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1．4.2　向量线性运算的坐标表示
导学
教材要点
要点一　平面向量加、减、数乘运算的坐标表示
文字叙述 符号表示
加法 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝________________
减法 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝________________
数乘 一个实数与向量的积的坐标等于这个实数乘以向量相应的坐标 若a＝(x，y)，则λa＝__________
向量 的 坐标 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 若P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)
状元随笔　(1)向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系，即两向量的坐标相同时，两个向量相等，但它们的起点和终点的坐标却不一定相同．例如，若A(3，5)，B(6，8)，C(－5，3)，D(－2，6)，则＝(3，3)，＝(3，3)，显然＝，但A，B，C，D各点的坐标都不相同．
(2)运算时，注意向量的起点与终点的顺序不要颠倒．
要点二　中点坐标公式
已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若P是线段P1P2的中点，则点P的坐标为____________．
要点三　向量共线的坐标表示
a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
向量a，b(b≠0)共线的充要条件是____________．
状元随笔　已知＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，
(1)当≠0→时，＝λ.
这是几何运算，体现了向量与的长度及方向之间的关系．
(2)x1y2－x2y1＝0.
这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征．
(3)当x2y2≠0时，＝，即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．
练习
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．(　　)
(2)向量的坐标就是向量终点的坐标．(　　)
(3)在平面直角坐标系中，两个相等向量的坐标相同．(　　)
(4)点的坐标与向量的坐标相同．(　　)
2．已知向量a＝(1，2)，b＝(3，1)，则b－a等于(　　)
A．(－2，1) B．(2，－1) C．(2，0) D．(4，3)
3．已知M(2，3)，N(3，1)，则的坐标是(　　)
A．(2，－1) B．(－1，2) C．(－2，1) D．(1，－2)
4．已知A(1，2)，B(4，5)．若＝2，则点P的坐标为________．
导思
题型一　平面向量线性运算的坐标表示
例1　已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n.
总结
(1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算，另外，解题过程中要注意方程思想的运用．
(2)利用向量的坐标运算解题，主要根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解．
跟踪训练1　(1)已知向量a＝，a＋3b＝(5，－3)，则b＝(　　)
A．(－3，2) B．(3，－2)
C．(3，0) D．(9，6)
(2)设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，若表示向量4a，3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c等于(　　)
A．(1，－1) B．(－1，1)
C．(－4，6) D．(4，－6)
题型二　平面向量坐标运算的应用
例2　如图，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于点E，用向量的方法证明：DE∥BC.
总结
建立直角坐标系，利用平面向量线性运算的坐标表示将几何问题转化为代数问题，可以很容易地解决一些平面几何问题．
跟踪训练2　如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点P为CD的中点，点Q在BC上，且BQ＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求的值．
提醒三　向量共线的坐标表示及应用
角度1　向量共线的判定
例3　判断下列各组中的向量是否平行：
(1)a＝(1，3)，b＝(2，4)；
(2)a＝(1，2)，b＝.
总结
向量共线的判定方法
(1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b.
(2)利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))直接判断a与b是否平行．
角度2　利用向量共线的坐标表示求参数
例4　已知向量a＝(1，2)，b＝(λ，1)．若(a＋2b)∥(2a－2b)，则λ的值为(　　)
A．　 　 　 B． C．1　 　 　 D．2
总结
根据向量共线的条件求参数问题的两种思路
(1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)列方程组求解．
(2)利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0求解．
角度3　三点共线问题
例5　(1)已知＝(3，4)，＝(7，12)，＝(9，16)，求证：A，B，C三点共线；
(2)设向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？
总结
利用向量解决三点共线问题的一般思路：(1)利用三点构造出两个向量，求出唯一确定的实数λ；(2)利用向量运算的坐标表示得出两向量共线，再结合两向量过同一点，可得两向量所在的直线必重合，即三点共线．
跟踪训练3　已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值．
易错辨析　转换向量关系失误
例6　平面上有A(2，－1)，B(1，4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC并延长至点E，使||＝||，则点E的坐标为________．
解析：设O为坐标原点，∵＝，∴＝)．∴＝2＝(3，－6)．∴点C的坐标为(3，－6)．
又∵||＝||，且E在DC的延长线上，∴＝－.
设E(x，y)，则(x－3，y＋6)＝－(4－x，－3－y)，
得解得
∴点E的坐标为.
答案：
易错点
易错原因 纠错心得
不能将“||＝||，且E在DC的延长线上”转化为“＝－”而导致失误． 在将模的关系转换为向量之间的关系时，均需要从方向角度加以分析，若不能确定，则需要分类讨论．
课时训练
1．已知向量a＝(－1，2)，b＝(1，0)，那么向量3b－a的坐标是(　　)
A．(－4，2) B．(－4，－2)
C．(4，2) D．(4，－2)
2．已知向量a＝(－2，3)，b＝(3，m)且a∥b，则m＝(　　)
A．－2 B．2
C．－ D．
3．已知平面直角坐标系内一点P，向量＝，向量＝，那么MN中点坐标为(　　)
A． B．
C． D．
4．设A，B，且＝3，则点D的坐标是________．
5．已知向量＝i－2j，＝2i＋μj，其中i，j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数μ的值，使A，B，C三点共线．
温馨提示：请完成课时作业(六)
1．4.2　向量线性运算的坐标表示
导学
要点一
(x1＋x2，y1＋y2)　(x1－x2，y1－y2)　(λx，λy)
要点二
要点三
x1y2－x2y1＝0
[练习]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．解析：b－a＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1)．
答案：B
3．解析：＝(2－3，3－1)＝(－1，2)．
答案：B
4．解析：设P(x，y)，所以＝(x－1，y－2)，＝(4－x，5－y)，又＝2，所以(x－1，y－2)＝2(4－x，5－y)，
即解得
答案：(3，4)
导思
例1　解析：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴解得
∴实数m的值为－1，n的值为－1.
跟踪训练1　解析：(1)设b＝(m，n)，
因为a＝(－4，3)，所以a＋3b＝(－4，3)＋3(m，n)＝(－4＋3m，3＋3n)，
又a＋3b＝(5，－3)，
所以，
解得m＝3，n＝－2.
故b＝(3，－2)．
(2) 解析：因为向量4a，3b－2a，c对应的有向线段首尾相接能构成三角形，所以4a＋3b－2a＋c＝0，故有c＝－2a－3b＝－2(1，－3)－3(－2，4)＝(4，－6)．
答案：(1)B　(2)D
例2　证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系．
设||＝1，则||＝1，||＝2.
因为CE⊥AB，而AD＝DC，
所以四边形AECD为正方形，
从而可求得各点坐标分别为E(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(－1，1)．
又因为＝(－1，1)－(0，0)＝(－1，1)，
＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)，
所以＝，
因此∥，即DE∥BC.
跟踪训练2　解析：如图，分别以边AB，AD所在的直线为x轴，y轴，
点A为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则A(0，0)，P(2，3)，B(4，0)，C(4，3)，Q(4，2)．
∵＝(4，3)，＝(2，3)，＝(4，2)，
由＝λ＋μ，得(4，3)＝(2λ＋4μ，3λ＋2μ)，
∴解得
∴＝.
例3　解析：方法一　(1)∵1×4－3×2＝－2≠0，
∴a与b不平行．
(2)∵1×1－2×＝0，∴a∥b.
方法二　(1)∵≠，∴a与b不平行．
(2)∵＝，∴a∥b.
例4　解析：方法一　由题意得
a＋2b＝(1，2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，
2a－2b＝2(1，2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)．
∵(a＋2b)∥(2a－2b)，
∴2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝.
方法二　假设a，b不共线，则由(a＋2b)∥(2a－2b)可得a＋2b＝μ(2a－2b)，
∴方程组显然无解，
∴a＋2b与2a－2b不共线，这与(a＋2b)∥(2a－2b)矛盾，∴假设不成立，∴a，b共线，∴＝2，解得λ＝.
答案：A
例5　解析：(1)因为＝＝(4，8)，
＝＝(6，12)，
所以＝，即与共线．
又与有公共点A，故A，B，C三点共线．
(2)若A，B，C三点共线，则共线．
又＝＝(4－k，－7)，
＝＝(10－k，k－12)，
所以(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0.
解得k＝－2或k＝11.
跟踪训练3　解析：(1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．
因为ka－b与a＋2b共线，所以2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，得k＝－.
(2)＝2a＋3b＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)，
＝a＋mb＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)．
因为A，B，C三点共线，所以∥.
所以8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，所以m＝.
[课时训练]
1．解析：3b－a＝3(1，0)－(－1，2)＝(4，－2)．
答案：D
2．解析：∵a∥b，a＝(－2，3)，b＝(3，m)，
∴－2m－9＝0，解得m＝－.
答案：C
3．解析：由题意M点坐标为(2，－3)＋(1，2)＝(3，－1)，N点坐标为(2，－3)＋(－2，0)＝(0，－3)，
所以MN中点坐标为[(3，－1)＋(0，－3)]＝(，－2)．
答案：A
4．解析：∵A，B＝3，
所以＝＝＝，即＝，
∴＝＝＋3＝＋3(－3，2)＝.
答案：(－7，9)
5．解析：方法一　∵A，B，C三点共线，即共线，
∴存在实数λ，使＝λ，即i－2j＝λ(2i＋μj)．
可得解得故当μ＝－4时，A，B，C三点共线．
方法二　依题意得i＝(1，0)，j＝(0，1)，∴＝(1，0)－2(0，1)＝(1，－2)，＝2(1，0)＋μ(0，1)＝(2，μ)．
∵A，B，C三点共线，即共线，∴1×μ－2×(－2)＝0，解得μ＝－4.故当μ＝－4时，A，B，C三点共线．

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