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单元素养测评卷(三)
1.A　[解析] 因为X~N(80,4),所以 P(X<80)=0.5.故选A.
2.A　[解析] 因为随机变量X的分布列为P(X=i)=ai2(i=1,2,3),所以P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=a+4a+9a=1,解得a=,所以P(X=2)=4a=.故选A.
3.C　[解析] 由正态密度曲线的对称性,及数学成绩高于115分的人数与低于75分的人数相同,可知μ==95.故选C.
4.B　[解析] P(AB)=P(A)P(B|A)=.故选B.
5.C　[解析] 设“随机推选一名学生汇报活动体会,选到的是高二年级的学生”为事件A,“选到的学生是男生”为事件B,因为从高一、高二、高三年级中各选派6名学生参加植树造林活动,所以P(A)==,因为参加活动的高二年级男生的人数为3,所以P(AB)==,所以P(B|A)==.故选C.
6.C　[解析] 由题意知,μ=120,σ=10,则P(130≤x≤140)=≈=0.135 5,故得分在区间[130,140]内的学生有1000×0.135 5=135.5≈136(人).故选C.
7.B　[解析] 设事件A=“小明爬到第4级台阶”,B=“小明走了3步”,事件A的发生包含三种情况:①小明走了4步到第4级台阶,其概率P1==;②小明走了3步到第4级台阶,其概率P2=××=,即P(AB)=;③小明走了2步到第4级台阶,其概率P3==.所以P(A)=P1+P2+P3=,故P(B|A)===.故选B.
8.D　[解析] 由题可知,p=,E(Y)==6,E(X)=np=.因为E(Y)36,所以n的最小值为37.故选D.
9.ABD　[解析] 对于A,因为E(X)=2,所以E(4X-2)=4E(X)-2=4×2-2=6,故A正确;对于B,因为D(Y)=3,所以D(3Y+6)=9D(Y)=9×3=27,故B正确;对于C,根据二项分布的概念可知随机变量X服从二项分布B,故C错误;对于D,根据超几何分布的概念可知随机变量X服从超几何分布,故D正确.故选ABD.
10.BC　[解析] 对于A,P(B)===P(B|A)=,A错误;对于B,P(AB)=P(A)P(B)=×=,B正确;对于C,P(|B)===P()=1-P(A)=,C正确;对于D,P(A+)=P(A)+P()-P(A)=+-×=,D错误.故选BC.
11.BD　[解析] 由题意可知X~N(30,36),Y~N(34,4).对于A,因为P(X≤30)=,P(Y≤34)=,所以P(X≤30)=P(Y≤34),故A错误;对于B,因为P(X≤36)=P(X≤30+6)=P(X≤μ1+σ1),P(Y≤36)=P(Y≤34+2)=P(Y≤μ2+σ2),所以P(X≤36)=P(Y≤36),故B正确;对于C,因为P(X≤34)>P(X≤30)=,P(Y≤34)=,所以P(X≤34)>P(Y≤34),所以若某天只有34分钟可用,小明应选择坐公交,故C错误;对于D,因为P(X≤38)=P(X≤30+8)12.0,1,2,3　[解析] 甲在3次射击中,可能一次未中,也可能中1次、2次、3次.因此,随机变量X的可能取值为0,1,2,3.
13.　[解析] 设事件A表示“选到的教师是数学教师”,事件B表示“选到的是女教师”,则女数学教师被选到的概率是P(AB),由题意知P(A)=,P(B|A)=,所以P(AB)=P(A)P(B|A)=×=.
14.12　[解析] 因为随机变量X~N(11,σ2),所以该正态密度曲线的对称轴为μ=11,又P(X≤a-4)=P(X≥a+2),所以=11,所以a=12.
15.解:(1)依题意知,X的可能取值为0,1,2,
则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
(2)方法一:由(1)中的分布列,可得E(X)=1×+2×=,
D(X)=×+×+×=.
方法二:因为X~H(2,3,10),
所以E(X)==,D(X)==.
16.解:(1)由已知得解得
(2)设事件A1,A2分别表示“甲两轮猜对1个成语、2个成语”,事件B1,B2分别表示“乙两轮猜对1个成语、2个成语”,则P(A1)=×+×=,P()=×=,P(B1)=×+×=,P(B2)=×=,
所以“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率P=P(A1B2+A2B1)=P(A1B2)+P(A2B1)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=×+×=,
即“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为.
17.解:(1)由题意知X~N(74,100),则μ=74,σ=10,
所以P(64(2)因为每天阅读时间位于区间[50,60),[60,70)和[80,90)内的频率之比为1∶2∶2,
所以抽取的10人中每天阅读时间位于区间[50,60),[60,70)和[80,90)内的分别为2人,4人,4人,随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,
P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,则ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
所以E(ξ)=0×+1×+2×+3×=.
18.解:(1)由题知,能卖出3件水牛奶的概率为=,能卖出3件以下水牛奶的概率为,
∴3天中至少有2天能卖出3件水牛奶的概率为×+=.
(2)设事件Ai(i=0,1,2,3)表示“第一天营业过程中,销售了i件”,事件M表示“第二天营业结束后,货架上有1件存货”,
则P(A0)==,P(A1)==,P(A2)==,P(A3)==,P(M|A0)==,P(M|A1)==,P(M|A2)==,P(M|A3)==,
19.解:(1)2划分是将集合M分成两个非空且互不相交的子集A1和A2,且A1∪A2=M,
每个元素属于A1或A2,因为两个子集都不能为空集,所以共有2n-2种划分方式.
但{A1,A2}和{A2,A1}应该看成同一个划分,因此an==2n-1-1.
(2)当n=5时,2划分的个数为24-1=15;3划分的个数为+=10+15=25;4划分的个数为=10;5划分的个数为1.
记事件B表示“从集合M的所有划分中任取一个,这个划分恰好为3划分”,
则P(B)==.
(3)集合M={1,2,3,…,n}的非空子集的个数为2n-1,
所以集合A共有2n-1种可能.
当X=1时,子集A必须包含1,这样的子集数量为2n-1,
则P(X=1)==,解得n=4.
当1≤t≤3时,最小元素X为t的子集为集合{t+1,t+2,…,4}的子集与集合{t}的并集,
则P(X=t)=,易知t=4时也满足上式.
可知随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4,
则P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,P(X=4)==,故X的分布列为
X 1 2 3 4
P
则E(X)=1×+2×+3×+4×=.单元素养测评卷(三)
第8章
(时间:120分钟　分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设X~N(80,4),则P(X<80)等于 (　　)　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.0.5 B.0.68 C.0.95 D.0.99
2.[2025·江苏启东中学月考] 已知随机变量X的分布列为P(X=i)=ai2(i=1,2,3),则P(X=2)= (　　)
A. B. C. D.
3.[2025·南通中学月考] 某地区组织了一次高二年级全体学生的模拟考试,经统计发现,数学成绩近似服从正态分布N(μ,σ2),已知数学成绩高于115分的人数与低于75分的人数相同,那么估计本次考试数学成绩的平均数为 (　　)
A.85 B.90 C.95 D.100
4.[2025·江苏宿迁中学期末] 已知P(B|A)=,P(A)=,则P(AB)等于 (　　)
A. B. C. D.
5.[2025·江苏南通一中期中] 为践行“绿水青山就是金山银山”的理念,某校在第46个植树节来临之际,从高一 高二 高三年级中各选派6名学生参加植树造林活动,其中三个年级参加活动的学生中男生人数分别为3,3,4,活动结束后,随机推选一名学生汇报活动体会,如果选到的是高二年级的学生,则选到的是男生的概率为 (　　)
A. B. C. D.
6.某高中对高二年级的1000名学生进行了一次数学成绩测试,得到各同学的数学成绩(满分150分)X近似服从正态分布N(120,100),则得分在区间[130,140]内的学生大约有(参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954) (　　)
A.324人 B.90人 C.136人 D.45人
7.小明爬楼梯每一步走1级台阶还是走2级台阶是随机的,且走1级台阶的概率为,走2级台阶的概率为.小明从楼梯底部开始往上爬,在小明爬到第4级台阶的条件下,他走了3步的概率是 (　　)
A. B. C. D.
8.在n重伯努利试验中,若每次试验中事件A发生的概率为p,则事件A发生的次数X服从二项分布B(n,p).事实上,在伯努利试验中,另一个随机变量的实际应用也很广泛,即事件A首次发生时试验进行的次数Y,显然P(Y=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,3,…,我们称Y服从几何分布,经计算得E(Y)=,据此,若随机变量X服从二项分布B,且相应的Y服从几何分布,若E(Y)A.6 B.18 C.36 D.37
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列说法中正确的有 (　　)
A.若随机变量X的数学期望E(X)=2,则E(4X-2)=6
B.若随机变量Y的方差D(Y)=3,则D(3Y+6)=27
C.将一枚正方体骰子抛掷5次,记出现1点向上的次数为X,则X服从两点分布
D.从7男3女共10名学生中随机选取5名学生,记选出女生的人数为X,则X服从超几何分布
10.[2025·启东一中月考] 已知P(A)=,P(B|A)=,若随机事件A,B相互独立,则 (　　)
A.P(B)= B.P(AB)=
C.P(|B)= D.P(A+)=
11.[2025·姜堰中学月考] 小明上学有时坐公交车,有时骑自行车,他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间,经数据分析得,坐公交车平均用时30分钟,样本方差为36;骑自行车平均用时34分钟,样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布,则 (　　)
A.P(X≤30)B.P(X≤36)=P(Y≤36)
C.若某天只有34分钟可用,小明应选择骑自行车
D.若某天只有38分钟可用,小明应选择骑自行车
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.甲进行3次射击,记甲击中目标的次数为X,则X的可能取值为　　　　.
13.某学校办公室数学教师和英语教师的人数之比为5∶3,其中数学教师中女教师占0.75,从中任选一位教师代表本办公室参加会议,则女数学教师被选到的概率是　　　　.
14.[2025·南京一中检测] 已知随机变量X~N(11,σ2),且P(X≤a-4)=P(X≥a+2),则a=　　　　.
四、解答题:本题共5个小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(13分)一批笔记本电脑共有10台,其中A品牌有3台,B品牌有7台,如果从中随机挑选2台,设挑选的2台电脑中A品牌的台数为X.
(1)求X的分布列;
(2)求X的均值和方差.
16.(15分 )[2025·常熟中学月考] 甲、乙两人组队成“星对”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,已知甲每轮猜对的概率为p1,乙每轮猜对的概率为p2,在每轮活动中,甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响.在一轮活动中,甲、乙都猜对的概率为,甲猜对且乙猜错的概率为.
(1)求p1,p2的值;
(2)求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率.
17.(15分)[2025·南通中学月考] 书籍是精神世界的入口,阅读让精神世界闪光,阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯,每年4月23日为世界读书日,某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况,通过随机抽样调查了100位年轻人,对这些人每天的阅读时间(单位:分钟)进行统计,得到样本的频率分布直方图,如图所示.
(1)若年轻人每天的阅读时间X近似服从正态分布N(74,100),求P(64(2)为了进一步了解年轻人的阅读方式,研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60),[60,70),[80,90)内的年轻人中抽取10人,再从中任选3人进行调查,求抽到每天阅读时间位于[80,90)内的人数ξ的分布列和数学期望.
参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ18.(17分)佛山顺德双皮奶是一种粤式甜品,上层奶皮甘香,下层奶皮香滑润口,吃起来,香气浓郁,入口嫩滑,让人唇齿留香.双皮奶起源于清朝末期,是用水牛奶做原料,辅以鸡蛋和白糖制成.水牛奶中含有丰富的蛋白质,包括酪蛋白和少量的乳清蛋白,及大量人体生长发育所需的氨基酸和微量元素.不过新鲜的水牛奶保质期较短.某超市为了保证顾客能购买到新鲜的水牛奶又不用过多存货,于是统计了50天销售水牛奶的情况,获得如下数据:
日销售量/件 0 1 2 3
天数 5 10 25 10
假设水牛奶日销售量的分布规律保持不变,将频率视为概率.
(1)求接下来3天中至少有2天能卖出3件水牛奶的概率.
(2)已知超市存货管理水平的高低会直接影响超市的经营情况.该超市对水牛奶实行如下存货管理制度:当天营业结束后检查存货,若存货少于2件,则通知配送中心立即补货至3件,否则不补货.假设某天开始营业时货架上有3件水牛奶,求第二天营业结束后货架上有1件存货的概率.
19.(17分)[2025·启东中学月考] 定义:如果集合U存在一组两两不交(两个集合的交集为空集时,称为不交)的非空真子集A1,A2,…,Ak(k∈N*,k≥2),且A1∪A2∪…∪Ak=U,那么称子集族{A1,A2,…,Ak}为集合U的一个k划分.已知集合M={1,2,3,…,n}(n∈N*,n≥2).
(1)记an表示集合M的所有2划分的个数,求an.
(2)若n=5,从集合M的所有划分中任取一个,求这个划分恰好为3划分的概率.
(3)设集合A为集合M的非空子集,随机变量X表示子集A中的最小元素(当A中只有一个元素时,将该元素视为最小元素).若P(X=1)=,求随机变量X的分布列和数学期望E(X).

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