资源简介

1．3　向量的数乘
最新课程标准
1.通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及其运算规则，理解其几何意义．
2．理解两个平面向量共线的含义．
3．了解平面向量的线性运算性质及其几何意义．
学科核心素养
1.掌握平面向量的数乘运算．(数学运算)
2．理解共线向量的含义．(直观想象、逻辑推理)
3．了解平面向量的线性运算性质的几何意义．(直观想象)
导学
教材要点
要点一　向量的实数倍
1．向量的数乘的定义
一般地，实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作________，称为a的________倍，它的长度|λa|＝________．
当λ≠0且a≠0时，λa的方向
当λ＝0或a＝0时，λa＝0a＝0或λa＝λ0＝0.
求向量的实数倍的运算称为向量的数乘．
状元随笔　理解数乘向量应注意的问题
(1)向量数乘的结果依然是向量，要从长度与方向加以理解．
(2)实数与向量可以相乘，但是不能相加、减．如λ＋，λ－均没有意义．
2．向量的数乘的几何意义
向量的数乘的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小．
要点二　共线向量
1．当非零向量a，b方向相同或相反时，我们既称a，b________，也称a，b________，记作________．
2．规定：零向量与所有的向量平行．
3．两个向量平行 其中一个向量是另一个向量的实数倍．
即a∥b 存在实数λ，使得b＝________或a＝________．
状元随笔　向量共线定理的理解注意点及主要应用
(1)定理中≠0→，≠0→不能漏掉. 若＝＝0→，则实数λ可以是任意实数；若＝0→，≠0→，则不存在实数λ，使得＝λ.
(2)这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数t，s，使t ＋s ＝0→，则与共线；若两个非零向量与不共线，且t ＋s ＝0→，则必有t＝s＝0.
要点三　向量的夹角
1．设a，b是两个非零向量，任选一点O，作＝a，＝b，则射线OA，OB所夹的最小非负角∠AOB称为向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
2．平面向量夹角的范围为[0，π].
状元随笔　(1)两个向量的夹角是唯一确定的，且〈〉＝〈〉．
(2)当〈〉＝0时，方向相同；当〈〉＝π时，方向相反；当0<〈〉<π时，不共线．
(3)当〈〉＝时，互相垂直，记作⊥.
(4)0→与的夹角是任意大小，可以规定为0，也可以规定为等，因此，零向量与任一向量可以平行，也可以垂直．
要点四　单位向量
1．长度等于1个单位长度的向量．
2．对于任一非零向量a，都可得到与它方向相同的唯一单位向量e＝a.
状元随笔　单位向量只定义了大小，方向可以任意，方向不同的两个单位向量不相等．
要点五　数乘运算律
一般地，设a，b是任意向量，x，y是任意实数，则如下运算律成立：
(1)对实数加法的分配律：(x＋y)a＝xa＋ya.
(2)对实数乘法的结合律：x(ya)＝(xy)a.
(3)对向量加法的分配律：x(a＋b)＝xa＋xb.
练习
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)实数λ与向量a的积还是向量．(　　)
(2)向量－8a(a≠0)的模是向量4a的模的2倍．(　　)
(3)若b＝λa(a≠0)，则a与b方向相同或相反．(　　)
(4)表示向量a方向上的单位向量．(　　)
2．化简：＝(　　)
A．2a－b B．2b－a
C．b－a D．a－b
3．已知a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，则3a－b＝(　　)
A．4e2 B．4e1
C．3e1＋6e2 D．8e2
4．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则与共线(平行)的向量有________．
导思
题型一　向量的线性运算
例1　(1)化简：－2(a＋b)；
(2)若3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中a，b是已知向量，则m＝________，n＝________．
总结
向量线性运算的基本方法
(1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．
跟踪训练1　(1)(2a＋8b)－(4a－2b)等于(　　)
A．－3a－6b B．6b－3a
C．2b－3a D．3a－2b
(2)化简：(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)＝________．
题型二　用已知向量表示相关向量
例2　如图所示，已知 ABCD的边BC，CD的中点分别为K，L，且＝e1，＝e2，试用e1，e2表示.
总结
用已知向量表示其他向量的两种方法
(1)直接法
(2)方程法
当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
跟踪训练2　如图，ABCD是一个梯形，∥且||＝2||，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝e1，＝e2，试用e1，e2表示下列向量．
(1)＝________；
(2)＝________．
题型三　向量共线定理的应用
角度1　向量共线的判定
例3　判断下列各小题中的向量a，b是否共线(其中e1，e2是两个不共线向量)．
(1)a＝5e1，b＝－10e1；
(2)a＝e1－e2，b＝3e1－2e2；
(3)a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2.,
总结
向量共线的判定一般是用其判定定理，即a是一个非零向量，若存在唯一一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．解题过程中，需要把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，由此判断共线．
角度2　证明三点共线
例4　设a，b是不共线的两个向量．若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求证：A，B，C三点共线．
总结
三点共线的证明问题及求解思路
(1)证明三点共线，通常转化为证明由这三点构成的两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据．
(2)若A，B，C三点共线，则向量在同一直线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系，而向量共线定理是实现线性关系的依据．
角度3　求参数的值
例5　设e1，e2是两个不共线的向量，若向量ke1＋2e2与8e1＋ke2方向相反，则k的值为________．
总结
利用向量共线求参数，一种类型是利用向量加法、减法及数乘运算表示出相关向量，从而求得参数，另一种类型是利用三点共线建立方程求解参数．
跟踪训练3　(1)若向量a＝2e1＋e2，b＝－2e1＋3e2，则以下向量中与向量2a＋b共线的是(　　)
A．－5e1＋2e2 B．4e1＋10e2
C．10e1＋4e2 D．e1＋2e2
(2)设e1，e2是两个不共线的向量，若向量a＝2e1－e2，与向量b＝e1＋λe2(λ∈R)共线，则λ的值为________．
易错辨析　忽视向量共线的方向出错
例6　设两向量e1，e2不共线，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2共线，求实数t的值．
解析：∵向量2te1＋7e2与向量e1＋te2共线，
∴存在实数λ，使得2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，
即2t＝λ，且7＝λt，解得t＝±.
故所求实数t的值为±.
【易错点】
易错原因 纠错心得
忽视两非零向量反向共线的情况而漏掉一解． 向量共线应分同向与反向两种情况．
课时训练
1．4(a－b)－3(a＋b)－b等于(　　)
A．a－2b B．a
C．a－6b D．a－8b
2．(多选)已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为(　　)
A．－1 B．
C．3 D．4
3．在等边△ABC中，点E在中线CD上，且CE＝6ED，则＝(　　)
A． B．
C． D．
4．在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则＝________．(用b，c表示)
5．设e1，e2是两个不共线向量，＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.
(1)证明：A，B，D三点共线；
(2)若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．
温馨提示：请完成课时作业(四)
1．3　向量的数乘
导学
要点一
λa　λ　|λ||a|　同向　反向　
要点二
1．共线　平行　a∥b
3．λa　λb
[练习]
1．答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
2．解析：原式＝[(a＋4b)－(4a－2b)]＝(－3a＋6b)＝2b－a，故选B.
答案：B
3．解析：3a－b＝3(e1＋2e2)－(3e1－2e2)＝3e1＋6e2－3e1＋2e2＝8e2.
答案：D
4．解析：根据非零向量共线的定义，与方向相同和方向相反的向量有.
答案：
导思
例1　解析：(1)原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0.
(2) 解析：把已知中的两个等式看成关于m，n的方程，联立得方程组解得
答案：(1)见解析　(2)a＋b　a－b
跟踪训练1　解析：(1)原式＝a＋4b－4a＋2b＝6b－3a.
(2) 解析：原式＝a－b－a－b＋a＋b＝a＋b＝0a＋0b＝0.
答案：(1)B　(2)0
例2　解析：设＝x，则＝x，＝e1－x，
＝＝＝e1－x.
由＝，得x＋e1－x＝e2，
解方程得x＝e2－e1，即＝e2－e1.
由＝－＝e1－x，
得＝x－e1＝－e1＝－e1＋e2.
跟踪训练2　解析：因为∥，||＝2||，
所以 ＝2＝.
(1)＝＝e2＋e1.
(2)＝＝－
＝－e1－e2＋e1＝e1－e2.
答案：(1)e2＋e1　(2)e1－e2
例3　解析：(1)∵b＝－2a，∴a与b共线．
(2)∵a＝b，∴a与b共线．
(3)设a＝λb，则e1＋e2＝λ(3e1－3e2)，
∴(1－3λ)e1＝－(1＋3λ)e2.
∵e1与e2是两个不共线向量，∴
这样的λ不存在，因此a与b不共线．
例4　解析：证明：∵＝＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，
而＝＝(a－3b)－(3a＋b)＝－(2a＋4b)＝－2，
∴与共线，且有公共点B，
∴A，B，C三点共线．
例5　解析：∵ke1＋2e2与8e1＋ke2共线，
∴ke1＋2e2＝λ(8e1＋ke2)＝8λe1＋λke2，
∴解得或
∵ke1＋2e2与8e1＋ke2反向，
∴λ＝－，k＝－4.
答案：－4
跟踪训练3　解析：(1)2a＋b＝2e1＋5e2
又∵4e1＋10e2＝2(2e1＋5e2)
∴4e1＋10e2＝2(2a＋b)，故选B.
(2) 解析：因为向量a与b共线，所以存在唯一实数μ，使b＝μa成立．
即e1＋λe2＝μ(2e1－e2)＝2μe1－μe2，
所以(2μ－1)e1＝(λ＋μ)e2，
又因为e1与e2不共线．
所以解得λ＝－.
答案：(1)B　(2)－
[课时训练]
1．解析：原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b.
答案：D
2．解析：因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，且向量a，b是两个不共线的向量，所以m＝，解得m＝－1或m＝3.
答案：AC
3．解析：因为＝＝＝)，＝，
所以＝.
答案：A
4．解析：如图，在△ABC中，＝.∵＝2，
∴＝.∵＝＝b－c，∴＝＝c＋(b－c)＝b＋c.
答案：b＋c
5．解析：(1)＝＝e1－4e2，＝2(e1－4e2)＝2，所以∥，因为与有公共点，所以A，B，D三点共线．
(2)因为B，D，F三点共线，所以存在实数λ，使＝λ，
所以3e1－ke2＝λe1－4λe2，所以(3－λ)e1＝(k－4λ)e2，又因为e1，e2不共线，
所以解得λ＝3，k＝12.

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