
A.变量X的方差为1,均值为0
B.P(|X|≤x)=1-2f(x)
C.函数f(x)在(0,+∞)上是增函数
D.f(-x)=1-f(x)
13.(多选题)[2024·新课标Ⅰ卷] 为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值=2.1,样本方差s2=0.01,已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(,s2),则(若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(Z<μ+σ)≈0.841 3) (　 )
A.P(X>2)>0.2
B.P(X>2)<0.5
C.P(Y>2)>0.5
D.P(Y>2)<0.8
14.已知随机变量X~N(μ,σ2),P(X≥70)=P(X≤90)且P(72≤X≤80)=0.3,则随机变量X的第80百分位数是　　　　.
15.[2024·浙江台州高二期末] 某省的高中数学学业水平考试,分为A,B,C,D,E五个等级,其中A,B等级的比例分别为15.85%,34.15%.假设某次数学学业水平考试成绩服从正态分布N(80,σ2),其中王同学得了88分等级为A,李同学得了85分等级为B.请写出一个符合条件的σ值　　　　　.
(参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954)
16.(15分)[2025·江苏宿迁高二期末] 单位面积穗数、穗粒数、千粒重是影响小麦产量的主要因素,某小麦品种培育基地在一块试验田种植了某小麦新品种,收获时随机选取了100个小麦穗,对每个小麦穗上的小麦粒数进行统计得到如下统计表:
穗粒数 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60]
穗数 4 10 56 22 8
其中同一组中的数据用该组区间的中点值代表.从收获的小麦粒中随机选取5组,每组1000粒,分别称重,得到这5组的质量(单位:g)分别为38,46,42,40,44.
(1)根据检测,这块试验田的小麦亩穗数为40万,试估计这块试验田的小麦亩产量(结果四舍五入到1 kg).
参考公式:亩产量=亩穗数×样本平均穗粒数×.
(2)已知该试验田穗粒数X近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差.若小麦穗粒数不低于28粒的穗数超过总体的80%,则称该小麦品种为优质小麦品种,试判断该试验田中的小麦品种是否为优质小麦品种.
参考数据:若X近似服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ

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