资源简介

1．4　向量的分解与坐标表示
最新课程标准
1.理解平面向量基本定理及其意义．
2．借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示．
3．会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算．
4．能用坐标表示平面向量共线的条件．
学科核心素养
1.理解平面向量基本定理的含义，了解基的含义．(数学抽象、逻辑推理)
2．掌握向量的正交分解，领会平面向量坐标的定义．(数学抽象)
3．会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算．(数学运算)
4．会用共线条件的坐标表示．(数学运算)
导学
教材要点
要点一　平面向量基本定理
1．定理：设e1，e2是平面上两个________向量，则
(1)平面上每个向量v都可以分解为e1，e2的实数倍之和，即________，其中x，y是实数．
(2)实数x，y由________唯一决定．也就是：如果v＝xe1＋ye2＝x′e1＋y′e2，则x＝x′，y＝y′.
2．基：我们称不共线向量e1，e2组成平面上的一组基{e1，e2}，分解式v＝xe1＋ye2中的系数x，y组成的有序数组(x，y)，称为v在这组基下的坐标．
状元随笔　平面向量基本定理的理解
是同一平面内的两个不共线的向量，的选取不唯一，即一个平面可以有多组的基．
(2)平面内的任一向量都可以沿基进行分解．
(3)基确定后，实数λ1、λ2是唯一确定的．
要点二　平面向量的正交分解与坐标表示
1．把一个向量分解为两个________的向量，叫作把向量正交分解．
2．平面上互相垂直的________向量组成的基称为标准正交基，记作________，其中i＝(1，0)，j＝(0，1)．
3．若单位向量e1，e2的夹角为90°，非零向量v的模|v|＝r，且e1与v的夹角为α，则v＝____________．
状元随笔　标准正交基是平面向量的一组特殊的基．
练习
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基．(　　)
(2)平面向量的基确定后，平面内的任何一个向量都能用这个基唯一表示．(　　)
(3)若{e1，e2}是平面α内所有向量的一个基，则＋λ2e2(λ1，λ2∈R)不一定在平面α内．(　　)
(4)基向量可以是零向量．(　　)
2．(多选)设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组是这个平行四边形所在平面的一组基的是(　　)
A．与 B．与
C．与 D．与
3．已知AD是△ABC的中线，＝a，＝b，以a，b为基表示，则＝(　　)
A．(a－b) B．2b－a
C．(b－a) D．2b＋a
4．在平面直角坐标系内，已知i，j是两个互相垂直的单位向量，若a＝2i－3j，则向量用坐标表示a＝________．
导思
　对平面向量基本定理的理解
例1　(1)设e1，e2是同一平面内的两个向量，则有(　　)
A．e1，e2一定平行
B．e1，e2的模相等
C．对同一平面内的任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)
D．若e1，e2不共线，则对同一平面内的任一向量a都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)
(2)(多选)设{e1，e2}是平面内所有向量的一组基，下列四组向量中能作为基的是(　　)
A．e2和e1＋e2
B．2e1－4e2和－e1＋2e2
C．e1和e1－e2
D．e1＋2e2和2e1＋e2
总结
对基的理解
(1)两个向量能否作为一组基，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基，反之，则可作基．
(2)一个平面的基一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则
提醒：一个平面的基不是唯一的，同一个向量用不同的基表示，表达式不一样．
跟踪训练1　如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，其中可作为基的一组向量是(　　)
A． B．
C． D．
题型二　平面向量基本定理的应用
角度1　用基表示平面向量
例2　如图所示，在△ABC中，M是AB的中点，且＝，BN与CM相交于点E，设＝a，＝b，试用基{a，b}表示向量.
总结
用基表示向量的两种基本方法
用基表示向量的基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直至用基表示为止；另一种是通过列向量方程(组)，利用基表示向量的唯一性求解．
角度2　利用平面向量基本定理求参数
例3　在三角形ABC中，点E，F满足＝＝2，若＝x＋y，则x＋y＝________．
总结
(1)利用平面向量基本定理求参数值的基本思路是利用定理的唯一性，对某一向量用基表示两次，然后利用系数相等列方程(组)求解，即对于基{e1，e2}，若a＝xe1＋ye2，且a＝me1＋ne2(x，y，m，n∈R)，则有郭
(2)充分利用平面几何知识对图中的有关点进行精确定位，往往可使问题更便于解决．
跟踪训练2　如图，在平行四边形ABCD中，设对角线上的向量＝a，＝b，试用基{a，b}表示.
题型三　平面向量的坐标表示
例4　在平面直角坐标系中，向量a，b，c的方向如图所示，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，求向量a，b，c的坐标．
总结
始点为坐标原点的向量的坐标由终点的坐标决定．一般可以借助三角函数的定义来确定点的坐标，此时需明确点所在的象限，点到原点的距离，点与原点的连线与x轴正方向的夹角．
跟踪训练3　
(1)如图，{e1，e2}是一组基，且e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，则向量a的坐标为(　　)
A．(1，3)
B．(3，1)
C．(－1，－3)
D．(－3，－1)
(2)如果用i，j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A(2，3)，B(4，2)，那么可以表示为(　　)
A．2i＋3j B．4i＋2j
C．2i－j D．－2i＋j
易错辨析　对基成立的条件理解有误
例5　已知e1≠0，λ∈R，向量a＝e1＋λe2，b＝2e1，则向量a与b共线的条件为(　　)
A．λ＝0 B．e2＝0
C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0
解析：设a＝kb(k∈R)，即e1＋λe2＝2ke1，∴(1－2k)e1＋λe2＝0，∴(2k－1)e1＝λe2.∵e1≠0，∴若2k－1≠0，则e1＝，此时e1∥e2；若2k－1＝0，则λ＝0或e2＝0.∵0与任意向量平行，∴a与b共线的条件为e1∥e2或λ＝0.故选D.
易错点
易错原因 纠错心得
忽略基的条件“两个向量不共线”导致错误． 平面内任意一对不共线的向量都可以组成表示该平面内所有向量的一组基，一定要注意“不共线”这一条件，还要注意零向量不能作为基．
温馨提示：请完成课时作业(五)
1．4　向量的分解与坐标表示
1．4.1　向量分解及坐标表示
导学
要点一
1．不共线　(1)v＝xe1＋ye2　(2)v＝xe1＋ye2
要点二
1．互相垂直　2.单位　{i，j}　3.(r cos α，r sin α)
[练习]
1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．解析：A中：与不共线；B中：＝－，则与共线；C中：与不共线；D中：＝－，则与共线．由平面向量基的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基，故AC满足题意．
答案：AC
3．解析：如图，AD是△ABC的中线，则D为线段BC的中点，从而＝)，则＝2（）＝2b－a.
答案：B
4．解析：在平面直角坐标系内，已知i，j是两个互相垂直的单位向量，若a＝2i－3j，则向量用坐标表示a＝(2，－3)．
答案：(2，－3)
导思
例1　解析：(1)D选项符合平面向量基本定理．故选D.
(2) 解析：e1、e2是平面内所有向量的一组基，
e2和e1＋e2，显然不共线，可以作为基；
e1和e1－e2，显然不共线，可以作为基；
2e1－4e2和－e1＋2e2，存在－2，使得2e1－4e2＝－2(－e1＋2e2)，所以2e1－4e2和－e1＋2e2共线，不可以作为基；
因为e1＋2e2和2e1＋e2不存在λ，使得e1＋2e2＝λ(2e1＋e2)，故不共线，可以作为基．
答案：(1)D　(2)ACD
跟踪训练1　解析：由基的概念可知，作为基的一组向量不能共线．由题图可知，与共线，与共线，与共线，均不能作为基向量，与不共线，可作为基向量．
答案：B
例2　解析：易得＝＝b，＝＝a，
由N，E，B三点共线可知，存在实数m使＝m＋(1－m)＝mb＋(1－m)a.
由C，E，M三点共线可知，存在实数n使＝n＋(1－n)＝na＋(1－n)b.
所以mb＋(1－m)a＝na＋(1－n)b，由于{a，b}为基，
所以解得所以＝a＋b.
例3　解析：依题意有＝＝－，所以x＝－，y＝，所以x＋y＝－.
答案：－
跟踪训练2　解析：方法一　设AC，BD交于点O，则有＝＝＝a，＝＝＝b，
所以＝＝＝a－b，
＝＝a＋b.
方法二　设＝x，＝y，则＝＝y，
又
所以
解得
即＝a－b，＝a＋b.
例4　解析：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)．
a1＝|a|cos 45°＝2×＝，
a2＝|a|sin 45°＝2×＝，
b1＝|b|cos 120°＝3×＝－，
b2＝|b|sin 120°＝3×＝，
c1＝|c|cos (－30°)＝4×＝2，
c2＝|c|sin (－30°)＝4×＝－2.
∴a＝()，b＝，c＝(2，－2)．
跟踪训练3　解析：(1)因为e1，e2分别是x轴、y轴正方向上的两个单位向量，由题图可知a＝e1＋3e2，根据平面向量坐标的定义可知a＝(1，3)．
(2) 解析：记O为坐标原点，则＝(2，3)＝2i＋3j，＝(4，2)＝4i＋2j，
所以＝＝4i＋2j－(2i＋3j)＝2i－j.
答案：(1)A　(2)C

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