资源简介

???第一章平面向量及其应用
1．1　向量
最新课程标准
1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景．
2．理解平面向量的意义和两个向量相等的含义．
3．理解平面向量的几何表示和基本要素．
学科核心素养
1.通过对物理量的分析抽象出向量的概念．(数学抽象)
2．理解平面向量的意义和两个向量相等的含义．(数学抽象)
3．能利用向量的含义及相关概念解决相应的问题．(逻辑推理、直观想象)
导学
教材要点
要点一　向量的相关概念
向量的概念 既有大小又有方向的量称为向量．
有向线段 具有________的线段称为有向线段．以A为起点、B为终点的有向线段记作________，线段AB的长度也称为有向线段的长度，记作________．
向量的模 向量a的大小，也就是向量a的长度，称为a的模，记作|a|.
相等向量 把方向________、长度相等的向量称为相等向量．
相反向量 把方向________、长度相等的向量称为相反向量．
零向量 如果向量a的大小|a|＝0，就称a是零向量．记作0.所有的零向量相等．
状元随笔　(1)理解向量概念应关注三点
①向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．
②判断一个量是否为向量，就要看它是否具备大小和方向两个因素．
③向量与向量之间不能比较大小．
(2)相等向量的理解
任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定．
要点二　向量的几何表示
1．向量可以用有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．
2．向量可以用字母a，b，c，…表示．印刷用粗体a，书写用.
状元随笔　向量不等于有向线段，有向线段只是向量的一种直观表示，用有向线段的起点与终点字母表示向量时，注意起点的位置在前，终点位置在后，箭头从起点指向终点．用手写体表示向量时一定不要遗漏上面的箭头．
练习
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两个向量，长度大的向量较大．(　　)
(2)两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同．(　　)
(3)长度为0的向量叫做零向量．(　　)
(4)零向量与任意向量都不平行．(　　)
2．已知：①三角形的面积；②物体受到的重力；③水流的速度；④温度．其中是向量的有(　　)
A．①②③④ B．②③④
C．③④ D．②③
3．如图，在矩形ABCD中，可以用同一条有向线段表示的向量是(　　)
A．和 B．和
C．和 D．和
4．如图，以1 cm×3 cm方格纸中的格点为始点和终点的所有向量中，则以A为始点，可以写出________个不同的向量．
导思
题型一　向量的概念辨析
例1　(多选)下面的命题错误的是(　　)
A．用有向线段表示两个相等的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点一定相同
B．两个向量的模相等，则这两个向量相等
C．向量与向量相等
D．若a，b满足|a|＞|b|且a与b同向，则a＞b
总结
(1)向量之间的关系需从大小和方向两个方面去理解，因而向量不能比较大小．
(2)零向量是比较特殊的向量，解题时一定要看清是“零向量”还是“非零向量”．
跟踪训练1　(多选)下列结论正确的是(　　)
A．＝－
B．向量||＝0，则A，B两点重合
C．||>0
D．||＝
题型二　向量的表示及应用
例2　在如图所示的坐标纸(规定小方格的边长为1)中，用有向线段表示下列向量：
(1)|a|＝4，a的方向与x轴的正方向夹角为60°，与y轴正方向夹角为30°；
(2)|b|＝3，b的方向与x轴的正方向夹角为30°，与y轴正方向夹角为120°；
(3)|c|＝3，c的方向与x轴的正方向夹角为135°，与y轴正方向夹角为45°.
总结
在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．应该注意的是有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．
跟踪训练2　一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点．
(1)作出向量；
(2)求||.
题型三　相等向量与相反向量
例3　如图，已知O为正六边形ABCDEF的中心．
(1)分别写出图中与相等的向量；
(2)图中与向量相反的向量有哪几个？
总结
先找模与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定方向．
跟踪训练3　如图，在长方体中，AB＝3，AD＝2，AA1＝1，以长方体的八个顶点中两点为起点和终点的向量中：
(1)与相等的向量有________；
的相反向量有________．
易错辨析　混淆位移与路程
例4　一艘海上巡逻艇从港口向北航行了30 n mile，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向40 n mile处有一艘渔船抛锚需救助．试求：
(1)巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；
(2)巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移．(参考数据：sin 53°≈0.8)
解析：(1)画出如图所示的示意图，易得所求路程为巡逻艇两次路程的和，即AB＋BC＝70(n mile)．
(2)巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移是向量，既有大小又有方向，其大小为||＝＝50(n mile)，由于sin ∠BAC＝，故方向约为北偏东53°.
易错点
纠错心得
误将位移与路程等同起来，导致(2)中答案错误． 路程是指物体运行轨迹的长度，只有大小，没有方向，是一个数量；而位移只与物体运动的起点和终点有关，既有大小又有方向，是一个向量．
课时训练
1．下列说法正确的是(　　)
A．a与b是相反向量，b与c是相反向量，则a与c相等
B．任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点
C．向量a与b不相等，则a与b都是非零向量
D．有相同起点的两个非零向量一定不相等
2．如图所示，在正三角形ABC中，P，Q，R分别是AB，BC，AC的中点，则与向量相等的向量是(　　)
A．与
B．与
C．与
D．与
3．已知△ABC是等腰三角形，则两腰对应的向量与的关系是________．
4．已知飞机从A地按北偏东30°方向飞行2 000 km到达B地，再从B地按南偏东30°方向飞行2 000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1 000 km到达D地．画图表示向量，并指出向量的模和方向．
温馨提示：请完成课时作业(一)
1．1　向量
导学
要点一
方向　　||　相同　相反
[练习]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．解析：由向量的概念可知②③正确．
答案：D
3．解析：易知＝.
答案：B
4．解析：由图可知，以A为始点的向量有、、、、、、，共有7个．
答案：7
导思
例1　解析：因为两个有相同起点的向量，只有终点相同，才能相等，A项正确；方向不一定相同，B项错误；方向相反，只有在都为0时才相等，C项错误；因为向量不能比较大小，D项错误．
答案：BCD
跟踪训练1　解析：根据相反向量的定义可知A正确；由||＝0得＝0，所以A，B两点重合，故B正确；零向量的模为0，故C错误，应为||≥0；由于相反向量的模相等，故D正确．
答案：ABD
例2　解析：如图所示．
跟踪训练2　
解析：(1)向量如图所示．
(2)由题意，可知与方向相反，故与共线，
∵||＝||，
∴在四边形ABCD中，AB∥CD且AB＝CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴＝，
∴||＝||＝200 km.
例3　解析：(1)与相等的向量有.与相等的向量有.与相等的向量有.
(2)与向量相反的向量有.
跟踪训练3　解析：(1)由图可知，AB＝DC＝A1B1＝D1C1，所以与相等的向量有：、、；
(2)由图可知，AA1＝BB1＝CC1＝DD1＝1，所以的相反向量有：A1A、B1B、C1C、D1D；
答案：(1)、、　(2)A1A、B1B、C1C、D1D
[课时训练]
1．答案：A
2．解析：向量相等即模长相等，方向相同．
依题意，PQ是三角形的中位线，故PQ∥AC，PQ＝AC，即PQ＝AR＝RC，因此与都是和相等的向量．
答案：B
3．答案：＝
4．解析：以A为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立直角坐标系．
由题意知B点在第一象限，C点在x轴正半轴上，D点在第四象限，
向量如图所示，
由已知可得，
△ABC为正三角形，所以AC＝2 000 km.
又∠ACD＝45°，CD＝1 000 km，
所以△ADC为等腰直角三角形，
所以AD＝1 000 km，∠CAD＝45°.
故向量的模为1 000 km，方向为东南方向．

展开更多......

收起↑