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本章总结提升
【素养提升】
题型一
例1-1　　　[解析] 方法一:甲从五个活动中选三个的可能情况有ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10种,其中甲选到A活动的可能情况有ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,共6种,故甲选到A活动的概率P==.乙选了A活动有ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE共6种可能情况,其中选到B活动有ABC,ABD,ABE共3种可能情况,故已知乙选了A活动,他选到B活动的概率为=.
方法二:甲选到A活动的概率为=.设M=“乙选到A活动”,N=“乙选到B活动”,则已知乙选了A活动,他选到B活动的概率为P(N|M)===.
例1-2　BCD　[解析] 在事件A1发生的条件下,乙罐中有5个红球和2白球,共7个球,则P(B|A1)==,故A错误;在事件A2发生的条件下,乙罐中有4个红球和3个白球,共7个球,则P(C|A2)===,故B正确;易知P(A1)=,P(A2)=,P(B|A1)=,P(B|A2)===,所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=,故C正确;因为P(C|A2)=,P(C|A1)==,所以P(C)=P(A1)P(C|A1)+P(A2)P(C|A2)=×+×=,故D正确.故选BCD.
变式　(1)D　(2)ABC　[解析] (1)设“任选一人,此人的年龄位于区间[40,50)内”为事件A,“任选一人,此人患病”为事件B,则从该地区任选一人,此人年龄位于区间[40,50)内,且此人患该疾病的概率P(B|A)===0.35%.故选D.
(2)甲只能传球给乙或丙,故P2=0,A正确.乙、丙均可以传球给甲,故P3=×+×=,B正确;由题意得,要想第n次触球者是甲,则第(n-1)次触球者不能是甲,且第(n-1)次触球者有的概率将球传给甲,故Pn=(1-Pn-1)=-Pn-1+(n≥2),C正确.Pn=-Pn-1+(n≥2),设Pn+λ=-(Pn-1+λ)(n≥2),易得λ=-,所以Pn-=-(n≥2),又P1-=,所以是首项为,公比为-的等比数列,故Pn-=×,所以Pn=×+,故P9=×+=,则P10-P9=-P9+=-×+=-<0,故P9>P10,D错误.故选ABC.
题型二
例2-1　解:(1)设事件A为“一份保单的索赔次数不少于2”,
由题意可得P(A)==.
(2)(i)设ξ(单位:万元)为一份保单的赔偿金额,则ξ的所有可能取值为0,0.8,1.6,2.4,3,
由题意得P(ξ=0)==,P(ξ=0.8)==,
P(ξ=1.6)==,P(ξ=2.4)==,
P(ξ=3)==,所以E(ξ)=0×+0.8×+1.6×+2.4×+3×=0.278(万元),
故E(X)=0.4-0.278=0.122(万元).
(ii)由题意知下一保险期一份保单保费的数学期望为0.4×0.96×+0.4×1.2×=0.403 2(万元),
则下一保险期一份保单毛利润的数学期望为0.403 2-0.278=0.125 2(万元),显然该值大于E(X).
例2-2　解:(1)记事件Ai表示“甲在罚球线处投篮,第i次投进”,事件Bi表示“甲在三分线处投篮,第i次投进”,i=1,2,
则P(A1)=P(A2)=,P(B1)=P(B2)=.
设事件C表示“学生甲被录取”,则C=A1B1+A1B2+A2B1+A2B2,
所以P(C)=×+××+××+×××=,所以学生甲被录取的概率为.
(2)由题分析知,X的可能取值为2,3,4.
P(X=2)=P(+A1B1)=+×=,
P(X=3)=P(A2B1+A1)=××+×=,P(X=4)=P(A2)=××=,
所以X的分布列为
X 2 3 4
P
则X的数学期望E(X)=2×+3×+4×=,
X的方差D(X)=×+×+×=.
变式　(1)　1　[解析] 由题意知,ξ=0,1,2.若ξ=0,则有两种情况,①第一个就取出红球,②第一个取出绿球,第二个取出红球,P(ξ=0)=+×=+=.若ξ=1,则有两种情况,①第一个取出黄球,第二个取出红球,②取出的前两个球为一黄一绿,第三个取出红球,P(ξ=1)=×+×=+=.P(ξ=2)=1--=.故E(ξ)=0×+1×+2×=1.
(2)解:①由题意可知,甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为,.
设“甲、乙两人所付的租车费用相同”为事件A,
则P(A)=×+×+×=,
即甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为.
②若甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元,
则可能“甲两小时以上且不超过三小时还车,乙不超过两小时还车”,也可能“甲三小时以上且不超过四小时还车,乙两小时以上且不超过三小时还车”,
所以甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元的概率为×+×=.
③由题可知,X的可能取值为0,2,4,6,8,
则P(X=0)=×=,
P(X=2)=×+×=,
P(X=4)=×+×+×=,
P(X=6)=×+×=,
P(X=8)=×=,所以X的分布列为
X 0 2 4 6 8
P
故E(X)=0×+2×+4×+6×+8×=4,
D(X)=(0-4)2×+(2-4)2×+(4-4)2×+(6-4)2×+(8-4)2×=.
题型三
例3　解:(1)由题意可知,X~B,
则P(X=3)==,
P(X=0)==,
P(X=1)=××=,
P(X=2)=××=,
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以随机变量X的数学期望E(X)=3×=.
(2)设由24台计算机组成的分布式计算系统中正常运行的计算机数为Y,则Y~B.
且P(Y=k)=··(k=0,1,2,…,24),
由P(Y=k)≥P(Y=k-1),且P(Y=k)≥P(Y=k+1),
得··≥··,且··≥··,
其中1≤k≤23,k∈N,
可得
解得20≤k≤21.
所以同时正常运行的计算机数最有可能是20台或21台.
变式　解:(1)设“学生每天饮用含糖饮料不低于500毫升”为事件A,则P(A)=,P()=,
设“学生肥胖”为事件B,则P(B|A)=,P(B|)=,
由全概率公式可得P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|)P()=×+×=,
所以从该中学的学生中任意抽取一名学生,该学生肥胖的概率为.
(2)由题意可知X~B,且X的可能取值为0,1,2,3,则P(X=0)==,
P(X=1)=××=,
P(X=2)=××=,
P(X=3)==,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
故X的数学期望E(X)=3×=.
题型四
例4　解:(1)设“有女生参加活动”为事件A,“恰有一名女生参加活动”为事件B.
则P(AB)==,P(A)==,
所以P(B|A)===.
(2)依题意知X服从超几何分布,且P(X=k)=(k=0,1,2),
则P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,所以X的分布列为
X 0 1 2
P
故E(X)=0×+1×+2×=,D(X)=×+×+×=.
变式　解:(1)设考生甲正确完成实验操作的题数为X,则X的所有可能取值是1,2,3,且P(X=1)==,
P(X=2)==,P(X=3)==,
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
则E(X)=1×+2×+3×=2.
设考生乙正确完成实验操作的题数为Y,易知Y~B,所以Y的所有可能取值为0,1,2,3,
P(Y=0)=×=,
P(Y=1)=××=,
P(Y=2)=××=,
P(Y=3)=×=,所以Y的分布列为
Y 0 1 2 3
P
所以E(Y)=3×=2.
(2)由(1)知E(X)=E(Y)=2,D(X)=(1-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×=,
D(Y)=3××=,
P(X≥2)=+=,
P(Y≥2)=+=,
所以D(X)P(Y≥2),
故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析,两人水平相当;从正确完成实验操作的题数的方差方面分析,甲的水平更稳定;从至少正确完成2道题的概率方面分析,甲通过的可能性更大.因此甲的实验操作能力较强.
题型五
例5　(1)ABD　　[解析] 对于A,可知μ1+30=280,解得μ1=250,故A正确;对于B,C,标准差越小,数据越集中,因为30<40,所以红玫瑰的日销量比白玫瑰的日销量更集中,故B正确,C错误;对于D,P(280(2)解:(i)记“电压不超过200 V”“电压在(200,240]内”“电压超过240 V”分别为事件A, B, C,“该机器生产的零件为不合格品”为事件D.
因为U~N(220,202),所以P(A)=P(U≤200)=≈=0.158 5,
P(B)=P(200P(C)=P(U>240)=≈=0.158 5,
所以P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)≈0.158 5×0.15+0.683×0.05+0.158 5×0.2≈0.09,
所以该机器生产的零件为不合格品的概率约为0.09.
(ii)从该机器生产的零件中随机抽取n件,设不合格品件数为X,则X~B ( n,0.09 ),
所以pn=P(X=2)=·0.91n-2·0.092,
由==×0.91>1,
解得n<≈21.22,所以当n≤21时,pn当n≥22时,pn>pn+1,所以p22最大,
因此当n=22时,pn最大.
变式1　0.14　[解析] P(X>2.5)===0.14.
变式2　解:(1)设正常情况下,该生产线上包装出来的食盐质量为X g,由题意可知X~N(500,52).
因为515=500+3×5,所以根据正态密度曲线的对称性与“3σ原则”可知,P(X>515)=[1-P(500-3×5≤X≤500+3×5)]≈×0.3%=0.15%.
(2)检测员的判断是合理的.因为如果生产线不出现异常,由(1)可知,随机抽取两包检查,质量都大于515 g的概率约为0.15%×0.15%=2.25×10-6,
几乎为零,但这样的事件竟然发生了,所以有理由认为生产线出现了异常,检测员的判断是合理的.本章总结提升
◆ 题型一　条件概率与全概率公式
[类型总述] (1)条件概率公式的应用;(2)全概率公式的应用.
例1-1 [2024·天津卷] 现有A,B,C,D,E五个活动,甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到A活动的概率为　　　　;已知乙选了A活动,则他选到B活动的概率为　　　　.
例1-2 (多选题)[2025·江苏盐城期中] 甲罐中有除颜色外完全相同的5个红球,3个白球,乙罐中有除颜色外完全相同的4个红球,2个白球.整个取球过程分两步,先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐,分别用事件A1,A2表示由甲罐取出的球是红球、白球;再从乙罐中随机取出两个球,分别用事件B,C表示第二步由乙罐取出的是“两个红球”“一个红球一个白球”,则下列结论中正确的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.P(B|A1)= B.P(C|A2)=
C.P(B)= D.P(C)=
变式 (1)[2025·江苏无锡锡东高中期中] 在某地区进行流行病调查,随机调查了100名某种疾病患者的年龄,发现该100名患者中有35名患者的年龄位于区间[40,50)内.已知该地区这种疾病的患病率为0.25%,年龄位于区间[40,50)内的人口占该地区总人口的25%.现从该地区任选一人,若此人年龄位于区间[40,50)内,则此人患该疾病的概率为 (　 )
A.0.125% B.0.25%
C.0.225% D.0.35%
(2)(多选题)足球运动深受青少年的喜爱.为推广足球运动,某学校成立了足球社团,社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练,从甲开始随机将球传给其他两人中的任意一人,接球者再随机将球传给其他两人中的任意一人,如此不停地传下去,且假设每次传球都能被接到.记开始传球的人为第1次触球者,第n次触球者是甲的概率为Pn,即P1=1.下列说法正确的是 (　 )
A.P2=0
B.P3=
C.Pn=-Pn-1+(n≥2)
D.P9◆ 题型二　离散型随机变量的期望与方差
[类型总述] (1)求离散型随机变量的分布列;
(2)求离散型随机变量的数学期望和方差;(3)利用数学期望和方差解决实际应用问题.
例2-1 [2024·北京卷] 某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况,从合同保险期限届满的保单中随机抽取1000份,记录并整理这些保单的索赔情况,获得数据如下表:
索赔次数 0 1 2 3 4
单数 800 100 60 30 10
假设:一份保单的保费为0.4万元;前三次索赔时,保险公司每次赔偿0.8万元;第四次索赔时,保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率.
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
(i)记X为一份保单的毛利润,估计X的数学期望E(X);
(ii)如果无索赔的保单下一保险期的保费减少4%,有索赔的保单下一保险期的保费增加20%,试比较下一保险期一份保单毛利润的数学期望估计值与(i)中E(X)估计值的大小.(结论不要求证明)
例2-2 [2024·广东佛山高二期中] 学生甲想加入校篮球队,篮球教练对其进行投篮测试.测试规则如下:①投篮分为两轮,每轮均有两次机会,第一轮在罚球线处,第二轮在三分线处;②若他在罚球线处投进第一球,则直接进入下一轮,若第一次没投进可以进行第二次投篮,投进则进入下一轮,否则不予录取;③若他在三分线处投进第一球,则直接录取,若第一次没投进可以进行第二次投篮,投进则录取,否则不予录取.已知学生甲在罚球线处投篮命中率为,在三分线处投篮命中率为.假设学生甲每次投进与否互不影响.
(1)求学生甲被录取的概率;
(2)在这次测试中,记学生甲投篮的次数为X,求X的分布列及期望与方差.
变式 (1)盒中有除颜色外完全相同的4个球,其中1个红球,1个绿球,2个黄球.从盒中随机取球,每次取1个,不放回,直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为ξ,则P(ξ=0)=　　　　,E(ξ)=　　　　　.
(2)本着健康低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费,超过两小时的部分,每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为,,两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为,,两人租车时间都不会超过四小时.
①求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率;
②求甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元的概率;
③设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X,求X的分布列、均值E(X)、方差D(X).
◆ 题型三　二项分布及其应用
[类型总述] (1)二项分布的概念;(2)服从二项分布的随机变量的均值与方差.
例3 [2025·江苏南京二十九中高二月考] “分布式计算系统”是由多台计算机组成的用以提高计算效率的计算机系统.在一个分布式计算系统中,若一次计算中发生故障的计算机数不超过总计算机数的20%,则称这次计算是“优质计算”.某科技公司采购了n台计算机用于搭建分布式计算系统,每台计算机的故障率均为p.
(1)若n=3,p=0.2,记X为一次计算中正常运行的计算机数量,求X的分布列和数学期望.
(2)若n=24,p=0.16,请估计一次计算中正常运行的计算机数量最有可能是多少
变式 2024年7月,有关部门制定并发布了《中小学生超重肥胖公共卫生综合防控技术导则》,其中一级预防干预技术的生活方式管理中就提到了“少喝或不喝含糖饮料,足量饮水”.某中学准备发布健康饮食的倡议,提前收集了学生的体重和饮食习惯等信息,其中学生饮用含糖饮料的统计结果如下:学校有的学生每天饮用含糖饮料不低于500毫升,这些学生的肥胖率为;而每天饮用含糖饮料低于500毫升的学生的肥胖率为.
(1)若从该中学的学生中任意抽取一名学生,求该学生肥胖的概率;
(2)现从该中学的学生中任意抽取三名学生,记X表示这三名学生中肥胖的人数,求X的分布列和数学期望.
◆ 题型四　超几何分布及其应用
[类型总述] (1)超几何分布的概念;(2)服从超几何分布的随机变量的分布列和数学期望.
例4 [2025·江苏启东高二期中] 为营造浓厚的全国文明城市创建氛围,积极响应创建全国文明城市的号召,提高对创城行动的责任感和参与度,学校号召师生利用周末参与创城志愿活动.高二(1)班某小组有男生4人,女生2人,现从中随机选取2人作为志愿者参加活动.
(1)求在有女生参加活动的条件下,恰有一名女生参加活动的概率;
(2)记参加活动的女生人数为X,求X的分布列、数学期望E(X)与方差D(X).
变式 [2024·北京西城区高二期中] 某校设计了一个学科的实验考查方案,考生从6道备选题中一次性随机抽取3道题,按照题目要求独立完成全部实验操作,规定:至少正确完成其中2道题便可通过.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成,2道题不能正确完成;考生乙每题正确完成的概率都是,且每题正确完成与否互不影响.
(1)分别求出考生甲与考生乙正确完成题数的分布列,并计算数学期望;
(2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力.
◆ 题型五　正态分布及其应用
[类型总述] (1)正态分布的直接应用;(2)利用正态分布的性质求概率.
例5 (1)(多选题)近年来,中国进入了一个鲜花消费的增长期,某农户贷款承包了一个新型温室鲜花大棚,种植并销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布N(μ1,302)和N(280,402),则下列说法正确的是 (　 )
(附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σA.若红玫瑰的日销量范围在(μ1-30,280)内的概率约是0.683,则红玫瑰日销量的平均数约为250
B.红玫瑰的日销量比白玫瑰的日销量更集中
C.白玫瑰的日销量比红玫瑰的日销量更集中
D.白玫瑰的日销量范围在(280,320)内的概率约为0.341 5
(2)已知某种机器的电源电压U(单位:V)服从正态分布N(220,202).其电压通常有3种状态:①不超过200 V;②在(200,240]内;③超过240 V.在上述三种状态下,该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15,0.05,0.2.
(i)求该机器生产的零件为不合格品的概率(结果保留2位小数);
(ii)从该机器生产的零件中随机抽取n(n≥2)件,记其中恰有2件不合格品的概率为pn,求pn取得最大值时n的值.
附:若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ变式1 [2022·新高考全国Ⅱ卷] 随机变量X服从正态分布N(2,σ2),若P(22.5)=　　　　.
变式2 [2025·江苏淮安高二期中] 假设某厂包装食盐的生产线,正常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布N(500,52)(单位:g),该生产线上的检测员某天随机抽取了两包食盐,称得其质量均大于515 g.
(1)求正常情况下,任意抽取一包食盐,质量大于515 g的概率.
(2)检测员根据抽检结果,判断出该生产线出现异常,要求立即停产检修,检测员的判断是否合理 请说明理由.(共65张PPT)
本章总结提升
题型一 条件概率与全概率公式
题型二 离散型随机变量的期望与方差
题型三 二项分布及其应用
题型四 超几何分布及其应用
题型五 正态分布及其应用
答案核查
题型一 条件概率与全概率公式
［类型总述］（1）条件概率公式的应用；（2）全概率公式的应用.
例1-1 ［2024·天津卷］现有,,,, 五个活动，甲、乙都要选择三
个活动参加.甲选到活动的概率为__；已知乙选了 活动，则他选到
活动的概率为__.
[解析] 方法一：甲从五个活动中选三个的可能情况有, ,
,,,,,,,,共10种，其中甲选到 活动
的可能情况有,,,,,，共6种，故甲选到 活
动的概率.
乙选了活动有,,,,, 共6种可能情况，其中选
到活动有,, 共3种可能情况，故已知乙选了活动，
他选到活动的概率为 .
方法二：甲选到活动的概率为.
设“乙选到活动”， “乙选到活动”，则已知乙选了活动，
他选到 活动的概率为 .
例1-2 （多选题）［2025·江苏盐城期中］甲罐中有除颜色外完全相
同的5个红球，3个白球，乙罐中有除颜色外完全相同的4个红球，2
个白球.整个取球过程分两步，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，
分别用事件， 表示由甲罐取出的球是红球、白球；再从乙罐中
随机取出两个球，分别用事件， 表示第二步由乙罐取出的是“两
个红球”“一个红球一个白球”，则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 在事件 发生的条件下，乙罐中有5个红球和2白球，共7个
球，则，故A错误；
在事件 发生的条件下，乙罐中有4个红球和3个白球，共7个球，
则 ，故B正确；
易知,, , ,所以
,故C正确；
，故D正确.
故选 .
变式（1）［2025·江苏无锡锡东高中期中］在某地区进行流行病调
查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，发现该100名患者中有
35名患者的年龄位于区间 内.已知该地区这种疾病的患病率为
，年龄位于区间内的人口占该地区总人口的 .现从
该地区任选一人，若此人年龄位于区间 内，则此人患该疾病
的概率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设“任选一人，此人的年龄位于区间内”为事件 ，“任
选一人，此人患病”为事件 ，则从该地区任选一人，此人年龄位于
区间 内，
且此人患该疾病的概率 .故选D.
（2）（多选题）足球运动深受青少年的喜爱.为推广足球运动，某学
校成立了足球社团，社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，
从甲开始随机将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机将球
传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假设每次传球
都能被接到.记开始传球的人为第1次触球者，第 次触球者是甲的概
率为，即 .下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 甲只能传球给乙或丙，故 ，A正确.
乙、丙均可以传球给甲，故，B正确；
由题意得，要想第 次触球者是甲，则第次触球者不能是甲，
且第次触球者有 的概率将球传给甲，故
，C正确.
，设 ，
易得，所以，
又 ，所以是首项为，公比为 的等比数列，
故，所以 ，
故 ，则
，故 ，D错误.
故选 .
题型二 离散型随机变量的期望与方差
［类型总述］（1）求离散型随机变量的分布列；
（2）求离散型随机变量的数学期望和方差；（3）利用数学期望和
方差解决实际应用问题.
假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔
偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索
赔次数相互独立.用频率估计概率.
（1）估计一份保单索赔次数不少于2的概率.
例2-1 ［2024·北京卷］某保险公司为了解该公司某种保险产品的索
赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整
理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
索赔次数 0 1 2 3 4
单数 800 100 60 30 10
解：设事件 为“一份保单的索赔次数不少于2”，
由题意可得 .
（2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
记为一份保单的毛利润，估计的数学期望 ；
解：设 （单位：万元）为一份保单的赔偿金额，则 的所有可
能取值为0,,, ,3，
由题意得, ，
， ，
，
所以 (万元)，
故 （万元）.
（2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
如果无索赔的保单下一保险期的保费减少 ，有索赔的保单下
一保险期的保费增加 ，试比较下一保险期一份保单毛利润的数
学期望估计值与中 估计值的大小．（结论不要求证明）
解：由题意知下一保险期一份保单保费的数学期望为
（万元），
则下一保险期一份保单毛利润的数学期望为
（万元），显然该值大于 .
例2-2 ［2024·广东佛山高二期中］学生甲想加入校篮球队，篮球教
练对其进行投篮测试.测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有两
次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线
处投进第一球，则直接进入下一轮，若第一次没投进可以进行第二
次投篮，投进则进入下一轮，否则不予录取；③若他在三分线处投
进第一球，则直接录取，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投
进则录取，否则不予录取.已知学生甲在罚球线处投篮命中率为 ，在
三分线处投篮命中率为 .假设学生甲每次投进与否互不影响.
（1）求学生甲被录取的概率；
解：记事件表示“甲在罚球线处投篮，第次投进”，事件 表示“甲
在三分线处投篮，第次投进”， ，2，
则， .
设事件 表示“学生甲被录取”，则
，
所以 ，所以学
生甲被录取的概率为 .
（2）在这次测试中，记学生甲投篮的次数为，求 的分布列及期
望与方差.
解：由题分析知， 的可能取值为2，3，4.
，
，
，
所以 的分布列为
2 3 4
则的数学期望 ，
的方差 .
变式（1）盒中有除颜色外完全相同的4个球，其中1个红球，1个绿
球，2个黄球.从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球
为止.设此过程中取到黄球的个数为 ，则__， ___.
[解析] 由题意知，，1，2.若 ，则有两种情况，①第一个
就取出红球，②第一个取出绿球，第二个取出红球，
.
若 ，则有两种情况，①第一个取出黄球，第二个取出红球，
②取出的前两个球为一黄一绿，第三个取出红球，
. .
故 .
（2）本着健康低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行
车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过
两小时的部分，每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有
甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）.设甲、
乙不超过两小时还车的概率分别为， ，两小时以上且不超过三小
时还车的概率分别为， ，两人租车时间都不会超过四小时.
①求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
解：由题意可知，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率
分别为， .
设“甲、乙两人所付的租车费用相同”为事件 ，
则 ，
即甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为 .
（2）本着健康低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行
车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过
两小时的部分，每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有
甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）.设甲、
乙不超过两小时还车的概率分别为， ，两小时以上且不超过三小
时还车的概率分别为， ，两人租车时间都不会超过四小时.
②求甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元的概率；
解：若甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元，
则可能“甲两小时以上且不超过三小时还车，乙不超过两小时还车”，
也可能“甲三小时以上且不超过四小时还车，乙两小时以上且不超过
三小时还车”，
所以甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元的概率为
.
（2）本着健康低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行
车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过
两小时的部分，每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有
甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）.设甲、
乙不超过两小时还车的概率分别为， ，两小时以上且不超过三小
时还车的概率分别为， ，两人租车时间都不会超过四小时.
③设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求 的分布列、
均值、方差 .
解：由题可知， 的可能取值为0，2，4，6，8，
则 ,
,
，
，
，
2 4 6 8
故 ，
.
所以 的分布列为
题型三 二项分布及其应用
［类型总述］（1）二项分布的概念；（2）服从二项分布的随机变
量的均值与方差.
例3 ［2025·江苏南京二十九中高二月考］“分布式计算系统”是由多
台计算机组成的用以提高计算效率的计算机系统.在一个分布式计算
系统中，若一次计算中发生故障的计算机数不超过总计算机数的
，则称这次计算是“优质计算”.某科技公司采购了 台计算机用于
搭建分布式计算系统，每台计算机的故障率均为 .
（1）若，，记 为一次计算中正常运行的计算机数量，
求 的分布列和数学期望.
解：由题意可知， ，
则 ， ，
， ，
所以随机变量 的分布列为
0 1 2 3
所以随机变量的数学期望 .
例3 ［2025·江苏南京二十九中高二月考］“分布式计算系统”是由多
台计算机组成的用以提高计算效率的计算机系统.在一个分布式计算
系统中，若一次计算中发生故障的计算机数不超过总计算机数的
，则称这次计算是“优质计算”.某科技公司采购了 台计算机用于
搭建分布式计算系统，每台计算机的故障率均为 .
（2）若， ，请估计一次计算中正常运行的计算机数
量最有可能是多少？
解：设由24台计算机组成的分布式计算系统中正常运行的计算机数
为，则 .
且 ，
由，且 ，
得 ，且
，
其中， ，
可得
解得 .
所以同时正常运行的计算机数最有可能是20台或21台.
变式 2024年7月，有关部门制定并发布了《中小学生超重肥胖公共
卫生综合防控技术导则》，其中一级预防干预技术的生活方式管理
中就提到了“少喝或不喝含糖饮料，足量饮水”.某中学准备发布健康
饮食的倡议，提前收集了学生的体重和饮食习惯等信息，其中学生
饮用含糖饮料的统计结果如下：学校有 的学生每天饮用含糖饮料不
低于500毫升，这些学生的肥胖率为 ；而每天饮用含糖饮料低于500
毫升的学生的肥胖率为 .
（1）若从该中学的学生中任意抽取一名学生，求该学生肥胖的概率；
解：设“学生每天饮用含糖饮料不低于500毫升”为事件 ，则
, ，
设“学生肥胖”为事件，则, ，
由全概率公式可得
，
所以从该中学的学生中任意抽取一名学生，该学生肥胖的概率为 .
变式 2024年7月，有关部门制定并发布了《中小学生超重肥胖公共
卫生综合防控技术导则》，其中一级预防干预技术的生活方式管理
中就提到了“少喝或不喝含糖饮料，足量饮水”.某中学准备发布健康
饮食的倡议，提前收集了学生的体重和饮食习惯等信息，其中学生
饮用含糖饮料的统计结果如下：学校有 的学生每天饮用含糖饮料不
低于500毫升，这些学生的肥胖率为 ；而每天饮用含糖饮料低于500
毫升的学生的肥胖率为 .
（2）现从该中学的学生中任意抽取三名学生，记 表示这三名学生
中肥胖的人数，求 的分布列和数学期望.
解：由题意可知，且 的可能取值为0，1，2，3，则
, ，
, ，
所以 的分布列为
0 1 2 3
故的数学期望 .
题型四 超几何分布及其应用
［类型总述］（1）超几何分布的概念；（2）服从超几何分布的随
机变量的分布列和数学期望.
例4 ［2025·江苏启东高二期中］为营造浓厚的全国文明城市创建氛
围，积极响应创建全国文明城市的号召，提高对创城行动的责任感
和参与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动.高二（1）班某
小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动.
（1）求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率；
解：设“有女生参加活动”为事件 ,“恰有一名女生参加活动”为事件 .
则, ，
所以 .
例4 ［2025·江苏启东高二期中］为营造浓厚的全国文明城市创建氛
围，积极响应创建全国文明城市的号召，提高对创城行动的责任感
和参与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动.高二（1）班某
小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动.
（2）记参加活动的女生人数为，求的分布列、数学期望 与
方差 .
解：依题意知服从超几何分布，且 ，
则, ,,
所以 的分布列为
0 1 2
故 ,
.
变式 ［2024·北京西城区高二期中］某校设计了一个学科的实验考
查方案，考生从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求
独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成其中2道题便可通过.已
知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能正确完成；考
生乙每题正确完成的概率都是 ，且每题正确完成与否互不影响.
（1）分别求出考生甲与考生乙正确完成题数的分布列，并计算数学
期望；
解：设考生甲正确完成实验操作的题数为，则 的所有可能取值是
1，2，3，且 ，
， ，
所以 的分布列为
1 2 3
则 .
设考生乙正确完成实验操作的题数为，易知，所以 的
所有可能取值为0，1，2，3，
， ，
，，
所以 的分布列为
0 1 2 3
所以 .
变式 ［2024·北京西城区高二期中］某校设计了一个学科的实验考
查方案，考生从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求
独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成其中2道题便可通过.已
知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能正确完成；考
生乙每题正确完成的概率都是 ，且每题正确完成与否互不影响.
（2）试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力.
解：由（1）知 ，
，
， ，
，所以， ，
故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当；从
正确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定；从至
少正确完成2道题的概率方面分析，甲通过的可能性更大.因此甲的实
验操作能力较强.
题型五 正态分布及其应用
［类型总述］（1）正态分布的直接应用；（2）利用正态分布的性
质求概率.
例5（1）（多选题）近年来，中国进入了一个鲜花消费的增长期，
某农户贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植并销售红玫瑰和白
玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布
和 ，则下列说法正确的是( )
（附：若随机变量服从正态分布 ，则
）
A.若红玫瑰的日销量范围在内的概率约是 ，则红
玫瑰日销量的平均数约为250
B.红玫瑰的日销量比白玫瑰的日销量更集中
C.白玫瑰的日销量比红玫瑰的日销量更集中
D.白玫瑰的日销量范围在内的概率约为
√
√
√
[解析] 对于A，可知，解得 ，故A正确；
对于B，C，标准差越小，数据越集中，因为 ，所以红玫瑰的
日销量比白玫瑰的日销量更集中，故B正确，C错误；
对于D，
，故D正确.
故选 .
（2）已知某种机器的电源电压（单位： ）服从正态分布
.其电压通常有3种状态：①不超过；②在
内；③超过 .在上述三种状态下，该机器生产的零件
为不合格品的概率分别为，， .
求该机器生产的零件为不合格品的概率（结果保留2位小数）；
解：记“电压不超过”“电压在内”“电压超过 ”
分别为事件,,,“该机器生产的零件为不合格品”为事件 .
因为 ，所以
，
，
，
所以 ，
所以该机器生产的零件为不合格品的概率约为0.09.
（2）已知某种机器的电源电压（单位： ）服从正态分布
.其电压通常有3种状态：①不超过；②在
内；③超过 .在上述三种状态下，该机器生产的零件
为不合格品的概率分别为，， .
从该机器生产的零件中随机抽取 件，记其中恰有2件不
合格品的概率为，求取得最大值时 的值.
附：若，则 ，
.
解：从该机器生产的零件中随机抽取件,设不合格品件数为 ,则
，
所以 ，
由 ，
解得，所以当时， ，
当时，，所以 最大，
因此当时， 最大.
变式1 ［2022·新高考全国Ⅱ卷］随机变量服从正态分布 ,若
,则 _____.
0.14
[解析] .
变式2 ［2025·江苏淮安高二期中］假设某厂包装食盐的生产线，正
常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布（单位： ），
该生产线上的检测员某天随机抽取了两包食盐，称得其质量均大于
.
（1）求正常情况下，任意抽取一包食盐，质量大于 的概率.
解：设正常情况下，该生产线上包装出来的食盐质量为 ，由题意
可知 .
因为，所以根据正态密度曲线的对称性与“ 原
则”可知， .
变式2 ［2025·江苏淮安高二期中］假设某厂包装食盐的生产线，正
常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布（单位： ），
该生产线上的检测员某天随机抽取了两包食盐，称得其质量均大于
.
（2）检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停
产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由.
解：检测员的判断是合理的.因为如果生产线不出现异常，由（1）可
知，随机抽取两包检查，质量都大于 的概率约为
，
几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现
了异常，检测员的判断是合理的.
快速核答案
例1-1 例1-2 BCD 变式 （1）D （2）ABC
例2-1 （1）（2）下一保险期一份保单毛利润的数学期望为万元，显然该值大于.
例2-2 （1）（2）的分布列略，，
变式 （1） （2）① ② ③的分布列略，，
例3 （1）的分布列略，（2）20台或21台
变式 （1）（2）的分布列略，
例4 （1）（2）的分布列略，,
变式 （1）考生甲正确完成实验操作的题数的分布列略，数学期望是2，考生乙正确完成实验操
作的题数的分布列略，数学期望是2
(2)故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当；从正确完成实
验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定；从至少正确完成2道题的概率
方面分析，甲通过的可能性更大.因此甲的实验操作能力较强.
例5 （1）ABD （2）解：0.09 当时，最大.
变式1 0.14 变式2 （1）（2）检测员的判断是合理的

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